Cambio de anillos

En álgebra , un cambio de anillos es una operación de cambiar un anillo de coeficientes a otro.

Construcciones

Dado un homomorfismo de anillo , hay tres maneras de cambiar el anillo de coeficientes de un módulo ; es decir, para un R -módulo recto M y un S -módulo recto N , se puede formar ${\displaystyle f:R\to S}$

• ${\displaystyle f_{!}M=M\otimes _{R}S}$, el módulo inducido, formado por extensión de escalares,
• ${\displaystyle f_{*}M=\operatorname {Hom} _{R}(S,M)}$, el módulo coinducido, formado por coextensión de escalares, y
• ${\displaystyle f^{*}N=N_{R}}$, formado por restricción de escalares.

Están relacionados como funtores adjuntos :

${\displaystyle f_{!}:{\text{Mod}}_{R}\leftrightarrows {\text{Mod}}_{S}:f^{*}}$

y

${\displaystyle f^{*}:{\text{Mod}}_{S}\leftrightarrows {\text{Mod}}_{R}:f_{*}.}$

Esto está relacionado con el lema de Shapiro .

Operaciones

Restricción de escalares

A lo largo de esta sección, sean y dos anillos (pueden ser conmutativos o no , o contener una identidad ), y sea un homomorfismo. La restricción de escalares cambia los S -módulos en R -módulos. En geometría algebraica , el término "restricción de escalares" se utiliza a menudo como sinónimo de restricción de Weil . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f:R\to S}$

Definición

Supongamos que es un módulo sobre . Entonces puede considerarse como un módulo sobre donde la acción de se da mediante ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\begin{aligned}M\times R&\longrightarrow M\\(m,r)&\longmapsto m\cdot f(r)\end{aligned}}}$

donde denota la acción definida por la estructura -module en . ^[1] ${\displaystyle m\cdot f(r)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$

La interpretación como funtor

La restricción de escalares puede verse como un funtor de -módulos a -módulos. Un -homomorfismo se convierte automáticamente en un -homomorfismo entre las restricciones de y . De hecho, si y , entonces ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle u:M\to N}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle m\in M}$ ${\displaystyle r\in R}$

${\displaystyle u(m\cdot r)=u(m\cdot f(r))=u(m)\cdot f(r)=u(m)\cdot r\,}$.

Como funtor, la restricción de escalares es el adjunto derecho del funtor de extensión de escalares.

Si es el anillo de números enteros, entonces este es simplemente el functor olvidadizo de los módulos a los grupos abelianos. ${\displaystyle R}$

Extensión de escalares

La extensión de los escalares cambia los módulos R en módulos S.

Definición

Sea un homomorfismo entre dos anillos, y sea un módulo sobre . Considérese el producto tensorial , donde se considera como un módulo izquierdo a través de . Puesto que es también un módulo derecho sobre sí mismo, y las dos acciones conmutan, es decir para , (en un lenguaje más formal, es un bimódulo ), hereda una acción derecha de . Está dada por para , . Se dice que este módulo se obtiene de a través de la extensión de escalares . ${\displaystyle f:R\to S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M^{S}=M\otimes _{R}S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle r\cdot (s\cdot s')=(r\cdot s)\cdot s'}$ ${\displaystyle r\in R}$ ${\displaystyle s,s'\in S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (R,S)}$ ${\displaystyle M^{S}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (m\otimes s)\cdot s'=m\otimes ss'}$ ${\displaystyle m\in M}$ ${\displaystyle s,s'\in S}$ ${\displaystyle M}$

De manera informal, la extensión de escalares es "el producto tensorial de un anillo y un módulo"; más formalmente, es un caso especial de un producto tensorial de un bimódulo y un módulo: el producto tensorial de un R -módulo con un -bimódulo es un S -módulo. ${\displaystyle (R,S)}$

Ejemplos

Uno de los ejemplos más simples es la complejización , que es la extensión de escalares de los números reales a los números complejos . De manera más general, dada cualquier extensión de cuerpo K  <  L, se pueden extender escalares de K a L. En el lenguaje de cuerpos, un módulo sobre un cuerpo se llama espacio vectorial y, por lo tanto, la extensión de escalares convierte un espacio vectorial sobre K en un espacio vectorial sobre L. Esto también se puede hacer para las álgebras de división , como se hace en la cuaternización (extensión de los reales a los cuaterniones ).

En términos más generales, dado un homomorfismo de un cuerpo o anillo conmutativo R a un anillo S, el anillo S puede considerarse como un álgebra asociativa sobre R y, por lo tanto, cuando uno extiende escalares sobre un módulo R , el módulo resultante puede considerarse alternativamente como un módulo S o como un módulo R con una representación algebraica de S (como un álgebra R ). Por ejemplo, el resultado de complejizar un espacio vectorial real ( R = R , S = C ) puede interpretarse como un espacio vectorial complejo ( módulo S ) o como un espacio vectorial real con una estructura compleja lineal (representación algebraica de S como un módulo R ).

Aplicaciones

Esta generalización es útil incluso para el estudio de campos; en particular, muchos objetos algebraicos asociados a un campo no son campos en sí mismos, sino anillos, como las álgebras sobre un campo, como en la teoría de representaciones . Así como se pueden extender escalares sobre espacios vectoriales, también se pueden extender escalares sobre álgebras de grupos y también sobre módulos sobre álgebras de grupos, es decir, representaciones de grupos . Particularmente útil es relacionar cómo las representaciones irreducibles cambian bajo la extensión de los escalares – por ejemplo, la representación del grupo cíclico de orden 4, dada por la rotación del plano de 90°, es una representación real bidimensional irreducible , pero en la extensión de los escalares a los números complejos, se divide en 2 representaciones complejas de dimensión 1. Esto corresponde al hecho de que el polinomio característico de este operador, es irreducible de grado 2 sobre los reales, pero se factoriza en 2 factores de grado 1 sobre los números complejos – no tiene valores propios reales, sino 2 valores propios complejos. ${\displaystyle x^{2}+1,}$

La interpretación como funtor

La extensión de escalares se puede interpretar como un funtor de -módulos a -módulos. Envía a , como se indicó anteriormente, y un -homomorfismo al -homomorfismo definido por . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M^{S}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle u:M\to N}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle u^{S}:M^{S}\to N^{S}}$ ${\displaystyle u^{S}=u\otimes _{R}{\text{id}}_{S}}$

Relación entre la extensión de escalares y la restricción de escalares

Consideremos un -módulo y un -módulo . Dado un homomorfismo , definamos como la composición ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle u\in {\text{Hom}}_{R}(M,N_{R})}$ ${\displaystyle Fu:M^{S}\to N}$

${\displaystyle M^{S}=M\otimes _{R}S{\xrightarrow {u\otimes {\text{id}}_{S}}}N_{R}\otimes _{R}S\to N}$,

donde el último mapa es . Este es un -homomorfismo y, por lo tanto, está bien definido y es un homomorfismo (de grupos abelianos ). ${\displaystyle n\otimes s\mapsto n\cdot s}$ ${\displaystyle Fu}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle F:{\text{Hom}}_{R}(M,N_{R})\to {\text{Hom}}_{S}(M^{S},N)}$

En caso de que tanto y tengan identidad, existe un homomorfismo inverso , que se define de la siguiente manera. Sea . Entonces la composición es ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G:{\text{Hom}}_{S}(M^{S},N)\to {\text{Hom}}_{R}(M,N_{R})}$ ${\displaystyle v\in {\text{Hom}}_{S}(M^{S},N)}$ ${\displaystyle Gv}$

${\displaystyle M\to M\otimes _{R}R{\xrightarrow {{\text{id}}_{M}\otimes f}}M\otimes _{R}S{\xrightarrow {v}}N}$,

donde el primer mapa es el isomorfismo canónico . ${\displaystyle m\mapsto m\otimes 1}$

Esta construcción establece una correspondencia biunívoca entre los conjuntos y . En realidad, esta correspondencia depende únicamente del homomorfismo , y por lo tanto es funtorial . En el lenguaje de la teoría de categorías , la extensión del funtor escalar se deja adjunta a la restricción del funtor escalar . ${\displaystyle {\text{Hom}}_{S}(M^{S},N)}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}_{R}(M,N_{R})}$ ${\displaystyle f}$

Véase también

• Seis operaciones
• Producto tensorial de campos
• Adjunción tensorial-hom

Referencias

• Dummit, David (2004). Álgebra abstracta . Foote, Richard M. (3.ª ed.). Hoboken, Nueva Jersey: Wiley. Págs. 359–377. ISBN. 0471452343.OCLC 248917264  .
• J. Peter May , Notas sobre Tor y Ext
• Nicolas Bourbaki . Álgebra I, Capítulo II. ÁLGEBRA LINEAL. §5. Extensión del anillo de escalares; §7. Espacios vectoriales. 1974 por Hermann.

Lectura adicional

• Inducción y coinducción de representaciones

1. Dummit 2004, pág. 359.