Transformación de intercambio de intervalos

Gráfica de transformación de intercambio de intervalos (en negro) con y . En azul, la órbita generada a partir de . ${\displaystyle \lambda =(1/15,2/15,3/15,4/15,5/15)}$ ${\displaystyle \pi =(3,5,2,4,1)}$ ${\displaystyle 1/2}$

En matemáticas , una transformación de intercambio de intervalos ^[1] es un tipo de sistema dinámico que generaliza la rotación circular . El espacio de fase consiste en el intervalo unitario y la transformación actúa cortando el intervalo en varios subintervalos y luego permutando estos subintervalos. Surgen naturalmente en el estudio de billares poligonales y en flujos que preservan el área.

Definición formal

Sea y sea una permutación en . Considere un vector de números reales positivos (los anchos de los subintervalos), que satisface ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle 1,\dots ,n}$ ${\displaystyle \lambda =(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}=1.}$

Defina un mapa llamado transformación de intercambio de intervalo asociado con el par de la siguiente manera. Para sea ${\displaystyle T_{\pi ,\lambda }:[0,1]\rightarrow [0,1],}$ ${\displaystyle (\pi ,\lambda )}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$

${\displaystyle a_{i}=\sum _{1\leq j<i}\lambda _{j}\quad {\text{and}}\quad a'_{i}=\sum _{1\leq j<\pi (i)}\lambda _{\pi ^{-1}(j)}.}$

Luego, para , define ${\displaystyle x\in [0,1]}$

${\displaystyle T_{\pi ,\lambda }(x)=x-a_{i}+a'_{i}}$

si se encuentra en el subintervalo . Por lo tanto, actúa sobre cada subintervalo de la forma mediante una traslación y reorganiza estos subintervalos de modo que el subintervalo en la posición se mueve a la posición . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle [a_{i},a_{i}+\lambda _{i})}$ ${\displaystyle T_{\pi ,\lambda }}$ ${\displaystyle [a_{i},a_{i}+\lambda _{i})}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \pi (i)}$

Propiedades

Cualquier transformación de intercambio de intervalos es una biyección de sí misma que conserva la medida de Lebesgue . Es continua excepto en un número finito de puntos. ${\displaystyle T_{\pi ,\lambda }}$ ${\displaystyle [0,1]}$

La inversa de la transformación de intercambio de intervalos es nuevamente una transformación de intercambio de intervalos. De hecho, es la transformación donde para todo . ${\displaystyle T_{\pi ,\lambda }}$ ${\displaystyle T_{\pi ^{-1},\lambda '}}$ ${\displaystyle \lambda '_{i}=\lambda _{\pi ^{-1}(i)}}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$

Si y (en notación de ciclo ), y si unimos los extremos del intervalo para formar un círculo, entonces es simplemente una rotación de círculo . El teorema de equidistribución de Weyl afirma entonces que si la longitud es irracional , entonces es únicamente ergódico . En términos generales, esto significa que las órbitas de los puntos de están uniformemente distribuidas. Por otro lado, si es racional entonces cada punto del intervalo es periódico , y el período es el denominador de (escrito en términos mínimos). ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle \pi =(12)}$ ${\displaystyle T_{\pi ,\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle T_{\pi ,\lambda }}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{1}}$

Si , y siempre que satisfaga ciertas condiciones de no degeneración (es decir, no existe ningún entero tal que ), un teorema profundo que fue una conjetura de M. Keane y debido independientemente a William A. Veech ^[2] y a Howard Masur ^[3] afirma que para casi todas las elecciones de en el símplex unitario la transformación de intercambio de intervalo es nuevamente únicamente ergódica . Sin embargo, para también existen elecciones de de modo que es ergódico pero no únicamente ergódico . Incluso en estos casos, el número de medidas invariantes ergódicas de es finito, y es como máximo . ${\displaystyle n>2}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle 0<k<n}$ ${\displaystyle \pi (\{1,\dots ,k\})=\{1,\dots ,k\}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \{(t_{1},\dots ,t_{n}):\sum t_{i}=1\}}$ ${\displaystyle T_{\pi ,\lambda }}$ ${\displaystyle n\geq 4}$ ${\displaystyle (\pi ,\lambda )}$ ${\displaystyle T_{\pi ,\lambda }}$ ${\displaystyle T_{\pi ,\lambda }}$ ${\displaystyle n}$

Los mapas de intervalos tienen una entropía topológica de cero. ^[4]

Odómetros

Odómetro diádico ${\displaystyle T}$

Odómetro diádico iterado dos veces; es decir ${\displaystyle T^{2}.}$

Odómetro diádico iterado tres veces; es decir ${\displaystyle T^{3}.}$

Odómetro diádico iterado cuatro veces; es decir ${\displaystyle T^{4}.}$

El odómetro diádico puede entenderse como una transformación de intercambio de intervalos de un número contable de intervalos. El odómetro diádico se escribe más fácilmente como la transformación

${\displaystyle T\left(1,\dots ,1,0,b_{k+1},b_{k+2},\dots \right)=\left(0,\dots ,0,1,b_{k+1},b_{k+2},\dots \right)}$

definido en el espacio de Cantor La aplicación estándar del espacio de Cantor en el intervalo unitario está dada por ${\displaystyle \{0,1\}^{\mathbb {N} }.}$

${\displaystyle (b_{0},b_{1},b_{2},\cdots )\mapsto x=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}2^{-n-1}}$

Esta asignación es un homomorfismo que preserva la medida del conjunto de Cantor al intervalo unitario, ya que asigna la medida de Bernoulli estándar del conjunto de Cantor a la medida de Lebesgue del intervalo unitario. A la derecha aparece una visualización del odómetro y sus tres primeras iteraciones.

Dimensiones superiores

Las generalizaciones bidimensionales y de dimensiones superiores incluyen intercambios de polígonos, intercambios poliédricos e isometrías por partes. ^[5]

Véase también

• Cuentakilómetros

Notas

1. Keane, Michael (1975), "Transformaciones de intercambio de intervalos", Mathematische Zeitschrift , 141 : 25–31, doi :10.1007/BF01236981, MR  0357739.
2. Veech, William A. (1982), "Medidas de Gauss para transformaciones en el espacio de mapas de intercambio de intervalos", Anales de Matemáticas , Segunda Serie, 115 (1): 201–242, doi :10.2307/1971391, MR  0644019.
3. Masur, Howard (1982), "Transformaciones de intercambio de intervalos y foliaciones medidas", Anales de Matemáticas , Segunda Serie, 115 (1): 169–200, doi :10.2307/1971341, MR  0644018.
4. Matthew Nicol y Karl Petersen, (2009) "Teoría ergódica: ejemplos básicos y construcciones", Enciclopedia de complejidad y ciencia de sistemas , Springer https://doi.org/10.1007/978-0-387-30440-3_177
5. Isometrías por partes: un área emergente de sistemas dinámicos, Arek Goetz

Referencias

• Artur Avila y Giovanni Forni, Mezcla débil para transformaciones de intercambio de intervalos y flujos de traducción , arXiv:math/0406326v1, https://arxiv.org/abs/math.DS/0406326