Toro no conmutativo

En matemáticas , y más específicamente en la teoría de las C*-álgebras , los toros no conmutativos A _θ , también conocidos como álgebras de rotación irracionales para valores irracionales de θ, forman una familia de C*-álgebras no conmutativas que generalizan el álgebra de funciones continuas en el 2-toro . Muchas propiedades topológicas y geométricas del 2-toro clásico tienen análogos algebraicos para los toros no conmutativos y, como tales, son ejemplos fundamentales de un espacio no conmutativo en el sentido de Alain Connes .

Definición

Para cualquier número real irracional θ , el toro no conmutativo es la subálgebra C* de , el álgebra de operadores lineales acotados de funciones integrables al cuadrado en el círculo unitario , generada por dos operadores unitarios definidos como ${\displaystyle A_{\theta }}$ ${\displaystyle B(L^{2}(\mathbb {R} /\mathbb {Z} ))}$ ${\displaystyle S^{1}\subset \mathbb {C} }$ ${\displaystyle U,V}$

${\displaystyle {\begin{aligned}U(f)(z)&=zf(z)\\V(f)(z)&=f(ze^{-2\pi i\theta }).\end{aligned}}}$

Un cálculo rápido muestra que VU = e ^{−2π i θ} UV . ^[1]

Caracterizaciones alternativas

• Propiedad universal: A _θ puede definirse (salvo isomorfismo) como la C*-álgebra universal generada por dos elementos unitarios U y V que satisfacen la relación VU  = e ^{2π i θ} UV . ^[1] Esta definición se extiende al caso en el que θ es racional. En particular, cuando θ  = 0, A _θ es isomorfa a funciones continuas en el 2-toro por la transformada de Gelfand .
• Álgebra de rotación irracional: Sea el grupo cíclico infinito Z el que actúa sobre el círculo S ¹ por la acción de rotación por el ángulo 2 π iθ . Esto induce una acción de Z por automorfismos sobre el álgebra de funciones continuas C ( S ^{1 ). El} producto cruzado C* resultante C ( S ¹ ) ⋊ Z es isomorfo a A _θ . Los unitarios generadores son el generador del grupo Z y la función identidad sobre el círculo z  : S ¹ → C . ^[1]
• Álgebra de grupo trenzado: La función σ : Z ² × Z ² → C ; σ(( m , n ), ( p , q )) = e ^{2π en pθ} es un 2-cociclo de grupo en Z ^{2 , y el} álgebra de grupo trenzado correspondiente C* ( Z ² ;  σ ) es isomorfa a A _θ .

Propiedades

• Toda álgebra de rotación irracional A _θ es simple, es decir, no contiene ningún ideal bilateral cerrado propio distinto de ella misma. ^[1] ${\displaystyle \{0\}}$
• Cada álgebra de rotación irracional tiene un estado trazal único . ^[1]
• Las álgebras de rotación irracionales son nucleares .

Clasificación y teoría K

La teoría K de A _θ es Z ² tanto en dimensión par como en dimensión impar, y por lo tanto no distingue las álgebras de rotación irracionales. Pero como grupo ordenado , K ₀ ≃ Z + θ Z . Por lo tanto, dos toros no conmutativos A _θ y A _η son isomorfos si y solo si θ  +  η o θ  −  η es un número entero. ^{[1] [2]}

Dos álgebras de rotación irracionales A _θ y A _η son fuertemente equivalentes de Morita si y solo si θ y η están en la misma órbita de la acción de SL(2,  Z ) sobre R por transformaciones lineales fraccionarias . En particular, los toros no conmutativos con θ racionales son equivalentes de Morita al toro clásico. Por otra parte, los toros no conmutativos con θ irracionales son C*-álgebras simples. ^[2]

Referencias

1. Davidson, Kenneth (1997). C*-Álgebras por ejemplo . Fields Institute. págs. 166, 218–219, 234. ISBN 0-8218-0599-1.
2. Rieffel, Marc A. (1981). "C*-Álgebras asociadas con rotaciones irracionales" (PDF) . Pacific Journal of Mathematics . 93 (2): 415–429 [416]. doi : 10.2140/pjm.1981.93.415 . Consultado el 28 de febrero de 2013 .