Curva de Zindler

Figura 1: Curva de Zindler. Cualquiera de las cuerdas de igual longitud corta la curva y el área encerrada en dos mitades.

Figura 2: Ejemplos de curvas de Zindler con a = 8 (azul), a = 16 (verde) y a = 24 (rojo).

Una curva de Zindler es una curva plana cerrada simple con la propiedad definitoria de que:

(L) Todas las cuerdas que cortan la longitud de la curva en mitades tienen la misma longitud.

Los ejemplos más sencillos son los círculos . El matemático austríaco Konrad Zindler descubrió otros ejemplos y dio un método para construirlos. El primero fue Herman Auerbach , que utilizó (en 1938) el nombre que hoy se ha establecido como curva de Zindler .

Auerbach demostró que una figura limitada por una curva de Zindler y con la mitad de la densidad del agua flotará en el agua en cualquier posición. Esto da una respuesta negativa a la versión bidimensional del problema de Stanislaw Ulam sobre cuerpos flotantes (Problema 19 del Libro Escocés ), que pregunta si el disco es la única figura de densidad uniforme que flotará en el agua en cualquier posición (el problema original pregunta si la esfera es el único sólido que tiene esta propiedad en tres dimensiones).

Las curvas de Zindler también están conectadas con el problema de establecer si es posible determinar la dirección del movimiento de una bicicleta dadas solo las vías trasera y delantera cerradas. ^[1]

Definiciones equivalentes

Una definición equivalente de una curva de Zindler es la siguiente:

(A) Todas las cuerdas que cortan el área en dos mitades tienen la misma longitud.

Estas cuerdas son las mismas, que cortan la longitud de la curva en mitades.

Otra definición se basa en carruseles Zindler de dos sillas. ^[2] Considérense dos curvas suaves en R ² dadas por λ ₁ y λ ₂ . Supóngase que la distancia entre los puntos λ ₁ (t) y λ ₂ (t) son constantes para cada t ∈ R y que la curva definida por los puntos medios entre λ ₁ y λ ₂ es tal que su vector tangente en el punto t es paralelo al segmento de λ ₁ ( t ) a λ ₂ ( t ) para cada t . Si las curvas λ ₁ y λ ₂ parametrizan la misma curva suave y cerrada, entonces esta curva es una curva de Zindler.

Ejemplos

Considere un parámetro real fijo . Para , cualquiera de las curvas ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a>4}$

${\displaystyle z(u)=x(u)+iy(u)=e^{2iu}+2e^{-iu}+ae^{iu/2}\;,\ u\in [0,4\pi ]\;,}$

es una curva de Zindler. ^[3] Para la curva es incluso convexa . El diagrama muestra curvas para (azul), (verde) y (rojo). Para las curvas están relacionadas con una curva de ancho constante . ${\displaystyle a\geq 24}$ ${\displaystyle a=8}$ ${\displaystyle a=16}$ ${\displaystyle a=24}$ ${\displaystyle a\geq 8}$

Figura 3: La curva de muestra con a=4 NO es una curva de Zindler, porque hay cuerdas deseadas, que intersecan la curva en un tercer punto.

Prueba de (L) : La derivada de la ecuación paramétrica es

${\displaystyle z'(u)=i{\Big (}2e^{2iu}-2e^{-iu}+{\frac {a}{2}}e^{iu/2}{\Big )}\;}$y

${\displaystyle |z'(u)|^{2}=z'(u){\overline {z'(u)}}=\cdots =8+{\frac {a^{2}}{4}}-8\cos 3u\;.}$

${\displaystyle |z'(u)|}$es - periódica . Por lo tanto, para cualquier ecuación se cumple la siguiente ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle u_{0}}$

${\displaystyle \int _{u_{0}}^{u_{0}+2\pi }|z'(u)|\,du=\int _{0}^{2\pi }|z'(u)|\,du\;,}$

que es la mitad de la longitud de toda la curva. Las cuerdas deseadas, que dividen la curva en mitades, están limitadas por los puntos para cualquier . La longitud de dicha cuerda es, por lo tanto, independiente de . ∎ ${\displaystyle \;z(u_{0})\;,\;z(u_{0}+2\pi )\;}$ ${\displaystyle u_{0}\in [0,4\pi ]}$ ${\displaystyle |z(u_{0}+2\pi )-z(u_{0})|=\cdots =|2ae^{iu_{0}/2}|=2a\;,}$ ${\displaystyle u_{0}}$

Para que las cuerdas deseadas se encuentren con la curva en un punto adicional (ver Figura 3). Por lo tanto, solo para las curvas de muestra se utilizan curvas de Zindler. ${\displaystyle a=4}$ ${\displaystyle a>4}$

Generalizaciones

La propiedad que define las curvas de Zindler también se puede generalizar a cuerdas que cortan el perímetro de la curva en una razón fija α distinta de 1/2. En este caso, se puede considerar un sistema de cuerdas (una selección continua de cuerdas) en lugar de todas las cuerdas de la curva. Estas curvas se conocen como curvas α-Zindler, ^[4] y son curvas de Zindler para α = 1/2. Esta generalización de la curva de Zindler tiene la siguiente propiedad relacionada con el problema flotante: sea γ una curva suave cerrada con un sistema de cuerdas que corta el perímetro en una razón fija α. Si todas las cuerdas de este sistema de cuerdas están en el interior de la región limitada por γ, entonces γ es una curva α-Zindler si y solo si la región limitada por γ es un sólido de densidad uniforme ρ que flota en cualquier orientación. ^[4]

Véase también

• Curva de ancho constante
• Polígono de Reuleaux

Notas

1. Bor, Gil; Levi, Mark; Perline, Ron; Tabachnikov, Sergei (2018). "Huellas de neumáticos y evolución de curvas integrables". International Mathematics Research Notices . 2020 (9): 2698–2768. arXiv : 1705.06314 . doi : 10.1093/imrn/rny087 .
2. Bracho, J.; Montejano, L.; Oliveros, D. (1 de diciembre de 2004). "Carruseles, curvas de Zindler y el problema del cuerpo flotante". Periodica Mathematica Hungarica . 49 (2): 9–23. CiteSeerX 10.1.1.542.926 . doi :10.1007/s10998-004-0519-6. ISSN  0031-5303. S2CID  8229876. 
3. W. Wunderlich: Algebraische Beispiele ebener und räumlicher Zindler-Kurven . Publ. Matemáticas. Debrecen 24 (1977), 289–297 (S. 291).
4. Bracho, J.; Montejano, L.; Oliveros, D. (1 de julio de 2001). "Un teorema de clasificación para carruseles de Zindler". Revista de sistemas dinámicos y de control . 7 (3): 367–384. doi :10.1023/A:1013099830164. ISSN  1079-2724. S2CID  116492433.

Referencias

• Herman Auerbach: Sur un problème de M. Ulam concernant l'équilibre des corps flottants (PDF; 796 kB) , Studia Mathematica 7 (1938), 121–142.
• KL Mampel: Über Zindlerkurven , Journal für reine und angewandte Mathematik 234 (1969), 12–44.
• Konrad Zindler: Über konvexe Gebilde. II. Teil , Monatshefte für Mathematik und Physik 31 (1921), 25–56.
• H. Martini, S. Wu: Sobre curvas de Zindler en planos normalizados , Canadian Mathematical Bulletin 55 (2012), 767–773.
• J. Bracho, L. Montejano, D. Oliveros: Carruseles, curvas de Zindler y el problema del cuerpo flotante , Periodica Mathematica Hungarica 49 (2004), 9–23.
• PM Gruber, JM Wills: Convexidad y sus aplicaciones , Springer, 1983, ISBN 978-3-0348-5860-1 , pág. 58. 

Enlaces externos

• http://www.thphys.uni-heidelberg.de/~wegner/Fl2mvs/Movies.html - Una página de Franz Wegner que ilustra algunos cuerpos que flotan en cualquier dirección.
• https://www.rose-hulman.edu/~finn/research/bicycle/tracks.html - Una página de David L. Finn que ilustra un par de curvas entre las que no es posible determinar cuál es la pista trasera o la delantera de una bicicleta.