Transformación de Legendre

Transformación matemática

La función se define en el intervalo . Para un dado , la diferencia toma el máximo en . Por tanto, la transformación de Legendre de es . ${\displaystyle f(x)}$ ${\textstyle [a,b]}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle px-f(x)}$ ${\displaystyle x'}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f^{*}(p)=px'-f(x')}$

En matemáticas , la transformación de Legendre (o transformada de Legendre ), introducida por primera vez por Adrien-Marie Legendre en 1787 al estudiar el problema de superficie mínima, ^[1] es una transformación involutiva sobre funciones con valores reales que son convexas sobre una variable real. Específicamente, si una función multivariable de valor real es convexa en una de sus variables reales independientes, entonces la transformada de Legendre con respecto a esta variable es aplicable a la función.

En problemas físicos, la transformada de Legendre se utiliza para convertir funciones de una cantidad (como posición, presión o temperatura) en funciones de la cantidad conjugada (momento, volumen y entropía, respectivamente). De este modo, se utiliza habitualmente en mecánica clásica para derivar el formalismo hamiltoniano a partir del formalismo lagrangiano (o viceversa) y en termodinámica para derivar los potenciales termodinámicos , así como en la solución de ecuaciones diferenciales de varias variables.

Para funciones suficientemente suaves en la recta real, la transformada de Legendre de una función se puede especificar, hasta una constante aditiva, mediante la condición de que las primeras derivadas de las funciones sean funciones inversas entre sí. Esto se puede expresar en la notación derivada de Euler como ${\displaystyle f^{*}}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle Df(\cdot )=\left(Df^{*}\right)^{-1}(\cdot )~,}$$

${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle (\phi )^{-1}(\cdot )}$ ${\displaystyle (\phi )^{-1}(\phi (x))=x}$

o de manera equivalente, como y en la notación de Lagrange . ${\displaystyle f'(f^{*\prime }(x^{*}))=x^{*}}$ ${\displaystyle f^{*\prime }(f'(x))=x}$

La generalización de la transformación de Legendre a espacios afines y funciones no convexas se conoce como conjugada convexa (también llamada transformación de Legendre-Fenchel), que se puede utilizar para construir el casco convexo de una función .

Definición

Definición en ℝ

Sea un intervalo y una función convexa ; entonces la transformada de Legendre es la función definida por ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{*}:I^{*}\to \mathbb {R} }$

$${\displaystyle f^{*}(x^{*})=\sup _{x\in I}(x^{*}x-f(x)),\ \ \ \ I^{*}=\left\{x^{*}\in \mathbb {R} :f^{*}(x^{*})<\infty \right\}~}$$

supremo ${\textstyle \sup }$ ${\displaystyle I}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle I}$ ${\textstyle x^{*}x-f(x)}$ ${\textstyle x^{*}}$ ${\textstyle x^{*}}$ ${\displaystyle x^{*}x-f(x)}$ ${\textstyle x}$ ${\displaystyle f(x)}$

La transformación siempre está bien definida cuando es convexa . Esta definición requiere estar limitada desde arriba para que exista el supremo. ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x^{*}x-f(x)}$ ${\displaystyle I}$

Definición en ℝ n

La generalización a funciones convexas en un conjunto convexo es sencilla: tiene dominio ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f^{*}:X^{*}\to \mathbb {R} }$

$${\displaystyle X^{*}=\left\{x^{*}\in \mathbb {R} ^{n}:\sup _{x\in X}(\langle x^{*},x\rangle -f(x))<\infty \right\}}$$

$${\displaystyle f^{*}(x^{*})=\sup _{x\in X}(\langle x^{*},x\rangle -f(x)),\quad x^{*}\in X^{*}~,}$$

producto escalar ${\displaystyle \langle x^{*},x\rangle }$ ${\displaystyle x^{*}}$ ${\displaystyle x}$

La función se llama función conjugada convexa de . Por razones históricas (basadas en la mecánica analítica), la variable conjugada a menudo se denota como , en lugar de . Si la función convexa está definida en toda la recta y es diferenciable en todas partes , entonces ${\displaystyle f^{*}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x^{*}}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle f^{*}(p)=\sup _{x\in I}(px-f(x))=\left(px-f(x)\right)|_{x=(f')^{-1}(p)}}$$

intersecciónrecta tangentegráfica ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$

La transformación de Legendre es una aplicación de la relación de dualidad entre puntos y líneas. La relación funcional especificada por se puede representar igualmente bien como un conjunto de puntos o como un conjunto de rectas tangentes especificadas por sus valores de pendiente e intersección. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (x,y)}$

Comprender la transformada de Legendre en términos de derivadas

Para una función convexa diferenciable en la recta real con la primera derivada y su inversa , la transformada de Legendre de , puede especificarse, hasta una constante aditiva, mediante la condición de que las primeras derivadas de las funciones sean funciones inversas entre sí, es decir , y . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle (f')^{-1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{*}}$ ${\displaystyle f'=((f^{*})')^{-1}}$ ${\displaystyle (f^{*})'=(f')^{-1}}$

Para ver esto, primero tenga en cuenta que si una función convexa en la recta real es derivable y es un punto crítico de la función de , entonces el supremo se logra en (por convexidad, vea la primera figura en esta página de Wikipedia). Por lo tanto, la transformada de Legendre es . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\overline {x}}}$ ${\displaystyle x\mapsto p\cdot x-f(x)}$ ${\textstyle {\overline {x}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{*}(p)=p\cdot {\overline {x}}-f({\overline {x}})}$

Entonces, supongamos que la primera derivada es invertible y sea la inversa . Entonces, para cada , el punto es el único punto crítico de la función (es decir, ) porque y la primera derivada de la función con respecto a en es . Por lo tanto tenemos para cada uno . Diferenciando con respecto a , encontramos ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle g=(f')^{-1}}$ ${\textstyle p}$ ${\displaystyle g(p)}$ ${\textstyle {\overline {x}}}$ ${\displaystyle x\mapsto px-f(x)}$ ${\displaystyle {\overline {x}}=g(p)}$ ${\displaystyle f'(g(p))=p}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle g(p)}$ ${\displaystyle p-f'(g(p))=0}$ ${\displaystyle f^{*}(p)=p\cdot g(p)-f(g(p))}$ ${\textstyle p}$ ${\textstyle p}$

$${\displaystyle (f^{*})'(p)=g(p)+p\cdot g'(p)-f'(g(p))\cdot g'(p).}$$

y son inversas entre sí ${\displaystyle f'(g(p))=p}$ ${\displaystyle (f^{*})'(p)=g(p)=(f')^{-1}(p)}$ ${\displaystyle (f^{*})'}$ ${\displaystyle f'}$

En general, si es la inversa de , entonces la integración da . con una constante . ${\displaystyle h'=(f')^{-1}}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle h'=(f^{*})'}$ ${\displaystyle f^{*}=h+c}$ ${\displaystyle c}$

En términos prácticos, dado , la gráfica paramétrica de versus equivale a la gráfica de versus . ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle xf'(x)-f(x)}$ ${\displaystyle f'(x)}$ ${\displaystyle f^{*}(p)}$ ${\displaystyle p}$

En algunos casos (por ejemplo, potenciales termodinámicos, a continuación), se utiliza un requisito no estándar, lo que equivale a una definición alternativa de f * con un signo menos .

$${\displaystyle f(x)-f^{*}(p)=xp.}$$

Definición formal en el contexto de la física

En mecánica analítica y termodinámica, la transformación de Legendre generalmente se define de la siguiente manera: supongamos que es una función de , entonces tenemos ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \mathrm {d} f={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}\mathrm {d} x}$.

realizar la transformación de Legendre en esta función significa que tomamos como variable independiente, de modo que la expresión anterior se puede escribir como ${\displaystyle p={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}}$

${\displaystyle \mathrm {d} f=p\mathrm {d} x}$,

y según la regla de Leibniz , entonces tenemos ${\displaystyle \mathrm {d} (uv)=u\mathrm {d} v+v\mathrm {d} u}$

${\displaystyle \mathrm {d} \left(xp-f\right)=x\mathrm {d} p}$,

y tomando , tenemos , lo que significa ${\displaystyle f^{*}=xp-f}$ ${\displaystyle \mathrm {d} f^{*}=x\mathrm {d} p}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f^{*}}{\mathrm {d} p}}=x.}$

Cuando es una función de variables , entonces podemos realizar la transformación de Legendre sobre cada una o varias variables: tenemos ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}}$

${\displaystyle \mathrm {d} f=p_{1}\mathrm {d} x_{1}+p_{2}\mathrm {d} x_{2}+\cdots +p_{n}\mathrm {d} x_{n}}$

dónde . Entonces, si queremos realizar la transformación de Legendre, por ejemplo , tomamos junto con variables independientes y con la regla de Leibniz tenemos ${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle p_{1}}$ ${\displaystyle x_{2},\cdots ,x_{n}}$

${\displaystyle \mathrm {d} (f-x_{1}p_{1})=-x_{1}\mathrm {d} p_{1}+p_{2}\mathrm {d} x_{2}+\cdots +p_{n}\mathrm {d} x_{n}}$.

entonces para la función , tenemos ${\displaystyle \varphi (p_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})=f(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})-x_{1}p_{1}}$

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial p_{1}}}=-x_{1},\quad {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{2}}}=p_{2},\quad \cdots ,\quad {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{n}}}=p_{n}}$.

También podemos hacer esta transformación para variables . Si lo hacemos con todas las variables, entonces tenemos ${\displaystyle x_{2},\cdots ,x_{n}}$

${\displaystyle \mathrm {d} \varphi =-x_{1}\mathrm {d} p_{1}-x_{2}\mathrm {d} p_{2}-\cdots -x_{n}\mathrm {d} p_{n}}$dónde . ${\displaystyle \varphi =f-x_{1}p_{1}-x_{2}p_{2}-\cdots -x_{n}p_{n}}$

En mecánica analítica, la gente realiza esta transformación en variables del Lagrangiano para obtener el Hamiltoniano: ${\displaystyle {\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},\cdots ,{\dot {q}}_{n}}$ ${\displaystyle L(q_{1},\cdots ,q_{n},{\dot {q}}_{1},\cdots ,{\dot {q}}_{n})}$

${\displaystyle H(q_{1},\cdots ,q_{n},p_{1},\cdots ,p_{n})=\sum _{i=1}^{n}p_{i}{\dot {q}}_{i}-L(q_{1},\cdots ,q_{n},{\dot {q}}_{1}\cdots ,{\dot {q}}_{n})}$

y en termodinámica, las personas realizan esta transformación sobre variables según el tipo de sistema termodinámico que desean. Por ejemplo, partiendo de la función cardinal del estado, la energía interna , tenemos ${\displaystyle U(S,V)}$

${\displaystyle \mathrm {d} U=T\mathrm {d} S-p\mathrm {d} V}$,

podemos realizar la transformación de Legendre en uno o ambos de los rendimientos ${\displaystyle S,V}$

${\displaystyle \mathrm {d} H=\mathrm {d} (U+pV)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\ \ \ \ T\mathrm {d} S+V\mathrm {d} p}$

${\displaystyle \mathrm {d} F=\mathrm {d} (U-TS)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =-S\mathrm {d} T-p\mathrm {d} V}$

${\displaystyle \mathrm {d} G=\mathrm {d} (U-TS+pV)=-S\mathrm {d} T+V\mathrm {d} p}$

y cada una de estas tres expresiones tiene un significado físico.

Esta definición de transformación de Legendre es la introducida originalmente por Legendre en su trabajo de 1787, ^[1] y todavía aplicada por los físicos en la actualidad. De hecho, esta definición puede ser matemáticamente rigurosa si tratamos todas las variables y funciones definidas anteriormente, por ejemplo, como funciones diferenciables definidas en un conjunto abierto o en una variedad diferenciable, y sus diferenciales (que se tratan como campos vectoriales cotangentes en el contexto de variedad diferenciable). Y esta definición es equivalente a la definición de los matemáticos modernos siempre que sea diferenciable y convexa para las variables . ${\displaystyle f,x_{1},\cdots ,x_{n},p_{1},\cdots ,p_{n},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} f,\mathrm {d} x_{i},\mathrm {d} p_{i}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}}$

Propiedades

• La transformada de Legendre de una función convexa, cuyos valores de derivada doble son todos positivos, también es una función convexa cuyos valores de derivada doble son todos positivos.
  Prueba. Demostremos esto con una función doblemente diferenciable con todos los valores positivos de doble derivada y con una derivada biyectiva (invertible). ${\displaystyle f(x)}$
  Para un valor fijo , maximicemos o hagamos que la función sea acotada . Entonces la transformación de Legendre de es , por tanto, ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\bar {x}}}$ ${\displaystyle px-f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{*}(p)=p{\bar {x}}-f({\bar {x}})}$
  $${\displaystyle f'({\bar {x}})=p}$$
  por la condición maximizadora o límite . Tenga en cuenta que depende de . (Esto se puede mostrar visualmente en la primera figura de esta página arriba). ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(px-f(x))=p-f'(x)=0}$ ${\displaystyle {\bar {x}}}$ ${\displaystyle p}$
  Por lo tanto , donde , lo que significa que es el inverso de eso es la derivada de (so ). ${\displaystyle {\bar {x}}=g(p)}$ ${\displaystyle g\equiv (f')^{-1}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f'(g(p))=p}$
  Tenga en cuenta que también es diferenciable con la siguiente derivada (regla de la función inversa) , ${\displaystyle g}$
  $${\displaystyle {\frac {dg(p)}{dp}}={\frac {1}{f''(g(p))}}~.}$$
  Por tanto, la transformación de Legendre es la composición de funciones diferenciables, por tanto es diferenciable. ${\displaystyle f^{*}(p)=pg(p)-f(g(p))}$
  Aplicando la regla del producto y la regla de la cadena con la igualdad encontrada se obtiene ${\displaystyle {\bar {x}}=g(p)}$
  $${\displaystyle {\frac {d(f^{*})}{dp}}=g(p)+\left(p-f'(g(p))\right)\cdot {\frac {dg(p)}{dp}}=g(p),}$$
  donación
  $${\displaystyle {\frac {d^{2}(f^{*})}{dp^{2}}}={\frac {dg(p)}{dp}}={\frac {1}{f''(g(p))}}>0,}$$
  también es convexo y sus dobles derivadas son todas positivas. ${\displaystyle f^{*}}$
• La transformación de Legendre es una involución , es decir ,. ${\displaystyle f^{**}=f~}$
  Prueba. Al utilizar las identidades anteriores como , y su derivada , ${\displaystyle f'({\bar {x}})=p}$ ${\displaystyle {\bar {x}}=g(p)}$ ${\displaystyle f^{*}(p)=p{\bar {x}}-f({\bar {x}})}$ ${\displaystyle (f^{*})'(p)=g(p)}$
  $${\displaystyle {\begin{aligned}f^{**}(y)&{}=\left(y\cdot {\bar {p}}-f^{*}({\bar {p}})\right)|_{(f^{*})'({\bar {p}})=y}\\[5pt]&{}=g({\bar {p}})\cdot {\bar {p}}-f^{*}({\bar {p}})\\[5pt]&{}=g({\bar {p}})\cdot {\bar {p}}-({\bar {p}}g({\bar {p}})-f(g({\bar {p}})))\\[5pt]&{}=f(g({\bar {p}}))\\[5pt]&{}=f(y)~.\end{aligned}}}$$
  Tenga en cuenta que esta derivación no requiere que la condición tenga todos los valores positivos en la derivada doble de la función original . ${\displaystyle f}$

Identidades

Como se muestra arriba, para una función convexa , maximizando o acotando en cada uno para definir la transformada de Legendre y con , se mantienen las siguientes identidades. ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x={\bar {x}}}$ ${\displaystyle px-f(x)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f^{*}(p)=p{\bar {x}}-f({\bar {x}})}$ ${\displaystyle g\equiv (f')^{-1}}$

• ${\displaystyle f'({\bar {x}})=p}$,
• ${\displaystyle {\bar {x}}=g(p)}$,
• ${\displaystyle (f^{*})'(p)=g(p)}$.

Ejemplos

Ejemplo 1

${\displaystyle f(x)=e^{x}}$sobre el dominio se traza en rojo y su transformación de Legendre sobre el dominio en azul discontinuo. Tenga en cuenta que la transformada de Legendre parece convexa. ${\displaystyle I=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle f^{*}(x^{*})=x^{*}(\ln(x^{*})-1)}$ ${\displaystyle I^{*}=(0,\infty )}$

Considere la función exponencial que tiene el dominio . Según la definición, la transformada de Legendre es ${\displaystyle f(x)=e^{x},}$ ${\displaystyle I=\mathbb {R} }$

$${\displaystyle f^{*}(x^{*})=\sup _{x\in \mathbb {R} }(x^{*}x-e^{x}),\quad x^{*}\in I^{*}}$$

supremo ${\displaystyle I^{*}}$ ${\displaystyle x^{*}x-e^{x}}$ ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(x^{*}x-e^{x})=x^{*}-e^{x}=0.}$$

segunda derivada ${\displaystyle -e^{x}}$ ${\displaystyle x=\ln(x^{*})}$

$${\displaystyle f^{*}(x^{*})=x^{*}\ln(x^{*})-e^{\ln(x^{*})}=x^{*}(\ln(x^{*})-1)}$$

dominios ${\displaystyle I^{*}=(0,\infty ).}$

Para encontrar la transformación de Legendre de la transformación de Legendre de , ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle f^{**}(x)=\sup _{x^{*}\in \mathbb {R} }(xx^{*}-x^{*}(\ln(x^{*})-1)),\quad x\in I,}$$

de involución ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f^{**}}$ ${\displaystyle f^{**}=f}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}0&={\frac {d}{dx^{*}}}{\big (}xx^{*}-x^{*}(\ln(x^{*})-1){\big )}=x-\ln(x^{*})\end{aligned}}}$$

${\displaystyle x^{*}=e^{x}}$ ${\displaystyle {\frac {d^{2}}{{dx^{*}}^{2}}}f^{**}(x)=-{\frac {1}{x^{*}}}<0}$ ${\displaystyle f^{**}}$ ${\displaystyle I^{*}=(0,\infty ).}$ ${\displaystyle f^{**}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}f^{**}(x)&=xe^{x}-e^{x}(\ln(e^{x})-1)=e^{x},\end{aligned}}}$$

${\displaystyle f=f^{**},}$

Ejemplo 2

Sea f ( x ) = cx ² definido en R , donde c > 0 es una constante fija.

Para x * fijo, la función de x , x * x − f ( x ) = x * x − cx ² tiene la primera derivada x * − 2 cx y la segunda derivada −2 c ; hay un punto estacionario en x = x */2 c , que siempre es un máximo.

Por lo tanto, I * = R y

$${\displaystyle f^{*}(x^{*})={\frac {{x^{*}}^{2}}{4c}}~.}$$

Las primeras derivadas de f , 2 cx y de f * , x */(2 c ) , son funciones inversas entre sí. Claramente, además,

$${\displaystyle f^{**}(x)={\frac {1}{4(1/4c)}}x^{2}=cx^{2}~,}$$

f ** = f

Ejemplo 3

Sea f ( x ) = x ² para x ∈ ( I = [2, 3]) .

Para x * fijo, x * x − f ( x ) es continuo en I compacto , por lo tanto, siempre toma un máximo finito; de ello se deduce que el dominio de la transformada de Legendre es I * = R . ${\displaystyle f}$

El punto estacionario en x = x */2 (que se encuentra estableciendo que la primera derivada de x * x − f ( x ) con respecto a cero) está en el dominio [2, 3] si y solo si 4 ≤ x *≤6 . De lo contrario, el máximo se toma en x = 2 o x = 3 porque la segunda derivada de x * x − f ( x ) con respecto a es negativa como ; para una parte del dominio el máximo que x * x − f ( x ) puede tomar con respecto a se obtiene en mientras que para se convierte en el máximo en . Así, se deduce que ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle -2}$ ${\displaystyle x^{*}<4}$ ${\displaystyle x\in [2,3]}$ ${\displaystyle x=2}$ ${\displaystyle x^{*}>6}$ ${\displaystyle x=3}$

$${\displaystyle f^{*}(x^{*})={\begin{cases}2x^{*}-4,&x^{*}<4\\{\frac {{x^{*}}^{2}}{4}},&4\leq x^{*}\leq 6,\\3x^{*}-9,&x^{*}>6.\end{cases}}}$$

Ejemplo 4

La función f ( x ) = cx es convexa, para cada x (no se requiere una convexidad estricta para que la transformación de Legendre esté bien definida). Claramente x * x − f ( x ) = ( x * − c ) x nunca está acotado desde arriba como función de x , a menos que x * − c = 0 . Por lo tanto, f * se define en I * = { c } y f *( c ) = 0 . (La definición de la transformada de Legendre requiere la existencia del supremo , que requiere límites superiores).

Se puede comprobar la involutividad: por supuesto, x * x − f *( x *) siempre está acotado en función de x *∈{ c } , por lo tanto I ** = R . Entonces, para todo x uno tiene

$${\displaystyle \sup _{x^{*}\in \{c\}}(xx^{*}-f^{*}(x^{*}))=xc,}$$

f **( x ) = cx = f ( x )

Ejemplo 5

Como ejemplo de una función continua convexa que no es diferenciable en todas partes, considere . Esto da ${\displaystyle f(x)=|x|}$

$${\displaystyle f^{*}(x^{*})=\sup _{x}(xx^{*}-|x|)=\max \left(\sup _{x\geq 0}x(x^{*}-1),\,\sup _{x\leq 0}x(x^{*}+1)\right),}$$

${\displaystyle f^{*}(x^{*})=0}$ ${\displaystyle I^{*}=[-1,1]}$

Ejemplo 6: varias variables

Dejar

$${\displaystyle f(x)=\langle x,Ax\rangle +c}$$

X = R ⁿA

Entonces f es convexa y

$${\displaystyle \langle p,x\rangle -f(x)=\langle p,x\rangle -\langle x,Ax\rangle -c,}$$

p − 2 AxHessian −2 Ax = A ⁻¹ p /2

Tenemos X * = R ⁿ , y

$${\displaystyle f^{*}(p)={\frac {1}{4}}\langle p,A^{-1}p\rangle -c.}$$

Comportamiento de los diferenciales bajo las transformadas de Legendre

La transformada de Legendre está vinculada a la integración por partes , p dx = d ( px ) − x dp .

Sea f ( x , y ) una función de dos variables independientes x e y , con el diferencial

$${\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial x}}\,dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}\,dy=p\,dx+v\,dy.}$$

Supongamos que la función f es convexa en x para todo y , de modo que se puede realizar la transformada de Legendre en f en x , con p la variable conjugada con x (para información, existe una relación donde hay un punto en x que maximiza o hace acotado para p e y dados ). Dado que la nueva variable independiente de la transformada con respecto a f es p , los diferenciales dx y dy en df pasan a dp y dy en el diferencial de la transformada, es decir, construimos otra función con su diferencial expresado en términos de la nueva base. dp y dy . ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}|_{\bar {x}}=p}$ ${\displaystyle {\bar {x}}}$ ${\displaystyle px-f(x,y)}$

Por tanto, consideramos la función g ( p , y ) = f − px de modo que

$${\displaystyle dg=df-p\,dx-x\,dp=-x\,dp+v\,dy}$$

$${\displaystyle x=-{\frac {\partial g}{\partial p}}}$$

$${\displaystyle v={\frac {\partial g}{\partial y}}.}$$

La función −g ( p , y ) es la transformada de Legendre de f ( x , y ) , donde sólo la variable independiente x ha sido suplantada por p . Esto se usa ampliamente en termodinámica , como se ilustra a continuación.

Aplicaciones

Mecánica analítica

Una transformada de Legendre se utiliza en mecánica clásica para derivar la formulación hamiltoniana a partir de la formulación lagrangiana , y viceversa. Un lagrangiano típico tiene la forma

$${\displaystyle L(v,q)={\tfrac {1}{2}}\langle v,Mv\rangle -V(q),}$$

R ⁿ × R ⁿM ${\displaystyle (v,q)}$

$${\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum _{j}x_{j}y_{j}.}$$

Para cada q fija, es una función convexa de , mientras que desempeña el papel de una constante. ${\displaystyle L(v,q)}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle V(q)}$

Por lo tanto, la transformada de Legendre en función de es la función hamiltoniana, ${\displaystyle L(v,q)}$ ${\displaystyle v}$

$${\displaystyle H(p,q)={\tfrac {1}{2}}\langle p,M^{-1}p\rangle +V(q).}$$

En un entorno más general, son coordenadas locales en el paquete tangente de una variedad . Para cada q , es una función convexa del espacio tangente V _q . La transformada de Legendre da el hamiltoniano en función de las coordenadas ( p , q ) del paquete cotangente ; el producto interno utilizado para definir la transformada de Legendre se hereda de la estructura simpléctica canónica pertinente . En este contexto abstracto, la transformación de Legendre corresponde a la forma única tautológica . ^{[ Se necesita más explicación ]} ${\displaystyle (v,q)}$ ${\displaystyle T{\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle L(v,q)}$ ${\displaystyle H(p,q)}$ ${\displaystyle T^{*}{\mathcal {M}}}$

Termodinámica

La estrategia detrás del uso de las transformadas de Legendre en termodinámica es pasar de una función que depende de una variable a una nueva función (conjugada) que depende de una nueva variable, la conjugada de la original. La nueva variable es la derivada parcial de la función original con respecto a la variable original. La nueva función es la diferencia entre la función original y el producto de las variables antiguas y nuevas. Normalmente, esta transformación es útil porque cambia la dependencia de, por ejemplo, la energía de una variable extensiva a su variable intensiva conjugada, que a menudo puede controlarse más fácilmente en un experimento físico.

Por ejemplo, la energía interna U es una función explícita de las variables extensivas entropía S , volumen V y composición química Ni (p. ej. _, ) ${\displaystyle i=1,2,3,\ldots }$

$${\displaystyle U=U\left(S,V,\{N_{i}\}\right),}$$

$${\displaystyle dU=T\,dS-P\,dV+\sum \mu _{i}\,dN_{i}}$$

dónde . ${\displaystyle T=\left.{\frac {\partial U}{\partial S}}\right\vert _{V,N_{i\ for\ all\ i\ values}},P=\left.-{\frac {\partial U}{\partial V}}\right\vert _{S,N_{i\ for\ all\ i\ values}},\mu _{i}=\left.{\frac {\partial U}{\partial N_{i}}}\right\vert _{S,V,N_{j\ for\ all\ j\neq i}}}$

(Los subíndices no son necesarios para la definición de derivadas parciales, pero se dejan aquí para aclarar variables). Al estipular algún estado de referencia común, al utilizar la transformada de Legendre (no estándar) de la energía interna U con respecto al volumen V , la entalpía H puede obtenerse de la siguiente manera.

Para obtener la transformada de Legendre (estándar) de la energía interna U con respecto al volumen V , primero se define la función , luego se maximiza o se acota por V. Para ello es necesario que se cumpla la condición, así se obtiene. Este enfoque se justifica porque U es una función lineal con respecto a V (por lo tanto, una función convexa en V ) según la definición de variables extensivas . La transformación de Legendre no estándar aquí se obtiene negando la versión estándar, por lo que . ${\textstyle U^{*}}$ ${\textstyle u\left(p,S,V,\{{{N}_{i}}\}\right)=pV-U}$ ${\textstyle {\frac {\partial u}{\partial V}}=p-{\frac {\partial U}{\partial V}}=0\to p={\frac {\partial U}{\partial V}}}$ ${\textstyle U^{*}={\frac {\partial U}{\partial V}}V-U}$ ${\textstyle -U^{*}=H=U-{\frac {\partial U}{\partial V}}V=U+PV}$

H es definitivamente una función de estado ya que se obtiene sumando PV ( P y V como variables de estado ) a una función de estado , por lo que su diferencial es un diferencial exacto . Por y el hecho de que debe ser un diferencial exacto . ${\textstyle U=U\left(S,V,\{N_{i}\}\right)}$ ${\textstyle dH=T\,dS+V\,dP+\sum \mu _{i}\,dN_{i}}$ ${\displaystyle H=H(S,P,\{N_{i}\})}$

La entalpía es adecuada para la descripción de procesos en los que la presión se controla desde el entorno.

También es posible cambiar la dependencia de la energía de la variable extensiva de entropía, S , a la variable intensiva (a menudo más conveniente) T , lo que da como resultado las energías libres de Helmholtz y Gibbs . La energía libre de Helmholtz A y la energía de Gibbs G se obtienen realizando transformadas de Legendre de la energía interna y la entalpía, respectivamente,

$${\displaystyle A=U-TS~,}$$

$${\displaystyle G=H-TS=U+PV-TS~.}$$

La energía libre de Helmholtz suele ser el potencial termodinámico más útil cuando la temperatura y el volumen se controlan desde el entorno, mientras que la energía de Gibbs suele ser la más útil cuando la temperatura y la presión se controlan desde el entorno.

condensador variable

Como otro ejemplo de la física , considere un condensador de placas conductoras paralelas , en el que las placas pueden moverse entre sí. Un condensador de este tipo permitiría la transferencia de la energía eléctrica almacenada en el condensador en trabajo mecánico externo, realizado por la fuerza que actúa sobre las placas. Se puede pensar en la carga eléctrica como análoga a la "carga" de un gas en un cilindro , con la fuerza mecánica resultante ejercida sobre un pistón .

Calcule la fuerza sobre las placas en función de x , la distancia que las separa. Para encontrar la fuerza, calcule la energía potencial y luego aplique la definición de fuerza como el gradiente de la función de energía potencial.

La energía potencial electrostática almacenada en un capacitor de la capacitancia C ( x ) y una carga eléctrica positiva + Q o carga negativa - Q en cada placa conductora es (usando la definición de capacitancia como ), ${\textstyle C={\frac {Q}{V}}}$

$${\displaystyle U(Q,\mathbf {x} )={\frac {1}{2}}QV(Q,\mathbf {x} )={\frac {1}{2}}{\frac {Q^{2}}{C(\mathbf {x} )}},~}$$

donde la dependencia del área de las placas, la constante dieléctrica del material aislante entre las placas y la separación x se abstraen como la capacitancia C ( x ) . (Para un capacitor de placas paralelas, esto es proporcional al área de las placas e inversamente proporcional a la separación).

La fuerza F entre las placas debido al campo eléctrico creado por la separación de carga es entonces

$${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} )=-{\frac {dU}{d\mathbf {x} }}~.}$$

Si el capacitor no está conectado a ningún circuito eléctrico, entonces las cargas eléctricas en las placas permanecen constantes y el voltaje varía cuando las placas se mueven entre sí, y la fuerza es el gradiente negativo de la energía potencial electrostática como

$${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} )={\frac {1}{2}}{\frac {dC(\mathbf {x} )}{d\mathbf {x} }}{\frac {Q^{2}}{{C(\mathbf {x} )}^{2}}}={\frac {1}{2}}{\frac {dC(\mathbf {x} )}{d\mathbf {x} }}V(\mathbf {x} )^{2}}$$

donde la carga es fija en esta configuración. ${\textstyle V(Q,\mathbf {x} )=V(\mathbf {x} )}$

Sin embargo, supongamos en cambio que el voltaje entre las placas V se mantiene constante a medida que la placa se mueve mediante conexión a una batería , que es un depósito de cargas eléctricas con una diferencia de potencial constante. Entonces la cantidad de cargas es una variable en lugar del voltaje; y son los conjugados de Legendre entre sí. Para encontrar la fuerza, primero calcule la transformada de Legendre no estándar con respecto a (también usando ), ${\textstyle Q}$ ${\textstyle Q}$ ${\textstyle V}$ ${\textstyle U^{*}}$ ${\textstyle Q}$ ${\textstyle C={\frac {Q}{V}}}$

$${\displaystyle U^{*}=U-\left.{\frac {\partial U}{\partial Q}}\right|_{\mathbf {x} }\cdot Q=U-{\frac {1}{2C(\mathbf {x} )}}\left.{\frac {\partial Q^{2}}{\partial Q}}\right|_{\mathbf {x} }\cdot Q=U-QV={\frac {1}{2}}QV-QV=-{\frac {1}{2}}QV=-{\frac {1}{2}}V^{2}C(\mathbf {x} ).}$$

Esta transformación es posible porque ahora es una función lineal de entonces es convexa. La fuerza ahora se convierte en el gradiente negativo de esta transformada de Legendre, lo que da como resultado la misma fuerza obtenida de la función original . ${\textstyle U}$ ${\textstyle Q}$ ${\textstyle U}$

$${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} )=-{\frac {dU^{*}}{d\mathbf {x} }}={\frac {1}{2}}{\frac {dC(\mathbf {x} )}{d\mathbf {x} }}V^{2}.}$$

Las dos energías conjugadas y resultan ser opuestas entre sí (sus signos son opuestos), sólo debido a la linealidad de la capacitancia , excepto que ahora Q ya no es una constante. Reflejan las dos vías diferentes de almacenamiento de energía en el capacitor, lo que resulta, por ejemplo, en el mismo "tirón" entre las placas de un capacitor. ${\textstyle U}$ ${\textstyle U^{*}}$

Teoría de probabilidad

En la teoría de las grandes desviaciones , la función de tasa se define como la transformación de Legendre del logaritmo de la función generadora de momento de una variable aleatoria. Una aplicación importante de la función de tasa es el cálculo de probabilidades de cola de sumas de variables aleatorias iid , en particular en el teorema de Cramér .

Si son variables aleatorias iid, sea el paseo aleatorio asociado y la función generadora de momento de . Para , . Por lo tanto, por la desigualdad de Markov , se tiene para y ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle S_{n}=X_{1}+\cdots +X_{n}}$ ${\displaystyle M(\xi )}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle E[e^{\xi S_{n}}]=M(\xi )^{n}}$ ${\displaystyle \xi \geq 0}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$

$${\displaystyle P(S_{n}/n>a)\leq e^{-n\xi a}M(\xi )^{n}=\exp[-n(\xi a-\Lambda (\xi ))]}$$

${\displaystyle \Lambda (\xi )=\log M(\xi )}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \xi a-\Lambda (\xi )}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle x=a}$

Microeconomía

La transformación de Legendre surge naturalmente en la microeconomía en el proceso de encontrar la oferta S ( P ) de algún producto dado un precio fijo P en el mercado conociendo la función de costo C ( Q ) , es decir, el costo para el productor de fabricar/extraer/etc. Q unidades del producto dado.

Una teoría simple explica la forma de la curva de oferta basándose únicamente en la función de costos. Supongamos que el precio de mercado de una unidad de nuestro producto es P. Para una empresa que vende este bien, la mejor estrategia es ajustar la producción Q para maximizar sus ganancias. Podemos maximizar el beneficio

$${\displaystyle {\text{profit}}={\text{revenue}}-{\text{costs}}=PQ-C(Q)}$$

Q

$${\displaystyle P-C'(Q_{\text{opt}})=0.}$$

Q _opt representa la cantidad óptima Q de bienes que el productor está dispuesto a ofrecer, que de hecho es la oferta misma:

$${\displaystyle S(P)=Q_{\text{opt}}(P)=(C')^{-1}(P).}$$

Si consideramos el beneficio máximo en función del precio, vemos que es la transformada de Legendre de la función de coste . ${\displaystyle {\text{profit}}_{\text{max}}(P)}$ ${\displaystyle C(Q)}$

Interpretación geométrica

Para una función estrictamente convexa , la transformación de Legendre se puede interpretar como una correspondencia entre la gráfica de la función y la familia de tangentes de la gráfica. (Para una función de una variable, las tangentes están bien definidas en todos los puntos, excepto en un número contable , ya que una función convexa es diferenciable en todos los puntos, excepto en un número contable).

La ecuación de una recta con pendiente e intersección está dada por . Para que esta recta sea tangente a la gráfica de una función en el punto se requiere ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle y=px+b}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \left(x_{0},f(x_{0})\right)}$

$${\displaystyle f(x_{0})=px_{0}+b}$$

$${\displaystyle p=f'(x_{0}).}$$

Al ser la derivada de una función estrictamente convexa, la función es estrictamente monótona y, por tanto, inyectiva . La segunda ecuación se puede resolver permitiendo la eliminación de la primera y resolviendo la intersección de la tangente en función de su pendiente, donde denota la transformada de Legendre de ${\displaystyle f'}$ ${\textstyle x_{0}=f^{\prime -1}(p),}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle p,}$ ${\textstyle b=f(x_{0})-px_{0}=f\left(f^{\prime -1}(p)\right)-p\cdot f^{\prime -1}(p)=-f^{\star }(p)}$ ${\displaystyle f^{\star }}$ ${\displaystyle f.}$

La familia de rectas tangentes de la gráfica de parametrizada por la pendiente viene, por tanto, dada por o, escrita implícitamente, por las soluciones de la ecuación ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\textstyle y=px-f^{\star }(p),}$

$${\displaystyle F(x,y,p)=y+f^{\star }(p)-px=0~.}$$

La gráfica de la función original se puede reconstruir a partir de esta familia de líneas como la envolvente de esta familia demandando

$${\displaystyle {\frac {\partial F(x,y,p)}{\partial p}}=f^{\star \prime }(p)-x=0.}$$

Eliminando de estas dos ecuaciones se obtiene ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle y=x\cdot f^{\star \prime -1}(x)-f^{\star }\left(f^{\star \prime -1}(x)\right).}$$

Identificar y reconocer el lado derecho de la ecuación anterior como la transformada de rendimiento de Legendre ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f^{\star },}$ ${\textstyle f(x)=f^{\star \star }(x)~.}$

La transformación de Legendre en más de una dimensión

Para una función diferenciable de valor real en un subconjunto convexo abierto U de R ⁿ , el conjugado de Legendre del par ( U , f ) se define como el par ( V , g ) , donde V es la imagen de U bajo el mapeo de gradiente Df , y g es la función sobre V dada por la fórmula

$${\displaystyle g(y)=\left\langle y,x\right\rangle -f(x),\qquad x=\left(Df\right)^{-1}(y)}$$

$${\displaystyle \left\langle u,v\right\rangle =\sum _{k=1}^{n}u_{k}\cdot v_{k}}$$

es el producto escalar en R ⁿ . La transformación multidimensional se puede interpretar como una codificación de la carcasa convexa del epígrafe de la función en términos de sus hiperplanos de soporte . ^[2] Esto puede verse como consecuencia de las dos observaciones siguientes. Por un lado, el hiperplano tangente al epígrafe de en algún punto tiene vector normal . Por otro lado, cualquier conjunto convexo cerrado se puede caracterizar a través del conjunto de sus hiperplanos de soporte mediante las ecuaciones , donde es la función de soporte de . Pero la definición de la transformada de Legendre a través de la maximización coincide precisamente con la de la función de soporte, es decir ,. Por tanto, concluimos que la transformada de Legendre caracteriza el epígrafe en el sentido de que el plano tangente al epígrafe en cualquier punto está dado explícitamente por ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (\mathbf {x} ,f(\mathbf {x} ))\in U\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (\nabla f(\mathbf {x} ),-1)\in \mathbb {R} ^{n+1}}$ ${\displaystyle C\in \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {n} =h_{C}(\mathbf {n} )}$ ${\displaystyle h_{C}(\mathbf {n} )}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle f^{*}(\mathbf {x} )=h_{\operatorname {epi} (f)}(\mathbf {x} ,-1)}$ ${\displaystyle (\mathbf {x} ,f(\mathbf {x} ))}$

$${\displaystyle \{\mathbf {z} \in \mathbb {R} ^{n+1}:\,\,\mathbf {z} \cdot \mathbf {x} =f^{*}(\mathbf {x} )\}.}$$

Alternativamente, si X es un espacio vectorial e Y es su espacio vectorial dual , entonces para cada punto x de X e y de Y , existe una identificación natural de los espacios cotangentes T* X _x con Y y T* Y _y con X . Si f es una función real diferenciable sobre X , entonces su derivada exterior , df , es una sección del paquete cotangente T* X y, como tal , podemos construir una aplicación de X a Y. De manera similar, si g es una función real diferenciable sobre Y , entonces dg define una aplicación de Y a X. Si ambos mapas son inversos entre sí, decimos que tenemos una transformada de Legendre. La noción de forma única tautológica se utiliza comúnmente en este contexto.

Cuando la función no es diferenciable, la transformada de Legendre aún se puede extender y se conoce como transformación de Legendre-Fenchel . En este escenario más general, se pierden algunas propiedades: por ejemplo, la transformada de Legendre ya no es su propia inversa (a menos que haya suposiciones adicionales, como la convexidad ).

Transformación de Legendre en colectores.

Sea una variedad suave , sea y un paquete de vectores y su proyección de paquete asociada , respectivamente. Sea una función suave. Lo consideramos un lagrangiano por analogía con el caso clásico donde , y para algún número y función positivos . ${\textstyle M}$ ${\displaystyle E}$ ${\textstyle \pi :E\to M}$ ${\displaystyle M}$ ${\textstyle L:E\to \mathbb {R} }$ ${\textstyle L}$ ${\textstyle M=\mathbb {R} }$ ${\textstyle E=TM=\mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ ${\textstyle L(x,v)={\frac {1}{2}}mv^{2}-V(x)}$ ${\textstyle m\in \mathbb {R} }$ ${\textstyle V:M\to \mathbb {R} }$

Como es habitual, el dual de se denota por . La fibra de over se denota y la restricción de to se denota por . La transformación de Legendre es el morfismo suave. ${\textstyle E}$ ${\textstyle E^{*}}$ ${\textstyle \pi }$ ${\textstyle x\in M}$ ${\textstyle E_{x}}$ ${\textstyle L}$ ${\textstyle E_{x}}$ ${\textstyle L|_{E_{x}}:E_{x}\to \mathbb {R} }$ ${\textstyle L}$

$${\displaystyle \mathbf {F} L:E\to E^{*}}$$

${\textstyle \mathbf {F} L(v)=d(L|_{E_{x}})(v)\in E_{x}^{*}}$ ${\textstyle x=\pi (v)}$ ${\textstyle \mathbf {F} L(v)\in E_{x}^{*}}$ ${\textstyle w\in E_{x}}$ ${\textstyle \left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}L(v+tw)\in \mathbb {R} }$

Para describir la transformación de Legendre localmente, sea un gráfico de coordenadas que sea trivial. Eligiendo una trivialización de over , obtenemos gráficos y . En términos de estos gráficos, tenemos , donde ${\textstyle U\subseteq M}$ ${\textstyle E}$ ${\textstyle E}$ ${\textstyle U}$ ${\textstyle E_{U}\cong U\times \mathbb {R} ^{r}}$ ${\textstyle E_{U}^{*}\cong U\times \mathbb {R} ^{r}}$ ${\textstyle \mathbf {F} L(x;v_{1},\dotsc ,v_{r})=(x;p_{1},\dotsc ,p_{r})}$

$${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L}{\partial v_{i}}}(x;v_{1},\dotsc ,v_{r})}$$

^[3]hamiltoniana ${\textstyle i=1,\dots ,r}$ ${\textstyle L:E\to \mathbb {R} }$ ${\textstyle E_{x}}$ ${\textstyle \mathbf {F} L:E\to E^{*}}$ ${\textstyle \mathbf {F} L}$ ${\textstyle H:E^{*}\to \mathbb {R} }$

$${\displaystyle H(p)=p\cdot v-L(v),}$$

^[3] ${\textstyle v=(\mathbf {F} L)^{-1}(p)}$ ${\textstyle E\cong E^{**}}$ ${\textstyle H}$ ${\textstyle \mathbf {F} H:E^{*}\to E}$

$${\displaystyle (\mathbf {F} L)^{-1}=\mathbf {F} H.}$$

Otras propiedades

Propiedades de escala

La transformación de Legendre tiene las siguientes propiedades de escala: Para a > 0 ,

$${\displaystyle f(x)=a\cdot g(x)\Rightarrow f^{\star }(p)=a\cdot g^{\star }\left({\frac {p}{a}}\right)}$$

$${\displaystyle f(x)=g(a\cdot x)\Rightarrow f^{\star }(p)=g^{\star }\left({\frac {p}{a}}\right).}$$

De ello se deduce que si una función es homogénea de grado r entonces su imagen bajo la transformación de Legendre es una función homogénea de grado s , donde 1/ r + 1/ s = 1 . (Dado que f ( x ) = x ^r / r , con r > 1 , implica f *( p ) = p ^s / s .) Por lo tanto, el único monomio cuyo grado es invariante bajo la transformada de Legendre es el cuadrático.

Comportamiento bajo traducción

$${\displaystyle f(x)=g(x)+b\Rightarrow f^{\star }(p)=g^{\star }(p)-b}$$

$${\displaystyle f(x)=g(x+y)\Rightarrow f^{\star }(p)=g^{\star }(p)-p\cdot y}$$

Comportamiento bajo inversión

$${\displaystyle f(x)=g^{-1}(x)\Rightarrow f^{\star }(p)=-p\cdot g^{\star }\left({\frac {1}{p}}\right)}$$

Comportamiento bajo transformaciones lineales.

Sea A  : R ⁿ → R ^m una transformación lineal . Para cualquier función convexa f en R ⁿ , se tiene

$${\displaystyle (Af)^{\star }=f^{\star }A^{\star }}$$

A *operador adjuntoA

$${\displaystyle \left\langle Ax,y^{\star }\right\rangle =\left\langle x,A^{\star }y^{\star }\right\rangle ,}$$

Afavancefde A

$${\displaystyle (Af)(y)=\inf\{f(x):x\in X,Ax=y\}.}$$

Una función convexa cerrada f es simétrica con respecto a un conjunto dado G de transformaciones lineales ortogonales ,

$${\displaystyle f(Ax)=f(x),\;\forall x,\;\forall A\in G}$$

si y solo si f *G

convolución íntima

La convolución mínima de dos funciones f y g se define como

$${\displaystyle \left(f\star _{\inf }g\right)(x)=\inf \left\{f(x-y)+g(y)\,|\,y\in \mathbf {R} ^{n}\right\}.}$$

Sean f ₁ , ..., f _m funciones convexas propias de R ⁿ . Entonces

$${\displaystyle \left(f_{1}\star _{\inf }\cdots \star _{\inf }f_{m}\right)^{\star }=f_{1}^{\star }+\cdots +f_{m}^{\star }.}$$

La desigualdad de Fenchel

Para cualquier función f y su conjugado convexo f * la desigualdad de Fenchel (también conocida como desigualdad de Fenchel-Young ) es válida para cada x ∈ X y p ∈ X * , es decir, pares x , p independientes ,

$${\displaystyle \left\langle p,x\right\rangle \leq f(x)+f^{\star }(p).}$$

Ver también

• Doble curva
• Dualidad proyectiva
• La desigualdad de productos de Young
• conjugado convexo
• teorema de moreau
• Integración por partes
• Teorema de la dualidad de Fenchel

Referencias

1. Legendre, Adrien-Marie (1789). Mémoire sur l'intégration de quelques équations aux différences partielles. En Histoire de l'Académie royale des sciences, avec les mémoires de mathématique et de physique (en francés). París: Imprimerie royale. págs. 309–351.
2. "Legendre Transform | Nick Alger // Mapas, arte, etc.". Archivado desde el original el 12 de marzo de 2015 . Consultado el 26 de enero de 2011 .
3. Ana Cannas da Silva. Conferencias sobre Geometría Simpléctica , 2ª impresión corregida. Springer-Verlag, 2008. págs. 147-148. ISBN 978-3-540-42195-5 . 

• Courant, Ricardo ; Hilbert, David (2008). Métodos de Física Matemática . vol. 2. John Wiley e hijos. ISBN 978-0471504399.
• Arnold'd, Vladimir Igorevich (1989). Métodos matemáticos de la mecánica clásica (2ª ed.). Saltador. ISBN 0-387-96890-3.
• Fenchel, W. (1949). "Sobre las funciones convexas conjugadas", Can. J. Matemáticas 1 : 73-77.
• Rockafellar, R. Tyrrell (1996) [1970]. Análisis convexo . Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 0-691-01586-4.
• Zia, RKP; Rojizo, EF; McKay, SR (2009). "Dar sentido a la transformación de Legendre". Revista Estadounidense de Física . 77 (7): 614. arXiv : 0806.1147 . Código Bib : 2009AmJPh..77..614Z. doi : 10.1119/1.3119512. S2CID  37549350.

Otras lecturas

• Nielsen, Frank (1 de septiembre de 2010). "Transformación legendaria y geometría de la información" (PDF) . Consultado el 24 de enero de 2016 .
• Touchette, Hugo (27 de julio de 2005). "Legendre-Fenchel se transforma en pocas palabras" (PDF) . Consultado el 24 de enero de 2016 .
• Touchette, Hugo (21 de noviembre de 2006). "Elementos del análisis convexo" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 1 de febrero de 2016 . Consultado el 24 de enero de 2016 .

enlaces externos

• Legendre se transforma con figuras en maze5.net
• Legendre y Legendre-Fenchel se transforman en una explicación paso a paso en onmyphd.com