Punto periódico

Punto al que una función/sistema regresa después de un tiempo o de iteraciones

En matemáticas , en el estudio de funciones iteradas y sistemas dinámicos , un punto periódico de una función es un punto al que el sistema regresa después de un cierto número de iteraciones de la función o una cierta cantidad de tiempo.

Funciones iteradas

Dado un mapeo f de un conjunto X en sí mismo,

${\displaystyle f:X\to X,}$

un punto x en X se llama punto periódico si existe un n > 0 tal que

${\displaystyle \ f_{n}(x)=x}$

donde f _n es el n- ésimo iterador de f . El entero positivo más pequeño n que satisface lo anterior se llama período primo o período menor del punto x . Si cada punto en X es un punto periódico con el mismo período n , entonces f se llama periódico con período n (esto no debe confundirse con la noción de una función periódica ).

Si existen n y m distintos tales que

${\displaystyle f_{n}(x)=f_{m}(x)}$

Entonces x se llama punto preperiódico . Todos los puntos periódicos son preperiódicos.

Si f es un difeomorfismo de una variedad diferenciable , de modo que la derivada está definida, entonces se dice que un punto periódico es hiperbólico si ${\displaystyle f_{n}^{\prime }}$

${\displaystyle |f_{n}^{\prime }|\neq 1,}$

que es atractivo si

${\displaystyle |f_{n}^{\prime }|<1,}$

y es repulsivo si

${\displaystyle |f_{n}^{\prime }|>1.}$

Si la dimensión de la variedad estable de un punto periódico o punto fijo es cero, el punto se llama fuente ; si la dimensión de su variedad inestable es cero, se llama sumidero ; y si tanto la variedad estable como la inestable tienen dimensión distinta de cero, se llama silla o punto de silla .

Ejemplos

Un punto del periodo uno se llama punto fijo .

El mapa logístico

$${\displaystyle x_{t+1}=rx_{t}(1-x_{t}),\qquad 0\leq x_{t}\leq 1,\qquad 0\leq r\leq 4}$$

exhibe periodicidad para varios valores del parámetro r . Para r entre 0 y 1, 0 es el único punto periódico, con período 1 (dando la secuencia 0, 0, 0, …, que atrae todas las órbitas). Para r entre 1 y 3, el valor 0 sigue siendo periódico pero no es atractivo, mientras que el valor es un punto periódico atractivo de período 1. Con r mayor que 3 pero menor que ⁠ ⁠ hay un par de puntos de período 2 que juntos forman una secuencia atractiva, así como los puntos de período 1 no atractivos 0 y A medida que el valor del parámetro r aumenta hacia 4, surgen grupos de puntos periódicos con cualquier entero positivo para el período; para algunos valores de r una de estas secuencias repetidas es atractiva mientras que para otras ninguna de ellas lo es (siendo casi todas las órbitas caóticas). ${\displaystyle {\tfrac {r-1}{r}}}$ ${\displaystyle 1+{\sqrt {6}},}$ ${\displaystyle {\tfrac {r-1}{r}}.}$

Sistema dinámico

Dado un sistema dinámico global real ⁠ ⁠ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,X,\Phi ),}$ con X el espacio de fases y Φ la función de evolución ,

${\displaystyle \Phi :\mathbb {R} \times X\to X}$

Un punto x en X se llama periódico con período T si

${\displaystyle \Phi (T,x)=x\,}$

El T positivo más pequeño con esta propiedad se llama período primo del punto x .

Propiedades

• Dado un punto periódico x con período T , entonces para todo t en ⁠ ⁠ ${\displaystyle \Phi (t,x)=\Phi (t+T,x)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$
• Dado un punto periódico x , entonces todos los puntos en la órbita γ _x a través de x son periódicos con el mismo período primo.

Véase también

• Ciclo límite
• Límite establecido
• Conjunto estable
• Teorema de Sharkovsky
• Punto estacionario
• Puntos periódicos de aplicaciones cuadráticas complejas

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