Diferenciación de funciones trigonométricas

Proceso matemático para hallar la derivada de una función trigonométrica

La diferenciación de funciones trigonométricas es el proceso matemático de hallar la derivada de una función trigonométrica , o su tasa de cambio con respecto a una variable. Por ejemplo, la derivada de la función seno se escribe sin ′ ( a ) = cos( a ), lo que significa que la tasa de cambio de sin( x ) en un ángulo particular x = a está dada por el coseno de ese ángulo.

Todas las derivadas de funciones trigonométricas circulares se pueden hallar a partir de las de sen( x ) y cos( x ) mediante la regla del cociente aplicada a funciones como tan( x ) = sen( x )/cos( x ). Conociendo estas derivadas, las derivadas de las funciones trigonométricas inversas se hallan mediante diferenciación implícita .

Pruebas de derivadas de funciones trigonométricas

Límite de sin(θ)/θ cuando θ tiende a 0

Círculo, centro O , radio 1

El diagrama de la derecha muestra un círculo con centro O y radio r = 1. Supongamos que dos radios OA y OB forman un arco de θ radianes. Como estamos considerando el límite cuando θ tiende a cero, podemos suponer que θ es un número positivo pequeño, digamos 0 < θ < ⁠1/2⁠ π en el primer cuadrante.

En el diagrama, sea R ₁ el triángulo OAB , R ₂ el sector circular OAB y R ₃ el triángulo OAC .

El área del triángulo OAB es:

${\displaystyle \mathrm {Area} (R_{1})={\tfrac {1}{2}}\ |OA|\ |OB|\sin \theta ={\tfrac {1}{2}}\sin \theta \,.}$

El área del sector circular OAB es:

${\displaystyle \mathrm {Area} (R_{2})={\tfrac {1}{2}}\theta \,.}$

El área del triángulo OAC está dada por:

${\displaystyle \mathrm {Area} (R_{3})={\tfrac {1}{2}}\ |OA|\ |AC|={\tfrac {1}{2}}\tan \theta \,.}$

Como cada región está contenida en la siguiente, se tiene:

${\displaystyle {\text{Area}}(R_{1})<{\text{Area}}(R_{2})<{\text{Area}}(R_{3})\implies {\tfrac {1}{2}}\sin \theta <{\tfrac {1}{2}}\theta <{\tfrac {1}{2}}\tan \theta \,.}$

Además, como sen θ > 0 en el primer cuadrante, podemos dividir por ⁠1/2⁠ sen θ , dando:

${\displaystyle 1<{\frac {\theta }{\sin \theta }}<{\frac {1}{\cos \theta }}\implies 1>{\frac {\sin \theta }{\theta }}>\cos \theta \,.}$

En el último paso tomamos los recíprocos de los tres términos positivos, revirtiendo las inequidades.

Apretar: Las curvas y = 1 e y = cos θ se muestran en rojo, la curva y = sin( θ )/ θ se muestra en azul.

Concluimos que para 0 < θ < ⁠1/2⁠ π, la cantidad sin( θ )/ θ es siempre menor que 1 y siempre mayor que cos(θ). Por lo tanto, a medida que θ se acerca a 0, sin( θ )/ θ queda " apretada " entre un techo a una altura de 1 y un suelo a una altura cos θ , que se eleva hacia 1; por lo tanto, sin( θ )/ θ debe tender a 1 cuando θ tiende a 0 desde el lado positivo:

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0^{+}}{\frac {\sin \theta }{\theta }}=1\,.}$

Para el caso donde θ es un número negativo pequeño – ⁠1/2⁠ π < θ < 0, utilizamos el hecho de que el seno es una función impar :

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0^{-}}\!{\frac {\sin \theta }{\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\frac {\sin(-\theta )}{-\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\frac {-\sin \theta }{-\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\frac {\sin \theta }{\theta }}\ =\ 1\,.}$

Límite de (cos(θ)-1)/θ cuando θ tiende a 0

La última sección nos permite calcular este nuevo límite de forma relativamente sencilla. Para ello, se emplea un truco sencillo. En este cálculo, el signo de θ no es importante.

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\right)\!\!\left({\frac {\cos \theta +1}{\cos \theta +1}}\right)\ =\ \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos ^{2}\!\theta -1}{\theta \,(\cos \theta +1)}}.}$

Utilizando cos ² θ – 1 = –sin ² θ , el hecho de que el límite de un producto es el producto de límites, y el resultado límite de la sección anterior, encontramos que:

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\ =\ \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {-\sin ^{2}\theta }{\theta (\cos \theta +1)}}\ =\ \left(-\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}\right)\!\left(\lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}\right)\ =\ (-1)\left({\frac {0}{2}}\right)=0\,.}$

Límite de tan(θ)/θ cuando θ tiende a 0

Utilizando el límite de la función seno, el hecho de que la función tangente es impar y el hecho de que el límite de un producto es el producto de límites, encontramos:

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\tan \theta }{\theta }}\ =\ \left(\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}\right)\!\left(\lim _{\theta \to 0}{\frac {1}{\cos \theta }}\right)\ =\ (1)(1)\ =\ 1\,.}$

Derivada de la función seno

Calculamos la derivada de la función seno a partir de la definición del límite :

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\sin(\theta +\delta )-\sin \theta }{\delta }}.}$

Usando la fórmula de suma de ángulos sin(α+β) = sin α cos β + sin β cos α , tenemos:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\sin \theta \cos \delta +\sin \delta \cos \theta -\sin \theta }{\delta }}=\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\sin \delta }{\delta }}\cos \theta +{\frac {\cos \delta -1}{\delta }}\sin \theta \right).}$

Utilizando los límites para las funciones seno y coseno:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =(1)\cos \theta +(0)\sin \theta =\cos \theta \,.}$

Derivada de la función coseno

De la definición de derivada

Calculamos nuevamente la derivada de la función coseno a partir de la definición del límite:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\cos(\theta +\delta )-\cos \theta }{\delta }}.}$

Usando la fórmula de adición de ángulos cos(α+β) = cos α cos β – sin α sin β , tenemos:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\cos \theta \cos \delta -\sin \theta \sin \delta -\cos \theta }{\delta }}=\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\cos \delta -1}{\delta }}\cos \theta \,-\,{\frac {\sin \delta }{\delta }}\sin \theta \right).}$

Utilizando los límites para las funciones seno y coseno:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =(0)\cos \theta -(1)\sin \theta =-\sin \theta \,.}$

De la regla de la cadena

Para calcular la derivada de la función coseno a partir de la regla de la cadena, primero observe los tres hechos siguientes:

${\displaystyle \cos \theta =\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)}$

${\displaystyle \sin \theta =\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)}$

${\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\sin \theta =\cos \theta }$

La primera y la segunda son identidades trigonométricas y la tercera se demostró anteriormente. Con estos tres hechos, podemos escribir lo siguiente:

${\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\cos \theta ={\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)}$

Podemos diferenciar esto usando la regla de la cadena . Si hacemos , tenemos: ${\displaystyle f(x)=\sin x,\ \ g(\theta )={\tfrac {\pi }{2}}-\theta }$

${\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}f\!\left(g\!\left(\theta \right)\right)=f^{\prime }\!\left(g\!\left(\theta \right)\right)\cdot g^{\prime }\!\left(\theta \right)=\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)\cdot (0-1)=-\sin \theta }$.

Por lo tanto, hemos demostrado que

${\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\cos \theta =-\sin \theta }$.

Derivada de la función tangente

De la definición de derivada

Para calcular la derivada de la función tangente tan θ , utilizamos los primeros principios . Por definición:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\tan(\theta +\delta )-\tan \theta }{\delta }}\right).}$

Utilizando la conocida fórmula del ángulo tan(α+β) = (tan α + tan β) / (1 - tan α tan β) , tenemos:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}\left[{\frac {{\frac {\tan \theta +\tan \delta }{1-\tan \theta \tan \delta }}-\tan \theta }{\delta }}\right]=\lim _{\delta \to 0}\left[{\frac {\tan \theta +\tan \delta -\tan \theta +\tan ^{2}\theta \tan \delta }{\delta \left(1-\tan \theta \tan \delta \right)}}\right].}$

Utilizando el hecho de que el límite de un producto es el producto de los límites:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\tan \delta }{\delta }}\times \lim _{\delta \to 0}\left({\frac {1+\tan ^{2}\theta }{1-\tan \theta \tan \delta }}\right).}$

Usando el límite de la función tangente, y el hecho de que tan δ tiende a 0 cuando δ tiende a 0:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =1\times {\frac {1+\tan ^{2}\theta }{1-0}}=1+\tan ^{2}\theta .}$

Vemos inmediatamente que:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =1+{\frac {\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}=\sec ^{2}\theta \,.}$

De la regla del cociente

También se puede calcular la derivada de la función tangente utilizando la regla del cociente .

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\tan \theta ={\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}{\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}={\frac {\left(\sin \theta \right)^{\prime }\cdot \cos \theta -\sin \theta \cdot \left(\cos \theta \right)^{\prime }}{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}}$

El numerador se puede simplificar a 1 mediante la identidad pitagórica , lo que nos da,

${\displaystyle {\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}=\sec ^{2}\theta }$

Por lo tanto,

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\tan \theta =\sec ^{2}\theta }$

Pruebas de derivadas de funciones trigonométricas inversas

Las siguientes derivadas se encuentran haciendo que la variable y sea igual a la función trigonométrica inversa de la que deseamos obtener la derivada. Utilizando la diferenciación implícita y luego resolviendo dy / dx , la derivada de la función inversa se encuentra en términos de y . Para convertir dy / dx nuevamente en términos de x , podemos dibujar un triángulo de referencia en el círculo unitario, dejando que θ sea y . Utilizando el teorema de Pitágoras y la definición de las funciones trigonométricas regulares, finalmente podemos expresar dy / dx en términos de x .

Diferenciación de la función seno inverso

Nosotros dejamos

${\displaystyle y=\arcsin x\,\!}$

Dónde

${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}}}$

Entonces

${\displaystyle \sin y=x\,\!}$

Tomando la derivada con respecto a ambos lados y resolviendo para dy/dx: ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {d \over dx}\sin y={d \over dx}x}$

${\displaystyle \cos y\cdot {dy \over dx}=1\,\!}$

Sustituyendo lo anterior, ${\displaystyle \cos y={\sqrt {1-\sin ^{2}y}}}$

${\displaystyle {\sqrt {1-\sin ^{2}y}}\cdot {dy \over dx}=1}$

Sustituyendo lo anterior, ${\displaystyle x=\sin y}$

${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {dy \over dx}=1}$

${\displaystyle {dy \over dx}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

Diferenciación de la función coseno inversa

Nosotros dejamos

${\displaystyle y=\arccos x\,\!}$

Dónde

${\displaystyle 0\leq y\leq \pi }$

Entonces

${\displaystyle \cos y=x\,\!}$

Tomando la derivada con respecto a ambos lados y resolviendo para dy/dx: ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {d \over dx}\cos y={d \over dx}x}$

${\displaystyle -\sin y\cdot {dy \over dx}=1}$

Sustituyendo lo anterior, obtenemos ${\displaystyle \sin y={\sqrt {1-\cos ^{2}y}}\,\!}$

${\displaystyle -{\sqrt {1-\cos ^{2}y}}\cdot {dy \over dx}=1}$

Sustituyendo lo anterior, obtenemos ${\displaystyle x=\cos y\,\!}$

${\displaystyle -{\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {dy \over dx}=1}$

${\displaystyle {dy \over dx}=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

Alternativamente, una vez establecida la derivada de , la derivada de sigue inmediatamente diferenciando la identidad de modo que . ${\displaystyle \arcsin x}$ ${\displaystyle \arccos x}$ ${\displaystyle \arcsin x+\arccos x=\pi /2}$ ${\displaystyle (\arccos x)'=-(\arcsin x)'}$

Diferenciación de la función tangente inversa

Nosotros dejamos

${\displaystyle y=\arctan x\,\!}$

Dónde

${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}}$

Entonces

${\displaystyle \tan y=x\,\!}$

Tomando la derivada con respecto a ambos lados y resolviendo para dy/dx: ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {d \over dx}\tan y={d \over dx}x}$

Lado izquierdo:

${\displaystyle {d \over dx}\tan y=\sec ^{2}y\cdot {dy \over dx}=(1+\tan ^{2}y){dy \over dx}}$utilizando la identidad pitagórica

Lado derecho:

${\displaystyle {d \over dx}x=1}$

Por lo tanto,

${\displaystyle (1+\tan ^{2}y){dy \over dx}=1}$

Sustituyendo lo anterior, obtenemos ${\displaystyle x=\tan y\,\!}$

${\displaystyle (1+x^{2}){dy \over dx}=1}$

${\displaystyle {dy \over dx}={\frac {1}{1+x^{2}}}}$

Diferenciación de la función cotangente inversa

Nosotros dejamos

${\displaystyle y=\operatorname {arccot} x}$

donde . entonces ${\displaystyle 0<y<\pi }$

${\displaystyle \cot y=x}$

Tomando la derivada con respecto a ambos lados y resolviendo para dy/dx: ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cot y={\frac {d}{dx}}x}$

Lado izquierdo:

${\displaystyle {d \over dx}\cot y=-\csc ^{2}y\cdot {dy \over dx}=-(1+\cot ^{2}y){dy \over dx}}$utilizando la identidad pitagórica

Lado derecho:

${\displaystyle {d \over dx}x=1}$

Por lo tanto,

${\displaystyle -(1+\cot ^{2}y){\frac {dy}{dx}}=1}$

Sustituyendo , ${\displaystyle x=\cot y}$

${\displaystyle -(1+x^{2}){\frac {dy}{dx}}=1}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {1}{1+x^{2}}}}$

Alternativamente, como la derivada de se deriva como se muestra arriba, entonces al usar la identidad se deduce inmediatamente que ${\displaystyle \arctan x}$ ${\displaystyle \arctan x+\operatorname {arccot} x={\dfrac {\pi }{2}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\dfrac {d}{dx}}\operatorname {arccot} x&={\dfrac {d}{dx}}\left({\dfrac {\pi }{2}}-\arctan x\right)\\&=-{\dfrac {1}{1+x^{2}}}\end{aligned}}}$$

Diferenciación de la función secante inversa

Utilizando la diferenciación implícita

Dejar

${\displaystyle y=\operatorname {arcsec} x\ \mid |x|\geq 1}$

Entonces

${\displaystyle x=\sec y\mid \ y\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right)\cup \left({\frac {\pi }{2}},\pi \right]}$

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}=\sec y\tan y=|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}$

(El valor absoluto en la expresión es necesario ya que el producto de la secante por la tangente en el intervalo de y siempre es no negativo, mientras que el radical siempre es no negativo por definición de la raíz cuadrada principal, por lo que el factor restante también debe ser no negativo, lo que se logra utilizando el valor absoluto de x). ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}-1}}}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}$

Usando la regla de la cadena

Alternativamente, la derivada del arcosecante puede derivarse de la derivada del arcocoseno utilizando la regla de la cadena .

Dejar

${\displaystyle y=\operatorname {arcsec} x=\arccos \left({\frac {1}{x}}\right)}$

Dónde

${\displaystyle |x|\geq 1}$y ${\displaystyle y\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right)\cup \left({\frac {\pi }{2}},\pi \right]}$

Luego, aplicando la regla de la cadena a : ${\displaystyle \arccos \left({\frac {1}{x}}\right)}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {1}{x}})^{2}}}}\cdot \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)={\frac {1}{x^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}}}={\frac {1}{x^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{\sqrt {x^{2}}}}}}={\frac {1}{{\sqrt {x^{2}}}{\sqrt {x^{2}-1}}}}={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}$

Diferenciación de la función cosecante inversa

Utilizando la diferenciación implícita

Dejar

${\displaystyle y=\operatorname {arccsc} x\ \mid |x|\geq 1}$

Entonces

${\displaystyle x=\csc y\ \mid \ y\in \left[-{\frac {\pi }{2}},0\right)\cup \left(0,{\frac {\pi }{2}}\right]}$

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}=-\csc y\cot y=-|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}$

(El valor absoluto en la expresión es necesario ya que el producto de la cosecante y la cotangente en el intervalo de y siempre es no negativo, mientras que el radical siempre es no negativo por definición de la raíz cuadrada principal, por lo que el factor restante también debe ser no negativo, lo que se logra utilizando el valor absoluto de x). ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}-1}}}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {-1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}$

Usando la regla de la cadena

Alternativamente, la derivada del arcocosecante puede derivarse de la derivada del arcoseno utilizando la regla de la cadena .

Dejar

${\displaystyle y=\operatorname {arccsc} x=\arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)}$

Dónde

${\displaystyle |x|\geq 1}$y ${\displaystyle y\in \left[-{\frac {\pi }{2}},0\right)\cup \left(0,{\frac {\pi }{2}}\right]}$

Luego, aplicando la regla de la cadena a : ${\displaystyle \arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {1}{x}})^{2}}}}\cdot \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)=-{\frac {1}{x^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}}}=-{\frac {1}{x^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{\sqrt {x^{2}}}}}}=-{\frac {1}{{\sqrt {x^{2}}}{\sqrt {x^{2}-1}}}}=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}$

Véase también

• Cálculo  – Rama de las matemáticas
• Derivada  – Tasa instantánea de cambio (matemáticas)
• Reglas de diferenciación  – Reglas para calcular derivadas de funciones
• Regla general de Leibniz  – Generalización de la regla del producto en cálculo
• Funciones inversas y diferenciación  – Cálculo de identidadesPages displaying short descriptions of redirect targets
• Linealidad de la diferenciación  – Propiedad del cálculo
• Lista de integrales de funciones trigonométricas inversas
• Lista de identidades trigonométricas  – Igualdades que involucran funciones trigonométricas
• Trigonometría  – Área de geometría, sobre ángulos y longitudes

Referencias

Bibliografía

• Manual de funciones matemáticas , editado por Abramowitz y Stegun, Oficina Nacional de Normas, Serie de Matemáticas Aplicadas, 55 (1964)