La geometría no conmutativa ( NCG ) es una rama de las matemáticas que se ocupa de un enfoque geométrico de las álgebras no conmutativas y de la construcción de espacios que se presentan localmente mediante álgebras no conmutativas de funciones, posiblemente en algún sentido generalizado. Un álgebra no conmutativa es un álgebra asociativa en la que la multiplicación no es conmutativa , es decir, para la que no siempre es igual a ; o, de forma más general, una estructura algebraica en la que una de las principales operaciones binarias no es conmutativa; también se permiten estructuras adicionales, por ejemplo, topología o norma , que posiblemente sean transportadas por el álgebra no conmutativa de funciones.
Un enfoque que proporciona una visión profunda de los espacios no conmutativos es a través de álgebras de operadores , es decir, álgebras de operadores lineales acotados en un espacio de Hilbert . [1] Quizás uno de los ejemplos típicos de un espacio no conmutativo es el " toro no conmutativo ", que jugó un papel clave en el desarrollo temprano de este campo en la década de 1980 y condujo a versiones no conmutativas de fibrados vectoriales , conexiones , curvatura , etc. [2]
La principal motivación es extender la dualidad conmutativa entre espacios y funciones al entorno no conmutativo. En matemáticas, los espacios , que son de naturaleza geométrica, pueden relacionarse con funciones numéricas en ellos. En general, tales funciones formarán un anillo conmutativo . Por ejemplo, uno puede tomar el anillo C ( X ) de funciones complejas continuas en un espacio topológico X . En muchos casos ( por ejemplo , si X es un espacio de Hausdorff compacto ), podemos recuperar X a partir de C ( X ), y por lo tanto tiene algún sentido decir que X tiene topología conmutativa .
Más específicamente, en topología, los espacios topológicos compactos de Hausdorff pueden reconstruirse a partir del álgebra de Banach de funciones en el espacio ( Gelfand–Naimark ). En geometría algebraica conmutativa , los esquemas algebraicos son espectros localmente primos de anillos unitarios conmutativos ( A. Grothendieck ), y cada esquema cuasi-separado puede reconstruirse hasta el isomorfismo de esquemas a partir de la categoría de haces cuasicoherentes de -módulos ( P. Gabriel –A. Rosenberg). Para las topologías de Grothendieck , las propiedades cohomológicas de un sitio son invariantes de la categoría correspondiente de haces de conjuntos vistos abstractamente como un topos (A. Grothendieck). En todos estos casos, un espacio se reconstruye a partir del álgebra de funciones o su versión categorizada: alguna categoría de haces en ese espacio.
Las funciones en un espacio topológico se pueden multiplicar y sumar puntualmente, por lo tanto forman un álgebra conmutativa; de hecho, estas operaciones son locales en la topología del espacio base, por lo tanto, las funciones forman un haz de anillos conmutativos sobre el espacio base.
El sueño de la geometría no conmutativa es generalizar esta dualidad a la dualidad entre álgebras no conmutativas, o haces de álgebras no conmutativas, o estructuras algebraicas o algebraicas-operadoras no conmutativas similares a haces, y entidades geométricas de ciertos tipos, y dar una interacción entre la descripción algebraica y geométrica de aquellas a través de esta dualidad.
Teniendo en cuenta que los anillos conmutativos corresponden a esquemas afines usuales, y las C*-álgebras conmutativas a espacios topológicos usuales, la extensión a anillos y álgebras no conmutativas requiere una generalización no trivial de los espacios topológicos como "espacios no conmutativos". Por esta razón se habla de topología no conmutativa , aunque el término también tiene otros significados.
Algunas aplicaciones en física de partículas se describen en las entradas Modelo estándar no conmutativo y Teoría cuántica de campos no conmutativa . El repentino aumento del interés en la geometría no conmutativa en física se produce después de las especulaciones sobre su papel en la teoría M realizadas en 1997. [3]
Algunas de las teorías desarrolladas por Alain Connes para abordar la geometría no conmutativa a nivel técnico tienen sus raíces en intentos anteriores, en particular en la teoría ergódica . La propuesta de George Mackey de crear una teoría de subgrupos virtuales , con respecto a la cual las acciones de grupo ergódicas se convertirían en espacios homogéneos de tipo extendido, ya ha sido absorbida.
Los duales (formales) de las C*-álgebras no conmutativas se denominan ahora espacios no conmutativos. Esto se hace por analogía con la representación de Gelfand , que muestra que las C*-álgebras conmutativas son duales respecto de los espacios de Hausdorff localmente compactos . En general, se puede asociar a cualquier C*-álgebra S un espacio topológico Ŝ ; véase espectro de una C*-álgebra .
Por la dualidad entre espacios de medida localizables y álgebras de von Neumann conmutativas , las álgebras de von Neumann no conmutativas se denominan espacios de medida no conmutativos .
Una variedad riemanniana suave M es un espacio topológico con mucha estructura extra. De su álgebra de funciones continuas C ( M ), solo recuperamos M topológicamente. El invariante algebraico que recupera la estructura riemanniana es un triple espectral . Se construye a partir de un fibrado vectorial suave E sobre M , por ejemplo, el fibrado algebraico exterior. El espacio de Hilbert L 2 ( M , E ) de secciones cuadradas integrables de E lleva una representación de C ( M) por operadores de multiplicación, y consideramos un operador no acotado D en L 2 ( M , E ) con resolvente compacto (por ejemplo, el operador de signatura ), tal que los conmutadores [ D , f ] están acotados siempre que f sea suave. Un teorema profundo [4] establece que M como variedad riemanniana se puede recuperar a partir de estos datos.
Esto sugiere que se podría definir una variedad riemanniana no conmutativa como una tripleta espectral ( A , H , D ), que consiste en una representación de una C*-álgebra A en un espacio de Hilbert H , junto con un operador no acotado D en H , con resolvente compacto, tal que [ D , a ] está acotado para todo a en alguna subálgebra densa de A . La investigación en tripletas espectrales es muy activa, y se han construido muchos ejemplos de variedades no conmutativas.
En analogía con la dualidad entre esquemas afines y anillos conmutativos , definimos una categoría de esquemas afines no conmutativos como el dual de la categoría de anillos unitarios asociativos. Existen ciertos análogos de la topología de Zariski en ese contexto, de modo que se pueden unir dichos esquemas afines a objetos más generales.
También hay generalizaciones del Cono y del Proy de un anillo graduado conmutativo, imitando un teorema de Serre sobre Proy. Es decir, la categoría de haces cuasicoherentes de O-módulos en un Proy de un álgebra graduada conmutativa es equivalente a la categoría de módulos graduados sobre el anillo localizado en la subcategoría de Serre de módulos graduados de longitud finita; también hay un teorema análogo para haces coherentes cuando el álgebra es noetheriana. Este teorema se extiende como una definición de geometría proyectiva no conmutativa por Michael Artin y JJ Zhang, [5] quienes agregan también algunas condiciones generales de teoría de anillos (por ejemplo, regularidad de Artin-Schelter).
Muchas propiedades de los esquemas proyectivos se extienden a este contexto. Por ejemplo, existe un análogo de la celebrada dualidad de Serre para los esquemas proyectivos no conmutativos de Artin y Zhang. [6]
AL Rosenberg ha creado un concepto relativo bastante general de esquema cuasicompacto no conmutativo (sobre una categoría base), abstrayendo el estudio de Grothendieck de morfismos de esquemas y cubiertas en términos de categorías de haces cuasicoherentes y funtores de localización planos. [7] También hay otro enfoque interesante a través de la teoría de la localización, debido a Fred Van Oystaeyen , Luc Willaert y Alain Verschoren, donde el concepto principal es el de un álgebra esquemática . [8] [9]
Algunas de las cuestiones motivadoras de la teoría se refieren a la extensión de los invariantes topológicos conocidos a duales formales de álgebras no conmutativas (de operadores) y otros sustitutos y candidatos para espacios no conmutativos. Uno de los principales puntos de partida de la dirección de Alain Connes en la geometría no conmutativa es su descubrimiento de una nueva teoría de homología asociada a álgebras asociativas no conmutativas y álgebras de operadores no conmutativas, a saber, la homología cíclica y sus relaciones con la teoría K algebraica (principalmente a través del mapa de caracteres de Connes-Chern).
La teoría de clases características de variedades suaves se ha extendido a las ternas espectrales, empleando las herramientas de la teoría K de operadores y la cohomología cíclica . Varias generalizaciones de teoremas de índices ahora clásicos permiten la extracción efectiva de invariantes numéricos de las ternas espectrales. La clase característica fundamental en la cohomología cíclica, el cociclo JLO , generaliza el carácter clásico de Chern .
Una conexión de Connes es una generalización no conmutativa de una conexión en geometría diferencial . Fue introducida por Alain Connes y luego generalizada por Joachim Cuntz y Daniel Quillen .
Dado un módulo A recto E , una conexión de Connes en E es una función lineal
que satisface la regla de Leibniz . [11]
