toro no conmutativo

En matemáticas , y más específicamente en la teoría de álgebras C* , los toros no conmutativos A _θ , también conocidos como álgebras de rotación irracional para valores irracionales de θ, forman una familia de álgebras C* no conmutativas que generalizan el álgebra de funciones continuas en el 2-toro . Muchas propiedades topológicas y geométricas del toro 2 clásico tienen análogos algebraicos para los toros no conmutativos y, como tales, son ejemplos fundamentales de un espacio no conmutativo en el sentido de Alain Connes .

Definición

Para cualquier número real irracional θ , el toro no conmutativo es la subálgebra C* de , el álgebra de operadores lineales acotados de funciones integrables al cuadrado en el círculo unitario , generada por dos operadores unitarios definidos como ${\displaystyle A_{\theta }}$ ${\displaystyle B(L^{2}(\mathbb {R} /\mathbb {Z} ))}$ ${\displaystyle S^{1}\subset \mathbb {C} }$ ${\displaystyle U,V}$

${\displaystyle {\begin{aligned}U(f)(z)&=zf(z)\\V(f)(z)&=f(ze^{-2\pi i\theta }).\end{aligned}}}$

Un cálculo rápido muestra que VU = e ^{−2π i θ} UV . ^[1]

Caracterizaciones alternativas

• Propiedad universal: A _θ puede definirse (hasta el isomorfismo) como el álgebra C* universal generada por dos elementos unitarios U y V que satisfacen la relación VU  = e ^{2π i θ} UV . ^[1] Esta definición se extiende al caso en que θ es racional. En particular, cuando θ  = 0, A _θ es isomorfa a funciones continuas en el toro 2 mediante la transformada de Gelfand .
• Álgebra de rotación irracional: Dejemos que el grupo cíclico infinito Z actúe sobre el círculo S ¹ mediante la acción de rotación del ángulo 2 π iθ . Esto induce una acción de Z por automorfismos sobre el álgebra de funciones continuas C ( S ¹ ). El producto cruzado C* resultante C ( S ¹ ) ⋊ Z es isomorfo a A _θ . Los unitarios generadores son el generador del grupo Z y la función identidad en el círculo z  : S ¹ → C . ^[1]
• Álgebra de grupos retorcidos: La función σ : Z ² × Z ² → C ; σ(( m , n ), ( p , q )) = e ^{2π inpθ} es un cociclo de grupo 2 en Z ² , y el álgebra de grupo retorcido correspondiente C* ( Z ² ;  σ ) es isomorfa a A _θ .

Propiedades

• Todo álgebra de rotación irracional A _θ es simple, es decir, no contiene ningún ideal bilateral cerrado adecuado aparte de y él mismo. ^[1] ${\displaystyle \{0\}}$
• Cada álgebra de rotación irracional tiene un estado trazal único . ^[1]
• Las álgebras de rotación irracional son nucleares .

Clasificación y teoría K

La teoría K de A _θ es Z ² tanto en dimensión par como en dimensión impar, por lo que no distingue las álgebras de rotación irracional. Pero como grupo ordenado , K ₀ ≃ Z + θ Z. Por lo tanto, dos toros no conmutativos A _θ y A _η son isomorfos si y solo si θ  +  η o θ  −  η es un número entero. ^{[1] [2]}

Dos álgebras de rotación irracional A _θ y A _η son fuertemente equivalentes de Morita si y solo si θ y η están en la misma órbita de la acción de SL(2,  Z ) sobre R mediante transformaciones lineales fraccionarias . En particular, los toros no conmutativos con θ racional son equivalentes de Morita al toro clásico. Por otro lado, los toros no conmutativos con θ irracional son álgebras C* simples. ^[2]

Referencias

1. Davidson, Kenneth (1997). C*-Álgebras por ejemplo . Instituto Campos. págs.166, 218-219, 234. ISBN 0-8218-0599-1.
2. Rieffel, Marc A. (1981). "C * -Álgebras asociadas a rotaciones irracionales" (PDF) . Revista Pacífico de Matemáticas . 93 (2): 415–429 [416]. doi : 10.2140/pjm.1981.93.415 . Consultado el 28 de febrero de 2013 .