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Teorema de Denjoy sobre el número de rotación

En matemáticas , el teorema de Denjoy proporciona una condición suficiente para que un difeomorfismo del círculo sea topológicamente conjugado a un difeomorfismo de un tipo especial, a saber, una rotación irracional . Denjoy  (1932) demostró el teorema en el curso de su clasificación topológica de los homeomorfismos del círculo. También dio un ejemplo de un difeomorfismo C 1 con un número de rotación irracional que no es conjugado a una rotación.

Enunciado del teorema

Sea ƒS 1  →  S 1 un difeomorfismo que preserva la orientación del círculo cuyo número de rotación θ = ρ ( ƒ ) es irracional . Supóngase que tiene derivada positiva ƒ ( x ) > 0 que es una función continua con variación acotada en el intervalo [0,1). Entonces ƒ es topológicamente conjugado a la rotación irracional por θ . Además, cada órbita es densa y cada intervalo no trivial I del círculo interseca su imagen hacia delante ƒ ° q ( I ), para algún q > 0 (esto significa que el conjunto no errante de ƒ es el círculo completo).

Complementos

Si ƒ es una función C 2 , entonces la hipótesis sobre la derivada es válida; sin embargo, para cualquier número de rotación irracional, Denjoy construyó un ejemplo que muestra que esta condición no se puede relajar a C 1 , diferenciabilidad continua de  ƒ .

Vladimir Arnold demostró que la función conjugante no necesita ser uniforme , incluso para un difeomorfismo analítico del círculo. Más tarde, Michel Herman demostró que, no obstante, la función conjugante de un difeomorfismo analítico es en sí misma analítica para la "mayoría" de los números de rotación, formando un conjunto de medida de Lebesgue completa , es decir, para aquellos que son difícilmente aproximables por números racionales. Sus resultados son aún más generales y especifican la clase de diferenciabilidad de la función conjugante para difeomorfismos C r con cualquier  r  ≥ 3.

Véase también

Referencias

Enlaces externos