Rotación irracional

Rotación de un círculo por un ángulo de π multiplicado por un número irracional

Secuencia de Sturmian generada por rotación irracional con theta=0,2882748715208621 y x=0,078943143

En la teoría matemática de los sistemas dinámicos , una rotación irracional es un mapa

${\displaystyle T_{\theta }:[0,1]\rightarrow [0,1],\quad T_{\theta }(x)\triangleq x+\theta \mod 1,}$

donde θ es un número irracional . Bajo la identificación de un círculo con R / Z , o con el intervalo [0, 1] con los puntos límite pegados, este mapa se convierte en una rotación de un círculo en una proporción θ de una revolución completa (es decir, un ángulo de 2 πθ  radianes). Dado que θ es irracional, la rotación tiene un orden infinito en el grupo circular y el mapa T _θ no tiene órbitas periódicas .

Alternativamente, podemos usar notación multiplicativa para una rotación irracional introduciendo el mapa

${\displaystyle T_{\theta }:S^{1}\to S^{1},\quad \quad \quad T_{\theta }(x)=xe^{2\pi i\theta }}$

La relación entre las notaciones aditiva y multiplicativa es el isomorfismo de grupo.

${\displaystyle \varphi :([0,1],+)\to (S^{1},\cdot )\quad \varphi (x)=xe^{2\pi i\theta }}$.

Se puede demostrar que φ es una isometría .

Existe una fuerte distinción en las rotaciones circulares que depende de si θ es racional o irracional. Las rotaciones racionales son ejemplos menos interesantes de sistemas dinámicos porque si y entonces cuando . También se puede demostrar que cuando . ${\displaystyle \theta ={\frac {a}{b}}}$ ${\displaystyle \gcd(a,b)=1}$ ${\displaystyle T_{\theta }^{b}(x)=x}$ ${\displaystyle x\in [0,1]}$ ${\displaystyle T_{\theta }^{i}(x)\neq x}$ ${\displaystyle 1\leq i<b}$

Significado

Las rotaciones irracionales constituyen un ejemplo fundamental en la teoría de sistemas dinámicos . Según el teorema de Denjoy , cada difeomorfismo C ² que conserva la orientación del círculo con un número de rotación irracional θ está topológicamente conjugado con T _θ . Una rotación irracional es una transformación ergódica que preserva la medida , pero no es una mezcla . El mapa de Poincaré para el sistema dinámico asociado con la foliación de Kronecker sobre un toro con ángulo θ > es la rotación irracional por θ . Las álgebras C* asociadas con rotaciones irracionales, conocidas como álgebras de rotación irracional , se han estudiado ampliamente.

Propiedades

• Si θ es irracional, entonces la órbita de cualquier elemento de [0, 1] bajo la rotación T _θ es densa en [0, 1] . Por tanto, las rotaciones irracionales son topológicamente transitivas .
• Las rotaciones irracionales (y racionales) no se mezclan topológicamente .
• Las rotaciones irracionales son excepcionalmente ergódicas , y la medida de Lebesgue sirve como única medida de probabilidad invariante.
• Supongamos [ a , b ] ⊂ [0, 1] . Dado que T _θ es ergódico, .
  ${\displaystyle {\text{lim}}_{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}\chi _{[a,b)}(T_{\theta }^{n}(t))=b-a}$

Generalizaciones

• Las rotaciones de círculos son ejemplos de traslaciones de grupos .
• Para una orientación general que preserva el homomorfismo f de S ¹ consigo mismo, llamamos homeomorfismo un levantamiento de f si donde . ^[1] ${\displaystyle F:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \pi \circ F=f\circ \pi }$ ${\displaystyle \pi (t)=t{\bmod {1}}}$
• La rotación del círculo se puede considerar como una subdivisión de un círculo en dos partes, que luego se intercambian entre sí. Una subdivisión en más de dos partes, que luego se permutan entre sí, se denomina transformación de intercambio de intervalo .
• Las rotaciones rígidas de grupos compactos se comportan efectivamente como rotaciones circulares; la medida invariante es la medida de Haar .

Aplicaciones

• Productos sesgados sobre rotaciones del círculo: En 1969 ^[2] William A. Veech construyó ejemplos de sistemas dinámicos mínimos y no exclusivamente ergódicos de la siguiente manera: "Tome dos copias del círculo unitario y marque el segmento J de longitud 2 πα en el sentido contrario a las agujas del reloj". dirección en cada uno con el punto final en 0. Ahora tome θ irracional y considere el siguiente sistema dinámico. Comience con un punto p , digamos en el primer círculo. Gire en sentido antihorario 2 πθ hasta la primera vez que la órbita aterrice en J ; luego cambie a el punto correspondiente en el segundo círculo, rota 2 πθ hasta que la primera vez que el punto aterrice en J ; vuelve al primer círculo y así sucesivamente. Veech demostró que si θ es irracional, entonces existe un α irracional para el cual este sistema es mínima y la medida de Lebesgue no es exclusivamente ergódica". ^[3]

Ver también

• mapa de Bernoulli
• Aritmética modular
• disco de siegel
• álgebra de Toeplitz
• Bloqueo de fase (mapa circular)
• secuencia de weyl

Referencias

1. Pescador, Todd (2007). "Homomorfismos circulares" (PDF) .
2. Veech, William (agosto de 1968). "Un teorema de Kronecker-Weyl módulo 2". Procedimientos de la Academia Nacional de Ciencias . 60 (4): 1163–1164. Código bibliográfico : 1968PNAS...60.1163V. doi : 10.1073/pnas.60.4.1163 . PMC 224897 . PMID  16591677. 
3. Masur, Howard; Tabachnikov, Serge (2002). "Billar racional y estructuras planas". En Hasselblatt, B.; Katok, A. (eds.). Manual de sistemas dinámicos (PDF) . vol. I A. Elsevier.

Otras lecturas

• CE Silva, Invitación a la teoría ergódica , Student Mathematical Library, vol 42, American Mathematical Society , 2008 ISBN 978-0-8218-4420-5