Triple espectral

En geometría no conmutativa y ramas relacionadas de las matemáticas y la física matemática , una tripleta espectral es un conjunto de datos que codifica un fenómeno geométrico de forma analítica. La definición implica típicamente un espacio de Hilbert , un álgebra de operadores sobre él y un operador autoadjunto no acotado , dotado de estructuras suplementarias. Fue concebido por Alain Connes , quien se inspiró en el teorema del índice de Atiyah-Singer y buscó su extensión a espacios "no conmutativos". Algunos autores se refieren a esta noción como K-ciclos no acotados o como módulos de Fredholm no acotados .

Motivación

Un ejemplo motivador de triple espectral lo da el álgebra de funciones suaves sobre una variedad de espín compacta , que actúa sobre el espacio de Hilbert de L ² - espinores , acompañado del operador de Dirac asociado a la estructura de espín. A partir del conocimiento de estos objetos se puede recuperar la variedad original como espacio métrico: la variedad como espacio topológico se recupera como el espectro del álgebra, mientras que el operador de Dirac (valor absoluto de) conserva la métrica. ^[1] Por otro lado, la parte de fase del operador de Dirac, en conjunción con el álgebra de funciones , da un K-ciclo que codifica información de teoría de índices. La fórmula del índice local ^[2] expresa el emparejamiento del grupo K de la variedad con este ciclo K de dos maneras: el lado 'analítico/global' involucra la traza usual en el espacio de Hilbert y conmutadores de funciones con el operador de fase (que corresponde a la parte 'índice' del teorema del índice), mientras que el lado 'geométrico/local' involucra la traza de Dixmier y conmutadores con el operador de Dirac (que corresponde a la parte 'integración de clase característica' del teorema del índice).

Se pueden considerar extensiones del teorema del índice en casos, típicamente cuando se tiene una acción de un grupo sobre la variedad, o cuando la variedad está dotada de una estructura de foliación , entre otros. En esos casos, el sistema algebraico de las "funciones" que expresa el objeto geométrico subyacente ya no es conmutativo, pero se puede encontrar el espacio de espinores cuadrados integrables (o secciones de un módulo de Clifford) sobre el que actúa el álgebra, y el operador "Dirac" correspondiente sobre él que satisface cierta acotación de conmutadores implicada por el cálculo pseudodiferencial.

Definición

Un triple espectral impar es un triple (A, H, D) que consiste en un espacio de Hilbert H, un álgebra A de operadores en H (usualmente cerrados bajo adjuntos) y un operador autoadjunto D densamente definido que satisface ‖[a, D]‖ < ∞ para cualquier a ∈ A. Un triple espectral par es un triple espectral impar con una gradación Z /2 Z en H, tal que los elementos en A son pares mientras que D es impar con respecto a esta gradación. También se podría decir que un triple espectral par está dado por un cuarteto (A, H, D, γ) tal que γ es un unitario autoadjunto en H que satisface a γ = γ a para cualquier a en A y D γ = - γ D.

Un triple espectral finitamente sumable es un triple espectral (A, H, D) tal que aD para cualquier a en A tiene un resolvente compacto que pertenece a la clase de L ^p+ -operadores para un p fijo (cuando A contiene el operador identidad en H, es suficiente requerir D ⁻¹ en L ^p+ (H)). Cuando se satisface esta condición, se dice que el triple (A, H, D) es p-sumable . Se dice que un triple espectral es θ-sumable cuando e ^{−tD 2} es de clase traza para cualquier t > 0. ^[1]

Sea δ(T) el conmutador de |D| con un operador T en H. Se dice que una terna espectral es regular cuando los elementos en A y los operadores de la forma [a, D] para a en A están en el dominio de los iterados δ ⁿ de δ.

Cuando una tripleta espectral (A, H, D) es p-sumable, se puede definir su función zeta ζ _D (s) = Tr(|D| ^−s ); de manera más general, existen funciones zeta ζ _b (s) = Tr(b|D| ^−s ) para cada elemento b en el álgebra B generada por δ ⁿ (A) y δ ⁿ ([a, D]) para enteros positivos n. Están relacionadas con el núcleo de calor exp(-t|D|) mediante una transformada de Mellin . La colección de los polos de la continuación analítica de ζ _b para b en B se denomina espectro de dimensión de (A, H, D).

Un triple espectral real es un triple espectral (A, H, D) acompañado de una involución antilineal J en H, que satisface [a, JbJ] = 0 para a, b en A. En el caso par, generalmente se supone que J es par con respecto a la gradación en H.

Conceptos importantes

Dada una terna espectral (A, H, D), se le pueden aplicar varias operaciones importantes. La más fundamental es la descomposición polar D = F|D| de D en un operador unitario autoadjunto F (la "fase" de D) y un operador positivo densamente definido |D| (la parte "métrica").

Métrica de Connes en el espacio de estados

Si es un triple espectral, y es el cierre de para la norma del operador , entonces Connes introduce una pseudométrica extendida en el espacio de estados de , estableciendo, para cualesquiera dos estados : ${\displaystyle (A,H,D)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S({\mathfrak {A}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ ${\displaystyle \varphi ,\psi \in S(A)}$

${\displaystyle d(\varphi ,\psi )=\sup\{|\varphi (a)-\psi (a)|:a\in A,\|[D,a]\|\leq 1\}.}$

En general, la métrica de Connes puede tomar de hecho el valor , y puede ser cero entre diferentes estados. Connes observó originalmente, para una variedad riemanniana de espín compacta y conexa , que la restricción de esta pseudométrica a los estados puros, es decir, los caracteres del C*-álgebra , cuyo espacio es naturalmente homeomorfo (cuando está dotado de la topología débil* ) a , recupera la métrica de trayectorias para una métrica riemanniana sobre inducida por la métrica riemanniana, cuando el triple espectral es , donde es el álgebra de funciones suaves sobre la variedad , y D es la clausura del operador de Dirac usual que actúa sobre un subespacio denso del espacio de Hilbert de secciones integrables cuadradas del fibrado de espinores sobre . ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (C^{\infty }(X),\Gamma ,D)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle X}$

Además, Connes observó que esta distancia está acotada si, y sólo si, existe un estado tal que el conjunto: está acotado. ${\displaystyle \mu \in S({\mathfrak {A}})}$ ${\displaystyle \{a\in A:\|[D,a]\|\leq 1,\mu (a)=0\}}$

Esta construcción recuerda a la construcción de Kantorovich de una distancia en el espacio de medidas de probabilidad de Radon sobre un espacio métrico compacto, como la introdujo Kantorovich durante su estudio del problema de transporte de Monge . De hecho, en ese caso, si es un espacio métrico compacto, y si son dos de esas medidas de probabilidad, entonces la distancia de Kantorovich entre , como observaron Kantorovich y Rubinstein, puede definirse por ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle \mu ,\nu }$ ${\displaystyle \mu ,\nu }$

${\displaystyle k(\mu ,\nu )=\sup\{|\int _{X}fd\mu -\int _{X}fd\nu |:f\in C(X),\mathrm {Lip} (f)\leq 1\},}$donde es el C*-álgebra de funciones continuas de valor complejo sobre , y para cualquier función , denotamos por su seminorma de Lipschitz : ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\in C(X)}$ ${\displaystyle \mathrm {Lip} (f)}$ ${\displaystyle \mathrm {Lip} (f)=\sup\{{\frac {|f(x)-f(y)|}{d(x,y)}}:x,y\in X,x\not =y\}.}$

Esta analogía es más que formal: en el caso descrito anteriormente, donde es una variedad riemanniana de espín compacta conexa, y es la métrica de trayectoria asociada en , entonces si, y solo si, . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \|[D,f]\|\leq 1}$ ${\displaystyle \mathrm {Lip} (f)\leq 1}$

Guiados por esta observación, es natural preguntarse qué propiedades comparte la métrica de Connes con la distancia de Kantorovich. En general, la topología inducida por la distancia de Connes puede no ser de Hausdorff, o dar un diámetro finito al espacio de estados de , mientras que la métrica de Kantorovich siempre induce la topología débil* en el espacio de medidas de probabilidad de Radon sobre --- que es débil* compacta. ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ ${\displaystyle X}$

Rieffel elaboró ​​una condición necesaria y suficiente sobre las triples espectrales (y más generalmente, sobre las seminormas que juegan un papel análogo para las seminormas de Lipschitz) para que la distancia de Connes induzca de hecho la topología débil* en el espacio de estados de , a saber: la métrica de Connes inducida por una triple espectral topolgiza la topología débil* en el espacio de estados si, y solo si, existe un estado tal que el conjunto está totalmente acotado . ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ ${\displaystyle (A,H,D)}$ ${\displaystyle S({\mathfrak {A}})}$ ${\displaystyle \mu \in S({\mathfrak {A}})}$ ${\displaystyle \left\{a\in A:\|[D,a]\|\leq 1,\mu (a)=0\right\}}$

Estas observaciones son la base del estudio de la geometría métrica no conmutativa, que se ocupa de la geometría del espacio de los espacios métricos cuánticos, muchos de los cuales se construyen utilizando triples espectrales cuya métrica de Connes induce la topología débil* en el espacio de estados subyacente. En este contexto, se ha construido un análogo de la distancia de Gromov-Hausdorff en el espacio de triples espectrales métricos, lo que permite la discusión de la geometría de este espacio y la construcción de aproximaciones de triples espectrales mediante triples espectrales "más simples" (más regulares o de dimensión finita).

Emparejamiento con la teoría K

El unitario autoadjunto F da una función de la K-teoría de A en números enteros tomando el índice de Fredholm de la siguiente manera. En el caso par, cada proyección e en A se descompone como e ₀  ⊕  e ₁ bajo la gradación y e ₁ Fe ₀ se convierte en un operador de Fredholm de e ₀ H a e ₁ H . Por lo tanto,  e  → Ind  e ₁ Fe ₀ define una función aditiva de K ₀ ( A ) a Z . En el caso impar, la descomposición en el espacio propio de F da una gradación en H , y cada elemento invertible en A da un operador de Fredholm ( F  + 1) u ( F  − 1)/4 de ( F  − 1) H a ( F  + 1) H . Por lo tanto, u  → Ind ( F  + 1) u ( F  − 1)/4 da una función aditiva de K ₁ ( A ) a  Z .

Cuando el triple espectral es finitamente sumable, se pueden escribir los índices anteriores utilizando la (super) traza y un producto de F , e (resp.  u ) y conmutador de F con e (resp.  u ). Esto se puede codificar como un ( p  + 1)-funcional en A que satisface algunas condiciones algebraicas y da cociclos de cohomología cíclica / Hochschild, que describen los mapas anteriores de la teoría K a los números enteros.

Véase también

• El ciclo de JLO

Notas

1. A. Connes, Geometría no conmutativa, Academic Press, 1994
2. A. Connes, H. Moscovici; La fórmula del índice local en geometría no conmutativa

Referencias

• Connes, Alain ; Marcolli, Matilde . Geometría no conmutativa, campos cuánticos y motivos .
• Várilly, Joseph C. Una introducción a la geometría no conmutativa.
• Khalkhali, Masoud; Marcolli, Matilde (2005). Una invitación a la geometría no conmutativa. Conferencias del taller internacional sobre geometría no conmutativa, Teherán, Irán, 2005. Hackensack, NJ: World Scientific. ISBN 978-981-270-616-4.Zbl 1135.14002  .
• Cuntz, Joachim . "Teoría cíclica, teoría K bivariante y carácter de Chern-Connes bivariante". Homología cíclica en geometría no conmutativa .
• Marcolli, Matilde (2005). Geometría aritmética no conmutativa . Serie de conferencias universitarias. Vol. 36. Con prólogo de Yuri Manin. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3833-4.Zbl 1081.58005  .