Paquete tangente

Espacios tangentes de una variedad.

De manera informal, el paquete tangente de una variedad (que en este caso es un círculo) se obtiene considerando todos los espacios tangentes (arriba) y uniéndolos de manera suave y sin superposición (abajo). ^{[nota 1]}

Un paquete tangente es la colección de todos los espacios tangentes para todos los puntos de una variedad , estructurados de manera que forme una nueva variedad. Formalmente, en geometría diferencial , el paquete tangente de una variedad diferenciable es una variedad que ensambla todos los vectores tangentes en . Como conjunto, viene dado por la unión disjunta ^{[nota 1]} de los espacios tangentes de . Eso es, ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle {\begin{aligned}TM&=\bigsqcup _{x\in M}T_{x}M\\&=\bigcup _{x\in M}\left\{x\right\}\times T_{x}M\\&=\bigcup _{x\in M}\left\{(x,y)\mid y\in T_{x}M\right\}\\&=\left\{(x,y)\mid x\in M,\,y\in T_{x}M\right\}\end{aligned}}}$

donde denota el espacio tangente al punto . Entonces, un elemento de puede considerarse como un par , donde es un punto en y es un vector tangente a en . ${\displaystyle T_{x}M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle (x,v)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$

Hay una proyección natural.

${\displaystyle \pi :TM\twoheadrightarrow M}$

definido por . Esta proyección asigna cada elemento del espacio tangente a un único punto . ${\displaystyle \pi (x,v)=x}$ ${\displaystyle T_{x}M}$ ${\displaystyle x}$

El paquete tangente viene equipado con una topología natural (descrita en la sección siguiente). Con esta topología, el haz tangente a una variedad es el ejemplo prototípico de un haz de vectores (que es un haz de fibras cuyas fibras son espacios vectoriales ). Una sección de es un campo vectorial en y el paquete dual es el paquete cotangente , que es la unión disjunta de los espacios cotangentes de . Por definición, una variedad es paralelizable si y sólo si el paquete tangente es trivial . Por definición, una variedad está estructurada si y sólo si el paquete tangente es establemente trivial, lo que significa que para algún paquete trivial la suma de Whitney es trivial. Por ejemplo, la esfera de n dimensiones S ⁿ está encuadrada para todos los n , pero es paralelizable sólo para n = 1, 3, 7 (según los resultados de Bott-Milnor y Kervaire). ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle TM\oplus E}$

Role

Una de las funciones principales del paquete tangente es proporcionar un dominio y rango para la derivada de una función suave. Es decir, si es una función suave, con variedades suaves, su derivada es una función suave . ${\displaystyle f:M\rightarrow N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle Df:TM\rightarrow TN}$

Topología y estructura suave.

El paquete tangente viene equipado con una topología natural ( no la topología de unión disjunta ) y una estructura suave para convertirlo en una variedad por derecho propio. La dimensión de es el doble de la dimensión de . ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle M}$

Cada espacio tangente de una variedad n -dimensional es un espacio vectorial n -dimensional. Si es un subconjunto contráctil abierto de , entonces hay un difeomorfismo que se restringe a un isomorfismo lineal desde cada espacio tangente a . Sin embargo, como variedad no siempre es difeomorfa con respecto a la variedad producto . Cuando es de la forma , entonces se dice que el paquete tangente es trivial . Los paquetes tangentes triviales suelen ocurrir en variedades equipadas con una "estructura de grupo compatible"; por ejemplo, en el caso de que la variedad sea un grupo de Lie . El paquete tangente del círculo unitario es trivial porque es un grupo de Lie (bajo multiplicación y su estructura diferencial natural). Sin embargo, no es cierto que todos los espacios con paquetes tangentes triviales sean grupos de Lie; Las variedades que tienen un paquete tangente trivial se llaman paralelizables . Así como las variedades se modelan localmente en el espacio euclidiano , los paquetes tangentes se modelan localmente en , donde es un subconjunto abierto del espacio euclidiano. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle TU\to U\times \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle T_{x}U}$ ${\displaystyle \{x\}\times \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle M\times \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle M\times \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle U\times \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle U}$

Si M es una variedad suave de n dimensiones, entonces viene equipada con un atlas de cartas , donde es un conjunto abierto en y ${\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \phi _{\alpha }:U_{\alpha }\to \mathbb {R} ^{n}}$

es un difeomorfismo . Estas coordenadas locales dan lugar a un isomorfismo para todos . Entonces podemos definir un mapa. ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle T_{x}M\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x\in U_{\alpha }}$

${\displaystyle {\widetilde {\phi }}_{\alpha }:\pi ^{-1}\left(U_{\alpha }\right)\to \mathbb {R} ^{2n}}$

por

${\displaystyle {\widetilde {\phi }}_{\alpha }\left(x,v^{i}\partial _{i}\right)=\left(\phi _{\alpha }(x),v^{1},\cdots ,v^{n}\right)}$

Usamos estos mapas para definir la topología y la estructura fluida en . Un subconjunto de es abierto si y sólo si ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle TM}$

${\displaystyle {\widetilde {\phi }}_{\alpha }\left(A\cap \pi ^{-1}\left(U_{\alpha }\right)\right)}$

está abierto en para cada uno. Estos mapas son homeomorfismos entre subconjuntos abiertos de y , por lo tanto, sirven como gráficos para la estructura suave de . Las funciones de transición en las superposiciones de gráficos son inducidas por las matrices jacobianas de la transformación de coordenadas asociada y, por lo tanto, son mapas suaves entre subconjuntos abiertos de . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle \alpha .}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}\left(U_{\alpha }\cap U_{\beta }\right)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

El fibrado tangente es un ejemplo de una construcción más general llamada fibrado vectorial (que es en sí mismo un tipo específico de fibrado ). Explícitamente, el paquete tangente a una variedad de dimensiones puede definirse como un paquete de vectores de rango sobre cuyas funciones de transición están dadas por el jacobiano de las transformaciones de coordenadas asociadas. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$

Ejemplos

El ejemplo más sencillo es el de . En este caso, el paquete tangente es trivial: cada uno es canónicamente isomorfo a través del mapa que resta , dando un difeomorfismo . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle T_{x}\mathbf {\mathbb {R} } ^{n}}$ ${\displaystyle T_{0}\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle T\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}}$

Otro ejemplo simple es el círculo unitario ( ver imagen arriba). El paquete tangente del círculo también es trivial e isomorfo a . Geométricamente, se trata de un cilindro de altura infinita. ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle S^{1}\times \mathbb {R} }$

Los únicos paquetes tangentes que pueden visualizarse fácilmente son los de la recta real y el círculo unitario , los cuales son triviales. Para variedades bidimensionales, el paquete tangente es tetradimensional y, por lo tanto, difícil de visualizar. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle S^{1}}$

Un ejemplo simple de paquete tangente no trivial es el de la esfera unitaria : este paquete tangente no es trivial como consecuencia del teorema de la bola peluda . Por tanto, la esfera no es paralelizable . ${\displaystyle S^{2}}$

Campos vectoriales

Una asignación suave de un vector tangente a cada punto de una variedad se llama campo vectorial . Específicamente, un campo vectorial en una variedad es un mapa suave ${\displaystyle M}$

${\displaystyle V\colon M\to TM}$

tal que con para cada . En el lenguaje de los haces de fibras, este mapa se llama sección . Por lo tanto , un campo vectorial es una sección del paquete tangente de . ${\displaystyle V(x)=(x,V_{x})}$ ${\displaystyle V_{x}\in T_{x}M}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

El conjunto de todos los campos vectoriales se denota por . Los campos vectoriales se pueden sumar puntualmente ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Gamma (TM)}$

${\displaystyle (V+W)_{x}=V_{x}+W_{x}}$

y multiplicado por funciones suaves en M

${\displaystyle (fV)_{x}=f(x)V_{x}}$

para obtener otros campos vectoriales. El conjunto de todos los campos vectoriales adquiere entonces la estructura de un módulo sobre el álgebra conmutativa de funciones suaves en M , denotado . ${\displaystyle \Gamma (TM)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$

Un campo vectorial local es una sección local del paquete tangente. Es decir, un campo vectorial local se define sólo en algún conjunto abierto y se asigna a cada punto de un vector en el espacio tangente asociado. El conjunto de campos vectoriales locales en forma una estructura conocida como haz de espacios vectoriales reales en . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle U\subset M}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

La construcción anterior se aplica igualmente bien al paquete cotangente: las formas 1 diferenciales son precisamente las secciones del paquete cotangente , que asocian a cada punto un covector 1 , que asigna vectores tangentes a números reales :. De manera equivalente, una forma diferencial 1 asigna un campo vectorial suave a una función suave . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \omega \in \Gamma (T^{*}M)}$ ${\displaystyle \omega :M\to T^{*}M}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle \omega _{x}\in T_{x}^{*}M}$ ${\displaystyle \omega _{x}:T_{x}M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \omega \in \Gamma (T^{*}M)}$ ${\displaystyle X\in \Gamma (TM)}$ ${\displaystyle \omega (X)\in C^{\infty }(M)}$

Paquetes tangentes de orden superior

Dado que el paquete tangente es en sí mismo una variedad suave, el paquete tangente de segundo orden se puede definir mediante la aplicación repetida de la construcción del paquete tangente: ${\displaystyle TM}$

${\displaystyle T^{2}M=T(TM).\,}$

En general, el paquete tangente de décimo orden se puede definir recursivamente como . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle T^{k}M}$ ${\displaystyle T\left(T^{k-1}M\right)}$

Un mapa suave tiene una derivada inducida, para la cual el paquete tangente es el dominio y rango apropiados . De manera similar, las fibradas tangentes de orden superior proporcionan el dominio y el rango para las derivadas de orden superior . ${\displaystyle f:M\rightarrow N}$ ${\displaystyle Df:TM\rightarrow TN}$ ${\displaystyle D^{k}f:T^{k}M\to T^{k}N}$

Una construcción distinta pero relacionada son los haces de chorros en un colector, que son haces que constan de chorros .

Campo vectorial canónico en paquete tangente

En cada paquete tangente , considerado como una variedad en sí misma, se puede definir un campo vectorial canónico como el mapa diagonal en el espacio tangente en cada punto. Esto es posible porque el espacio tangente de un espacio vectorial W es naturalmente un producto, ya que el espacio vectorial en sí es plano y, por lo tanto, tiene una aplicación diagonal natural dada por bajo esta estructura de producto. La aplicación de esta estructura de producto al espacio tangente en cada punto y la globalización produce el campo vectorial canónico. Informalmente, aunque la variedad es curva, cada espacio tangente en un punto , es plano, por lo que la variedad del haz tangente es localmente un producto de una curva y una plana. Por lo tanto, el haz tangente del haz tangente es localmente (usando para "elección de coordenadas" y para "identificación natural"): ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle V:TM\rightarrow T^{2}M}$ ${\displaystyle TW\cong W\times W,}$ ${\displaystyle W\to TW}$ ${\displaystyle w\mapsto (w,w)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle T_{x}M\approx \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle \approx }$ ${\displaystyle \cong }$

${\displaystyle T(TM)\approx T(M\times \mathbb {R} ^{n})\cong TM\times T(\mathbb {R} ^{n})\cong TM\times (\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n})}$

y el mapa es la proyección sobre las primeras coordenadas: ${\displaystyle TTM\to TM}$

${\displaystyle (TM\to M)\times (\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}).}$

Dividir el primer mapa por la sección cero y el segundo mapa por la diagonal produce el campo vectorial canónico.

Si son coordenadas locales para , el campo vectorial tiene la expresión ${\displaystyle (x,v)}$ ${\displaystyle TM}$

${\displaystyle V=\sum _{i}\left.v^{i}{\frac {\partial }{\partial v^{i}}}\right|_{(x,v)}.}$

Más concisamente, el primer par de coordenadas no cambia porque es la sección de un paquete y son solo el punto en el espacio base: el último par de coordenadas es la sección misma. Esta expresión para el campo vectorial depende sólo de , no de , ya que sólo las direcciones tangentes pueden identificarse naturalmente. ${\displaystyle (x,v)\mapsto (x,v,0,v)}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle x}$

Alternativamente, considere la función de multiplicación escalar:

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {R} \times TM\to TM\\(t,v)\longmapsto tv\end{cases}}}$

La derivada de esta función con respecto a la variable en el tiempo es una función , que es una descripción alternativa del campo vectorial canónico. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle t=1}$ ${\displaystyle V:TM\rightarrow T^{2}M}$

La existencia de tal campo vectorial en es análoga a la forma única canónica en el paquete cotangente . A veces también se le llama campo vectorial de Liouville , o campo vectorial radial . Usando uno se puede caracterizar el paquete tangente. Esencialmente, se puede caracterizar utilizando 4 axiomas, y si una variedad tiene un campo vectorial que satisface estos axiomas, entonces la variedad es un paquete tangente y el campo vectorial es el campo vectorial canónico. Véase, por ejemplo, De León et al. ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

Ascensores

Hay varias formas de levantar objetos para convertirlos en objetos . Por ejemplo, si es una curva en , entonces (la tangente de ) es una curva en . Por el contrario, sin más suposiciones (digamos, una métrica de Riemann ), no hay una elevación similar en el paquete cotangente . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \gamma '}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle M}$

La elevación vertical de una función es la función definida por , donde es la proyección canónica. ${\displaystyle f:M\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f^{\vee }:TM\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f^{\vee }=f\circ \pi }$ ${\displaystyle \pi :TM\rightarrow M}$

Ver también

• Empuje hacia adelante (diferencial)
• Paquete tangente unitario
• Paquete cotangente
• Paquete de marco
• Isomorfismo musical

Notas

1. La unión disjunta garantiza que para dos puntos cualesquiera x ₁ y x ₂ de la variedad M los espacios tangentes T ₁ y T ₂ no tengan un vector común. Esto se ilustra gráficamente en la imagen adjunta para el paquete tangente del círculo S ¹ , consulte la sección de Ejemplos: todas las tangentes a un círculo se encuentran en el plano del círculo. Para separarlos es necesario alinearlos en un plano perpendicular al plano del círculo.

Referencias

• Lee, Jeffrey M. (2009), Colectores y geometría diferencial , Estudios de Posgrado en Matemáticas , vol. 107, Providencia: Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0-8218-4815-9 
• Lee, John M. (2012). Introducción a los colectores lisos . Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 218.doi : 10.1007 /978-1-4419-9982-5. ISBN 978-1-4419-9981-8.
• Jürgen Jost , Geometría riemanniana y análisis geométrico , (2002) Springer-Verlag, Berlín. ISBN 3-540-42627-2 
• Ralph Abraham y Jerrold E. Marsden , Fundamentos de la mecánica , (1978) Benjamin-Cummings, Londres. ISBN 0-8053-0102-X 
• León, M. De; Merino, E.; Oubiña, JA; Salgado, M. (1994). "Una caracterización de paquetes tangentes y tangentes estables" (PDF) . Annales de l'IHP: Physique Théorique . 61 (1): 1–15.
• Gudmundsson, Sigmundur; Kappos, Elías (2002). "Sobre la geometría de haces tangentes". Exposiciones Mathematicae . 20 : 1–41. doi :10.1016/S0723-0869(02)80027-5.

enlaces externos

• "Paquete tangente", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Wolfram MathWorld: Paquete tangente
• PlanetMath: Paquete tangente