exsecante

Función trigonométrica definida como secante menos uno

La exsecante ( exsec , exs ) y la excosecante ( excosec , excsc , exc ) son funciones trigonométricas definidas en términos de las funciones secante y cosecante . Solían ser importantes en campos como la topografía , la ingeniería ferroviaria , la ingeniería civil , la astronomía y la trigonometría esférica y podrían ayudar a mejorar la precisión, pero hoy en día rara vez se utilizan, excepto para simplificar algunos cálculos.

Un círculo unitario con funciones trigonométricas . ^[1]

exsecante

Las funciones trigonométricas , incluida la exsecante, se pueden construir geométricamente en términos de un círculo unitario centrado en O. La exsecante es la porción DE de la secante exterior al círculo.

La  exsecante , ^{[2] [3] [4] [ 5] [6] [7] [ 8] [9]} (latín: secans exterior ^{[10] [11] [12] [13]} ) también conocida como exterior , externa , ^{[14] [15] [16] [17]} secante exterior o exterior y abreviada como exsec ^{[18] [19] [20] [21]} o exs , ^[22] es una función trigonométrica definida en términos de la secante función seg( θ ): ^[23]

$${\displaystyle \operatorname {exsec} (\theta )=\sec(\theta )-1={\frac {1}{\cos(\theta )}}-1.}$$

El nombre exsecante puede entenderse a partir de una construcción gráfica de las distintas funciones trigonométricas a partir de un círculo unitario , como se utilizó históricamente. sec( θ ) es la recta secante OE , y la exsecante es la porción DE de esta secante que se encuentra exterior al círculo ( ex en latín significa fuera de ).

excossecante

exsecante (azul) y excosecante (verde)

Una función relacionada es la excosecante ^{[5] [24]} o coexsecante , ^{[25] [18] [26]} también conocida como exterior , externa , ^[17] exterior o cosecante exterior y abreviada como excosec , coexsec , ^{[14] [18 ] [26]} excsc ^{[5] [24]} o exc , ^[22] la exsecante del ángulo complementario: ^[24]

$${\displaystyle \operatorname {excsc} (\theta )=\operatorname {exsec} \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\csc(\theta )-1={\frac {1}{\sin(\theta )}}-1.}$$

Uso

Importante en campos como la topografía , ^[8] la ingeniería ferroviaria ^[5] (por ejemplo, para trazar curvas y peraltes de ferrocarril ), la ingeniería civil , la astronomía y la trigonometría esférica hasta la década de 1980, la función exsecante ahora se utiliza poco. ^{[8] [23]} Principalmente, esto se debe a que la amplia disponibilidad de calculadoras y computadoras ha eliminado la necesidad de tablas trigonométricas de funciones especializadas como esta. ^[8]

La razón para definir una función especial para la exsecante es similar a la razón para la versina : para ángulos pequeños θ , la función sec( θ ) se acerca a uno , por lo que usar la fórmula anterior para la exsecante implicará la resta de dos casi iguales. cantidades, resultando en una cancelación catastrófica . Por lo tanto, una tabla de la función secante necesitaría una precisión muy alta para usarse para la exsecante, lo que hace que una tabla de exsecantes especializada sea útil. Incluso con una computadora, los errores de coma flotante pueden ser problemáticos para las exsecantes de ángulos pequeños, si se utiliza la definición basada en el coseno. Una fórmula más precisa en este límite sería utilizar la identidad: ^{[3] [4] [17]}

$${\displaystyle \operatorname {exsec} (\theta )={\frac {1-\cos(\theta )}{\cos(\theta )}}={\frac {\operatorname {versin} (\theta )}{\cos(\theta )}}=\operatorname {versin} (\theta )\sec(\theta )=2\left(\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right)^{2}\sec(\theta )}$$

^[17]

$${\displaystyle \operatorname {excsc} (\theta )={\frac {1-\sin(\theta )}{\sin(\theta )}}={\frac {\operatorname {coversin} (\theta )}{\sin(\theta )}}=\operatorname {coversin} (\theta )\csc(\theta ).}$$

Antes de que existieran las computadoras, esto requeriría multiplicaciones que requerían mucho tiempo.

La función exsecante ya fue utilizada por Galileo Galilei en 1632, aunque todavía la llamaba segante (que significa secante ). ^{[27] [28] [29]} El término latino secans exterior se utilizó desde al menos alrededor de 1745. ^{[10] [11] [12] [13]} El uso del término inglés external secante y la abreviatura ex. segundo. Se remonta al menos a 1855, cuando Charles Haslett publicó la primera tabla conocida de exsecantes. ^{[1] [30]} Variaciones como ex secante y exsec estaban en uso en 1880, ^[14] y la exsecante fue la que menos se usó desde 1894. ^[2]

Los términos coexsecante ^[25] y coexsec ^[2] se pueden encontrar utilizados ya en 1880, así como ^{[2] [25]} seguidos de excosecante desde 1909. ^[5] La función también fue utilizada por Albert Einstein para describir la energía cinética de fermiones . ^[29]

Identidades matemáticas

Derivados

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \theta }}\operatorname {exsec} (\theta )=\tan(\theta )\sec(\theta )={\frac {\sin(\theta )}{(\cos(\theta ))^{2}}}}$^[21]

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \theta }}\operatorname {excsc} (\theta )=-\cot(\theta )\csc(\theta )={\frac {-\cos(\theta )}{(\sin(\theta ))^{2}}}}$

Integrales

${\displaystyle \int \operatorname {exsec} (\theta )\,\mathrm {d} \theta =\ln \left[\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)+\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]-\ln \left[\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)-\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]-\theta +C}$^[21]

${\displaystyle \int \operatorname {excsc} (\theta )\,\mathrm {d} \theta =\ln \left[\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right]-\theta +C}$

Funciones inversas

Las funciones inversas arcexsecant ^[26] ( arcexsec , ^{[5] [26]} aexsec , ^{[31] [32]} aexs , exsec ⁻¹ ) y arcexcosecant ( arcexcosec , arcexcsc , ^[5] aexcsc , aexc , arccoexsecant , arccoexsec , excsc ^{− 1} ) también existen:

${\displaystyle \operatorname {arcexsec} (y)=\operatorname {arcsec}(y+1)=\arccos \left({\frac {1}{y+1}}\right)=\arctan({\sqrt {y^{2}+2y}})}$^{[26] [31] [32]} (para y  ≤ −2 o y  ≥ 0) ^[26]

$${\displaystyle \operatorname {arcexcsc} (y)=\operatorname {arccsc}(y+1)=\arcsin \left({\frac {1}{y+1}}\right)}$$

Otras propiedades

Derivado del círculo unitario:

$${\displaystyle \operatorname {exsec} (\theta )=\sec(\theta )-\cos(\theta )-\operatorname {versin} (\theta ).}$$

$${\displaystyle \operatorname {excsc} (\theta )=\operatorname {csc} (\theta )-\sin(\theta )-\operatorname {coversin} (\theta ).}$$

La función exsecante está relacionada con la función tangente por ^[23]

$${\displaystyle \operatorname {exsec} (\theta )=\tan(\theta )\tan \left({\frac {\theta }{2}}\right).}$$

Por analogía, la función excosecante está relacionada con la función cotangente por

$${\displaystyle \operatorname {excsc} (\theta )=\cot(\theta )\cot \left({\frac {\theta }{2}}\right).}$$

La función exsecante está relacionada con la función seno por

$${\displaystyle \operatorname {exsec} (\theta )={\frac {1}{\sqrt {1-(\sin(\theta ))^{2}}}}-1.}$$

Las funciones exsecante y excosecante se pueden extender al plano complejo . ^[21]

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\operatorname {exsec} (\theta )}{\theta }}=0}$^[5]

${\displaystyle {\frac {\operatorname {versin} (\theta )+\operatorname {coversin} (\theta )}{\operatorname {versin} (\theta )-\operatorname {coversin} (\theta )}}-{\frac {\operatorname {exsec} (\theta )+\operatorname {excsc} (\theta )}{\operatorname {exsec} (\theta )-\operatorname {excsc} (\theta )}}={\frac {2\operatorname {versin} (\theta )\operatorname {coversin} (\theta )}{\operatorname {versin} (\theta )-\operatorname {coversin} (\theta )}}}$^[5]

${\displaystyle (\operatorname {exsec} (\theta )+\operatorname {versin} (\theta ))\,(\operatorname {excsc} (\theta )+\operatorname {coversin} (\theta ))=\sin(\theta )\cos(\theta )}$^[5]

${\displaystyle \operatorname {exsec} (2\theta )={\frac {2\sin ^{2}(\theta )}{1-2\sin ^{2}(\theta )}}}$^[5]

${\displaystyle \operatorname {exsec} (2\theta )\,\cos(2\theta )=\tan(\theta )}$^[5]

${\displaystyle \operatorname {exsec} ^{2}(\theta )+2\operatorname {exsec} (\theta )=\tan ^{2}(\theta )}$^[5]

Ver también

• Identidades trigonométricas  : ecuaciones que involucran funciones trigonométricas
• Versine  – 1 menos el coseno de un ángulo
• Cuerda  : segmento de línea geométrica cuyos puntos finales se encuentran en la curva.
• Círculos dentro y fuera de un triángulo  : círculos tangentes a los tres lados de un triángulo.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Exponencial menos 1  : función matemática, denotada como exp(x) o e^xPages displaying short descriptions of redirect targets
• Logaritmo natural más 1  – Logaritmo a la base de la constante matemática ePages displaying short descriptions of redirect targets

Referencias

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