funtor tor

Construction in homological algebra

En matemáticas , los functores Tor son los functores derivados del producto tensorial de módulos sobre un anillo . Junto con el funtor Ext , Tor es uno de los conceptos centrales del álgebra homológica , en el que se utilizan ideas de la topología algebraica para construir invariantes de estructuras algebraicas. La homología de grupos , álgebras de Lie y álgebras asociativas se pueden definir en términos de Tor. El nombre proviene de una relación entre el primer grupo Tor Tor ₁ y el subgrupo de torsión de un grupo abeliano .

En el caso especial de los grupos abelianos, Tor fue introducido por Eduard Čech (1935) y nombrado por Samuel Eilenberg alrededor de 1950. ^[1] Se aplicó por primera vez al teorema de Künneth y al teorema del coeficiente universal en topología. Para módulos sobre cualquier anillo, Tor fue definido por Henri Cartan y Eilenberg en su libro Homological Algebra de 1956 . ^[2]

Definición

Sea R un anillo . Escriba R -Mod para la categoría de módulos R izquierdos y Mod- R para la categoría de módulos R derechos . (Si R es conmutativo , se pueden identificar las dos categorías). Para un módulo R izquierdo fijo B , sea A en Mod- R . Este es un funtor exacto derecho de Mod- R a la categoría de grupos abelianos Ab, por lo que tiene funtores derivados izquierdos . Los grupos Tor son los grupos abelianos definidos por ${\displaystyle T(A)=A\otimes _{R}B}$ ${\displaystyle L_{i}T}$

$${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(A,B)=(L_{i}T)(A),}$$

número entero iresolución proyectiva

$${\displaystyle \cdots \to P_{2}\to P_{1}\to P_{0}\to A\to 0,}$$

Acomplejo de cadena

$${\displaystyle \cdots \to P_{2}\otimes _{R}B\to P_{1}\otimes _{R}B\to P_{0}\otimes _{R}B\to 0}$$

Para cada número entero i , el grupo es la homología de este complejo en la posición i . Es cero para i negativo. Además, es el cokernel del mapa , que es isomorfo a . ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(A,B)}$ ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{0}^{R}(A,B)}$ ${\displaystyle P_{1}\otimes _{R}B\to P_{0}\otimes _{R}B}$ ${\displaystyle A\otimes _{R}B}$

Alternativamente, se puede definir Tor fijando A y tomando los funtores derivados por la izquierda del funtor exacto derecho G ( B ) = A ⊗ _R B . Es decir, el tensor A con una resolución proyectiva de B y toma homología. Cartan y Eilenberg demostraron que estas construcciones son independientes de la elección de la resolución proyectiva y que ambas construcciones producen los mismos grupos Tor. ^[3] Además, para un anillo fijo R , Tor es un funtor en cada variable (desde R -módulos hasta grupos abelianos).

Para un anillo conmutativo R y R -módulos A y B , Tor^ri
_​( A , B ) es un módulo R (usando que A ⊗ _R B es un módulo R en este caso). Para un anillo no conmutativo R , Tor^ri
_​( A , B ) es sólo un grupo abeliano, en general. Si R es un álgebra sobre un anillo S (lo que significa en particular que S es conmutativo), entonces Tor^ri
_​( A , B ) es al menos un módulo S.

Propiedades

Estas son algunas de las propiedades y cálculos básicos de los grupos Tor. ^[4]

• Colina^R
  ₀( A , B ) ≅ A ⊗ _R B para cualquier módulo R derecho A y módulo R izquierdo B .
• Colina^ri
  _​( A , B ) = 0 para todo i > 0 si A o B son planos (por ejemplo, libres ) como un módulo R. De hecho, se puede calcular Tor usando una resolución plana de A o B ; esto es más general que una resolución proyectiva (o libre). ^[5]
• Hay lo contrario a la afirmación anterior:
  • Si Tor^R
    ₁( A , B ) = 0 para todo B , entonces A es plano (y por lo tanto Tor^ri
    _​( A , B ) = 0 para todo i > 0).
  • Si Tor^R
    ₁( A , B ) = 0 para todo A , entonces B es plano (y por lo tanto Tor^ri
    _​( A , B ) = 0 para todo i > 0).
• Por las propiedades generales de los functores derivados, cada secuencia corta exacta 0 → K → L → M → 0 de R -módulos derechos induce una secuencia larga exacta de la forma ^[6]
  $${\displaystyle \cdots \to \operatorname {Tor} _{2}^{R}(M,B)\to \operatorname {Tor} _{1}^{R}(K,B)\to \operatorname {Tor} _{1}^{R}(L,B)\to \operatorname {Tor} _{1}^{R}(M,B)\to K\otimes _{R}B\to L\otimes _{R}B\to M\otimes _{R}B\to 0,}$$
  para cualquier módulo R izquierdo B . La secuencia exacta análoga también se cumple para Tor con respecto a la segunda variable.
• Simetría: para un anillo conmutativo R , existe un isomorfismo natural Tor^ri
  _​( A , B ) ≅ Tor^ri
  _​( B , A ). ^[7] (Para R conmutativo, no es necesario distinguir entre módulos R izquierdo y derecho ).
• Si R es un anillo conmutativo y u en R no es un divisor de cero , entonces para cualquier R -módulo B ,
  $${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(R/(u),B)\cong {\begin{cases}B/uB&i=0\\B[u]&i=1\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$
  dónde
  $${\displaystyle B[u]=\{x\in B:ux=0\}}$$
  es el subgrupo u -torsión de B . Esta es la explicación del nombre Tor. Tomando R como el anillo de números enteros, este cálculo se puede utilizar para calcular cualquier grupo abeliano A generado finitamente . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{\mathbb {Z} }(A,B)}$
• Generalizando el ejemplo anterior, se pueden calcular grupos Tor que involucran el cociente de un anillo conmutativo por cualquier secuencia regular , usando el complejo de Koszul . ^[8] Por ejemplo, si R es el anillo polinómico k [ x ₁ , ..., x _n ] sobre un campo k , entonces es el álgebra exterior sobre k en n generadores en Tor ₁ . ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{*}^{R}(k,k)}$
• ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{\mathbb {Z} }(A,B)=0}$para todo i ≥ 2. La razón: cada grupo abeliano A tiene una resolución libre de longitud 1, ya que cada subgrupo de un grupo abeliano libre es abeliano libre.
• Para cualquier anillo R , Tor conserva sumas directas (posiblemente infinitas) y colimits filtrados en cada variable. ^[9] Por ejemplo, en la primera variable, esto dice que
  $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Tor} _{i}^{R}\left(\bigoplus _{\alpha }M_{\alpha },N\right)&\cong \bigoplus _{\alpha }\operatorname {Tor} _{i}^{R}(M_{\alpha },N)\\\operatorname {Tor} _{i}^{R}\left(\varinjlim _{\alpha }M_{\alpha },N\right)&\cong \varinjlim _{\alpha }\operatorname {Tor} _{i}^{R}(M_{\alpha },N)\end{aligned}}}$$
• Cambio de base plana: para un R -álgebra T plano conmutativo , R -módulos A y B , y un número entero i , ^[10]
  $${\displaystyle \mathrm {Tor} _{i}^{R}(A,B)\otimes _{R}T\cong \mathrm {Tor} _{i}^{T}(A\otimes _{R}T,B\otimes _{R}T).}$$
  De ello se deduce que Tor conmuta con la localización . Es decir, para un conjunto multiplicativamente cerrado S en R ,
  $${\displaystyle S^{-1}\operatorname {Tor} _{i}^{R}(A,B)\cong \operatorname {Tor} _{i}^{S^{-1}R}\left(S^{-1}A,S^{-1}B\right).}$$
• Para un anillo conmutativo R y R conmutativo -álgebras A y B , Tor^R
  _*( A , B ) tiene la estructura de un álgebra conmutativa graduada sobre R . Además, los elementos de grado impar en el álgebra de Tor tienen cero cuadrado y existen operaciones de potencia dividida sobre los elementos de grado par positivo. ^[11]

Casos especiales importantes

• La homología de grupo se define por donde G es un grupo, M es una representación de G sobre los números enteros y es el anillo de grupo de G. ${\displaystyle H_{*}(G,M)=\operatorname {Tor} _{*}^{\mathbb {Z} [G]}(\mathbb {Z} ,M),}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$
• Para un álgebra A sobre un campo k y un A - bimódulo M , la homología de Hochschild se define por
  $${\displaystyle HH_{*}(A,M)=\operatorname {Tor} _{*}^{A\otimes _{k}A^{\text{op}}}(A,M).}$$
• La homología del álgebra de Lie se define por , donde es un álgebra de Lie sobre un anillo conmutativo R , M es un módulo y es el álgebra envolvente universal . ${\displaystyle H_{*}({\mathfrak {g}},M)=\operatorname {Tor} _{*}^{U{\mathfrak {g}}}(R,M)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U{\mathfrak {g}}}$
• Para un anillo conmutativo R con un homomorfismo en un campo k , es un álgebra de Hopf conmutativa graduada sobre k . ^[12] (Si R es un anillo local noetheriano con campo residual k , entonces el álgebra dual de Hopf es Ext ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{*}^{R}(k,k)}$ ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{*}^{R}(k,k)}$^*
  _R( k , k ).) Como álgebra, es el álgebra de potencia dividida conmutativa graduada libre en un espacio vectorial graduado π _* ( R ). ^[13] Cuando k tiene característica cero, π _* ( R ) puede identificarse con la homología de André-Quillen D _* ( k / R , k ). ^[14] ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{*}^{R}(k,k)}$

Ver también

• Morfismo plano
• Fórmula de intersección de Serre
• Producto tensorial derivado
• Secuencia espectral de Eilenberg-Moore

Notas

1. Weibel (1999).
2. Cartan y Eilenberg (1956), sección VI.1.
3. Weibel (1994), sección 2.4 y teorema 2.7.2.
4. Weibel (1994), capítulos 2 y 3.
5. Weibel (1994), Lema 3.2.8.
6. Weibel (1994), Definición 2.1.1.
7. Weibel (1994), Observación en la sección 3.1.
8. Weibel (1994), sección 4.5.
9. Weibel (1994), Corolario 2.6.17.
10. Weibel (1994), Corolario 3.2.10.
11. Avramov y Halperin (1986), sección 2.16; Proyecto de pilas, etiqueta 09PQ.
12. Avramov y Halperin (1986), sección 4.7.
13. Gulliksen y Levin (1969), Teorema 2.3.5; Sjödin (1980), Teorema 1.
14. Quillen (1970), sección 7.

Referencias

• Avramov, Luchezar ; Halperin, Stephen (1986), "A través del espejo: un diccionario entre la teoría de la homotopía racional y el álgebra local", en J.-E. Roos (ed.), Álgebra, topología algebraica y sus interacciones (Estocolmo, 1983) , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1183, Springer Nature , págs. 1 a 27, doi :10.1007/BFb0075446, ISBN 978-3-540-16453-1, SEÑOR  0846435
• Cartan, Henri ; Eilenberg, Samuel (1999) [1956], Álgebra homológica , Princeton: Princeton University Press , ISBN 0-691-04991-2, señor  0077480
• Čech, Eduard (1935), "Les groupes de Betti d'un complexe infini" (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 25 : 33–44, doi : 10.4064/fm-25-1-33-44 , JFM  61.0609.02
• Gulliksen, Tor; Levin, Gerson (1969), Homología de anillos locales , Queen's Papers in Pure and Applied Mathematics, vol. 20, Universidad de Queen, MR  0262227
• Quillen, Daniel (1970), "Sobre la (co)homología de anillos conmutativos", Aplicaciones del álgebra categórica , Proc. Síntoma. Mat. Puro, vol. 17, Sociedad Estadounidense de Matemáticas , págs. 65–87, SEÑOR  0257068
• Sjödin, Gunnar (1980), "Álgebras y derivaciones de Hopf", Journal of Algebra , 64 : 218–229, doi : 10.1016/0021-8693(80)90143-X , MR  0575792
• Weibel, Charles A. (1994). Una introducción al álgebra homológica . Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. vol. 38. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-55987-4. SEÑOR  1269324. OCLC  36131259.
• Weibel, Charles (1999), "Historia del álgebra homológica", Historia de la topología (PDF) , Amsterdam: Holanda Septentrional, págs. 797–836, MR  1721123

enlaces externos

• Los autores del proyecto Stacks, El proyecto Stacks