Similitud de matriz

Equivalencia bajo cambio de base (álgebra lineal)

En álgebra lineal , dos matrices A y B de n por n se consideran similares si existe una matriz P invertible de n por n tal que

$${\displaystyle B=P^{-1}AP.}$$

mapa linealbasesPde cambio de base^{[1] [2]}

Una transformación A ↦ P ⁻¹ AP se llama transformación de similitud o conjugación de la matriz A. En el grupo lineal general , la similitud es, por tanto, lo mismo que la conjugación , y las matrices similares también se denominan conjugadas ; sin embargo, en un subgrupo dado H del grupo lineal general, la noción de conjugación puede ser más restrictiva que la similitud, ya que requiere que se elija que P se encuentre en H.

Ejemplo motivador

Al definir una transformación lineal, puede darse el caso de que un cambio de base dé como resultado una forma más simple de la misma transformación. Por ejemplo, la matriz que representa una rotación en R ³ cuando el eje de rotación no está alineado con el eje de coordenadas puede resultar complicada de calcular. Si el eje de rotación estuviera alineado con el eje z positivo , entonces simplemente sería

$${\displaystyle S={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}},}$$

${\displaystyle \theta }$

$${\displaystyle y'=Sx',}$$

x'y'

$${\displaystyle y=Tx,}$$

yT estánTquexeyy ${\displaystyle x'=Px}$ ${\displaystyle y'=Py}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&&y'&=Sx'\\[1.6ex]&\Rightarrow &Py&=SPx\\[1.6ex]&\Rightarrow &y&=\left(P^{-1}SP\right)x=Tx\end{aligned}}}$$

Por lo tanto, la matriz en la base original, está dada por . Se encuentra que la transformada en la base original es el producto de tres matrices fáciles de derivar. En efecto, la transformación de similitud opera en tres pasos: cambiar a una nueva base ( P ), realizar la transformación simple ( S ) y volver a la base anterior ( P ⁻¹ ). ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T=P^{-1}SP}$

Propiedades

La similitud es una relación de equivalencia en el espacio de matrices cuadradas.

Debido a que las matrices son similares si y sólo si representan el mismo operador lineal con respecto a (posiblemente) bases diferentes, las matrices similares comparten todas las propiedades de su operador subyacente compartido:

• Rango
• Polinomio característico y atributos que se pueden derivar de él:
  • Determinante
  • Rastro
  • Valores propios y sus multiplicidades algebraicas.
• Multiplicidades geométricas de valores propios (pero no de espacios propios, que se transforman según la matriz de cambio de base P utilizada).
• Polinomio mínimo
• Forma normal de Frobenius
• Forma normal de Jordan , hasta una permutación de los bloques de Jordan.
• Índice de nilpotencia
• Divisores elementales , que forman un conjunto completo de invariantes para similitud de matrices sobre un dominio ideal principal

Debido a esto, para una matriz A dada , uno está interesado en encontrar una "forma normal" simple B que sea similar a A ; el estudio de A se reduce entonces al estudio de la matriz B más simple . Por ejemplo, A se llama diagonalizable si es similar a una matriz diagonal . No todas las matrices son diagonalizables, pero al menos en números complejos (o cualquier campo algebraicamente cerrado ), cada matriz es similar a una matriz en forma de Jordan . Ninguna de estas formas es única (las entradas diagonales o los bloques de Jordan pueden permutarse), por lo que en realidad no son formas normales ; además su determinación depende de poder factorizar el polinomio mínimo o característico de A (equivalentemente a encontrar sus valores propios). La forma canónica racional no tiene estos inconvenientes: existe en cualquier campo, es verdaderamente única y puede calcularse utilizando únicamente operaciones aritméticas en el campo; A y B son similares si y sólo si tienen la misma forma canónica racional. La forma canónica racional está determinada por los divisores elementales de A ; estos pueden leerse inmediatamente en una matriz en forma de Jordan, pero también pueden determinarse directamente para cualquier matriz calculando la forma normal de Smith , sobre el anillo de polinomios, de la matriz (con entradas polinómicas) XI _n − A (la mismo cuyo determinante define el polinomio característico). Tenga en cuenta que esta forma normal de Smith no es una forma normal de A en sí misma; además, tampoco es similar a XI _n − A , sino que se obtiene a partir de este último mediante multiplicaciones por izquierda y derecha por diferentes matrices invertibles (con entradas polinómicas).

La similitud de las matrices no depende del campo base: si L es un campo que contiene K como subcampo , y A y B son dos matrices sobre K , entonces A y B son similares como matrices sobre K si y solo si son similares como matrices sobre L . Esto es así porque la forma canónica racional sobre K es también la forma canónica racional sobre L . Esto significa que se pueden utilizar formas de Jordan que sólo existen en un campo más grande para determinar si las matrices dadas son similares.

En la definición de similitud, si se puede elegir la matriz P como matriz de permutación, entonces A y B son similares en permutación; Si se puede elegir que P sea una matriz unitaria, entonces A y B son unitariamente equivalentes. El teorema espectral dice que toda matriz normal es unitariamente equivalente a alguna matriz diagonal. El teorema de Specht establece que dos matrices son unitariamente equivalentes si y sólo si satisfacen ciertas trazas de igualdad.

Ver también

• Formas canónicas
• Congruencia matricial
• Equivalencia matricial

Referencias

Citas

1. Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973). Un primer curso de álgebra lineal: con introducción opcional a grupos, anillos y campos . Boston: Houghton Mifflin Co. págs. ISBN 0-395-14017-X.
2. Bronson, Richard (1970), Métodos matriciales: una introducción , Nueva York: Academic Press , págs. 176-178, LCCN  70097490

Referencias generales

• Cuerno, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985). Análisis matricial . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-38632-2.(La similitud se analiza en muchos lugares, a partir de la página 44.)