Número de rotación

Invariante de homeomorfismos del círculo

En matemáticas , el número de rotación es un invariante de los homeomorfismos del círculo .

Historia

Fue definido por primera vez por Henri Poincaré en 1885, en relación con la precesión del perihelio de una órbita planetaria . Poincaré demostró posteriormente un teorema que caracteriza la existencia de órbitas periódicas en términos de racionalidad del número de rotación.

Definición

Supongamos que es un homeomorfismo que preserva la orientación del círculo. Entonces f puede elevarse a un homeomorfismo de la línea real, que satisface ${\displaystyle f:S^{1}\to S^{1}}$ ${\displaystyle S^{1}=\mathbb {R} /\mathbb {Z} .}$ ${\displaystyle F:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle F(x+m)=F(x)+m}$

para cada número real x y cada entero m .

El número de rotación de f se define en términos de las iteraciones de F :

${\displaystyle \omega (f)=\lim _{n\to \infty }{\frac {F^{n}(x)-x}{n}}.}$

Henri Poincaré demostró que el límite existe y es independiente de la elección del punto de partida x . La sustentación F es única módulo enteros, por lo tanto, el número de rotación es un elemento bien definido de ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} .}$ Intuitivamente, mide el ángulo de rotación promedio a lo largo de las órbitas de f .

Ejemplo

Si es una rotación por (donde ), entonces ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 2\pi N}$ ${\displaystyle 0<N<1}$

${\displaystyle F(x)=x+N,}$

y su número de rotación es (cf. rotación irracional ). ${\displaystyle N}$

Propiedades

El número de rotación es invariante bajo conjugación topológica , e incluso bajo semiconjugación topológica monótona : si f y g son dos homeomorfismos del círculo y

${\displaystyle h\circ f=g\circ h}$

Para una función continua monótona h del círculo en sí misma (no necesariamente homeomorfa), entonces f y g tienen los mismos números de rotación. Fue utilizada por Poincaré y Arnaud Denjoy para la clasificación topológica de los homeomorfismos del círculo. Hay dos posibilidades distintas.

• El número de rotación de f es un número racional p/q (en términos mínimos). Entonces f tiene una órbita periódica , cada órbita periódica tiene período q , y el orden de los puntos en cada una de esas órbitas coincide con el orden de los puntos para una rotación de p/q . Además, cada órbita hacia delante de f converge a una órbita periódica. Lo mismo es cierto para las órbitas hacia atrás , correspondientes a iteraciones de f ^–1 , pero las órbitas periódicas límite en direcciones hacia delante y hacia atrás pueden ser diferentes.
• El número de rotación de f es un número irracional θ . Entonces f no tiene órbitas periódicas (esto se deduce inmediatamente al considerar un punto periódico x de f ). Hay dos subcasos.

1. Existe una órbita densa. En este caso, f es topológicamente conjugada a la rotación irracional por el ángulo θ y todas las órbitas son densas . Denjoy demostró que esta posibilidad siempre se cumple cuando f es dos veces continuamente diferenciable.
2. Existe un conjunto de Cantor C invariante bajo f . Entonces C es un conjunto minimal único y las órbitas de todos los puntos tanto en dirección hacia delante como hacia atrás convergen a C . En este caso, f es semiconjugada a la rotación irracional por θ , y la función semiconjugante h de grado 1 es constante en los componentes del complemento de C .

El número de rotación es continuo cuando se ve como un mapa del grupo de homeomorfismos (con topología C ⁰ ) del círculo al círculo.

Véase también

• Mapa circular
• Difeomorfismo de Denjoy
• Sección de Poincaré
• Recurrencia de Poincaré
• Teorema de Poincaré-Bendixson

Referencias

• Herman, Michael Robert (diciembre de 1979). "Sur la conjugaison différentiable des difféomorphismes du cercle à des rotaciones" [Sobre la conjugación diferenciable de difeomorfismos del círculo a las rotaciones]. Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS (en francés). 49 : 5–233. doi :10.1007/BF02684798. S2CID  118356096., también SciSpace para archivos de menor tamaño en formato pdf versión 1.3

• Poincaré, Henri (1885). "Sur les courbes definidos par les équations différentielles (III)". Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (en francés). 1 : 167–244.

Enlaces externos

• Michał Misiurewicz (ed.). "Teoría de la rotación". Scholarpedia .
• Weisstein, Eric W. "Número de bobinado de mapa". De MathWorld--Un recurso web de Wolfram.