Regla de la función inversa

Identidad de cálculo

La curva gruesa azul y la curva gruesa roja son inversas entre sí. Una curva fina es la derivada de la curva gruesa del mismo color. Regla de la función inversa: Ejemplo para arbitrario :
${\displaystyle {\color {CornflowerBlue}{f'}}(x)={\frac {1}{{\color {Salmon}{(f^{-1})'}}({\color {Blue}{f}}(x))}}}$

${\displaystyle x_{0}\approx 5.8}$
${\displaystyle {\color {CornflowerBlue}{f'}}(x_{0})={\frac {1}{4}}}$
${\displaystyle {\color {Salmon}{(f^{-1})'}}({\color {Blue}{f}}(x_{0}))=4~}$

En cálculo , la regla de la función inversa es una fórmula que expresa la derivada de la inversa de una función biyectiva y diferenciable f en términos de la derivada de f . Más precisamente, si la inversa de se denota como , donde si y solo si , entonces la regla de la función inversa es, en la notación de Lagrange , ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)=x}$ ${\displaystyle f(x)=y}$

${\displaystyle \left[f^{-1}\right]'(a)={\frac {1}{f'\left(f^{-1}(a)\right)}}}$.

Esta fórmula se cumple en general siempre que sea continua e inyectiva en un intervalo I , con siendo diferenciable en ( ) y donde . La misma fórmula también es equivalente a la expresión ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}(a)}$ ${\displaystyle \in I}$ ${\displaystyle f'(f^{-1}(a))\neq 0}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}\left[f^{-1}\right]={\frac {1}{({\mathcal {D}}f)\circ \left(f^{-1}\right)}},}$

donde denota el operador derivado unario (en el espacio de funciones) y denota la composición de la función . ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle \circ }$

Geométricamente, una función y una función inversa tienen gráficas que son reflexiones en la línea . Esta operación de reflexión convierte el gradiente de cualquier línea en su recíproco . ^[1] ${\displaystyle y=x}$

Suponiendo que tiene una inversa en un entorno de y que su derivada en ese punto no es cero, se garantiza que su inversa es diferenciable en y tiene una derivada dada por la fórmula anterior. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

La regla de la función inversa también puede expresarse en la notación de Leibniz . Como sugiere esa notación,

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}\,\cdot \,{\frac {dy}{dx}}=1.}$

Esta relación se obtiene diferenciando la ecuación en términos de x y aplicando la regla de la cadena , obteniéndose que: ${\displaystyle f^{-1}(y)=x}$

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}\,\cdot \,{\frac {dy}{dx}}={\frac {dx}{dx}}}$

considerando que la derivada de x con respecto a x es 1.

Derivación

Sea una función invertible (biyectiva), sea en el dominio de , y sea en el codominio de . Como f es una función biyectiva, está en el rango de . Esto también significa que está en el dominio de , y que está en el codominio de . Como es una función invertible, sabemos que . La regla de la función inversa se puede obtener tomando la derivada de esta ecuación. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(f^{-1}(y))=y}$

${\displaystyle {\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}f(f^{-1}(y))={\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}y}$

El lado derecho es igual a 1 y la regla de la cadena se puede aplicar al lado izquierdo:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dfrac {\mathrm {d} \left(f(f^{-1}(y))\right)}{\mathrm {d} \left(f^{-1}(y)\right)}}{\dfrac {\mathrm {d} \left(f^{-1}(y)\right)}{\mathrm {d} y}}&=1\\{\dfrac {\mathrm {d} f(f^{-1}(y))}{\mathrm {d} f^{-1}(y)}}{\dfrac {\mathrm {d} f^{-1}(y)}{\mathrm {d} y}}&=1\\f^{\prime }(f^{-1}(y))(f^{-1})^{\prime }(y)&=1\end{aligned}}}$

Reorganizando entonces se obtiene

${\displaystyle (f^{-1})^{\prime }(y)={\frac {1}{f^{\prime }(f^{-1}(y))}}}$

En lugar de usar como variable, podemos reescribir esta ecuación usando como entrada para , y obtenemos lo siguiente: ^[2] ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f^{-1}}$

${\displaystyle (f^{-1})^{\prime }(a)={\frac {1}{f^{\prime }\left(f^{-1}(a)\right)}}}$

Ejemplos

• ${\displaystyle y=x^{2}}$(para x positivo ) tiene inversa . ${\displaystyle x={\sqrt {y}}}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=2x{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{2{\sqrt {y}}}}={\frac {1}{2x}}}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}=2x\cdot {\frac {1}{2x}}=1.}$

Sin embargo, en , hay un problema: la gráfica de la función raíz cuadrada se vuelve vertical, lo que corresponde a una tangente horizontal para la función cuadrada. ${\displaystyle x=0}$

• ${\displaystyle y=e^{x}}$(para x real ) tiene inversa (para x positivo ) ${\displaystyle x=\ln {y}}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=e^{x}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{y}}=e^{-x}}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}=e^{x}\cdot e^{-x}=1.}$

Propiedades adicionales

• La integración de esta relación da

${\displaystyle {f^{-1}}(x)=\int {\frac {1}{f'({f^{-1}}(x))}}\,{dx}+C.}$

Esto solo es útil si la integral existe. En particular, necesitamos que no sea cero en todo el rango de integración. ${\displaystyle f'(x)}$

De ello se deduce que una función que tiene una derivada continua tiene una inversa en un entorno de cada punto donde la derivada no es cero. Esto no tiene por qué ser así si la derivada no es continua.

• Otra propiedad muy interesante y útil es la siguiente:

${\displaystyle \int f^{-1}(x)\,{dx}=xf^{-1}(x)-F(f^{-1}(x))+C}$

Donde denota la antiderivada de . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$

• La inversa de la derivada de f(x) también es de interés, ya que se utiliza para mostrar la convexidad de la transformada de Legendre .

Supongamos entonces que : Esto se puede demostrar utilizando la notación anterior . Entonces tenemos: ${\displaystyle z=f'(x)}$ ${\displaystyle f''(x)\neq 0}$ $${\displaystyle {\frac {d(f')^{-1}(z)}{dz}}={\frac {1}{f''(x)}}}$$ ${\displaystyle y=f(x)}$

$${\displaystyle f'(x)={\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dz}}{\frac {dz}{dx}}={\frac {dy}{dz}}f''(x)\Rightarrow {\frac {dy}{dz}}={\frac {f'(x)}{f''(x)}}}$$Por lo tanto:

${\displaystyle {\frac {d(f')^{-1}(z)}{dz}}={\frac {dx}{dz}}={\frac {dy}{dz}}{\frac {dx}{dy}}={\frac {f'(x)}{f''(x)}}{\frac {1}{f'(x)}}={\frac {1}{f''(x)}}}$

Por inducción, podemos generalizar este resultado para cualquier entero , con , la derivada n de f(x), y , suponiendo : ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle z=f^{(n)}(x)}$ ${\displaystyle y=f^{(n-1)}(x)}$ ${\displaystyle f^{(i)}(x)\neq 0{\text{ for }}0<i\leq n+1}$

${\displaystyle {\frac {d(f^{(n)})^{-1}(z)}{dz}}={\frac {1}{f^{(n+1)}(x)}}}$

Derivadas superiores

La regla de la cadena dada anteriormente se obtiene derivando la identidad con respecto a x . Se puede continuar el mismo proceso para derivadas superiores. Derivando la identidad dos veces con respecto a x , se obtiene ${\displaystyle f^{-1}(f(x))=x}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}+{\frac {d}{dx}}\left({\frac {dx}{dy}}\right)\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)=0,}$

Esto se simplifica aún más mediante la regla de la cadena como

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,{\frac {dx}{dy}}+{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}=0.}$

Reemplazando la primera derivada, utilizando la identidad obtenida anteriormente, obtenemos

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=-{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{3}.}$

De manera similar para la tercera derivada:

${\displaystyle {\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}=-{\frac {d^{3}x}{dy^{3}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{4}-3{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}$

o utilizando la fórmula para la segunda derivada,

${\displaystyle {\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}=-{\frac {d^{3}x}{dy^{3}}}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{4}+3\left({\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\right)^{2}\,\cdot \,\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{5}}$

Estas fórmulas se generalizan mediante la fórmula de Faà di Bruno .

Estas fórmulas también se pueden escribir utilizando la notación de Lagrange. Si f y g son inversas, entonces

${\displaystyle g''(x)={\frac {-f''(g(x))}{[f'(g(x))]^{3}}}}$

Ejemplo

• ${\displaystyle y=e^{x}}$tiene la inversa . Utilizando la fórmula para la segunda derivada de la función inversa, ${\displaystyle x=\ln y}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=e^{x}=y{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{3}=y^{3};}$

de modo que

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}\,\cdot \,y^{3}+y=0{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }};{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\mbox{ }}{\frac {d^{2}x}{dy^{2}}}=-{\frac {1}{y^{2}}}}$,

lo que concuerda con el cálculo directo.

Véase también

• Portal de matemáticas

• Cálculo  – Rama de las matemáticas
• Regla de la cadena  – Para derivadas de funciones compuestas
• Diferenciación de funciones trigonométricas  – Proceso matemático para hallar la derivada de una función trigonométrica
• Reglas de diferenciación  – Reglas para calcular derivadas de funciones
• Teorema de la función implícita  : sobre la conversión de relaciones en funciones de varias variables reales
• Integración de funciones inversas  – Teorema matemático, utilizado en cálculoPages displaying short descriptions of redirect targets
• Función inversa  – Concepto matemático
• Teorema de la función inversa  – Teorema en matemáticas
• Tabla de derivadas  – Reglas para calcular derivadas de funcionesPages displaying short descriptions of redirect targets
• Identidades del cálculo vectorial  – Identidades matemáticas

Referencias

1. "Derivadas de funciones inversas". oregonstate.edu . Archivado desde el original el 2021-04-10 . Consultado el 2019-07-26 .
2. "Derivadas de funciones inversas". Khan Academy . Consultado el 23 de abril de 2022 .

• Marsden, Jerrold E.; Weinstein, Alan (1981). "Capítulo 8: Funciones inversas y la regla de la cadena". Cálculo ilimitado (PDF) . Menlo Park, California: Benjamin/Cummings Pub. Co. ISBN 0-8053-6932-5.