matriz de jordania

Matriz diagonal de bloques de bloques Jordan

En la disciplina matemática de la teoría de matrices , una matriz de Jordan , llamada así en honor a Camille Jordan , es una matriz diagonal de bloques sobre un anillo R (cuyas identidades son el cero 0 y el uno 1), donde cada bloque a lo largo de la diagonal, llamado bloque de Jordan, tiene la siguiente forma:

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\lambda &1\\0&0&0&0&\lambda \end{bmatrix}}.}$$

Definición

Cada bloque de Jordan se especifica por su dimensión n y su valor propio , y se denota como J _{λ, n} . Es una matriz de ceros en todas partes excepto en la diagonal, que está llena de y para la superdiagonal , que está compuesta de unos. ${\displaystyle \lambda \in R}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \lambda }$

Cualquier matriz diagonal de bloques cuyos bloques sean bloques de Jordan se denomina matriz de Jordan . Esta matriz cuadrada ( n ₁ + ⋯ + n _r ) × ( n ₁ + ⋯ + n _r ) , que consta de r bloques diagonales, se puede indicar de forma compacta como o , donde el i -ésimo bloque de Jordan es J _{λ i , n i} . ${\displaystyle J_{\lambda _{1},n_{1}}\oplus \cdots \oplus J_{\lambda _{r},n_{r}}}$ ${\displaystyle \mathrm {diag} \left(J_{\lambda _{1},n_{1}},\ldots ,J_{\lambda _{r},n_{r}}\right)}$

Por ejemplo, la matriz

$${\displaystyle J=\left[{\begin{array}{ccc|cc|cc|ccc}0&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\\hline 0&0&0&i&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&i&0&0&0&0&0\\\hline 0&0&0&0&0&i&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&i&0&0&0\\\hline 0&0&0&0&0&0&0&7&1&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&7&1\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&7\end{array}}\right]}$$

de 10 × 10de 3 × 3valor propio 0de 2 × 2unidad imaginaria i3 × 3diag ( J _0,3 , Ji _{, 2} , Ji _{, 2} , J _7,3 ) ${\displaystyle J_{0,3}\oplus J_{i,2}\oplus J_{i,2}\oplus J_{7,3}}$

Álgebra lineal

Cualquier matriz cuadrada A de n × n cuyos elementos están en un campo algebraicamente cerrado K es similar a una matriz de Jordan J , también en , que es única hasta una permutación de sus propios bloques diagonales. J se denomina forma normal de Jordan de A y corresponde a una generalización del procedimiento de diagonalización. ^{[1] [2] [3]} Una matriz diagonalizable es similar, de hecho, a un caso especial de la matriz de Jordan: la matriz cuyos bloques son todos 1 × 1 . ^{[4] [5] [6]} ${\displaystyle \mathbb {M} _{n}(K)}$

De manera más general, dada una matriz de Jordan , es decir, cuyo k- ésimo bloque diagonal, es el bloque de Jordan J _{λ k , m k} y cuyos elementos diagonales pueden no ser todos distintos, la multiplicidad geométrica de para la matriz J , se indica como , corresponde al número de bloques de Jordan cuyo valor propio es λ . Mientras que el índice de un valor propio para J , indicado como , se define como la dimensión del bloque de Jordan más grande asociado a ese valor propio. ${\displaystyle J=J_{\lambda _{1},m_{1}}\oplus J_{\lambda _{2},m_{2}}\oplus \cdots \oplus J_{\lambda _{N},m_{N}}}$ ${\displaystyle 1\leq k\leq N}$ ${\displaystyle \lambda _{k}}$ ${\displaystyle \lambda \in K}$ ${\displaystyle \operatorname {gmul} _{J}\lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \operatorname {idx} _{J}\lambda }$

Lo mismo ocurre con todas las matrices A similares a J , por lo que pueden definirse en consecuencia con respecto a la forma normal de Jordan de A para cualquiera de sus valores propios . En este caso se puede comprobar que el índice de para A es igual a su multiplicidad como raíz del polinomio mínimo de A (mientras que, por definición, su multiplicidad algebraica para A , , es su multiplicidad como raíz del polinomio característico de A ; es decir, ). Una condición necesaria y suficiente equivalente para que A sea diagonalizable en K es que todos sus valores propios tengan índice igual a 1 ; es decir, su polinomio mínimo sólo tiene raíces simples. ${\displaystyle \operatorname {idx} _{A}\lambda }$ ${\displaystyle \lambda \in \operatorname {spec} A}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \operatorname {mul} _{A}\lambda }$ ${\displaystyle \det(A-xI)\in K[x]}$

Tenga en cuenta que conocer el espectro de una matriz con todas sus multiplicidades e índices algebraicos/geométricos no siempre permite calcular su forma normal de Jordan (esto puede ser una condición suficiente sólo para matrices espectralmente simples, generalmente de baja dimensión). De hecho, determinar la forma normal de Jordan es generalmente una tarea computacionalmente desafiante. Desde el punto de vista del espacio vectorial , la forma normal de Jordan es equivalente a encontrar una descomposición ortogonal (es decir, mediante sumas directas de espacios propios representados por bloques de Jordan) del dominio para el que los vectores propios generalizados asociados constituyen una base.

Funciones de matrices

Sea (es decir, una matriz compleja n × n ) y la matriz de cambio de base a la forma normal de Jordan de A ; es decir, A = C ⁻¹ JC . Ahora sea f  ( z ) una función holomorfa en un conjunto abierto tal que ; es decir, el espectro de la matriz está contenido dentro del dominio de holomorfia de f . Dejar ${\displaystyle A\in \mathbb {M} _{n}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle C\in \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathrm {spec} A\subset \Omega \subseteq \mathbb {C} }$

$${\displaystyle f(z)=\sum _{h=0}^{\infty }a_{h}(z-z_{0})^{h}}$$

en serie de potencias de ff  ( A )serie de potencias formales ${\displaystyle z_{0}\in \Omega \setminus \operatorname {spec} A}$

$${\displaystyle f(A)=\sum _{h=0}^{\infty }a_{h}A^{h}}$$

absolutamente convergentenorma euclidianaf  ( A )radio espectralradio de convergenciaf0uniformemente convergentedel grupo de Lie de la matriz ${\displaystyle \mathbb {M} _{n}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {M} _{n}(\mathbb {C} )}$

La forma normal de Jordan permite el cálculo de funciones de matrices sin calcular explícitamente una serie infinita , que es uno de los principales logros de las matrices de Jordan. Usando el hecho de que la k -ésima potencia ( ) de una matriz de bloques diagonales es la matriz de bloques diagonales cuyos bloques son las k -ésimas potencias de los respectivos bloques; es decir, y que A ^k = C ⁻¹ J ^k C , la serie de potencias de la matriz anterior se convierte en ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle \left(A_{1}\oplus A_{2}\oplus A_{3}\oplus \cdots \right)^{k}=A_{1}^{k}\oplus A_{2}^{k}\oplus A_{3}^{k}\oplus \cdots }$

$${\displaystyle f(A)=C^{-1}f(J)C=C^{-1}\left(\bigoplus _{k=1}^{N}f\left(J_{\lambda _{k},m_{k}}\right)\right)C}$$

donde no es necesario calcular explícitamente la última serie mediante series de potencias de cada bloque de Jordan. De hecho, si , cualquier función holomorfa de un bloque de Jordan tiene una serie de potencias finita porque . Aquí, es la parte nilpotente de y tiene todos los 0 excepto los 1 a lo largo de la superdiagonal. Por tanto queda la siguiente matriz triangular superior : ${\displaystyle \lambda \in \Omega }$ ${\displaystyle f(J_{\lambda ,n})=f(\lambda I+Z)}$ ${\displaystyle \lambda I}$ ${\displaystyle Z^{n}=0}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle Z^{k}}$ ${\displaystyle k^{\text{th}}}$

$${\displaystyle f(J_{\lambda ,n})=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k)}(\lambda )Z^{k}}{k!}}={\begin{bmatrix}f(\lambda )&f^{\prime }(\lambda )&{\frac {f^{\prime \prime }(\lambda )}{2}}&\cdots &{\frac {f^{(n-2)}(\lambda )}{(n-2)!}}&{\frac {f^{(n-1)}(\lambda )}{(n-1)!}}\\0&f(\lambda )&f^{\prime }(\lambda )&\cdots &{\frac {f^{(n-3)}(\lambda )}{(n-3)!}}&{\frac {f^{(n-2)}(\lambda )}{(n-2)!}}\\0&0&f(\lambda )&\cdots &{\frac {f^{(n-4)}(\lambda )}{(n-4)!}}&{\frac {f^{(n-3)}(\lambda )}{(n-3)!}}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &f(\lambda )&f^{\prime }(\lambda )\\0&0&0&\cdots &0&f(\lambda )\\\end{bmatrix}}.}$$

Como consecuencia de esto, el cálculo de cualquier función de una matriz es sencillo siempre que se conozcan su forma normal de Jordan y su matriz de cambio de base. Por ejemplo, usando , el inverso de es: ${\displaystyle f(z)=1/z}$ ${\displaystyle J_{\lambda ,n}}$

$${\displaystyle J_{\lambda ,n}^{-1}=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(-Z)^{k}}{\lambda ^{k+1}}}={\begin{bmatrix}\lambda ^{-1}&-\lambda ^{-2}&\,\,\,\lambda ^{-3}&\cdots &-(-\lambda )^{1-n}&\,-(-\lambda )^{-n}\\0&\;\;\;\lambda ^{-1}&-\lambda ^{-2}&\cdots &-(-\lambda )^{2-n}&-(-\lambda )^{1-n}\\0&0&\,\,\,\lambda ^{-1}&\cdots &-(-\lambda )^{3-n}&-(-\lambda )^{2-n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &\lambda ^{-1}&-\lambda ^{-2}\\0&0&0&\cdots &0&\lambda ^{-1}\\\end{bmatrix}}.}$$

Además, especificación  f ( A ) = f  (especificación  A ) ; es decir, cada valor propio corresponde al valor propio , pero tiene, en general, diferente multiplicidad algebraica , multiplicidad geométrica e índice. Sin embargo, la multiplicidad algebraica se puede calcular de la siguiente manera: ${\displaystyle \lambda \in \mathrm {spec} A}$ ${\displaystyle f(\lambda )\in \operatorname {spec} f(A)}$

$${\displaystyle {\text{mul}}_{f(A)}f(\lambda )=\sum _{\mu \in {\text{spec}}A\cap f^{-1}(f(\lambda ))}~{\text{mul}}_{A}\mu .}$$

La función f  ( T ) de una transformación lineal T entre espacios vectoriales puede definirse de manera similar según el cálculo funcional holomorfo , donde las teorías del espacio de Banach y de las superficies de Riemann juegan un papel fundamental. En el caso de espacios de dimensión finita, ambas teorías coinciden perfectamente.

Sistemas dinámicos

Ahora supongamos que un sistema dinámico (complejo) se define simplemente mediante la ecuación

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {z} }}(t)&=A(\mathbf {c} )\mathbf {z} (t),\\\mathbf {z} (0)&=\mathbf {z} _{0}\in \mathbb {C} ^{n},\end{aligned}}}$$

donde está la parametrización de la curva ( n -dimensional) de una órbita en la superficie de Riemann del sistema dinámico, mientras que A ( c ) es una matriz compleja n × n cuyos elementos son funciones complejas de un parámetro d -dimensional . ${\displaystyle \mathbf {z} :\mathbb {R} _{+}\to {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle \mathbf {c} \in \mathbb {C} ^{d}}$

Incluso si (es decir, A depende continuamente del parámetro c ) la forma normal de Jordan de la matriz se deforma continuamente en casi todas partes , pero, en general, no en todas partes: hay alguna subvariedad crítica de en la que la forma de Jordan cambia abruptamente su estructura. cada vez que el parámetro lo cruza o simplemente "viaja" alrededor de él ( monodromía ). Dichos cambios significan que varios bloques Jordan (ya sea que pertenezcan a diferentes valores propios o no) se unen a un bloque Jordan único, o viceversa (es decir, un bloque Jordan se divide en dos o más bloques diferentes). Muchos aspectos de la teoría de la bifurcación para sistemas dinámicos tanto continuos como discretos pueden interpretarse con el análisis de matrices de Jordan funcionales. ${\displaystyle A\in \mathbb {M} _{n}\left(\mathrm {C} ^{0}\left(\mathbb {C} ^{d}\right)\right)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{d}}$

Desde la dinámica espacial tangente , esto significa que la descomposición ortogonal del espacio de fase del sistema dinámico cambia y, por ejemplo, diferentes órbitas ganan, o pierden, o cambian de un cierto tipo de periodicidad a otra (como la duplicación del período) . cfr. mapa logístico ).

En una oración, el comportamiento cualitativo de tal sistema dinámico puede cambiar sustancialmente como la deformación versal de la forma normal de Jordan de A ( c ) .

Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales

El ejemplo más simple de un sistema dinámico es un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias, lineales y de coeficiente constante; es decir, dejemos y : ${\displaystyle A\in \mathbb {M} _{n}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbf {z} _{0}\in \mathbb {C} ^{n}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {z} }}(t)&=A\mathbf {z} (t),\\\mathbf {z} (0)&=\mathbf {z} _{0},\end{aligned}}}$$

matriz exponencial

$${\displaystyle \mathbf {z} (t)=e^{tA}\mathbf {z} _{0}.}$$

Otra forma, siempre que la solución esté restringida al espacio local de Lebesgue de campos vectoriales de n dimensiones , es utilizar su transformada de Laplace . En este caso ${\displaystyle \mathbf {z} \in \mathrm {L} _{\mathrm {loc} }^{1}(\mathbb {R} _{+})^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} (s)={\mathcal {L}}[\mathbf {z} ](s)}$

$${\displaystyle \mathbf {Z} (s)=\left(sI-A\right)^{-1}\mathbf {z} _{0}.}$$

La función matricial ( A − sI ) ⁻¹ se llama matriz resolutiva del operador diferencial . Es meromorfo con respecto al parámetro complejo ya que sus elementos matriciales son funciones racionales cuyo denominador es igual para todos a det( A − sI ) . Sus singularidades polares son los valores propios de A , cuyo orden es igual a su índice; eso es, . ${\textstyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}-A}$ ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathrm {ord} _{(A-sI)^{-1}}\lambda =\mathrm {idx} _{A}\lambda }$

Ver también

• Descomposición de Jordania
• Forma normal de Jordania
• Cálculo funcional holomorfo
• Matriz exponencial
• Logaritmo de una matriz
• sistema dinámico
• Teoría de la bifurcación
• Espacio de estados (controles)

Notas

1. Beauregard y Fraleigh (1973, págs. 310–316)
2. Préstamo Golub y Van (1996, pág.317)
3. Nering (1970, págs. 118-127)
4. Beauregard y Fraleigh (1973, págs. 270-274)
5. Préstamo Golub y Van (1996, pág.316)
6. Nering (1970, págs. 113-118)

Referencias

• Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), Un primer curso de álgebra lineal: con introducción opcional a grupos, anillos y campos , Boston: Houghton Mifflin Co. , ISBN 0-395-14017-X
• Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Computaciones matriciales (3.ª ed.), Baltimore: Johns Hopkins University Press , ISBN 0-8018-5414-8
• Nering, Evar D. (1970), Álgebra lineal y teoría de matrices (2ª ed.), Nueva York: Wiley , LCCN  76091646