Producto tensorial de módulos.

En matemáticas , el producto tensorial de módulos es una construcción que permite realizar argumentos sobre aplicaciones bilineales (p. ej., multiplicación) en términos de aplicaciones lineales . La construcción del módulo es análoga a la construcción del producto tensorial de espacios vectoriales , pero se puede llevar a cabo para un par de módulos sobre un anillo conmutativo dando como resultado un tercer módulo, y también para un par de un módulo derecho y uno izquierdo. módulo sobre cualquier anillo , con el resultado de un grupo abeliano . Los productos tensoriales son importantes en áreas de álgebra abstracta , álgebra homológica , topología algebraica , geometría algebraica , álgebras de operadores y geometría no conmutativa . La propiedad universal del producto tensorial de espacios vectoriales se extiende a situaciones más generales en álgebra abstracta. El producto tensorial de un álgebra y un módulo se puede utilizar para la extensión de escalares . Para un anillo conmutativo, el producto tensorial de módulos se puede iterar para formar el álgebra tensorial de un módulo, lo que permite definir la multiplicación en el módulo de forma universal.

Producto equilibrado

Para un anillo R , un módulo R derecho M , un módulo R izquierdo N y un grupo abeliano G , se dice que un mapa φ : M × N → G es R equilibrado , R lineal medio o un R Producto equilibrado si para todo m , m ′ en M , n , n ′ en N y r en R se cumple lo siguiente: ^{[1] : 126}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (m,n+n')&=\varphi (m,n)+\varphi (m,n')&&{\text{Dl}}_{\varphi }\\\varphi (m+m',n)&=\varphi (m,n)+\varphi (m',n)&&{\text{Dr}}_{\varphi }\\\varphi (m\cdot r,n)&=\varphi (m,r\cdot n)&&{\text{A}}_{\varphi }\\\end{aligned}}}$$

El conjunto de todos esos productos equilibrados sobre R desde M × N hasta G se denota _por LR ( M , N ; G ) .

Si φ , ψ son productos balanceados, entonces cada una de las operaciones φ + ψ y − φ definidas puntualmente es un producto balanceado. Esto convierte el conjunto L _R ( M , N ; G ) en un grupo abeliano.

Para M y N fijos, el mapa G ↦ L _R ( M , N ; G ) es un functor de la categoría de grupos abelianos hacia sí mismo. La parte de morfismo se obtiene asignando un homomorfismo de grupo g  : G → G ′ a la función φ ↦ g ∘ φ , que va de L _R ( M , N ; G ) a L _R ( M , N ; G ′ ) .

Observaciones

1. Las propiedades (Dl) y (Dr) expresan la biaditividad de φ , que puede considerarse como distributividad de φ sobre la suma.
2. La propiedad (A) se parece a alguna propiedad asociativa de φ .
3. Cada anillo R es un R - bimódulo . Entonces, la multiplicación del anillo ( r , r ′) ↦ r ⋅ r ′ en R es un producto R -equilibrado R × R → R .

Definición

Para un anillo R , un módulo R derecho M , un módulo R izquierdo N , el producto tensorial sobre R

$${\displaystyle M\otimes _{R}N}$$

es un grupo abeliano junto con un producto equilibrado (como se define anteriormente)

$${\displaystyle \otimes :M\times N\to M\otimes _{R}N}$$

que es universal en el siguiente sentido: ^[2]

Para cada grupo abeliano G y cada producto balanceado

$${\displaystyle f:M\times N\to G}$$

hay un homomorfismo de grupo único

$${\displaystyle {\tilde {f}}:M\otimes _{R}N\to G}$$

tal que

$${\displaystyle {\tilde {f}}\circ \otimes =f.}$$

Como ocurre con todas las propiedades universales , la propiedad anterior define el producto tensorial de forma única hasta un isomorfismo único: cualquier otro grupo abeliano y producto equilibrado con las mismas propiedades será isomorfo a M ⊗ _R N y ⊗. De hecho, el mapeo ⊗ se llama canónico , o más explícitamente: el mapeo canónico (o producto balanceado) del producto tensorial. ^[3]

La definición no prueba la existencia de M ⊗ _R N ; ver más abajo para una construcción.

El producto tensorial también se puede definir como un objeto representativo del funtor G → L _R ( M , N ; G ) ; explícitamente, esto significa que hay un isomorfismo natural :

$${\displaystyle {\begin{cases}\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(M\otimes _{R}N,G)\simeq \operatorname {L} _{R}(M,N;G)\\g\mapsto g\circ \otimes \end{cases}}}$$

Ésta es una forma sucinta de enunciar la propiedad de mapeo universal dada anteriormente. (Si a priori se le da este isomorfismo natural, entonces se puede recuperar tomando y luego mapeando el mapa de identidad). ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle G=M\otimes _{R}N}$

De manera similar, dada la identificación natural , ^[4] también se puede definir M ⊗ _R N mediante la fórmula ${\displaystyle \operatorname {L} _{R}(M,N;G)=\operatorname {Hom} _{R}(M,\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(N,G))}$

$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(M\otimes _{R}N,G)\simeq \operatorname {Hom} _{R}(M,\operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(N,G)).}$$

Esto se conoce como adjunción tensorial-hom ; ver también § Propiedades.

Para cada x en M , y en N , se escribe

x ⊗ y

para la imagen de ( x , y ) bajo el mapa canónico . A menudo se le llama tensor puro . Estrictamente hablando, la notación correcta sería x ⊗ _R y pero lo convencional es eliminar R aquí. Luego, inmediatamente de la definición, surgen relaciones: ${\displaystyle \otimes :M\times N\to M\otimes _{R}N}$

La propiedad universal de un producto tensorial tiene la siguiente consecuencia importante:

Proposición  :  cada elemento de puede escribirse, de forma no única, como ${\displaystyle M\otimes _{R}N}$

$${\displaystyle \sum _{i}x_{i}\otimes y_{i},\,x_{i}\in M,y_{i}\in N.}$$

En otras palabras, la imagen de genera . Además, si f es una función definida sobre elementos con valores en un grupo abeliano G , entonces f se extiende únicamente al homomorfismo definido en su conjunto si y sólo si es -bilineal en x e y . ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle M\otimes _{R}N}$ ${\displaystyle x\otimes y}$ ${\displaystyle M\otimes _{R}N}$ ${\displaystyle f(x\otimes y)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Prueba: Para la primera afirmación, sea L el subgrupo de elementos generados por la forma en cuestión, y q el cociente correspondiente a Q. Tenemos: así como . Por lo tanto, por la parte de unicidad de la propiedad universal, q = 0. La segunda afirmación se debe a que para definir un homomorfismo de módulo , basta con definirlo en el conjunto generador del módulo. ${\displaystyle M\otimes _{R}N}$ ${\displaystyle Q=(M\otimes _{R}N)/L}$ ${\displaystyle 0=q\circ \otimes }$ ${\displaystyle 0=0\circ \otimes }$ ${\displaystyle \square }$

Aplicación de la propiedad universal de los productos tensoriales.

Determinar si un producto tensorial de módulos es cero

En la práctica, a veces es más difícil demostrar que un producto tensorial de R -módulos es distinto de cero que demostrar que es 0. La propiedad universal proporciona una forma conveniente de comprobar esto. ${\displaystyle M\otimes _{R}N}$

Para comprobar que un producto tensorial es distinto de cero, se puede construir un mapa R -bilineal de un grupo abeliano tal que . Esto funciona porque si , entonces . ${\displaystyle M\otimes _{R}N}$ ${\displaystyle f:M\times N\rightarrow G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f(m,n)\neq 0}$ ${\displaystyle m\otimes n=0}$ ${\displaystyle f(m,n)={\bar {f}}(m\otimes n)={\bar {(f)}}(0)=0}$

Por ejemplo, para ver que , es distinto de cero, tomemos como y . Esto dice que los tensores puros siempre que sean distintos de cero . ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \otimes _{Z}\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (m,n)\mapsto mn}$ ${\displaystyle m\otimes n\neq 0}$ ${\displaystyle mn}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$

Para módulos equivalentes

La proposición dice que se puede trabajar con elementos explícitos de los productos tensoriales en lugar de invocar la propiedad universal directamente cada vez. Esto es muy conveniente en la práctica. Por ejemplo, si R es conmutativo y las acciones izquierda y derecha de R sobre los módulos se consideran equivalentes, entonces, naturalmente, se puede proporcionar la multiplicación escalar de R extendiendo ${\displaystyle M\otimes _{R}N}$

$${\displaystyle r\cdot (x\otimes y):=(r\cdot x)\otimes y=x\otimes (r\cdot y)}$$

al conjunto por la proposición anterior (estrictamente hablando, lo que se necesita es una estructura bimódulo, no conmutatividad; ver el párrafo siguiente). Equipado con esta estructura de módulo R , satisface una propiedad universal similar a la anterior: para cualquier módulo R G , existe un isomorfismo natural: ${\displaystyle M\otimes _{R}N}$ ${\displaystyle M\otimes _{R}N}$

$${\displaystyle {\begin{cases}\operatorname {Hom} _{R}(M\otimes _{R}N,G)\simeq \{R{\text{-bilinear maps }}M\times N\to G\},\\g\mapsto g\circ \otimes \end{cases}}}$$

Si R no es necesariamente conmutativo pero si M tiene una acción izquierda por un anillo S (por ejemplo, R ), entonces se le puede dar la estructura del módulo S izquierdo, como arriba, mediante la fórmula ${\displaystyle M\otimes _{R}N}$

$${\displaystyle s\cdot (x\otimes y):=(s\cdot x)\otimes y.}$$

De manera análoga, si N tiene una acción correcta mediante un anillo S , entonces se convierte en un módulo S derecho . ${\displaystyle M\otimes _{R}N}$

Producto tensorial de mapas lineales y un cambio de anillo base.

Dados mapas lineales de módulos derechos sobre un anillo R y de módulos izquierdos, existe un homomorfismo de grupo único ${\displaystyle f:M\to M'}$ ${\displaystyle g:N\to N'}$

$${\displaystyle {\begin{cases}f\otimes g:M\otimes _{R}N\to M'\otimes _{R}N'\\x\otimes y\mapsto f(x)\otimes g(y)\end{cases}}}$$

La construcción tiene como consecuencia que el tensor es un funtor: cada módulo R derecho M determina el funtor

$${\displaystyle M\otimes _{R}-:R{\text{-Mod}}\longrightarrow {\text{Ab}}}$$

de la categoría de módulos izquierdos a la categoría de grupos abelianos que envía N a M ⊗ N y un homomorfismo de módulo f al homomorfismo de grupo 1 ⊗ f .

Si es un homomorfismo de anillo y si M es un módulo S derecho y N un módulo S izquierdo , entonces existe el homomorfismo sobreyectivo canónico: ${\displaystyle f:R\to S}$

$${\displaystyle M\otimes _{R}N\to M\otimes _{S}N}$$

Inducido por

$${\displaystyle M\times N{\overset {\otimes _{S}}{\longrightarrow }}M\otimes _{S}N.}$$

^[5]

El mapa resultante es sobreyectivo ya que los tensores puros x ⊗ y generan el módulo completo. En particular, tomar R como esto muestra que cada producto tensorial de módulos es un cociente de un producto tensorial de grupos abelianos. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Varios módulos

(Esta sección debe actualizarse. Por ahora, consulte § Propiedades para una discusión más general).

Es posible ampliar la definición a un producto tensorial de cualquier número de módulos sobre el mismo anillo conmutativo. Por ejemplo, la propiedad universal de

M ₁ ⊗ M ₂ ⊗ M ₃

es que cada mapa trilineal en

M ₁ × M ₂ × M ₃ → Z

corresponde a un mapa lineal único

METRO ₁ ⊗ METRO ₂ ⊗ METRO ₃ → Z .

El producto tensor binario es asociativo: ( M ₁ ⊗ M ₂ ) ⊗ M ₃ es naturalmente isomorfo a M ₁ ⊗ ( M ₂ ⊗ M ₃ ). El producto tensorial de tres módulos definidos por la propiedad universal de los mapas trilineales es isomorfo a ambos productos tensoriales iterados.

Propiedades

Módulos sobre anillos generales.

Sean R ₁ , R ₂ , R ₃ , R anillos, no necesariamente conmutativos.

• Para un bimódulo R ₁ - R ₂ M ₁₂ y un módulo R _{2 izquierdo} M ₂₀ , es un módulo R ₁ izquierdo . ${\displaystyle M_{12}\otimes _{R_{2}}M_{20}}$
• Para un módulo R _{2 derecho} M ₀₂ y un bimódulo R ₂ - R ₃ M ₂₃ , es un módulo R ₃ derecho . ${\displaystyle M_{02}\otimes _{R_{2}}M_{23}}$
• (asociatividad) Para un módulo R _{1 derecho} M ₀₁ , un bimódulo R ₁ - R ₂ M ₁₂ y un módulo R _{2 izquierdo} M ₂₀ tenemos: ^[6]
  $${\displaystyle \left(M_{01}\otimes _{R_{1}}M_{12}\right)\otimes _{R_{2}}M_{20}=M_{01}\otimes _{R_{1}}\left(M_{12}\otimes _{R_{2}}M_{20}\right).}$$
• Dado que R es un bimódulo R - R , tenemos la multiplicación de anillos como su producto canónico equilibrado. ${\displaystyle R\otimes _{R}R=R}$ ${\displaystyle mn=:m\otimes _{R}n}$

Módulos sobre anillos conmutativos

Sea R un anillo conmutativo y M , N y P sean R -módulos. Entonces

Identidad

$${\displaystyle R\otimes _{R}M=M.}$$

asociatividad

$${\displaystyle (M\otimes _{R}N)\otimes _{R}P=M\otimes _{R}(N\otimes _{R}P).}$$

Las primeras tres propiedades (más identidades sobre morfismos) dicen que la categoría de R -módulos, con R conmutativo, forma una categoría monoidal simétrica . Por tanto está bien definido. ${\displaystyle M\otimes _{R}N\otimes _{R}P}$

Simetría

$${\displaystyle M\otimes _{R}N=N\otimes _{R}M.}$$

De hecho, para cualquier permutación σ del conjunto {1, ..., n }, existe un isomorfismo único:

$${\displaystyle {\begin{cases}M_{1}\otimes _{R}\cdots \otimes _{R}M_{n}\longrightarrow M_{\sigma (1)}\otimes _{R}\cdots \otimes _{R}M_{\sigma (n)}\\x_{1}\otimes \cdots \otimes x_{n}\longmapsto x_{\sigma (1)}\otimes \cdots \otimes x_{\sigma (n)}\end{cases}}}$$

Distribución sobre sumas directas

$${\displaystyle M\otimes _{R}(N\oplus P)=(M\otimes _{R}N)\oplus (M\otimes _{R}P).}$$

De hecho,

$${\displaystyle M\otimes _{R}\left(\bigoplus \nolimits _{i\in I}N_{i}\right)=\bigoplus \nolimits _{i\in I}\left(M\otimes _{R}N_{i}\right),}$$

para un conjunto de índices I de cardinalidad arbitraria . Dado que los productos finitos coinciden con sumas directas finitas, esto implica:

• Distribución sobre productos finitos.

  Para cualquier número finito , ${\displaystyle N_{i}}$

  $${\displaystyle M\otimes _{R}\prod _{i=1}^{n}N_{i}=\prod _{i=1}^{n}M\otimes _{R}N_{i}.}$$

Ampliación de base

Si S es una R -álgebra, escribiendo , ${\displaystyle -_{S}=S\otimes _{R}-}$

$${\displaystyle (M\otimes _{R}N)_{S}=M_{S}\otimes _{S}N_{S};}$$

^[7] cf. § Ampliación de escalares. Un corolario es:

• Distribución sobre localización

  Para cualquier subconjunto multiplicativamente cerrado S de R ,

  $${\displaystyle S^{-1}(M\otimes _{R}N)=S^{-1}M\otimes _{S^{-1}R}S^{-1}N}$$

  como un módulo. Dado que es un R -álgebra y , este es un caso especial de: ${\displaystyle S^{-1}R}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$ ${\displaystyle S^{-1}-=S^{-1}R\otimes _{R}-}$

Conmutación con límites directos

Para cualquier sistema directo de R -módulos M _i ,

$${\displaystyle (\varinjlim M_{i})\otimes _{R}N=\varinjlim (M_{i}\otimes _{R}N).}$$

Adición

$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M\otimes _{R}N,P)=\operatorname {Hom} _{R}(M,\operatorname {Hom} _{R}(N,P)){\text{.}}}$$

Un corolario es:

• Exacción derecha

  Si

  $${\displaystyle 0\to N'{\overset {f}{\to }}N{\overset {g}{\to }}N''\to 0}$$

  es una secuencia exacta de R -módulos, entonces

  $${\displaystyle M\otimes _{R}N'{\overset {1\otimes f}{\to }}M\otimes _{R}N{\overset {1\otimes g}{\to }}M\otimes _{R}N''\to 0}$$

  es una secuencia exacta de R -módulos, donde ${\displaystyle (1\otimes f)(x\otimes y)=x\otimes f(y).}$

Relación tensorial-hom

Hay un mapa lineal R canónico:

$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N)\otimes P\to \operatorname {Hom} _{R}(M,N\otimes P),}$$

que es un isomorfismo si M o P es un módulo proyectivo generado finitamente (ver § Como mapas que preservan la linealidad para el caso no conmutativo); ^[8] de manera más general, existe un mapa lineal R canónico:

$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N)\otimes \operatorname {Hom} _{R}(M',N')\to \operatorname {Hom} _{R}(M\otimes M',N\otimes N')}$$

que es un isomorfismo si o es un par de módulos proyectivos generados finitamente. ${\displaystyle (M,N)}$ ${\displaystyle (M,M')}$

Para dar un ejemplo práctico, supongamos que M , N son módulos libres con bases y . Entonces M es la suma directa y lo mismo para N . Por la propiedad distributiva se tiene: ${\displaystyle e_{i},i\in I}$ ${\displaystyle f_{j},j\in J}$ ${\displaystyle M=\bigoplus _{i\in I}Re_{i}}$

$${\displaystyle M\otimes _{R}N=\bigoplus _{i,j}R(e_{i}\otimes f_{j});}$$

es decir, son la base R de . Incluso si M no es libre, se puede utilizar una presentación gratuita de M para calcular productos tensoriales. ${\displaystyle e_{i}\otimes f_{j},\,i\in I,j\in J}$ ${\displaystyle M\otimes _{R}N}$

El producto tensorial, en general, no conmuta con el límite inverso : por un lado,

$${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /p^{n}=0}$$

(cf. "ejemplos"). Por otro lado,

$${\displaystyle \left(\varprojlim \mathbb {Z} /p^{n}\right)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} =\mathbb {Z} _{p}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} =\mathbb {Z} _{p}\left[p^{-1}\right]=\mathbb {Q} _{p}}$$

¿Dónde están el anillo de los enteros p-ádicos y el campo de los números p-ádicos ? Véase también " entero profinito " para ver un ejemplo con un espíritu similar. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p},\mathbb {Q} _{p}}$

Si R no es conmutativo, el orden de los productos tensoriales podría importar de la siguiente manera: "usamos" la acción derecha de M y la acción izquierda de N para formar el producto tensorial ; en particular, ni siquiera estaría definido. Si M , N son bimódulos, entonces la acción izquierda proviene de la acción izquierda de M y la acción derecha proviene de la acción derecha de N ; esas acciones no tienen por qué ser las mismas que las acciones de izquierda y derecha de . ${\displaystyle M\otimes _{R}N}$ ${\displaystyle N\otimes _{R}M}$ ${\displaystyle M\otimes _{R}N}$ ${\displaystyle N\otimes _{R}M}$

La asociatividad se cumple de manera más general para anillos no conmutativos: si M es un módulo R derecho , N un módulo ( R , S ) y P un módulo S izquierdo , entonces

$${\displaystyle (M\otimes _{R}N)\otimes _{S}P=M\otimes _{R}(N\otimes _{S}P)}$$

como grupo abeliano.

La forma general de relación adjunta de productos tensoriales dice: si R no es necesariamente conmutativo, M es un módulo R recto , N es un módulo ( R , S ), P es un módulo S recto , entonces como grupo abeliano ^{[ 9]}

$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{S}(M\otimes _{R}N,P)=\operatorname {Hom} _{R}(M,\operatorname {Hom} _{S}(N,P)),\,f\mapsto f'}$$

donde está dado por ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle f'(x)(y)=f(x\otimes y).}$

Producto tensorial de un módulo R con el campo fraccionario

Sea R un dominio integral con campo fraccionario K.

• Para cualquier R -módulo M , como R -módulos, donde está el submódulo de torsión de M . ${\displaystyle K\otimes _{R}M\cong K\otimes _{R}(M/M_{\operatorname {tor} })}$ ${\displaystyle M_{\operatorname {tor} }}$
• Si M es un módulo R de torsión entonces y si M no es un módulo de torsión entonces . ${\displaystyle K\otimes _{R}M=0}$ ${\displaystyle K\otimes _{R}M\neq 0}$
• Si N es un submódulo de M tal que es un módulo de torsión, entonces como R -módulos por . ${\displaystyle M/N}$ ${\displaystyle K\otimes _{R}N\cong K\otimes _{R}M}$ ${\displaystyle x\otimes n\mapsto x\otimes n}$
• En , si y sólo si o . En particular, donde . ${\displaystyle K\otimes _{R}M}$ ${\displaystyle x\otimes m=0}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle m\in M_{\operatorname {tor} }}$ ${\displaystyle M_{\operatorname {tor} }=\operatorname {ker} (M\to K\otimes _{R}M)}$ ${\displaystyle m\mapsto 1\otimes m}$
• ${\displaystyle K\otimes _{R}M\cong M_{(0)}}$¿Dónde está la localización del módulo en el ideal primo (es decir, la localización con respecto a los elementos distintos de cero)? ${\displaystyle M_{(0)}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (0)}$

Extensión de escalares

La relación adjunta en la forma general tiene un caso especial importante: para cualquier R -álgebra S , M un módulo R derecho , P un módulo S derecho , usando , tenemos el isomorfismo natural: ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{S}(S,-)=-}$

$${\displaystyle \operatorname {Hom} _{S}(M\otimes _{R}S,P)=\operatorname {Hom} _{R}(M,\operatorname {Res} _{R}(P)).}$$

Esto dice que el funtor es un adjunto izquierdo del funtor olvidadizo , que restringe una acción S a una acción R. Debido a esto, a menudo se le llama extensión de escalares de R a S. En la teoría de la representación , cuando R , S son álgebras de grupo, la relación anterior se convierte en la reciprocidad de Frobenius . ${\displaystyle -\otimes _{R}S}$ ${\displaystyle \operatorname {Res} _{R}}$ ${\displaystyle -\otimes _{R}S}$

Ejemplos

• ${\displaystyle R^{n}\otimes _{R}S=S^{n},}$para cualquier R -álgebra S (es decir, un módulo libre permanece libre después de extender los escalares).
• Para un anillo conmutativo y una R -álgebra S conmutativa , tenemos: ${\displaystyle R}$
  $${\displaystyle S\otimes _{R}R[x_{1},\dots ,x_{n}]=S[x_{1},\dots ,x_{n}];}$$
  de hecho, de manera más general,
  $${\displaystyle S\otimes _{R}(R[x_{1},\dots ,x_{n}]/I)=S[x_{1},\dots ,x_{n}]/IS[x_{1},\dots ,x_{n}],}$$
  ¿ Dónde hay un ideal? ${\displaystyle I}$
• Usando el ejemplo anterior y el teorema chino del resto , tenemos como anillos ${\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1),}$
  $${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} =\mathbb {C} [x]/(x^{2}+1)=\mathbb {C} [x]/(x+i)\times \mathbb {C} [x]/(x-i)=\mathbb {C} ^{2}.}$$
  Esto da un ejemplo cuando un producto tensorial es un producto directo .
• ${\displaystyle \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} [i]=\mathbb {R} [i]=\mathbb {C} .}$

Ejemplos

La estructura de un producto tensorial de módulos bastante comunes puede ser impredecible.

Sea G un grupo abeliano en el que cada elemento tiene orden finito (es decir, G es un grupo abeliano de torsión ; por ejemplo, G puede ser un grupo abeliano finito o ). Entonces: ^[10] ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$

$${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }G=0.}$$

De hecho, cualquiera es de la forma ${\displaystyle x\in \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }G}$

$${\displaystyle x=\sum _{i}r_{i}\otimes g_{i},\qquad r_{i}\in \mathbb {Q} ,g_{i}\in G.}$$

Si es del orden de , entonces calculamos: ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle g_{i}}$

$${\displaystyle x=\sum (r_{i}/n_{i})n_{i}\otimes g_{i}=\sum r_{i}/n_{i}\otimes n_{i}g_{i}=0.}$$

De manera similar, uno ve

$${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} /\mathbb {Z} =0.}$$

Aquí hay algunas identidades útiles para el cálculo: Sea R un anillo conmutativo, I , J ideales, M , N R -módulos. Entonces

1. ${\displaystyle R/I\otimes _{R}M=M/IM}$. Si M es plano , . ^{[prueba 1]} ${\displaystyle IM=I\otimes _{R}M}$
2. ${\displaystyle M/IM\otimes _{R/I}N/IN=M\otimes _{R}N\otimes _{R}R/I}$(porque tensor conmuta con extensiones de base)
3. ${\displaystyle R/I\otimes _{R}R/J=R/(I+J)}$. ^{[prueba 2]}

Ejemplo: si G es un grupo abeliano, ; esto se sigue de 1. ${\displaystyle G\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /n=G/nG}$

Ejemplo: ; esto se deduce de 3. En particular, para números primos distintos p , q , ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} /m=\mathbb {Z} /{\gcd(n,m)}}$

$${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \otimes \mathbb {Z} /q\mathbb {Z} =0.}$$

Se pueden aplicar productos tensoriales para controlar el orden de los elementos de los grupos. Sea G un grupo abeliano. Entonces los múltiplos de 2 en

$${\displaystyle G\otimes \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$$

Ejemplo: Sea el grupo de n -ésimas raíces de la unidad. Es un grupo cíclico y los grupos cíclicos se clasifican por órdenes. Por lo tanto, de manera no canónica, y por lo tanto, cuando g es el mcd de n y m , ${\displaystyle \mu _{n}}$ ${\displaystyle \mu _{n}\approx \mathbb {Z} /n}$

$${\displaystyle \mu _{n}\otimes _{\mathbb {Z} }\mu _{m}\approx \mu _{g}.}$$

Ejemplo: considere que dado que se obtiene imponiendo -linealidad en el medio, tenemos la sobreyección ${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} .}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

$${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \to \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} }$$

cuyo núcleo es generado por elementos de la forma donde r , s , x , u son números enteros y s es distinto de cero. Desde ${\displaystyle {r \over s}x\otimes y-x\otimes {r \over s}y}$

$${\displaystyle {r \over s}x\otimes y={r \over s}x\otimes {s \over s}y=x\otimes {r \over s}y,}$$

el núcleo en realidad desaparece; por eso, ${\displaystyle \mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} =\mathbb {Q} \otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} =\mathbb {Q} .}$

Sin embargo, considere y . Como espacio vectorial, tiene dimensión 4, pero tiene dimensión 2. ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {C} }\mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {C} }\mathbb {C} }$

Por tanto, y no son isomorfos. ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {C} }\mathbb {C} }$

Ejemplo: Proponemos comparar y . Como en el ejemplo anterior, tenemos: como grupo abeliano y por tanto como espacio vectorial (cualquier aplicación lineal entre espacios vectoriales es lineal). Como espacio vectorial, tiene dimensión (cardinalidad de una base) de continuo . Por tanto, tiene una base indexada por un producto de continuos; por tanto, su dimensión - es continua. Por lo tanto, por razones de dimensión, existe un isomorfismo no canónico de espacios vectoriales: ${\displaystyle \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} =\mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

$${\displaystyle \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} \approx \mathbb {R} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {R} .}$$

Considere los módulos para polinomios irreducibles tales que Entonces, ${\displaystyle M=\mathbb {C} [x,y,z]/(f),N=\mathbb {C} [x,y,z]/(g)}$ ${\displaystyle f,g\in \mathbb {C} [x,y,z]}$ ${\displaystyle \gcd(f,g)=1.}$

$${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(f)}}\otimes _{\mathbb {C} [x,y,z]}{\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(g)}}\cong {\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(f,g)}}}$$

Otra familia útil de ejemplos proviene del cambio de escalares. Darse cuenta de

$${\displaystyle {\frac {\mathbb {Z} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1},\ldots ,f_{k})}}\otimes _{\mathbb {Z} }R\cong {\frac {R[x_{1},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1},\ldots ,f_{k})}}}$$

Buenos ejemplos de este fenómeno a observar son cuando ${\displaystyle R=\mathbb {Q} ,\mathbb {C} ,\mathbb {Z} /(p^{k}),\mathbb {Z} _{p},\mathbb {Q} _{p}.}$

Construcción

La construcción de M ⊗ N toma un cociente de un grupo abeliano libre con base en los símbolos m ∗ n , utilizados aquí para denotar el par ordenado ( m , n ) , para m en M y n en N por el subgrupo generado por todos los elementos de la forma

1. − m ∗ ( n + n ′) + m ∗ n + m ∗ n ′
2. −( metro + metro ′) ∗ norte + metro ∗ norte + metro ′ ∗ norte
3. ( metro · r ) ∗ norte − metro ∗ ( r · norte )

donde m , m ′ en M , n , n ′ en N y r en R . El mapa de cocientes que lleva m ∗ n = ( m , n ) a la clase lateral que contiene m ∗ n ; eso es,

$${\displaystyle \otimes :M\times N\to M\otimes _{R}N,\,(m,n)\mapsto [m*n]}$$

está equilibrado, y el subgrupo se ha elegido mínimamente para que este mapa esté equilibrado. La propiedad universal de ⊗ se deriva de las propiedades universales de un grupo abeliano libre y un cociente.

Si S es un subanillo de un anillo R , entonces es el grupo cociente de por el subgrupo generado por , donde es la imagen de debajo . En particular, cualquier producto tensorial de R -módulos se puede construir, si así se desea, como un cociente de un producto tensorial de grupos abelianos imponiendo la propiedad del producto R -equilibrado. ${\displaystyle M\otimes _{R}N}$ ${\displaystyle M\otimes _{S}N}$ ${\displaystyle xr\otimes _{S}y-x\otimes _{S}ry,\,r\in R,x\in M,y\in N}$ ${\displaystyle x\otimes _{S}y}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle \otimes :M\times N\to M\otimes _{S}N.}$

Más teóricamente en categorías, sea σ la acción correcta dada de R sobre M ; es decir, σ( m , r ) = m · r y τ la acción izquierda de R de N . Entonces, siempre que el producto tensorial de los grupos abelianos ya esté definido, el producto tensorial de M y N sobre R se puede definir como el coecualizador :

$${\displaystyle M\otimes R\otimes N{{{} \atop {\overset {\sigma \times 1}{\to }}} \atop {{\underset {1\times \tau }{\to }} \atop {}}}M\otimes N\to M\otimes _{R}N}$$

${\displaystyle \otimes }$

En la construcción del producto tensor sobre un anillo conmutativo R , la estructura del módulo R se puede construir desde el principio formando el cociente de un módulo R libre por el submódulo generado por los elementos dados anteriormente para la construcción general, aumentado por los elementos r ⋅ ( m ∗ n ) − m ∗ ( r ⋅ n ) . Alternativamente, a la construcción general se le puede dar una estructura de módulo Z( R ) definiendo la acción escalar por r ⋅ ( m ⊗ n ) = m ⊗ ( r ⋅ n ) cuando está bien definida, que es precisamente cuando r ∈ Z( R ), el centro de R .

El producto directo de M y N rara vez es isomorfo al producto tensorial de M y N. Cuando R no es conmutativo, entonces el producto tensor requiere que M y N sean módulos en lados opuestos, mientras que el producto directo requiere que sean módulos en el mismo lado. En todos los casos, la única función de M × N a G que es a la vez lineal y bilineal es la función cero.

Como mapas lineales

En el caso general, no todas las propiedades de un producto tensorial de espacios vectoriales se extienden a los módulos. Sin embargo, persisten algunas propiedades útiles del producto tensorial, consideradas homomorfismos de módulo .

módulo dual

El módulo dual de un módulo R derecho E , se define como Hom _R ( E , R ) con la estructura canónica del módulo R izquierdo , y se denota E ^∗ . ^[11] La estructura canónica son las operaciones puntuales de suma y multiplicación escalar. Por lo tanto, E ^∗ es el conjunto de todos los R -maps lineales E → R (también llamados formas lineales ), con operaciones

$${\displaystyle (\phi +\psi )(u)=\phi (u)+\psi (u),\quad \phi ,\psi \in E^{*},u\in E}$$

$${\displaystyle (r\cdot \phi )(u)=r\cdot \phi (u),\quad \phi \in E^{*},u\in E,r\in R,}$$

R

Siempre hay un homomorfismo canónico E → E ^∗∗ de E a su segundo dual. Es un isomorfismo si E es un módulo libre de rango finito. En general, E se llama módulo reflexivo si el homomorfismo canónico es un isomorfismo.

Emparejamiento de dualidad

Denotamos el emparejamiento natural de su dual E ^∗ y un R -módulo derecho E , o de un R -módulo izquierdo F y su dual F ^∗ como

$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :E^{*}\times E\to R:(e',e)\mapsto \langle e',e\rangle =e'(e)}$$

$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :F\times F^{*}\to R:(f,f')\mapsto \langle f,f'\rangle =f'(f).}$$

RR

$${\displaystyle \langle r\cdot g,h\cdot s\rangle =r\cdot \langle g,h\rangle \cdot s,\quad r,s\in R.}$$

Un elemento como mapa (bi)lineal

En el caso general, cada elemento del producto tensorial de módulos da lugar a una aplicación lineal R izquierda, a una aplicación lineal R derecha y a una forma R -bilineal. A diferencia del caso conmutativo, en el caso general el producto tensorial no es un R -módulo y, por tanto, no admite la multiplicación escalar.

• Dado el módulo R derecho E y el módulo R derecho F , existe un homomorfismo canónico θ  : F ⊗ _R E ^∗ → Hom _R ( E , F ) tal que θ ( f ⊗ e ′) es el mapa e ↦ f ⋅ ⟨ mi ′, mi ⟩ . ^[12]

• Dado el módulo R izquierdo E y el módulo R derecho F , existe un homomorfismo canónico θ  : F ⊗ _R E → Hom _R ( E ^∗ , F ) tal que θ ( f ⊗ e ) es el mapa e ′ ↦ f ⋅ ⟨ mi , mi ′⟩ . ^[13]

Ambos casos son válidos para módulos generales y se convierten en isomorfismos si los módulos E y F se restringen a ser módulos proyectivos generados finitamente (en particular, módulos libres de rangos finitos). Por lo tanto, un elemento de un producto tensorial de módulos sobre un anillo R se asigna canónicamente a un R - mapa lineal, aunque, al igual que con los espacios vectoriales, se aplican restricciones a los módulos para que esto sea equivalente al espacio completo de dichos mapas lineales.

• Dado el módulo R derecho E y el módulo R izquierdo F , existe un homomorfismo canónico θ  : F ^∗ ⊗ _R E ^∗ → L _R ( F × E , R ) tal que θ ( f ′ ⊗ e ′) es el mapa ( f , mi ) ↦ ⟨ f , f ′⟩ ⋅ ⟨ mi ′, mi ⟩ . ^{[ cita necesaria ]} Por lo tanto , se puede pensar que un elemento de un producto tensorial ξ ∈ F ^∗ ⊗ _R E ^∗ da lugar o actúa como un mapa R -bilineal F × E → R.

Rastro

Sea R un anillo conmutativo y E un módulo R. Entonces hay un R -mapa lineal canónico:

$${\displaystyle E^{*}\otimes _{R}E\to R}$$

inducido a través de linealidad por ; es el único mapa lineal R correspondiente al emparejamiento natural. ${\displaystyle \phi \otimes x\mapsto \phi (x)}$

Si E es un módulo R proyectivo generado finitamente , entonces uno puede identificarlo a través del homomorfismo canónico mencionado anteriormente y luego lo anterior es el mapa de seguimiento : ${\displaystyle E^{*}\otimes _{R}E=\operatorname {End} _{R}(E)}$

$${\displaystyle \operatorname {tr} :\operatorname {End} _{R}(E)\to R.}$$

Cuando R es un campo, ésta es la traza habitual de una transformación lineal.

Ejemplo de geometría diferencial: campo tensorial

El ejemplo más destacado de producto tensorial de módulos en geometría diferencial es el producto tensorial de los espacios de campos vectoriales y formas diferenciales. Más precisamente, si R es el anillo (conmutativo) de funciones suaves en una variedad suave M , entonces se pone

$${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{q}^{p}=\Gamma (M,TM)^{\otimes p}\otimes _{R}\Gamma (M,T^{*}M)^{\otimes q}}$$

donde Γ significa el espacio de secciones y el superíndice significa tensor p veces sobre R . Por definición, un elemento de es un campo tensorial de tipo ( p , q ). ${\displaystyle \otimes p}$ ${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{q}^{p}}$

Como R -módulos, es el módulo dual de ^[14] ${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{p}^{q}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {T}}_{q}^{p}.}$

Para aligerar la notación, ponga y así . ^[15] Cuando p , q ≥ 1, para cada ( k , l ) con 1 ≤ k ≤ p , 1 ≤ l ≤ q , existe un mapa R -multilineal: ${\displaystyle E=\Gamma (M,TM)}$ ${\displaystyle E^{*}=\Gamma (M,T^{*}M)}$

$${\displaystyle E^{p}\times {E^{*}}^{q}\to {\mathfrak {T}}_{q-1}^{p-1},\,(X_{1},\dots ,X_{p},\omega _{1},\dots ,\omega _{q})\mapsto \langle X_{k},\omega _{l}\rangle X_{1}\otimes \cdots \otimes {\widehat {X_{l}}}\otimes \cdots \otimes X_{p}\otimes \omega _{1}\otimes \cdots {\widehat {\omega _{l}}}\otimes \cdots \otimes \omega _{q}}$$

donde significa y el sombrero significa que se omite un término. Por propiedad universal, corresponde a un único R -mapa lineal: ${\displaystyle E^{p}}$ ${\displaystyle \prod _{1}^{p}E}$

$${\displaystyle C_{l}^{k}:{\mathfrak {T}}_{q}^{p}\to {\mathfrak {T}}_{q-1}^{p-1}.}$$

Se llama contracción de tensores en el índice ( k , l ). Desenrollando lo que dice la propiedad universal se ve:

$${\displaystyle C_{l}^{k}(X_{1}\otimes \cdots \otimes X_{p}\otimes \omega _{1}\otimes \cdots \otimes \omega _{q})=\langle X_{k},\omega _{l}\rangle X_{1}\otimes \cdots {\widehat {X_{l}}}\cdots \otimes X_{p}\otimes \omega _{1}\otimes \cdots {\widehat {\omega _{l}}}\cdots \otimes \omega _{q}.}$$

Observación : La discusión anterior es estándar en los libros de texto sobre geometría diferencial (por ejemplo, Helgason). En cierto modo, la construcción teórica de haz (es decir, el lenguaje de haz de módulos ) es más natural y cada vez más común; para ello, consulte la sección § Producto tensorial de haces de módulos.

Relación con los módulos planos

En general,

$${\displaystyle -\otimes _{R}-:{\text{Mod-}}R\times R{\text{-Mod}}\longrightarrow \mathrm {Ab} }$$

es un bifunctor que acepta un par de módulos R derecho e izquierdo como entrada y los asigna al producto tensorial en la categoría de grupos abelianos .

Al arreglar un módulo R derecho M , se crea un funtor

$${\displaystyle M\otimes _{R}-:R{\text{-Mod}}\longrightarrow \mathrm {Ab} }$$

surge, y simétricamente se podría fijar un módulo R izquierdo N para crear un functor

$${\displaystyle -\otimes _{R}N:{\text{Mod-}}R\longrightarrow \mathrm {Ab} .}$$

A diferencia del bifunctor Hom, el funtor tensor es covariante en ambas entradas. ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{R}(-,-),}$

Se puede demostrar que y siempre son funtores exactos a la derecha , pero no necesariamente exactos a la izquierda ( donde el primer mapa es la multiplicación por , es exacto, pero no después de tomar el tensor con ). Por definición, un módulo T es un módulo plano si es un funtor exacto. ${\displaystyle M\otimes _{R}-}$ ${\displaystyle -\otimes _{R}N}$ ${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} _{n}\to 0,}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ ${\displaystyle T\otimes _{R}-}$

Si y son conjuntos generadores para M y N , respectivamente, entonces será un conjunto generador para Debido a que el funtor tensor a veces no se deja exacto, este puede no ser un conjunto generador mínimo, incluso si los conjuntos generadores originales son mínimos. Si M es un módulo plano , el funtor es exacto según la definición misma de módulo plano. Si los productos tensoriales se toman sobre un campo F , estamos en el caso de espacios vectoriales como el anterior. Dado que todos los módulos F son planos, el bifunctor es exacto en ambas posiciones y los dos conjuntos generadores dados son bases, entonces de hecho forma una base para ${\displaystyle \{m_{i}\mid i\in I\}}$ ${\displaystyle \{n_{j}\mid j\in J\}}$ ${\displaystyle \{m_{i}\otimes n_{j}\mid i\in I,j\in J\}}$ ${\displaystyle M\otimes _{R}N.}$ ${\displaystyle M\otimes _{R}-}$ ${\displaystyle M\otimes _{R}-}$ ${\displaystyle -\otimes _{R}-}$ ${\displaystyle \{m_{i}\otimes n_{j}\mid i\in I,j\in J\}}$ ${\displaystyle M\otimes _{F}N.}$

Estructura adicional

Si S y T son R -álgebras conmutativas , entonces, similar a #Para módulos equivalentes, S ⊗ _R T también será una R -álgebra conmutativa, con el mapa de multiplicación definido por ( m ₁ ⊗ m ₂ ) ( n ₁ ⊗ n ₂ ) = ( m ₁ n ₁ ⊗ m ₂ n ₂ ) y extendido por linealidad. En este contexto, el producto tensorial se convierte en un coproducto fibroso en la categoría de R -álgebras conmutativas. (Pero no es un coproducto en la categoría de R -álgebras).

Si M y N son ambos R -módulos sobre un anillo conmutativo, entonces su producto tensorial es nuevamente un R -módulo. Si R es un anillo, _R M es un módulo R izquierdo y el conmutador

rs − sr

de dos elementos cualesquiera r y s de R está en el aniquilador de M , entonces podemos convertir M en un módulo R derecho configurando

señor = rm .

La acción de R sobre M factoriza a través de la acción de un anillo conmutativo cociente. En este caso, el producto tensorial de M consigo mismo sobre R es nuevamente un módulo R. Esta es una técnica muy común en álgebra conmutativa.

Generalización

Producto tensorial de complejos de módulos.

Si X , Y son complejos de R -módulos ( R un anillo conmutativo), entonces su producto tensorial es el complejo dado por

$${\displaystyle (X\otimes _{R}Y)_{n}=\sum _{i+j=n}X_{i}\otimes _{R}Y_{j},}$$

xX _iyY _j

$${\displaystyle d_{X\otimes Y}(x\otimes y)=d_{X}(x)\otimes y+(-1)^{i}x\otimes d_{Y}(y).}$$

^[dieciséis]

Por ejemplo, si C es un complejo de cadenas de grupos abelianos planos y si G es un grupo abeliano, entonces el grupo de homología de es el grupo de homología de C con coeficientes en G (ver también: teorema del coeficiente universal ). ${\displaystyle C\otimes _{\mathbb {Z} }G}$

Producto tensorial de haces de módulos.

El producto tensorial de haces de módulos es el haz asociado al prehaz de productos tensoriales de los módulos de secciones sobre subconjuntos abiertos.

En esta configuración, por ejemplo, se puede definir un campo tensorial en una variedad suave M como una sección (global o local) del producto tensorial (llamado haz tensor ).

$${\displaystyle (TM)^{\otimes p}\otimes _{O}(T^{*}M)^{\otimes q}}$$

OanillosMhaces localmente libresM. ^[17] ${\displaystyle TM,T^{*}M}$

El paquete exterior en M es el subconjunto del paquete tensorial que consta de todos los tensores covariantes antisimétricos. Las secciones del paquete exterior son formas diferenciales en M.

Un caso importante en el que se forma un producto tensor sobre un haz de anillos no conmutativos aparece en la teoría de los módulos D ; es decir, productos tensoriales sobre el haz de operadores diferenciales .

Ver también

• funtor tor
• Producto tensorial de álgebras
• Producto tensor de campos
• Producto tensorial derivado

Notas

1. Tensando con M la secuencia exacta da ${\displaystyle 0\to I\to R\to R/I\to 0}$
   $${\displaystyle I\otimes _{R}M{\overset {f}{\to }}R\otimes _{R}M=M\to R/I\otimes _{R}M\to 0}$$
   donde f está dada por . Dado que la imagen de f es IM , obtenemos la primera parte de 1. Si M es plana, f es inyectiva y también lo es un isomorfismo en su imagen. ${\displaystyle i\otimes x\mapsto ix}$
2. $${\displaystyle R/I\otimes _{R}R/J={R/J \over I(R/J)}={R/J \over (I+J)/J}=R/(I+J).}$$
   QED

Referencias

1. Nathan Jacobson (2009), Álgebra básica II (2ª ed.), Publicaciones de Dover
2. Hazewinkel, et al. (2004), pág. 95, Proposición 4.5.1
3. Bourbaki, cap. §3.1
4. Primero, si entonces la identificación reclamada viene dada por con . En general, tiene la estructura de un módulo R derecho por . Por lo tanto, para cualquier mapa bilineal f , f ′ es R -lineal ${\displaystyle R=\mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle f\mapsto f'}$ ${\displaystyle f'(x)(y)=f(x,y)}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(N,G)}$ ${\displaystyle (g\cdot r)(y)=g(ry)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \Leftrightarrow f'(xr)=f'(x)\cdot r\Leftrightarrow f(xr,y)=f(x,ry).}$
5. Bourbaki, cap. II§3.2.
6. Bourbaki, cap. §3.8
7. Prueba: (usando asociatividad en forma general) ${\displaystyle (M\otimes _{R}N)_{S}=(S\otimes _{R}M)\otimes _{R}N=M_{S}\otimes _{R}N=M_{S}\otimes _{S}S\otimes _{R}N=M_{S}\otimes _{S}N_{S}}$
8. Bourbaki, cap. §4.4
9. Bourbaki, capítulo II §4.1 Proposición 1
10. Ejemplo 3.6 de http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/linmultialg/tensorprod.pdf
11. Bourbaki, cap. §2.3
12. Bourbaki, cap. II §4.2 ec. (11)
13. Bourbaki, cap. II §4.2 ec. (15)
14. Helgason 1978, Lema 2.3'
15. Esta es en realidad la definición de formas unidimensionales diferenciales, secciones globales de , en Helgason, pero es equivalente a la definición habitual que no utiliza la teoría de módulos. ${\displaystyle T^{*}M}$
16. Mayo de 1999, cap. 12 §3
17. Véase también Enciclopedia de Matemáticas - Paquete tensorial

• Bourbaki, Álgebra
• Helgason, Sigurdur (1978), Geometría diferencial, grupos de Lie y espacios simétricos , Academic Press, ISBN 0-12-338460-5
• Northcott, DG (1984), Álgebra multilineal , Cambridge University Press, ISBN 613-0-04808-4.
• Hazewinkel, Michiel ; Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, Vladimir V. (2004), Álgebras, anillos y módulos , Springer, ISBN 978-1-4020-2690-4.
• Mayo, Peter (1999). Un curso conciso en topología algebraica (PDF) . Prensa de la Universidad de Chicago.