Polinomio mínimo (álgebra lineal)

En álgebra lineal , el polinomio mínimo $μ A$ de una matriz $A de$ $n \times n$ sobre un campo $F$ es el polinomio mónico $P$ sobre $F$ de menor grado tal que $P$ $($ $A$ $) = 0$ . Cualquier otro polinomio $Q$ con $Q$ $($ $A$ $) = 0$ es un múltiplo (polinomio) de $μ$ $A$ .

Las siguientes tres afirmaciones son equivalentes :

$λ$ es una raíz de $μ A$ ,
$λ$ es una raíz del polinomio característico $χ A$ de $A$ ,
$λ$ es un valor propio de la matriz $A.$

La multiplicidad de una raíz $λ$ de $μ A$ es la potencia más grande $m$ tal que $ker((A - λI n) m)$ contiene estrictamente $a ker((A - λI n) m -1)$ . En otras palabras, aumentar el exponente hasta $m$ dará núcleos cada vez más grandes , pero aumentar aún más el exponente más allá $de m$ dará simplemente el mismo núcleo. Formalmente, $m$ es el índice nilpotente de $A - λI n$ .

Si el cuerpo $F$ no es algebraicamente cerrado , entonces los polinomios mínimos y característicos no necesitan factorizarse según sus raíces (en $F$ ) únicamente; en otras palabras, pueden tener factores polinomiales irreducibles de grado mayor que $1$ . Para polinomios irreducibles $P$ se tienen equivalencias similares:

$P$ divide $μ A$ ,
$P$ divide $χ A$ ,
el núcleo de $P (A)$ tiene dimensión al menos $1$ .
el núcleo de $P (A)$ tiene una dimensión de al menos $grados (P)$ .

Al igual que el polinomio característico, el polinomio mínimo no depende del campo base. En otras palabras, considerar la matriz como una con coeficientes en un campo más grande no cambia el polinomio mínimo. La razón de esto difiere del caso del polinomio característico (donde es inmediato de la definición de determinantes ), concretamente por el hecho de que el polinomio mínimo está determinado por las relaciones de dependencia lineal entre las potencias de $A$ : extendiendo el campo base no introducirá nuevas relaciones de este tipo (ni, por supuesto, eliminará las existentes).

El polinomio mínimo suele ser el mismo que el polinomio característico, pero no siempre. Por ejemplo, si $A$ es un múltiplo $aI n$ de la matriz identidad , entonces su polinomio mínimo es $X - a$ ya que el núcleo de $aI n - A = 0$ ya es el espacio completo; por otro lado su polinomio característico es $(X - a) n$ (el único valor propio es $a$ , y el grado del polinomio característico es siempre igual a la dimensión del espacio). El polinomio mínimo siempre divide al polinomio característico, que es una forma de formular el teorema de Cayley-Hamilton (para el caso de matrices sobre un cuerpo).

Definicion formal

Dado un endomorfismo $T en un$ espacio vectorial de dimensión finita $V$ sobre un campo $F$ , sea $I T$ el conjunto definido como

{\mathit {I}}_{T}=\{p\in \mathbf {F} [t]\mid p(T)=0\},

donde $F [t]$ es el espacio de todos los polinomios sobre el campo $F$ . $I T$ es un ideal propio de $F [t]$ . Dado que $F$ es un campo, $F [t]$ es un dominio ideal principal , por lo que cualquier ideal es generado por un solo polinomio, que es único hasta una unidad en $F.$ Se puede hacer una elección particular entre los generadores, ya que precisamente uno de los generadores es mónico . El polinomio mínimo se define así como el polinomio mónico que genera $I T$ . Es el polinomio mónico de menor grado en $I T$ .

Aplicaciones

Un endomorfismo $φ$ de un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo $F$ es diagonalizable si y sólo si su polinomio mínimo se factoriza completamente sobre $F$ en distintos factores lineales. El hecho de que solo haya un factor $X - λ$ para cada valor propio $λ$ significa que el espacio propio generalizado para $λ$ es el mismo que el espacio propio para $λ$ : cada bloque de Jordan tiene tamaño $1$ . De manera más general, si $φ$ satisface una ecuación polinómica $P (φ) = 0$ donde $P$ se factoriza en distintos factores lineales sobre $F$ , entonces será diagonalizable: su polinomio mínimo es un divisor de $P$ y, por lo tanto, también se factoriza en distintos factores lineales. En particular uno tiene:

$P = X k - 1$ : los endomorfismos de orden finito de espacios vectoriales complejos son diagonalizables. Para el caso especial $k = 2$ de involuciones , esto es incluso cierto para endomorfismos de espacios vectoriales sobre cualquier campo de característica distinto de $2$ , ya que $X 2 - 1 = (X - 1)(X + 1)$ es una factorización en factores distintos sobre tal campo. Esto es parte de la teoría de la representación de grupos cíclicos .
$P = X 2 - X = X (X - 1)$ : los endomorfismos que satisfacen $φ 2 = φ$ se llaman proyecciones y siempre son diagonalizables (además, sus únicos valores propios son $0$ y $1$ ).
Por el contrario, si $μ φ = X k$ con $k \geq 2$ , entonces $φ$ (un endomorfismo nilpotente ) no es necesariamente diagonalizable, ya que $X k$ tiene una raíz repetida $0$ .

Estos casos también se pueden demostrar directamente, pero el polinomio mínimo ofrece una perspectiva y una prueba unificadas.

Cálculo

Para un vector distinto de cero $v$ en $V$ definir:

{\mathit {I}}_{T,v}=\{p\in \mathbf {F} [t]\;|\;p(T)(v)=0\}.

Esta definición satisface las propiedades de un ideal adecuado. Sea $μ T, v$ el polinomio mónico que lo genera.

Propiedades

Dado que $I T, v$ contiene el polinomio mínimo $μ T$ , este último es divisible por $μ T, v$ .
Si $d$ es el menor número natural tal que $v, T (v), ..., T d (v)$ son linealmente dependientes , entonces existen únicos $a 0, a 1, ..., a d -1$ en $F$ , no todo cero, tal que
$a_{0}v+a_{1}T(v)+\cdots +a_{d-1}T^{d-1}(v)+T^{d}(v)=0$
y para estos coeficientes se tiene
$\mu _{T,v}(t)=a_{0}+a_{1}t+\ldots +a_{d-1}t^{d-1}+t^{d}.$
Sea el subespacio W la imagen de $μ T, v (T)$ , que es $T$ -estable. Dado que $μ T, v (T)$ aniquila al menos los vectores $v, T (v), ..., T d -1 (v)$ , la codimensión de $W$ es al menos $d$ .
El polinomio mínimo $μ T$ es el producto de $μ T, v$ y el polinomio mínimo $Q$ de la restricción de $T$ a $W$ . En el (probable) caso de que $W$ tenga dimensión $0$ , se tiene $Q = 1$ y por lo tanto $μ T = μ T, v$ ; de lo contrario , basta con un cálculo recursivo de $Q$ para encontrar $μ T.$

Ejemplo

Defina $T$ como el endomorfismo de $R 3$ con matriz, sobre la base canónica ,

{\begin{pmatrix}1&-1&-1\\1&-2&1\\0&1&-3\end{pmatrix}}.

Tomando el primer vector de base canónica $e 1$ y sus imágenes repetidas por $T$ se obtiene

e_{1}={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\quad T\cdot e_{1}={\begin{bmatrix}1\\1\\ 0\end{bmatrix}}.\quad T^{2}\!\cdot e_{1}={\begin{bmatrix}0\\-1\\1\end{bmatrix}}{\mbox{ y} }\quad T^{3}\!\cdot e_{1}={\begin{bmatrix}0\\3\\-4\end{bmatrix}}

de los cuales se ve fácilmente que los tres primeros son linealmente independientes y, por lo tanto, abarcan todo $R 3$ . El último entonces es necesariamente una combinación lineal de los tres primeros, de hecho

T 3 \cdot mi 1 = -4 T 2 \cdot mi 1 - T \cdot mi 1 + mi 1

de modo que:

μ T, mi 1 = X 3 + 4 X 2 + X - I

De hecho, este es también el polinomio mínimo $μ T$ y el polinomio característico $χ T$ : de hecho $μ T, e 1$ divide $a μ T$ que divide $a χ T$ , y como el primero y el último son de grado $3$ y todos son mónicos, todos deben ser lo mismo. Otra razón es que en general si cualquier polinomio en $T$ aniquila un vector $v$ , entonces también aniquila $T \cdot v$ (basta con aplicar $T$ a la ecuación que dice que aniquila $v$ ), y por lo tanto por iteración aniquila todo el espacio generado por el imágenes iteradas por $T$ de $v$ ; en el caso actual hemos visto que para $v = e 1$ ese espacio es todo $R 3$ , entonces $μ T, e 1 (T) = 0$ . De hecho, se verifica para la matriz completa que $T 3 + 4 T 2 + T - I 3$ es la matriz cero :

{\begin{bmatrix}0&1&-3\\3&-13&23\\-4&19&-36\end{bmatrix}}+4{\begin{bmatrix}0&0&1\\-1&4&-6\\1&-5&10\ end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1&-1&-1\\1&-2&1\\0&1&-3\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0& -1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}

Ver también

Polinomio aniquilador

Referencias

Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de Graduado en Matemáticas , vol. 211 (tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, señor 1878556