Matriz de acompañamiento

Matriz cuadrada construida a partir de un polinomio mónico

En álgebra lineal , la matriz compañera de Frobenius del polinomio mónico es la matriz cuadrada definida como $${\displaystyle p(x)=c_{0}+c_{1}x+\cdots +c_{n-1}x^{n-1}+x^{n}}$$

$${\displaystyle C(p)={\begin{bmatrix}0&0&\dots &0&-c_{0}\\1&0&\dots &0&-c_{1}\\0&1&\dots &0&-c_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\dots &1&-c_{n-1}\end{bmatrix}}.}$$

Algunos autores utilizan la transposición de esta matriz, , que es más conveniente para algunos propósitos, como las relaciones de recurrencia lineal (ver más abajo). ${\displaystyle C(p)^{T}}$

${\displaystyle C(p)}$se define a partir de los coeficientes de , mientras que el polinomio característico así como el polinomio mínimo de son iguales a . ^[1] En este sentido, la matriz y el polinomio son "compañeros". ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle C(p)}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle C(p)}$ ${\displaystyle p(x)}$

Similitud con la matriz compañera

Cualquier matriz A con entradas en un campo F tiene un polinomio característico , que a su vez tiene una matriz compañera . Estas matrices están relacionadas de la siguiente manera. ${\displaystyle p(x)=\det(xI-A)}$ ${\displaystyle C(p)}$

Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

• A es similar sobre F a , es decir, A puede conjugarse a su matriz compañera mediante matrices en GL _n ( F ); ${\displaystyle C(p)}$
• el polinomio característico coincide con el polinomio mínimo de A , es decir, el polinomio mínimo tiene grado n ; ${\displaystyle p(x)}$
• La aplicación lineal produce un -módulo cíclico , que tiene una base de la forma ; o equivalentemente como -módulos. ${\displaystyle A:F^{n}\to F^{n}}$ ${\displaystyle F^{n}}$ ${\displaystyle F[A]}$ ${\displaystyle \{v,Av,\ldots ,A^{n-1}v\}}$ ${\displaystyle F^{n}\cong F[X]/(p(x))}$ ${\displaystyle F[A]}$

Si lo anterior es válido, se dice que A no es despectivo .

No toda matriz cuadrada es similar a una matriz compañera, pero toda matriz cuadrada es similar a una matriz diagonal en bloques formada por matrices compañeras. Si además exigimos que el polinomio de cada bloque diagonal divida al siguiente, estos quedan determinados de manera única por A , y esto da la forma canónica racional de A .

Diagonalizabilidad

Las raíces del polinomio característico son los valores propios de . Si hay n valores propios distintos , entonces es diagonalizable como , donde D es la matriz diagonal y V es la matriz de Vandermonde correspondiente a las λ 's: De hecho, un cálculo sencillo muestra que la transpuesta tiene vectores propios con , lo que se deduce de . Por lo tanto, su matriz de cambio de base diagonalizante es , es decir , y tomando la transpuesta de ambos lados se obtiene . ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle C(p)}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$ ${\displaystyle C(p)}$ ${\displaystyle C(p)=V^{-1}\!DV}$ $${\displaystyle D={\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&\!\!\!\cdots \!\!\!&0\\0&\lambda _{2}&\!\!\!\cdots \!\!\!&0\\0&0&\!\!\!\cdots \!\!\!&\lambda _{n}\end{bmatrix}},\qquad V={\begin{bmatrix}1&\lambda _{1}&\lambda _{1}^{2}&\!\!\!\cdots \!\!\!&\lambda _{1}^{n}\\1&\lambda _{2}&\lambda _{2}^{2}&\!\!\!\cdots \!\!\!&\lambda _{2}^{n}\\[-1em]\vdots &\vdots &\vdots &\!\!\!\ddots \!\!\!&\vdots \\1&\lambda _{n}&\lambda _{n}^{2}&\!\!\!\cdots \!\!\!&\lambda _{n}^{n}\end{bmatrix}}.}$$ ${\displaystyle C(p)^{T}}$ ${\displaystyle v_{i}=(1,\lambda _{i},\ldots ,\lambda _{i}^{n-1})}$ ${\displaystyle C(p)^{T}\!(v_{i})=\lambda _{i}v_{i}}$ ${\displaystyle p(\lambda _{i})=c_{0}+c_{1}\lambda _{i}+\cdots +c_{n-1}\lambda _{i}^{n-1}+\lambda _{i}^{n}=0}$ ${\displaystyle V^{T}=[v_{1}^{T}\ldots v_{n}^{T}]}$ ${\displaystyle C(p)^{T}=V^{T}D\,(V^{T})^{-1}}$ ${\displaystyle C(p)=V^{-1}\!DV}$

Podemos leer los vectores propios de con a partir de la ecuación : son los vectores columna de la matriz de Vandermonde inversa . Esta matriz se conoce explícitamente, lo que da los vectores propios , con coordenadas iguales a los coeficientes de los polinomios de Lagrange Alternativamente, los vectores propios escalados tienen coeficientes más simples. ${\displaystyle C(p)}$ ${\displaystyle C(p)(w_{i})=\lambda _{i}w_{i}}$ ${\displaystyle C(p)=V^{-1}\!DV}$ ${\displaystyle V^{-1}=[w_{1}^{T}\cdots w_{n}^{T}]}$ ${\displaystyle w_{i}=(L_{0i},\ldots ,L_{(n-1)i})}$ $${\displaystyle L_{i}(x)=L_{0i}+L_{1i}x+\cdots +L_{(n-1)i}x^{n-1}=\prod _{j\neq i}{\frac {x-\lambda _{j}}{\lambda _{j}-\lambda _{i}}}={\frac {p(x)}{(x-\lambda _{i})\,p'(\lambda _{i})}}.}$$ ${\displaystyle {\tilde {w}}_{i}=p'\!(\lambda _{i})\,w_{i}}$

Si tiene múltiples raíces, entonces no es diagonalizable. En cambio, la forma canónica de Jordan de contiene un bloque diagonal para cada raíz distinta, un bloque m × m con en la diagonal si la raíz tiene multiplicidad m . ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle C(p)}$ ${\displaystyle C(p)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$

Secuencias recursivas lineales

Una secuencia recursiva lineal definida por para tiene el polinomio característico , cuya matriz compañera transpuesta genera la secuencia: El vector es un vector propio de esta matriz, donde el valor propio es una raíz de . Al establecer los valores iniciales de la secuencia iguales a este vector se produce una secuencia geométrica que satisface la recurrencia. En el caso de n valores propios distintos, una solución arbitraria puede escribirse como una combinación lineal de dichas soluciones geométricas, y los valores propios de la norma compleja más grande dan una aproximación asintótica . ${\displaystyle a_{k+n}=-c_{0}a_{k}-c_{1}a_{k+1}\cdots -c_{n-1}a_{k+n-1}}$ ${\displaystyle k\geq 0}$ ${\displaystyle p(x)=c_{0}+c_{1}x+\cdots +c_{n-1}x^{n-1}+x^{n}}$ ${\displaystyle C(p)^{T}}$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{k+1}\\a_{k+2}\\\vdots \\a_{k+n-1}\\a_{k+n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\\-c_{0}&-c_{1}&-c_{2}&\cdots &-c_{n-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{k}\\a_{k+1}\\\vdots \\a_{k+n-2}\\a_{k+n-1}\end{bmatrix}}.}$$ ${\displaystyle v=(1,\lambda ,\lambda ^{2},\ldots ,\lambda ^{n-1})}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle a_{k}=\lambda ^{k}}$ ${\displaystyle a_{k}}$

De EDO lineal a sistema EDO lineal de primer orden

De manera similar al caso anterior de recursiones lineales, considere una EDO lineal homogénea de orden n para la función escalar : Esto se puede describir de manera equivalente como un sistema acoplado de EDO lineal homogénea de orden 1 para la función vectorial : donde es la matriz compañera transpuesta para el polinomio característico Aquí los coeficientes también pueden ser funciones, no solo constantes. ${\displaystyle y=y(t)}$ $${\displaystyle y^{(n)}+c_{n-1}y^{(n-1)}+\dots +c_{1}y^{(1)}+c_{0}y=0.}$$ ${\displaystyle z(t)=(y(t),y'(t),\ldots ,y^{(n-1)}(t))}$ $${\displaystyle z'=C(p)^{T}z}$$ ${\displaystyle C(p)^{T}}$ $${\displaystyle p(x)=x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots +c_{1}x+c_{0}.}$$ ${\displaystyle c_{i}=c_{i}(t)}$

Si es diagonalizable, entonces un cambio de base diagonalizante transformará esto en un sistema desacoplado equivalente a una EDO lineal de primer orden homogénea escalar en cada coordenada. ${\displaystyle C(p)^{T}}$

Una ecuación no homogénea es equivalente al sistema: con el término de inhomogeneidad . $${\displaystyle y^{(n)}+c_{n-1}y^{(n-1)}+\dots +c_{1}y^{(1)}+c_{0}y=f(t)}$$ $${\displaystyle z'=C(p)^{T}z+F(t)}$$ ${\displaystyle F(t)=(0,\ldots ,0,f(t))}$

Nuevamente, un cambio de base diagonalizante transformará esto en un sistema desacoplado de EDO lineales de primer orden no homogéneos escalares.

Matriz de desplazamiento cíclico

En el caso de , cuando los valores propios son las raíces complejas de la unidad , la matriz compañera y su transpuesta se reducen a la matriz de desplazamiento cíclico de Sylvester , una matriz circulante . ${\displaystyle p(x)=x^{n}-1}$

Mapa de multiplicación en una extensión de campo simple

Consideremos un polinomio con coeficientes en un cuerpo , y supongamos que es irreducible en el anillo de polinomios . Entonces, adjuntar una raíz de produce una extensión de cuerpo , que también es un espacio vectorial sobre con base estándar . Luego, la función de multiplicación lineal ${\displaystyle p(x)=x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots +c_{1}x+c_{0}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle F[x]}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle K=F(\lambda )\cong F[x]/(p(x))}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \{1,\lambda ,\lambda ^{2},\ldots ,\lambda ^{n-1}\}}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle m_{\lambda }:K\to K}$ definido por ${\displaystyle m_{\lambda }(\alpha )=\lambda \alpha }$

tiene una matriz n × n con respecto a la base estándar. Como y , esta es la matriz compañera de : Suponiendo que esta extensión es separable (por ejemplo, si tiene característica cero o es un cuerpo finito ), tiene raíces distintas con , de modo que y tiene cuerpo de desdoblamiento . Ahora no es diagonalizable sobre ; más bien, debemos extenderlo a una función -lineal sobre , un espacio vectorial sobre con base estándar , que contiene vectores . La función extendida está definida por . ${\displaystyle [m_{\lambda }]}$ ${\displaystyle m_{\lambda }(\lambda ^{i})=\lambda ^{i+1}}$ ${\displaystyle m_{\lambda }(\lambda ^{n-1})=\lambda ^{n}=-c_{0}-\cdots -c_{n-1}\lambda ^{n-1}}$ ${\displaystyle p(x)}$ $${\displaystyle [m_{\lambda }]=C(p).}$$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$ ${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda }$ $${\displaystyle p(x)=(x-\lambda _{1})\cdots (x-\lambda _{n}),}$$ ${\displaystyle L=F(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})}$ ${\displaystyle m_{\lambda }}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L^{n}\cong L\otimes _{F}K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \{1{\otimes }1,\,1{\otimes }\lambda ,\,1{\otimes }\lambda ^{2},\ldots ,1{\otimes }\lambda ^{n-1}\}}$ ${\displaystyle w=(\beta _{1},\ldots ,\beta _{n})=\beta _{1}{\otimes }1+\cdots +\beta _{n}{\otimes }\lambda ^{n-1}}$ ${\displaystyle m_{\lambda }(\beta \otimes \alpha )=\beta \otimes (\lambda \alpha )}$

La matriz no cambia, pero como se indicó anteriormente, se puede diagonalizar mediante matrices con entradas en : para la matriz diagonal y la matriz de Vandermonde V correspondiente a . La fórmula explícita para los vectores propios (los vectores columna escalados de la matriz de Vandermonde inversa ) se puede escribir como: donde son los coeficientes del polinomio de Lagrange escalado ${\displaystyle [m_{\lambda }]=C(p)}$ ${\displaystyle L}$ $${\displaystyle [m_{\lambda }]=C(p)=V^{-1}\!DV,}$$ ${\displaystyle D=\operatorname {diag} (\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\in L}$ ${\displaystyle V^{-1}}$ $${\displaystyle {\tilde {w}}_{i}=\beta _{0i}{\otimes }1+\beta _{1i}{\otimes }\lambda +\cdots +\beta _{(n-1)i}{\otimes }\lambda ^{n-1}=\prod _{j\neq i}(1{\otimes }\lambda -\lambda _{j}{\otimes }1)}$$ ${\displaystyle \beta _{ij}\in L}$ $${\displaystyle {\frac {p(x)}{x-\lambda _{i}}}=\prod _{j\neq i}(x-\lambda _{j})=\beta _{0i}+\beta _{1i}x+\cdots +\beta _{(n-1)i}x^{n-1}.}$$

Véase también

• Endomorfismo de Frobenius
• Teorema de Cayley-Hamilton
• Subespacio de Krylov

Notas

1. Horn, Roger A.; Charles R. Johnson (1985). Análisis de matrices. Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. pp. 146-147. ISBN  0-521-30586-1. Recuperado el 10 de febrero de 2010 .