En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , dado un morfismo f : X → Y y un morfismo g : Z → Y , un levantamiento o elevación de f a Z es un morfismo h : X → Z tal que f = g ∘ h . Decimos que f se factoriza a través de h .
Un ejemplo básico en topología es elevar un camino en un espacio topológico a un camino en un espacio de cobertura . [1] Por ejemplo, considere mapear puntos opuestos en una esfera al mismo punto, un mapa continuo desde la esfera que cubre el plano proyectivo . Un camino en el plano proyectivo es un mapa continuo desde el intervalo unitario [0,1]. Podemos elevar dicho camino hacia la esfera eligiendo uno de los dos puntos de la esfera que se asignan al primer punto del camino y luego mantener la continuidad. En este caso, cada uno de los dos puntos de partida fuerza un camino único en la esfera, la elevación del camino en el plano proyectivo. Así, en la categoría de espacios topológicos con mapas continuos como morfismos, tenemos
Los ascensores son omnipresentes; por ejemplo, la definición de fibraciones (ver propiedad de elevación de homotopía ) y los criterios de valoración de mapas de esquemas separados y propios se formulan en términos de existencia y (en el último caso) unicidad de ciertas elevaciones.
En topología algebraica y álgebra homológica , el producto tensorial y el funtor Hom son adjuntos ; sin embargo, es posible que no siempre se eleven en una secuencia exacta . Esto lleva a la definición del funtor Ext y del funtor Tor .
Las notaciones de la lógica de predicados de primer orden se simplifican cuando los cuantificadores quedan relegados a dominios y rangos establecidos de relaciones binarias . Gunther Schmidt y Michael Winter han ilustrado el método de elevar las expresiones lógicas tradicionales de la topología al cálculo de relaciones en su libro Relational Topology . [2] Su objetivo es "elevar los conceptos a un nivel relacional, haciéndolos libres de puntos y cuantificadores, liberándolos así del estilo de la lógica de predicados de primer orden y acercándose a la claridad del razonamiento algebraico".
Por ejemplo, una función parcial M corresponde a la inclusión donde denota la relación de identidad en el rango de M . "La notación para la cuantificación está oculta y permanece profundamente incorporada en la tipificación de las operaciones relacionales (aquí transposición y composición) y sus reglas".
Para mapas de un círculo, la definición de elevación a la línea real es ligeramente diferente (una aplicación común es el cálculo del número de rotación ). Dado un mapa en un círculo, una elevación de ,, es cualquier mapa en la línea real, para el cual existe una proyección (o un mapa de cobertura ), tal que . [3]
![{\displaystyle {\begin{aligned}f\colon \,&[0,1]\to \mathbb {RP} ^{2}&&\ {\text{ (trayectoria del plano proyectivo)}}\\g\colon \ ,&S^{2}\to \mathbb {RP} ^{2}&&\ {\text{ (mapa que cubre)}}\\h\colon \,&[0,1]\to S^{2}&& \ {\text{ (trayectoria de la esfera)}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94309ac4e26b4364471069b349c643e2d12234f8)
