Conjugación topológica

Concepto en topología

En matemáticas , se dice que dos funciones son topológicamente conjugadas si existe un homeomorfismo que conjugará una en la otra. La conjugación topológica y la equivalencia topológica de flujos, relacionadas pero distintas, son importantes en el estudio de funciones iteradas y, más generalmente, de sistemas dinámicos , ya que, si se puede determinar la dinámica de una función iterativa, entonces la de una función topológicamente conjugada se deduce trivialmente. ^[1]

Para ilustrar esto directamente: supongamos que y son funciones iteradas, y existe un homeomorfismo tal que ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle g=h^{-1}\circ f\circ h,}$

de modo que y son topológicamente conjugados. Entonces se debe tener ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle g^{n}=h^{-1}\circ f^{n}\circ h,}$

y por lo tanto los sistemas iterados también son topológicamente conjugados. Aquí, denota composición de funciones . ${\displaystyle \circ }$

Definición

${\displaystyle f\colon X\to X,g\colon Y\to Y}$, y son funciones continuas en espacios topológicos , y . ${\displaystyle h\colon Y\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle f}$ser topológicamente semiconjugado a significa, por definición, que es una sobreyección tal que . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle f\circ h=h\circ g}$

${\displaystyle f}$y ser topológicamente conjugado significa, por definición, que son topológicamente semiconjugados y además es inyectivo , luego biyectivo , y su inverso también es continuo ; es decir, es un homeomorfismo ; además, se denomina conjugación topológica entre y . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

Flujos

De manera similar, en , y en son flujos , con , y como arriba. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle h\colon Y\to X}$

${\displaystyle \phi }$ser topológicamente semiconjugado a significa, por definición, que es una sobreyección tal que , para cada , . ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \phi (h(y),t)=h\circ \psi (y,t)}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle \phi }$y ser topológicamente conjugados significa, por definición, que son topológicamente semiconjugados y h es un homeomorfismo. ^[2] ${\displaystyle \psi }$

Ejemplos

• El mapa logístico y el mapa de tiendas son topológicamente conjugados. ^[3]
• El mapa logístico de la altura unitaria y el mapa de Bernoulli son topológicamente conjugados. ^{[ cita requerida ]}
• Para ciertos valores en el espacio de parámetros, el mapa de Hénon cuando está restringido a su conjunto de Julia es topológicamente conjugado o semiconjugado con el mapa de desplazamiento en el espacio de secuencias bilaterales en dos símbolos. ^[4]

Discusión

La conjugación topológica, a diferencia de la semiconjugación, define una relación de equivalencia en el espacio de todas las sobreyecciones continuas de un espacio topológico a sí mismo, al declarar que y están relacionadas si son topológicamente conjugadas. Esta relación de equivalencia es muy útil en la teoría de sistemas dinámicos , ya que cada clase contiene todas las funciones que comparten la misma dinámica desde el punto de vista topológico. Por ejemplo, las órbitas de se mapean a órbitas homeomorfas de mediante la conjugación. La escritura hace evidente este hecho: . Hablando informalmente, la conjugación topológica es un "cambio de coordenadas" en el sentido topológico. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g=h^{-1}\circ f\circ h}$ ${\displaystyle g^{n}=h^{-1}\circ f^{n}\circ h}$

Sin embargo, la definición análoga de flujos es algo restrictiva. De hecho, estamos requiriendo que los mapas y sean topológicamente conjugados para cada , lo que requiere más que simplemente que las órbitas de se asignen a órbitas de homeomórficamente. Esto motiva la definición de equivalencia topológica , que también divide el conjunto de todos los flujos en en clases de flujos que comparten la misma dinámica, nuevamente desde el punto de vista topológico. ${\displaystyle \phi (\cdot ,t)}$ ${\displaystyle \psi (\cdot ,t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle X}$

Equivalencia topológica

Decimos que dos flujos y son topológicamente equivalentes si existe un homeomorfismo que mapea las órbitas de a las órbitas de homeomórficamente y conserva la orientación de las órbitas. En otras palabras, dejando que denote una órbita, se tiene ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle h:Y\to X}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

${\displaystyle h({\mathcal {O}}(y,\psi ))=\{h\circ \psi (y,t):t\in \mathbb {R} \}=\{\phi (h(y),t):t\in \mathbb {R} \}={\mathcal {O}}(h(y),\phi )}$

para cada . Además, hay que alinear el flujo del tiempo: para cada , existe un tal que, si , y si s es tal que , entonces . ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle 0<\vert s\vert <t<\delta }$ ${\displaystyle \phi (h(y),s)=h\circ \psi (y,t)}$ ${\displaystyle s>0}$

En general, la equivalencia topológica es un criterio de equivalencia más débil que la conjugación topológica, ya que no requiere que el término de tiempo se represente junto con las órbitas y su orientación. Un ejemplo de un sistema topológicamente equivalente pero no topológicamente conjugado sería la clase no hiperbólica de sistemas bidimensionales de ecuaciones diferenciales que tienen órbitas cerradas. Si bien las órbitas se pueden transformar entre sí para superponerse en el sentido espacial, los períodos de dichos sistemas no se pueden igualar de manera análoga, por lo que no satisfacen el criterio de conjugación topológica, pero sí el de equivalencia topológica.

Equivalencia orbital y suave

Se pueden estudiar más criterios de equivalencia si los flujos, y , surgen de ecuaciones diferenciales. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$

Se dice que dos sistemas dinámicos definidos por las ecuaciones diferenciales, y , son suavemente equivalentes si existe un difeomorfismo , , tal que ${\displaystyle {\dot {x}}=f(x)}$ ${\displaystyle {\dot {y}}=g(y)}$ ${\displaystyle h:X\to Y}$

${\displaystyle f(x)=M^{-1}(x)g(h(x))\quad {\text{where}}\quad M(x)={\frac {\mathrm {d} h(x)}{\mathrm {d} x}}.}$

En ese caso, los sistemas dinámicos pueden transformarse entre sí mediante la transformación de coordenadas, . ${\displaystyle y=h(x)}$

Se dice que dos sistemas dinámicos en el mismo espacio de estados, definidos por y , son orbitalmente equivalentes si existe una función positiva, , tal que . Los sistemas orbitalmente equivalentes difieren solo en la parametrización temporal. ${\displaystyle {\dot {x}}=f(x)}$ ${\displaystyle {\dot {x}}=g(x)}$ ${\displaystyle \mu :X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle g(x)=\mu (x)f(x)}$

Los sistemas que son suavemente equivalentes u orbitalmente equivalentes también son topológicamente equivalentes. Sin embargo, lo inverso no es cierto. Por ejemplo, considere sistemas lineales en dos dimensiones de la forma . Si la matriz, , tiene dos valores propios reales positivos, el sistema tiene un nodo inestable; si la matriz tiene dos valores propios complejos con parte real positiva, el sistema tiene un foco inestable (o espiral). Los nodos y focos son topológicamente equivalentes pero no orbitalmente equivalentes o suavemente equivalentes, ^[5] porque sus valores propios son diferentes (note que los jacobianos de dos sistemas localmente suavemente equivalentes deben ser similares , por lo que sus valores propios, así como las multiplicidades algebraicas y geométricas , deben ser iguales). ${\displaystyle {\dot {x}}=Ax}$ ${\displaystyle A}$

Generalizaciones de la conjugación topológica dinámica

Se han descrito dos extensiones del concepto de conjugación topológica dinámica:

1. Sistemas análogos definidos como sistemas dinámicos isomorfos
2. Sistemas dinámicos adjuntos definidos a través de funtores adjuntos y equivalencias naturales en dinámica categórica. ^{[6] [7]}

Véase también

• Diagrama conmutativo

Referencias

1. Métodos geométricos de Arnold VI en la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias (Springer, 2020) [1]
2. Métodos geométricos de Arnold VI en la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias (Springer, 2020) [2]
3. Alligood, KT, Sauer, T. y Yorke, JA (1997). Caos: una introducción a los sistemas dinámicos . Springer. págs. 114-124. ISBN. 0-387-94677-2.{{cite book}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
4. Devaney, R.; Nitecki, Z. (1979). "Automorfismos de desplazamiento en la aplicación de Hénon". Comm. Math. Phys . 67 (2): 137–146. Bibcode :1979CMaPh..67..137D. doi :10.1007/bf01221362. S2CID  121479458 . Consultado el 2 de septiembre de 2016 .
5. Kuznetsov, Yuri A. (1998). Elementos de la teoría de la bifurcación (segunda edición). Springer. ISBN 0-387-98382-1.
6. "Complejidad y dinámica categórica". Archivado desde el original el 19 de agosto de 2009.
7. "Sistemas análogos, conjugación topológica y sistemas adjuntos". Archivado desde el original el 25 de febrero de 2015.

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