Álgebra envolvente universal

En matemáticas , el álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie es el álgebra asociativa unital cuyas representaciones corresponden precisamente a las representaciones de ese álgebra de Lie.

Las álgebras envolventes universales se utilizan en la teoría de representación de grupos de Lie y álgebras de Lie. Por ejemplo, los módulos de Verma se pueden construir como cocientes del álgebra envolvente universal. ^[1] Además, el álgebra envolvente da una definición precisa de los operadores de Casimir . Debido a que los operadores de Casimir conmutan con todos los elementos de un álgebra de Lie, se pueden utilizar para clasificar representaciones. La definición precisa también permite la importación de operadores de Casimir a otras áreas de las matemáticas, específicamente, aquellas que tienen un álgebra diferencial . También desempeñan un papel central en algunos avances recientes en matemáticas. En particular, su dual proporciona un ejemplo conmutativo de los objetos estudiados en geometría no conmutativa , los grupos cuánticos . Se puede demostrar, mediante el teorema de Gelfand-Naimark , que este dual contiene el álgebra C* del grupo de Lie correspondiente. Esta relación se generaliza a la idea de la dualidad Tannaka-Krein entre grupos topológicos compactos y sus representaciones.

Desde un punto de vista analítico, el álgebra envolvente universal del álgebra de Lie de un grupo de Lie puede identificarse con el álgebra de operadores diferenciales invariantes por la izquierda en el grupo.

construcción informal

La idea del álgebra envolvente universal es incrustar un álgebra de Lie en un álgebra asociativa con identidad de tal manera que la operación abstracta entre paréntesis in corresponda al conmutador in y el álgebra sea generada por los elementos de . Puede haber muchas formas de realizar tal incrustación, pero existe una única "más grande" , llamada álgebra envolvente universal de . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle xy-yx}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Generadores y relaciones

Sea un álgebra de Lie, asumida de dimensión finita por simplicidad, con base . Sean las constantes de estructura para esta base, de modo que ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots X_{n}}$ ${\displaystyle c_{ijk}}$

${\displaystyle [X_{i},X_{j}]=\sum _{k=1}^{n}c_{ijk}X_{k}.}$

Entonces el álgebra envolvente universal es el álgebra asociativa (con identidad) generada por elementos sujetos a las relaciones ${\displaystyle x_{1},\ldots x_{n}}$

${\displaystyle x_{i}x_{j}-x_{j}x_{i}=\sum _{k=1}^{n}c_{ijk}x_{k}}$

y ninguna otra relación . A continuación haremos que esta construcción de "generadores y relaciones" sea más precisa construyendo el álgebra envolvente universal como un cociente del álgebra tensorial sobre . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Considere, por ejemplo, el álgebra de Lie sl(2,C) , abarcada por las matrices

$${\displaystyle X={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\qquad Y={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}\qquad H={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}~,}$$

que satisfacen las relaciones de conmutación , , y . El álgebra envolvente universal de sl(2,C) es entonces el álgebra generada por tres elementos sujetos a las relaciones ${\displaystyle [H,X]=2X}$ ${\displaystyle [H,Y]=-2Y}$ ${\displaystyle [X,Y]=H}$ ${\displaystyle x,y,h}$

${\displaystyle hx-xh=2x,\quad hy-yh=-2y,\quad xy-yx=h,}$

y ninguna otra relación. Destacamos que el álgebra envolvente universal no es lo mismo (ni está contenida en) el álgebra de matrices. Por ejemplo, la matriz satisface , como se comprueba fácilmente. Pero en el álgebra envolvente universal, el elemento no satisface , porque no imponemos esta relación en la construcción del álgebra envolvente. De hecho, del teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt (que se analiza más adelante) se deduce que todos los elementos son linealmente independientes en el álgebra envolvente universal. ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{2}=0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{2}=0}$ ${\displaystyle 1,x,x^{2},x^{3},\ldots }$

Encontrar una base

En general, los elementos del álgebra envolvente universal son combinaciones lineales de productos de los generadores en todos los órdenes posibles. Usando las relaciones definitorias del álgebra envolvente universal, siempre podemos reordenar esos productos en un orden particular, digamos con todos los factores de primero, luego factores de , etc. Por ejemplo, siempre que tengamos un término que contenga (en el orden "incorrecto"), podemos usar las relaciones para reescribir esto como más una combinación lineal de 's. Hacer este tipo de cosas repetidamente eventualmente convierte cualquier elemento en una combinación lineal de términos en orden ascendente. Así, elementos de la forma ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{2}x_{1}}$ ${\displaystyle x_{1}x_{2}}$ ${\displaystyle x_{j}}$

${\displaystyle x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{n}^{k_{n}}}$

siendo los números enteros no negativos, abarcan el álgebra envolvente. (Permitimos , lo que significa que permitimos términos en los que no ocurren factores de). El teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt , que se analiza a continuación, afirma que estos elementos son linealmente independientes y, por lo tanto, forman una base para el álgebra envolvente universal. En particular, el álgebra envolvente universal es siempre de dimensión infinita. ${\displaystyle k_{j}}$ ${\displaystyle k_{j}=0}$ ${\displaystyle x_{j}}$

The Poincaré–Birkhoff–Witt theorem implies, in particular, that the elements ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ themselves are linearly independent. It is therefore common—if potentially confusing—to identify the ${\displaystyle x_{j}}$'s with the generators ${\displaystyle X_{j}}$ of the original Lie algebra. That is to say, we identify the original Lie algebra as the subspace of its universal enveloping algebra spanned by the generators. Although ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ may be an algebra of ${\displaystyle n\times n}$ matrices, the universal enveloping of ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ does not consist of (finite-dimensional) matrices. In particular, there is no finite-dimensional algebra that contains the universal enveloping of ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$; the universal enveloping algebra is always infinite dimensional. Thus, in the case of sl(2,C), if we identify our Lie algebra as a subspace of its universal enveloping algebra, we must not interpret ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ and ${\displaystyle H}$ as ${\displaystyle 2\times 2}$ matrices, but rather as symbols with no further properties (other than the commutation relations).

Formalities

The formal construction of the universal enveloping algebra takes the above ideas, and wraps them in notation and terminology that makes it more convenient to work with. The most important difference is that the free associative algebra used in the above is narrowed to the tensor algebra, so that the product of symbols is understood to be the tensor product. The commutation relations are imposed by constructing a quotient space of the tensor algebra quotiented by the smallest two-sided ideal containing elements of the form ${\displaystyle x_{i}x_{j}-x_{j}x_{i}-\Sigma c_{ijk}x_{k}}$. The universal enveloping algebra is the "largest" unital associative algebra generated by elements of ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ with a Lie bracket compatible with the original Lie algebra.

Formal definition

Recall that every Lie algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ is in particular a vector space. Thus, one is free to construct the tensor algebra ${\displaystyle T({\mathfrak {g}})}$ from it. The tensor algebra is a free algebra: it simply contains all possible tensor products of all possible vectors in ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, without any restrictions whatsoever on those products.

That is, one constructs the space

${\displaystyle T({\mathfrak {g}})=K\,\oplus \,{\mathfrak {g}}\,\oplus \,({\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}})\,\oplus \,({\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}})\,\oplus \,\cdots }$

where ${\displaystyle \otimes }$ is the tensor product, and ${\displaystyle \oplus }$ is the direct sum of vector spaces. Here, K is the field over which the Lie algebra is defined. From here, through to the remainder of this article, the tensor product is always explicitly shown. Many authors omit it, since, with practice, its location can usually be inferred from context. Here, a very explicit approach is adopted, to minimize any possible confusion about the meanings of expressions.

El primer paso en la construcción es "levantar" el corchete de Lie del álgebra de Lie (donde está definido) al álgebra tensorial (donde no lo está), de modo que se pueda trabajar coherentemente con el corchete de Lie de dos tensores. El levantamiento se realiza de la siguiente manera. Primero, recuerde que la operación entre corchetes en un álgebra de Lie es un mapa bilineal que es bilineal , asimétrico y satisface la identidad de Jacobi . Deseamos definir un corchete de Lie [-,-] que sea un mapa que también sea bilineal, simétrico sesgado y obedezca a la identidad de Jacobi. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle T({\mathfrak {g}})\otimes T({\mathfrak {g}})\to T({\mathfrak {g}})}$

El levantamiento se puede realizar grado por grado. Comience definiendo el corchete en como ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle a\otimes b-b\otimes a=[a,b]}$

Esta es una definición consistente y coherente, porque ambos lados son bilineales y ambos lados son simétricos sesgados (la identidad de Jacobi se explicará en breve). Lo anterior define el corchete en ; ahora debe elevarse a arbitrario. Esto se hace de forma recursiva, definiendo ${\displaystyle T^{2}({\mathfrak {g}})={\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle T^{n}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle n.}$

${\displaystyle [a\otimes b,c]=a\otimes [b,c]+[a,c]\otimes b}$

y de la misma manera

${\displaystyle [a,b\otimes c]=[a,b]\otimes c+b\otimes [a,c]}$

Es sencillo verificar que la definición anterior es bilineal y es simétrica sesgada; también se puede demostrar que obedece a la identidad de Jacobi. El resultado final es que uno tiene un corchete de Lie que se define consistentemente en todos y dice que ha sido "elevado" a todos en el sentido convencional de "levantamiento" desde un espacio base (aquí, el álgebra de Lie) a un espacio de cobertura (aquí, el álgebra tensorial). ${\displaystyle T({\mathfrak {g}});}$ ${\displaystyle T({\mathfrak {g}})}$

El resultado de este levantamiento es explícitamente un álgebra de Poisson . Es un álgebra asociativa unital con un paréntesis de Lie que es compatible con el paréntesis de álgebra de Lie; es compatible por construcción. Sin embargo, no es el álgebra más pequeña ; contiene muchos más elementos de los necesarios. Se puede conseguir algo más pequeño proyectándolo hacia abajo. El álgebra envolvente universal de se define como el espacio cociente ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle U({\mathfrak {g}})=T({\mathfrak {g}})/\sim }$

donde la relación de equivalencia está dada por ${\displaystyle \sim }$

${\displaystyle a\otimes b-b\otimes a=[a,b]}$

Es decir, el corchete de Lie define la relación de equivalencia utilizada para realizar el cociente. El resultado sigue siendo un álgebra asociativa unital, y todavía se puede tomar el grupo de Lie de dos miembros cualesquiera. Calcular el resultado es sencillo, si se tiene en cuenta que cada elemento de puede entenderse como una clase lateral : simplemente se toma el paréntesis como de costumbre y se busca la clase lateral que contiene el resultado. Es el álgebra más pequeña ; no se puede encontrar nada más pequeño que todavía obedezca los axiomas de un álgebra asociativa. ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

El álgebra envolvente universal es lo que queda del álgebra tensorial después de modificar la estructura del álgebra de Poisson . (Ésta no es una afirmación trivial; el álgebra tensorial tiene una estructura bastante complicada: es, entre otras cosas, un álgebra de Hopf ; el álgebra de Poisson también es bastante complicada, con muchas propiedades peculiares. Es compatible con el álgebra tensorial, y así se puede realizar la modificación. La estructura del álgebra de Hopf se conserva; esto es lo que conduce a sus muchas aplicaciones novedosas, por ejemplo, en la teoría de cuerdas . Sin embargo, a los efectos de la definición formal, nada de esto importa particularmente).

La construcción se puede realizar de una manera ligeramente diferente (pero en última instancia equivalente). Olvídese, por un momento, del levantamiento anterior y, en su lugar, considere el ideal bilateral que generé mediante elementos de la forma.

${\displaystyle a\otimes b-b\otimes a-[a,b]}$

Este generador es un elemento de

${\displaystyle {\mathfrak {g}}\oplus ({\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}})\subset T({\mathfrak {g}})}$

Un miembro general del ideal tendré la forma.

${\displaystyle c\otimes d\otimes \cdots \otimes (a\otimes b-b\otimes a-[a,b])\otimes f\otimes g\cdots }$

para algunos Todos los elementos de I se obtienen como combinaciones lineales de elementos de esta forma. Claramente, es un subespacio. Es un ideal, en el sentido de que si y entonces , y Establecer que se trata de un ideal es importante, porque los ideales son precisamente aquellas cosas con las que uno puede cociente; Los ideales se encuentran en el núcleo del mapa de cociente. Es decir, se tiene la secuencia corta exacta ${\displaystyle a,b,c,d,f,g\in {\mathfrak {g}}.}$ ${\displaystyle I\subset T({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle j\in I}$ ${\displaystyle x\in T({\mathfrak {g}}),}$ ${\displaystyle j\otimes x\in I}$ ${\displaystyle x\otimes j\in I.}$

${\displaystyle 0\to I\to T({\mathfrak {g}})\to T({\mathfrak {g}})/I\to 0}$

donde cada flecha es un mapa lineal y el núcleo de ese mapa viene dado por la imagen del mapa anterior. El álgebra envolvente universal puede definirse entonces como ^[2]

${\displaystyle U({\mathfrak {g}})=T({\mathfrak {g}})/I}$

Superálgebras y otras generalizaciones.

La construcción anterior se centra en las álgebras de Lie y en el corchete de Lie, y su asimetría y antisimetría. Hasta cierto punto, estas propiedades son incidentales a la construcción. Consideremos en cambio algo de álgebra (arbitraria) (no un álgebra de Lie) sobre un espacio vectorial, es decir, un espacio vectorial dotado de multiplicación que toma elementos. Si la multiplicación es bilineal, entonces se pueden realizar la misma construcción y definiciones. Uno comienza levantando para que lo levantado obedezca las mismas propiedades que la base : simetría o antisimetría o lo que sea. El levantamiento se realiza exactamente como antes, comenzando con ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle m:V\times V\to V}$ ${\displaystyle a\times b\mapsto m(a,b).}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle T(V)}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle {\begin{aligned}m:V\otimes V&\to V\\a\otimes b&\mapsto m(a,b)\end{aligned}}}$

Esto es consistente precisamente porque el producto tensorial es bilineal y la multiplicación es bilineal. El resto del levantamiento se realiza para preservar la multiplicación como homomorfismo . Por definición , se escribe

${\displaystyle m(a\otimes b,c)=a\otimes m(b,c)+m(a,c)\otimes b}$

y también eso

${\displaystyle m(a,b\otimes c)=m(a,b)\otimes c+b\otimes m(a,c)}$

Esta extensión es consistente apelando a un lema sobre objetos libres : dado que el álgebra tensorial es un álgebra libre , cualquier homomorfismo en su conjunto generador puede extenderse a todo el álgebra. Todo lo demás procede como se describió anteriormente: al finalizar, se tiene un álgebra asociativa unital; se puede tomar un cociente de cualquiera de las dos formas descritas anteriormente.

Lo anterior es exactamente cómo se construye el álgebra envolvente universal para las superálgebras de Lie . Sólo es necesario seguir atentamente el signo al permutar elementos. En este caso, el (anti)conmutador de la superálgebra se eleva a un soporte de Poisson (anti)conmutador.

Otra posibilidad es utilizar algo distinto del álgebra tensorial como álgebra de cobertura. Una de esas posibilidades es utilizar el álgebra exterior ; es decir, reemplazar cada aparición del producto tensorial por el producto exterior . Si el álgebra base es un álgebra de Lie, entonces el resultado es el álgebra de Gerstenhaber ; es el álgebra exterior del grupo de Lie correspondiente. Como antes, tiene una calificación que proviene naturalmente de la calificación del álgebra exterior. (El álgebra de Gerstenhaber no debe confundirse con la superálgebra de Poisson ; ambas invocan la anticonmutación, pero de diferentes maneras).

La construcción también se ha generalizado para álgebras de Malcev , ^[3] álgebras de Bol ^[4] y álgebras alternativas de izquierda . ^{[ cita necesaria ]}

propiedad universal

El álgebra envolvente universal, o más bien el álgebra envolvente universal junto con el mapa canónico , posee una propiedad universal . ^[5] Supongamos que tenemos cualquier mapa de álgebra de Lie. ${\displaystyle h\colon {\mathfrak {g}}\to U({\mathfrak {g}})}$

${\displaystyle \varphi :{\mathfrak {g}}\to A}$

a un álgebra asociativa unital A (con corchete de Lie en A dado por el conmutador). Más explícitamente, esto significa que asumimos

${\displaystyle \varphi ([X,Y])=\varphi (X)\varphi (Y)-\varphi (Y)\varphi (X)}$

para todos . Entonces existe un homomorfismo de álgebra unital único ${\displaystyle X,Y\in {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\widehat {\varphi }}\colon U({\mathfrak {g}})\to A}$

tal que

${\displaystyle \varphi ={\widehat {\varphi }}\circ h}$

¿ Dónde está el mapa canónico? (El mapa se obtiene incrustando en su álgebra tensorial y luego componiendo con el mapa de cociente del álgebra envolvente universal. Este mapa es una incrustación, según el teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt). ${\displaystyle h:{\mathfrak {g}}\to U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Para decirlo de otra manera, si es un mapa lineal en un álgebra unital que satisface , entonces se extiende a un homomorfismo de álgebra de . Dado que se genera por elementos de , el mapa debe estar determinado únicamente por el requisito de que ${\displaystyle \varphi \colon {\mathfrak {g}}\rightarrow A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \varphi ([X,Y])=\varphi (X)\varphi (Y)-\varphi (Y)\varphi (X)}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\widehat {\varphi }}:U({\mathfrak {g}})\to A}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\widehat {\varphi }}}$

${\displaystyle {\widehat {\varphi }}(X_{i_{1}}\cdots X_{i_{N}})=\varphi (X_{i_{1}})\cdots \varphi (X_{i_{N}}),\quad X_{i_{j}}\in {\mathfrak {g}}}$.

El punto es que debido a que no hay otras relaciones en el álgebra envolvente universal además de las que provienen de las relaciones de conmutación de , el mapa está bien definido, independientemente de cómo se escribe un elemento dado como una combinación lineal de productos de elementos del álgebra de Lie. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\widehat {\varphi }}}$ ${\displaystyle x\in U({\mathfrak {g}})}$

La propiedad universal del álgebra envolvente implica inmediatamente que toda representación de actuar sobre un espacio vectorial se extiende únicamente a una representación de . (Tome .) Esta observación es importante porque permite (como se analiza más adelante) que los elementos de Casimir actúen sobre . Estos operadores (desde el centro de ) actúan como escalares y proporcionan información importante sobre las representaciones. El elemento cuadrático de Casimir es de particular importancia a este respecto. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle A=\mathrm {End} (V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

Otras álgebras

Aunque la construcción canónica dada anteriormente se puede aplicar a otras álgebras, el resultado, en general, no tiene la propiedad universal. Así, por ejemplo, cuando la construcción se aplica a álgebras de Jordan , el álgebra envolvente resultante contiene las álgebras de Jordan especiales , pero no las excepcionales: es decir, no envuelve a las álgebras de Albert . Asimismo, el teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt, que aparece a continuación, construye una base para un álgebra envolvente; simplemente no será universal. Observaciones similares son válidas para las superálgebras de Lie .

Teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt

El teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt da una descripción precisa de . Esto se puede hacer de dos maneras diferentes: ya sea mediante referencia a una base vectorial explícita en el álgebra de Lie o sin coordenadas . ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

Usando elementos base

Una forma es suponer que al álgebra de Lie se le puede dar una base totalmente ordenada , es decir, es el espacio vectorial libre de un conjunto totalmente ordenado. Recuerde que un espacio vectorial libre se define como el espacio de todas las funciones finitas admitidas desde un conjunto X hasta el campo K (finitamente admitidas significa que sólo un número finito de valores son distintos de cero); se le puede dar una base tal que sea la función indicadora para . Sea la inyección en el álgebra tensorial; esto también se utiliza para darle una base al álgebra tensorial. Esto se hace levantando: dada alguna secuencia arbitraria de , se define la extensión de como ${\displaystyle e_{a}:X\to K}$ ${\displaystyle e_{a}(b)=\delta _{ab}}$ ${\displaystyle a,b\in X}$ ${\displaystyle h:{\mathfrak {g}}\to T({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle e_{a}}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle h(e_{a}\otimes e_{b}\otimes \cdots \otimes e_{c})=h(e_{a})\otimes h(e_{b})\otimes \cdots \otimes h(e_{c})}$

El teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt establece entonces que se puede obtener una base de lo anterior, imponiendo el orden total de X en el álgebra. Es decir, tiene una base. ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

${\displaystyle e_{a}\otimes e_{b}\otimes \cdots \otimes e_{c}}$

donde , siendo el ordenamiento el del orden total en el conjunto X. ^[6] La prueba del teorema implica observar que, si uno comienza con elementos básicos desordenados, estos siempre se pueden intercambiar usando el conmutador (junto con las constantes de estructura ). La parte difícil de la prueba es establecer que el resultado final es único e independiente del orden en que se realizaron los intercambios. ${\displaystyle a\leq b\leq \cdots \leq c}$

Esta base debería reconocerse fácilmente como la base de un álgebra simétrica . Es decir, los espacios vectoriales subyacentes de y el álgebra simétrica son isomorfos, y es el teorema PBW el que demuestra que esto es así. Véase, sin embargo, la sección sobre álgebra de símbolos, más adelante, para una exposición más precisa de la naturaleza del isomorfismo. ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

Quizás sea útil dividir el proceso en dos pasos. En el primer paso, se construye el álgebra de Lie libre : esto es lo que se obtiene si se modifican todos los conmutadores, sin especificar cuáles son los valores de los conmutadores. El segundo paso es aplicar las relaciones de conmutación específicas de El primer paso es universal y no depende de lo específico. También puede definirse con precisión: los elementos básicos están dados por palabras de Hall , un caso especial de las cuales son las palabras de Lyndon ; estos están construidos explícitamente para comportarse apropiadamente como conmutadores. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}.}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}.}$

Sin coordenadas

También se puede enunciar el teorema sin coordenadas, evitando el uso de órdenes totales y elementos básicos. Esto es conveniente cuando hay dificultades para definir los vectores base, como puede haberlas en el caso de álgebras de Lie de dimensión infinita. También da una forma más natural que se extiende más fácilmente a otros tipos de álgebras. Esto se logra construyendo una filtración cuyo límite es el álgebra envolvente universal. ${\displaystyle U_{m}{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}}).}$

Primero, se necesita una notación para una secuencia ascendente de subespacios del álgebra tensorial. Dejar

${\displaystyle T_{m}{\mathfrak {g}}=K\oplus {\mathfrak {g}}\oplus T^{2}{\mathfrak {g}}\oplus \cdots \oplus T^{m}{\mathfrak {g}}}$

dónde

${\displaystyle T^{m}{\mathfrak {g}}=T^{\otimes m}{\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}\otimes \cdots \otimes {\mathfrak {g}}}$

es el producto tensor m -veces de la forma una filtración : ${\displaystyle {\mathfrak {g}}.}$ ${\displaystyle T_{m}{\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle K\subset {\mathfrak {g}}\subset T_{2}{\mathfrak {g}}\subset \cdots \subset T_{m}{\mathfrak {g}}\subset \cdots }$

Más precisamente, se trata de un álgebra filtrada , ya que la filtración preserva las propiedades algebraicas de los subespacios. Tenga en cuenta que el límite de esta filtración es el álgebra tensorial ${\displaystyle T({\mathfrak {g}}).}$

Ya se estableció anteriormente que cociente por el ideal es una transformación natural que lleva de a. Esto también funciona naturalmente en los subespacios, por lo que se obtiene una filtración cuyo límite es el álgebra envolvente universal. ${\displaystyle T({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}}).}$ ${\displaystyle U_{m}{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}}).}$

A continuación, define el espacio.

${\displaystyle G_{m}{\mathfrak {g}}=U_{m}{\mathfrak {g}}/U_{m-1}{\mathfrak {g}}}$

Este es el módulo espacial de todos los subespacios de grado de filtración estrictamente menor. Tenga en cuenta que no es en absoluto lo mismo que el término principal de la filtración, como uno podría suponer ingenuamente. No se construye mediante un mecanismo de sustracción establecido asociado a la filtración. ${\displaystyle U_{m}{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U_{n}{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G_{m}{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U^{m}{\mathfrak {g}}}$

Cociente por tiene el efecto de poner a cero todos los conmutadores de Lie definidos. Se puede ver esto observando que el conmutador de un par de elementos cuyos productos se encuentran en en realidad da un elemento en . Quizás esto no sea inmediatamente obvio: para obtener este resultado, es necesario aplicar repetidamente las relaciones de conmutación y girar la manivela. La esencia del teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt es que siempre es posible hacer esto y que el resultado es único. ${\displaystyle U_{m}{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U_{m-1}{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U_{m}{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U_{m}{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U_{m-1}{\mathfrak {g}}}$

Dado que los conmutadores de elementos cuyos productos están definidos en se encuentran en , el cociente que define tiene el efecto de poner todos los conmutadores a cero. Lo que afirma PBW es que el conmutador de elementos en es necesariamente cero. Lo que queda son los elementos que no se pueden expresar como conmutadores. ${\displaystyle U_{m}{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U_{m-1}{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G_{m}{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G_{m}{\mathfrak {g}}}$

De este modo se llega inmediatamente al álgebra simétrica . Ésta es el álgebra donde todos los conmutadores desaparecen. Puede definirse como una filtración de productos tensoriales simétricos . Su límite es el álgebra simétrica . Se construye apelando a la misma noción de naturalidad que antes. Se comienza con la misma álgebra tensorial y solo se usa un ideal diferente, el ideal que hace que todos los elementos conmuten: ${\displaystyle S_{m}{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{m}{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle S({\mathfrak {g}})}$

${\displaystyle S({\mathfrak {g}})=T({\mathfrak {g}})/(a\otimes b-b\otimes a)}$

Por lo tanto, se puede considerar que el teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt es isomorfo al álgebra simétrica , tanto como espacio vectorial como álgebra conmutativa. ${\displaystyle G({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle S({\mathfrak {g}})}$

También forman un álgebra filtrada; su límite es. Esta es el álgebra graduada asociada de la filtración. ${\displaystyle G_{m}{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G({\mathfrak {g}}).}$

La construcción anterior, debido a su uso de cociente, implica que el límite de es isomorfo a. En entornos más generales, con condiciones menos estrictas, se encuentra que es una proyección, y luego se obtienen teoremas de tipo PBW para el álgebra graduada asociada de a. álgebra filtrada . Para enfatizar esto, a veces se utiliza la notación para recordar que se trata de álgebra filtrada. ${\displaystyle G({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}}).}$ ${\displaystyle S({\mathfrak {g}})\to G({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle \operatorname {gr} U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle G({\mathfrak {g}}),}$

Otras álgebras

El teorema, aplicado a las álgebras de Jordan , produce el álgebra exterior , en lugar del álgebra simétrica. En esencia, la construcción pone a cero los anticonmutadores. El álgebra resultante es un álgebra envolvente, pero no universal. Como se mencionó anteriormente, no logra abarcar las álgebras de Jordan excepcionales.

Operadores diferenciales invariantes a la izquierda

Supongamos que es un grupo de Lie real con álgebra de Lie . Siguiendo el enfoque moderno, podemos identificarnos con el espacio de campos vectoriales invariantes a la izquierda (es decir, operadores diferenciales invariantes a la izquierda de primer orden). Específicamente, si inicialmente pensamos en el espacio tangente a en la identidad, entonces cada vector en tiene una extensión única invariante a la izquierda. Luego identificamos el vector en el espacio tangente con el campo vectorial invariante a la izquierda asociado. Ahora, el conmutador (como operadores diferenciales) de dos campos vectoriales invariantes a la izquierda es nuevamente un campo vectorial y nuevamente invariante a la izquierda. Luego podemos definir la operación de corchete como el conmutador en los campos vectoriales invariantes a la izquierda asociados. ^[7] Esta definición concuerda con cualquier otra definición estándar de la estructura entre corchetes en el álgebra de Lie de un grupo de Lie. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Entonces podemos considerar operadores diferenciales invariantes por la izquierda de orden arbitrario. Cada uno de estos operadores se puede expresar (de forma no única) como una combinación lineal de productos de campos vectoriales invariantes a la izquierda. La colección de todos los operadores diferenciales invariantes por la izquierda forma un álgebra, denotada . Se puede demostrar que es isomorfo al álgebra envolvente universal . ^[8] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle D(G)}$ ${\displaystyle D(G)}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

En el caso que surge como álgebra de Lie de un grupo de Lie real, se pueden utilizar operadores diferenciales invariantes por la izquierda para dar una prueba analítica del teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt . Específicamente, el álgebra de operadores diferenciales invariantes a la izquierda es generada por elementos (los campos vectoriales invariantes a la izquierda) que satisfacen las relaciones de conmutación de . Así, por la propiedad universal del álgebra envolvente, es un cociente de . Por lo tanto, si los elementos de la base PBW son linealmente independientes en —lo cual se puede establecer analíticamente— ciertamente deben ser linealmente independientes en . (Y, en este punto, el isomorfismo de con es evidente.) ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle D(G)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle D(G)}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle D(G)}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle D(G)}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

Álgebra de símbolos

Al espacio vectorial subyacente de se le puede dar una nueva estructura de álgebra de modo que y sean isomórficos como álgebras asociativas . Esto lleva al concepto de álgebra de símbolos : el espacio de polinomios simétricos , dotado de un producto, el , que coloca la estructura algebraica del álgebra de Lie en lo que de otro modo sería un álgebra asociativa estándar. Es decir, lo que el teorema PBW oscurece (las relaciones de conmutación), el álgebra de símbolos lo devuelve a la luz. ${\displaystyle S({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle S({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle \star ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle \star }$

El álgebra se obtiene tomando elementos y reemplazando cada generador por una variable conmutadora indeterminada para obtener el espacio de polinomios simétricos sobre el campo . De hecho, la correspondencia es trivial: simplemente se sustituye el símbolo por . El polinomio resultante se llama símbolo del elemento correspondiente de . El mapa inverso es ${\displaystyle S({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle t_{i}}$ ${\displaystyle K[t_{i}]}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle t_{i}}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle S({\mathfrak {g}})}$

${\displaystyle w:\star ({\mathfrak {g}})\to U({\mathfrak {g}})}$

que reemplaza cada símbolo por . La estructura algebraica se obtiene exigiendo que el producto actúe como un isomorfismo, es decir, que ${\displaystyle t_{i}}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle \star }$

${\displaystyle w(p\star q)=w(p)\otimes w(q)}$

para polinomios ${\displaystyle p,q\in \star ({\mathfrak {g}}).}$

El problema principal con esta construcción es que no es trivial, sino inherentemente miembro de , tal como está escrito, y que primero se debe realizar una tediosa reorganización de los elementos base (aplicando las constantes de estructura según sea necesario) para obtener un elemento de en el orden apropiado. base. Se puede dar una expresión explícita para este producto: esta es la fórmula de Berezin . ^[9] Se deriva esencialmente de la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff para el producto de dos elementos de un grupo de Lie. ${\displaystyle w(p)\otimes w(q)}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

Una expresión en forma cerrada viene dada por ^[10]

${\displaystyle p(t)\star q(t)=\left.\exp \left(t_{i}m^{i}\left({\frac {\partial }{\partial u}},{\frac {\partial }{\partial v}}\right)\right)p(u)q(v)\right\vert _{u=v=t}}$

dónde

${\displaystyle m(A,B)=\log \left(e^{A}e^{B}\right)-A-B}$

y está justo en la base elegida. ${\displaystyle m^{i}}$ ${\displaystyle m}$

El álgebra envolvente universal del álgebra de Heisenberg es el álgebra de Weyl (módulo la relación de que el centro sea la unidad); aquí, el producto se llama producto Moyal . ${\displaystyle \star }$

Teoría de la representación

El álgebra envolvente universal preserva la teoría de la representación: las representaciones de corresponden de manera uno a uno a los módulos de . En términos más abstractos, la categoría abeliana de todas las representaciones de es isomorfa a la categoría abeliana de todos los módulos restantes . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

La teoría de la representación de las álgebras de Lie semisimples se basa en la observación de que existe un isomorfismo, conocido como producto de Kronecker :

${\displaystyle U({\mathfrak {g}}_{1}\oplus {\mathfrak {g}}_{2})\cong U({\mathfrak {g}}_{1})\otimes U({\mathfrak {g}}_{2})}$

para álgebras de Lie . El isomorfismo se deriva de un levantamiento de la incrustación. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1},{\mathfrak {g}}_{2}}$

${\displaystyle i({\mathfrak {g}}_{1}\oplus {\mathfrak {g}}_{2})=i_{1}({\mathfrak {g}}_{1})\otimes 1\oplus 1\otimes i_{2}({\mathfrak {g}}_{2})}$

dónde

${\displaystyle i:{\mathfrak {g}}\to U({\mathfrak {g}})}$

es solo la incrustación canónica (con subíndices, respectivamente para las álgebras uno y dos). Es sencillo verificar que esta incrustación se levanta, dada la prescripción anterior. Véase, sin embargo, la discusión sobre la estructura biálgebra en el artículo sobre álgebras tensoriales para una revisión de algunos de los puntos más finos de hacerlo: en particular, el producto aleatorio empleado allí corresponde a los coeficientes de Wigner-Racah, es decir, los 6j y 9j. -símbolos , etc.

También es importante que el álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie libre sea isomorfa al álgebra asociativa libre .

La construcción de representaciones normalmente se realiza mediante la construcción de los módulos Verma de mayor peso .

En un contexto típico donde se actúa mediante transformaciones infinitesimales , los elementos de actúan como operadores diferenciales , de todos los órdenes. (Véase, por ejemplo, la realización del álgebra envolvente universal como operadores diferenciales invariantes por la izquierda en el grupo asociado, como se analizó anteriormente). ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

Operadores casimir

El centro de es y puede identificarse con el centralizador de en Cualquier elemento de debe conmutar con todos y en particular con la incrustación canónica de en. Debido a esto, el centro es directamente útil para clasificar representaciones de . Para un álgebra de Lie semisimple de dimensión finita , los operadores de Casimir forman una base distinguida desde el centro . Estos pueden construirse de la siguiente manera. ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle Z(U({\mathfrak {g}}))}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}}).}$ ${\displaystyle Z(U({\mathfrak {g}}))}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}}),}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}}).}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle Z(U({\mathfrak {g}}))}$

El centro corresponde a combinaciones lineales de todos los elementos que conmutan con todos los elementos , es decir , para los cuales están en el núcleo de Por lo tanto, se necesita una técnica para calcular ese núcleo. Lo que tenemos es la acción de la representación adjunta en la necesitamos en La ruta más fácil es notar que es una derivación y que el espacio de derivaciones se puede elevar a y por lo tanto a Esto implica que ambas son álgebras diferenciales . ${\displaystyle Z(U({\mathfrak {g}}))}$ ${\displaystyle z=v\otimes w\otimes \cdots \otimes u\in U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}};}$ ${\displaystyle [z,x]={\mbox{ad}}_{x}(z)=0.}$ ${\displaystyle {\mbox{ad}}_{\mathfrak {g}}.}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}};}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}}).}$ ${\displaystyle {\mbox{ad}}_{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle T({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}}).}$

Por definición, es una derivación de si obedece la ley de Leibniz : ${\displaystyle \delta :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \delta ([v,w])=[\delta (v),w]+[v,\delta (w)]}$

(Cuando es el espacio de los campos vectoriales invariantes a la izquierda en un grupo , el corchete de Lie es el de los campos vectoriales). El levantamiento se realiza definiendo ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta (v\otimes w\otimes \cdots \otimes u)=&\,\delta (v)\otimes w\otimes \cdots \otimes u\\&+v\otimes \delta (w)\otimes \cdots \otimes u\\&+\cdots +v\otimes w\otimes \cdots \otimes \delta (u).\end{aligned}}}$

Dado que es una derivación de cualquiera de las definiciones anteriores , actúa sobre y ${\displaystyle {\mbox{ad}}_{x}}$ ${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}},}$ ${\displaystyle {\mbox{ad}}_{x}}$ ${\displaystyle T({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}}).}$

Del teorema de PBW, queda claro que todos los elementos centrales son combinaciones lineales de polinomios homogéneos simétricos en los elementos básicos del álgebra de Lie. Los invariantes de Casimir son los polinomios homogéneos irreducibles de un grado fijo determinado. Es decir, dada una base , un operador de orden Casimir tiene la forma ${\displaystyle e_{a}}$ ${\displaystyle e_{a}}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle C_{(m)}=\kappa ^{ab\cdots c}e_{a}\otimes e_{b}\otimes \cdots \otimes e_{c}}$

donde hay términos en el producto tensor, y es un tensor de orden completamente simétrico que pertenece a la representación adjunta. Es decir, puede (debería) considerarse como un elemento de Recuerde que la representación adjunta está dada directamente por las constantes de estructura y, por lo tanto, se puede dar una forma indexada explícita de las ecuaciones anteriores, en términos de la base del álgebra de Lie; Este es originalmente un teorema de Israel Gel'fand . Es decir, de , se deduce que ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \kappa ^{ab\cdots c}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \kappa ^{ab\cdots c}}$ ${\displaystyle \left(\operatorname {ad} _{\mathfrak {g}}\right)^{\otimes m}.}$ ${\displaystyle [x,C_{(m)}]=0}$

${\displaystyle f_{ij}^{\;\;k}\kappa ^{jl\cdots m}+f_{ij}^{\;\;l}\kappa ^{kj\cdots m}+\cdots +f_{ij}^{\;\;m}\kappa ^{kl\cdots j}=0}$

donde las constantes de la estructura son

${\displaystyle [e_{i},e_{j}]=f_{ij}^{\;\;k}e_{k}}$

Como ejemplo, el operador cuadrático de Casimir es

${\displaystyle C_{(2)}=\kappa ^{ij}e_{i}\otimes e_{j}}$

¿Dónde está la matriz inversa de la forma Killing? Que el operador Casimir pertenece al centro se desprende del hecho de que la forma Killing es invariante bajo la acción adjunta. ${\displaystyle \kappa ^{ij}}$ ${\displaystyle \kappa _{ij}.}$ ${\displaystyle C_{(2)}}$ ${\displaystyle Z(U({\mathfrak {g}}))}$

El centro del álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie simple viene dado en detalle por el isomorfismo de Harish-Chandra .

Rango

El número de operadores de Casimir algebraicamente independientes de un álgebra de Lie semisimple de dimensión finita es igual al rango de esa álgebra, es decir, es igual al rango de la base de Cartan-Weyl . Esto puede verse de la siguiente manera. Para un espacio vectorial V d -dimensional , recuerde que el determinante es el tensor completamente antisimétrico de . Dada una matriz M , se puede escribir el polinomio característico de M como ${\displaystyle V^{\otimes d}}$

${\displaystyle \det(tI-M)=\sum _{n=0}^{d}p_{n}t^{n}}$

Para un álgebra de Lie d -dimensional, es decir, un álgebra cuya representación adjunta es d -dimensional, el operador lineal

${\displaystyle \operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\to \operatorname {End} ({\mathfrak {g}})}$

implica que es un endomorfismo d -dimensional, por lo que se tiene la ecuación característica ${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}}$

${\displaystyle \det(tI-\operatorname {ad} _{x})=\sum _{n=0}^{d}p_{n}(x)t^{n}}$

para elementos Las raíces distintas de cero de este polinomio característico (que son raíces para todo x ) forman el sistema de raíces del álgebra. En general, sólo existen r raíces de este tipo; este es el rango del álgebra. Esto implica que el valor más alto de n para el cual no desaparece es r . ${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}.}$ ${\displaystyle p_{n}(x)}$

Son polinomios homogéneos de grado d  −  n . Esto se puede ver de varias maneras: Dada una constante , ad es lineal, de modo que Al complementar lo anterior, se obtiene que ${\displaystyle p_{n}(x)}$ ${\displaystyle k\in K}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{kx}=k\,\operatorname {ad} _{x}.}$

${\displaystyle p_{n}(kx)=k^{d-n}p_{n}(x).}$

Por linealidad, si uno expande la base,

${\displaystyle x=\sum _{i=1}^{d}x_{i}e_{i}}$

entonces el polinomio tiene la forma

${\displaystyle p_{n}(x)=x_{a}x_{b}\cdots x_{c}\kappa ^{ab\cdots c}}$

es decir, a es un tensor de rango . Por linealidad y conmutatividad de la suma, es decir , se concluye que este tensor debe ser completamente simétrico. Este tensor es exactamente el invariante de Casimir de orden m . ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle m=d-n}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{x+y}=\operatorname {ad} _{y+x},}$

El centro correspondía a aquellos elementos para los cuales para todo x ; por lo anterior, estos corresponden claramente a las raíces de la ecuación característica. Se concluye que las raíces forman un espacio de rango r y que las invariantes de Casimir abarcan este espacio. Es decir, las invariantes de Casimir generan el centro. ${\displaystyle Z({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle z\in Z({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}(z)=0}$ ${\displaystyle Z(U({\mathfrak {g}})).}$

Ejemplo: grupo de rotación SO(3)

El grupo de rotación SO(3) es de rango uno y, por tanto, tiene un operador Casimir. Es tridimensional y, por tanto, el operador Casimir debe tener orden (3 − 1) = 2, es decir, ser cuadrático. Por supuesto, esta es el álgebra de Lie. Como ejercicio elemental, se puede calcular directamente. Cambiando la notación para pertenecer al representante adjunto, un elemento de álgebra general es y el cálculo directo da ${\displaystyle A_{1}.}$ ${\displaystyle e_{i}=L_{i},}$ ${\displaystyle L_{i}}$ ${\displaystyle xL_{1}+yL_{2}+zL_{3}}$

${\displaystyle \det \left(xL_{1}+yL_{2}+zL_{3}-tI\right)=-t^{3}-(x^{2}+y^{2}+z^{2})t}$

El término cuadrático se puede leer como , por lo que el operador de momento angular cuadrado para el grupo de rotación es el operador de Casimir. Eso es, ${\displaystyle \kappa ^{ij}=\delta ^{ij}}$

${\displaystyle C_{(2)}=L^{2}=e_{1}\otimes e_{1}+e_{2}\otimes e_{2}+e_{3}\otimes e_{3}}$

y el cálculo explícito muestra que

${\displaystyle [L^{2},e_{k}]=0}$

después de hacer uso de las constantes de estructura

${\displaystyle [e_{i},e_{j}]=\varepsilon _{ij}^{\;\;k}e_{k}}$

Ejemplo: operadores pseudodiferenciales

Una observación clave durante la construcción anterior fue que se trataba de un álgebra diferencial, debido al hecho de que cualquier derivación del álgebra de Lie puede elevarse a . Por lo tanto, se llega a un anillo de operadores pseudodiferenciales , a partir del cual se pueden construir invariantes de Casimir. ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

Si el álgebra de Lie actúa sobre un espacio de operadores lineales, como en la teoría de Fredholm , entonces se pueden construir invariantes de Casimir en el espacio de operadores correspondiente. El operador cuadrático de Casimir corresponde a un operador elíptico . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Si el álgebra de Lie actúa sobre una variedad diferenciable, entonces cada operador de Casimir corresponde a un diferencial de orden superior en la variedad cotangente, siendo el diferencial de segundo orden el más común y el más importante.

Si la acción del álgebra es isométrica , como sería el caso de las variedades riemannianas o pseudoriemannianas dotadas de una métrica y de los grupos de simetría SO(N) y SO(P, Q) , respectivamente, entonces se pueden contraer superior e inferior. índices (con el tensor métrico) para obtener estructuras más interesantes. Para el invariante cuadrático de Casimir, este es el laplaciano . Los operadores cuárticos de Casimir permiten elevar al cuadrado el tensor tensión-energía , dando lugar a la acción de Yang-Mills . El teorema de Coleman-Mandula restringe la forma que pueden adoptar cuando se consideran álgebras de Lie ordinarias. Sin embargo, las superálgebras de Lie pueden evadir las premisas del teorema de Coleman-Mandula y pueden usarse para mezclar espacio y simetrías internas.

Ejemplos en casos particulares

Si , entonces tiene una base de matrices. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}_{2}}$

${\displaystyle h={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}},{\text{ }}g={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},{\text{ }}f={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}}$

que satisfacen las siguientes identidades bajo el soporte estándar:

${\displaystyle [h,g]=-2g}$, , y ${\displaystyle [h,f]=2f}$ ${\displaystyle [g,f]=-h}$

esto nos muestra que el álgebra envolvente universal tiene la presentación

${\displaystyle U({\mathfrak {sl}}_{2})={\frac {\mathbb {C} \langle x,y,z\rangle }{(xy-yx+2y,xz-zx-2z,yz-zy+x)}}}$

como un anillo no conmutativo.

Si es abeliano (es decir, el paréntesis siempre es 0 ), entonces es conmutativo; y si se ha elegido una base del espacio vectorial , entonces se puede identificar con el álgebra polinomial sobre K , con una variable por elemento de base. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

Si el álgebra de Lie corresponde al grupo de Lie G , entonces se puede identificar con el álgebra de operadores diferenciales invariantes por la izquierda (de todos los órdenes) sobre G ; con dentro de él como campos vectoriales invariantes a la izquierda como operadores diferenciales de primer orden. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Para relacionar los dos casos anteriores: si es un espacio vectorial V como álgebra abeliana de Lie, los operadores diferenciales invariantes por la izquierda son los operadores de coeficientes constantes, que de hecho son un álgebra polinomial en las derivadas parciales de primer orden. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

El centro consta de los operadores diferenciales invariantes de izquierda y derecha; esto, en el caso de G no conmutativo, a menudo no lo generan operadores de primer orden (ver, por ejemplo, el operador de Casimir de un álgebra de Lie semisimple). ${\displaystyle Z({\mathfrak {g}})}$

Otra caracterización en la teoría de grupos de Lie es como el álgebra de convolución de distribuciones soportada solo en el elemento de identidad e de G . ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

El álgebra de operadores diferenciales en n variables con coeficientes polinomiales se puede obtener a partir del álgebra de Lie del grupo de Heisenberg . Véase álgebra de Weyl para esto; hay que tomar un cociente, de modo que los elementos centrales del álgebra de Lie actúen como escalares prescritos.

El álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie de dimensión finita es un álgebra cuadrática filtrada .

Álgebras de Hopf y grupos cuánticos.

La construcción del álgebra de grupos para un grupo dado es en muchos sentidos análoga a la construcción del álgebra envolvente universal para un álgebra de Lie dada. Ambas construcciones son universales y traducen la teoría de la representación en teoría de módulos. Además, tanto las álgebras de grupo como las álgebras envolventes universales llevan comultiplicaciones naturales que las convierten en álgebras de Hopf . Esto se precisa en el artículo sobre el álgebra tensorial : el álgebra tensorial tiene una estructura de álgebra de Hopf, y debido a que el corchete de Lie es consistente con (obedece las condiciones de consistencia para) esa estructura de Hopf, es heredado por el álgebra envolvente universal. .

Dado un grupo de Lie G , se puede construir el espacio vectorial C( G ) de funciones continuas de valores complejos en G y convertirlo en un C*-álgebra . Esta álgebra tiene una estructura natural de álgebra de Hopf: dadas dos funciones , se define la multiplicación como ${\displaystyle \varphi ,\psi \in C(G)}$

${\displaystyle (\nabla (\varphi ,\psi ))(x)=\varphi (x)\psi (x)}$

y comultiplicación como

${\displaystyle (\Delta (\varphi ))(x\otimes y)=\varphi (xy),}$

la unidad como

${\displaystyle \varepsilon (\varphi )=\varphi (e)}$

y la antípoda como

${\displaystyle (S(\varphi ))(x)=\varphi (x^{-1}).}$

Ahora bien, el teorema de Gelfand-Naimark establece esencialmente que todo álgebra de Hopf conmutativa es isomorfa al álgebra de Hopf de funciones continuas en algún grupo topológico compacto G ; la teoría de grupos topológicos compactos y la teoría de las álgebras de Hopf conmutativas son la misma. Para los grupos de Lie, esto implica que C( G ) es isomórficamente dual a ; más precisamente, es isomorfo a un subespacio del espacio dual ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle U^{*}({\mathfrak {g}}).}$

Estas ideas pueden luego extenderse al caso no conmutativo. Se comienza por definir las álgebras de Hopf cuasi-triangulares y luego se realiza lo que se llama una deformación cuántica para obtener el álgebra envolvente universal cuántica , o grupo cuántico , para abreviar.

Ver también

• Teorema de Milnor-Moore
• Homomorfismo de Harish-Chandra

Referencias

1. Salón 2015 Sección 9.5
2. Salón 2015 Sección 9.3
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4. Pérez-Izquierdo, JM (2005). "Un sobre para álgebras de Bol". Revista de Álgebra . 284 (2): 480–493. doi : 10.1016/j.jalgebra.2004.09.038 .
5. Teorema 9.7 de Hall 2015
6. Teorema 9.10 de Hall 2015
7. Por ejemplo, Helgason 2001 Capítulo II, Sección 1
8. Helgason 2001 Capítulo II, Proposición 1.9
9. Berezin, FA (1967). "Algunas observaciones sobre la envolvente asociada de un álgebra de Lie". Función. Anal. Aplica . 1 (2): 91. doi : 10.1007/bf01076082. S2CID  122356554.
10. Xavier Bekaert, "Álgebras envolventes universales y algunas aplicaciones en física" (2005) Conferencia, Escuela de verano de Modave en Física Matemática .

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