En matemáticas , un campo F es algebraicamente cerrado si cada polinomio no constante en F [ x ] (el anillo polinomial univariado con coeficientes en F ) tiene una raíz en F .
Por ejemplo, el campo de los números reales no es algebraicamente cerrado, porque la ecuación polinómica no tiene solución en números reales, aunque todos sus coeficientes (1 y 0) sean reales. El mismo argumento demuestra que ningún subcampo del campo real es algebraicamente cerrado; en particular, el campo de los números racionales no es algebraicamente cerrado. Por el contrario, el teorema fundamental del álgebra establece que el campo de los números complejos es algebraicamente cerrado. Otro ejemplo de un campo algebraicamente cerrado es el campo de los números algebraicos (complejos) .
Ningún cuerpo finito F es algebraicamente cerrado, porque si a 1 , a 2 , ..., a n son los elementos de F , entonces el polinomio ( x − a 1 )( x − a 2 ) ⋯ ( x − a n ) + 1 no tiene cero en F . Sin embargo, la unión de todos los cuerpos finitos de una característica fija p es un cuerpo algebraicamente cerrado, que es, de hecho, el cierre algebraico del cuerpo con p elementos.
Dado un campo F , la afirmación " F es algebraicamente cerrado" es equivalente a otras afirmaciones:
El campo F es algebraicamente cerrado si y sólo si los únicos polinomios irreducibles en el anillo de polinomios F [ x ] son los de grado uno.
La afirmación "los polinomios de grado uno son irreducibles" es trivialmente cierta para cualquier cuerpo. Si F es algebraicamente cerrado y p ( x ) es un polinomio irreducible de F [ x ], entonces tiene alguna raíz a y por lo tanto p ( x ) es un múltiplo de x − a . Como p ( x ) es irreducible, esto significa que p ( x ) = k ( x − a ) , para algún k ∈ F \ {0} . Por otro lado, si F no es algebraicamente cerrado, entonces hay algún polinomio no constante p ( x ) en F [ x ] sin raíces en F . Sea q ( x ) algún factor irreducible de p ( x ). Como p ( x ) no tiene raíces en F , q ( x ) tampoco tiene raíces en F . Por lo tanto, q ( x ) tiene grado mayor que uno, ya que todo polinomio de primer grado tiene una raíz en F .
El cuerpo F es algebraicamente cerrado si y solo si todo polinomio p ( x ) de grado n ≥ 1, con coeficientes en F , se descompone en factores lineales . En otras palabras, hay elementos k , x 1 , x 2 , ..., x n del cuerpo F tales que p ( x ) = k ( x − x 1 )( x − x 2 ) ⋯ ( x − x n ).
Si F tiene esta propiedad, entonces claramente todo polinomio no constante en F [ x ] tiene alguna raíz en F ; en otras palabras, F es algebraicamente cerrado. Por otra parte, que la propiedad aquí establecida se cumple para F si F es algebraicamente cerrado se sigue de la propiedad anterior junto con el hecho de que, para cualquier cuerpo K , cualquier polinomio en K [ x ] puede escribirse como un producto de polinomios irreducibles.
Si todo polinomio sobre F de grado primo tiene una raíz en F , entonces todo polinomio no constante tiene una raíz en F . [1] De ello se deduce que un cuerpo es algebraicamente cerrado si y sólo si todo polinomio sobre F de grado primo tiene una raíz en F .
El campo F es algebraicamente cerrado si y sólo si no tiene extensión algebraica propia .
Si F no tiene extensión algebraica propia, sea p ( x ) un polinomio irreducible en F [ x ]. Entonces el cociente de F [ x ] módulo el ideal generado por p ( x ) es una extensión algebraica de F cuyo grado es igual al grado de p ( x ). Como no es una extensión propia, su grado es 1 y, por lo tanto, el grado de p ( x ) es 1.
Por otra parte, si F tiene alguna extensión algebraica propia K , entonces el polinomio mínimo de un elemento en K \ F es irreducible y su grado es mayor que 1.
El cuerpo F es algebraicamente cerrado si y sólo si no tiene extensión finita propia porque si, en la prueba anterior, el término "extensión algebraica" se reemplaza por el término "extensión finita", entonces la prueba sigue siendo válida. (Las extensiones finitas son necesariamente algebraicas).
El campo F es algebraicamente cerrado si y sólo si, para cada número natural n , cada función lineal de F n en sí misma tiene algún vector propio .
Un endomorfismo de F n tiene un vector propio si y solo si su polinomio característico tiene alguna raíz. Por lo tanto, cuando F es algebraicamente cerrado, todo endomorfismo de F n tiene algún vector propio. Por otra parte, si todo endomorfismo de F n tiene un vector propio, sea p ( x ) un elemento de F [ x ]. Dividiendo por su coeficiente principal, obtenemos otro polinomio q ( x ) que tiene raíces si y solo si p ( x ) tiene raíces. Pero si q ( x ) = x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 0 , entonces q ( x ) es el polinomio característico de la matriz compañera n×n
El campo F es algebraicamente cerrado si y sólo si cada función racional en una variable x , con coeficientes en F , puede escribirse como la suma de una función polinómica con funciones racionales de la forma a /( x − b ) n , donde n es un número natural, y a y b son elementos de F .
Si F es algebraicamente cerrado entonces, dado que los polinomios irreducibles en F [ x ] son todos de grado 1, la propiedad establecida anteriormente se cumple por el teorema de descomposición en fracciones parciales .
Por otra parte, supongamos que la propiedad enunciada anteriormente se cumple para el cuerpo F . Sea p ( x ) un elemento irreducible en F [ x ]. Entonces la función racional 1/ p se puede escribir como la suma de una función polinómica q con funciones racionales de la forma a /( x – b ) n . Por lo tanto, la expresión racional
se puede escribir como cociente de dos polinomios en los que el denominador es un producto de polinomios de primer grado. Como p ( x ) es irreducible, debe dividir este producto y, por lo tanto, también debe ser un polinomio de primer grado.
Para cualquier cuerpo F , si dos polinomios p ( x ), q ( x ) ∈ F [ x ] son primos entre sí , entonces no tienen una raíz común, pues si a ∈ F fuera una raíz común, entonces p ( x ) y q ( x ) serían ambos múltiplos de x − a y, por lo tanto, no serían primos entre sí. Los cuerpos para los que se cumple la implicación inversa (es decir, los cuerpos tales que siempre que dos polinomios no tienen una raíz común, entonces son primos entre sí) son precisamente los cuerpos algebraicamente cerrados.
Si el cuerpo F es algebraicamente cerrado, sean p ( x ) y q ( x ) dos polinomios que no son primos entre sí y sea r ( x ) su máximo común divisor . Entonces, como r ( x ) no es constante, tendrá alguna raíz a , que será entonces una raíz común de p ( x ) y q ( x ).
Si F no es algebraicamente cerrado, sea p ( x ) un polinomio cuyo grado sea al menos 1 sin raíces. Entonces p ( x ) y p ( x ) no son primos entre sí, pero no tienen raíces comunes (ya que ninguno de ellos tiene raíces).
Si F es un cuerpo algebraicamente cerrado y n es un número natural, entonces F contiene todas las raíces n- ésimas de la unidad, porque éstas son (por definición) los n ceros (no necesariamente distintos) del polinomio x n − 1. Una extensión de cuerpo que está contenida en una extensión generada por las raíces de la unidad es una extensión ciclotómica , y la extensión de un cuerpo generado por todas las raíces de la unidad a veces se denomina su clausura ciclotómica . Por lo tanto, los cuerpos algebraicamente cerrados son ciclotómicamente cerrados. Lo inverso no es cierto. Incluso suponiendo que cada polinomio de la forma x n − a se descompone en factores lineales no es suficiente para asegurar que el cuerpo esté algebraicamente cerrado.
Si una proposición que puede expresarse en el lenguaje de la lógica de primer orden es verdadera para un cuerpo algebraicamente cerrado, entonces es verdadera para todo cuerpo algebraicamente cerrado con la misma característica . Además, si dicha proposición es válida para un cuerpo algebraicamente cerrado con característica 0, entonces no sólo es válida para todos los demás cuerpos algebraicamente cerrados con característica 0, sino que existe algún número natural N tal que la proposición es válida para todo cuerpo algebraicamente cerrado con característica p cuando p > N . [2]
Todo cuerpo F tiene alguna extensión que es algebraicamente cerrada. Tal extensión se llama extensión algebraicamente cerrada . Entre todas estas extensiones hay una y sólo una ( salvo isomorfismo , pero no isomorfismo único ) que es una extensión algebraica de F ; [3] se llama clausura algebraica de F.
La teoría de campos algebraicamente cerrados tiene eliminación de cuantificadores .
