Rastro de Dixmier

Traza algebraica

En matemáticas, la traza de Dixmier , introducida por Jacques Dixmier  (1966), es una traza no normal ^{[ aclaración necesaria ]} en un espacio de operadores lineales en un espacio de Hilbert más grande que el espacio de operadores de la clase de traza . Las trazas de Dixmier son ejemplos de trazas singulares .

Algunas aplicaciones de las trazas de Dixmier a la geometría no conmutativa se describen en (Connes 1994).

Definición

Si H es un espacio de Hilbert, entonces L ^1,∞ ( H ) es el espacio de operadores lineales compactos T en H tales que la norma

${\displaystyle \|T\|_{1,\infty }=\sup _{N}{\frac {\sum _{i=1}^{N}\mu _{i}(T)}{\log(N)}}}$

es finito, donde los números μ _i ( T ) son los valores propios de | T | ordenados en orden decreciente. Sea

${\displaystyle a_{N}={\frac {\sum _{i=1}^{N}\mu _{i}(T)}{\log(N)}}}$.

La traza de Dixmier Tr _ω ( T ) de T se define para operadores positivos T de L ^1,∞ ( H ) como

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{\omega }(T)=\lim _{\omega }a_{N}}$

donde lim _ω es una "extensión" positiva invariante de escala del límite habitual, para todas las sucesiones acotadas. En otras palabras, tiene las siguientes propiedades:

• lim _ω ( α _n ) ≥ 0 si todos α _n ≥ 0 (positividad)
• lim _ω ( α _n ) = lim( α _n ) siempre que exista el límite ordinario
• lim _ω ( α ₁ , α ₁ , α ₂ , α ₂ , α ₃ , ...) = lim _ω ( α _n ) (invariancia de escala)

Existen muchas extensiones de este tipo (como un límite de Banach de α ₁ , α ₂ , α ₄ , α ₈ ,...) por lo que hay muchas trazas de Dixmier diferentes. Como la traza de Dixmier es lineal, se extiende por linealidad a todos los operadores de L ^1,∞ ( H ). Si la traza de Dixmier de un operador es independiente de la elección de lim _ω entonces el operador se llama medible .

Propiedades

• Tr _ω ( T ) es lineal en T .
• Si T ≥ 0 entonces Tr _ω ( T ) ≥ 0
• Si S está acotado entonces Tr _ω ( ST ) = Tr _ω ( TS )
• Tr _ω ( T ) no depende de la elección del producto interno en H .
• Tr _ω ( T ) = 0 para todos los operadores de clase traza T , pero hay operadores compactos para los que es igual a 1.

Una traza φ se denomina normal si φ (sup x _α ) = sup  φ ( x _α ) para cada familia dirigida creciente y acotada de operadores positivos. Cualquier traza normal en es igual a la traza habitual, por lo que la traza de Dixmier es un ejemplo de una traza no normal. ${\displaystyle L^{1,\infty }(H)}$

Ejemplos

Un operador autoadjunto compacto con valores propios 1, 1/2, 1/3, ... tiene una traza de Dixmier igual a 1.

Si los valores propios μ _i del operador positivo T tienen la propiedad de que

${\displaystyle \zeta _{T}(s)=\operatorname {Tr} (T^{s})=\sum {\mu _{i}^{s}}}$

converge para Re( s )>1 y se extiende a una función meromórfica cerca de s = 1 con como máximo un polo simple en s = 1, entonces la traza de Dixmier de T es el residuo en s = 1 (y en particular es independiente de la elección de ω).

Connes (1988) demostró que el residuo no conmutativo de Wodzicki (Wodzicki 1984) de un operador pseudodiferencial en una variedad M de orden -dim(M) es igual a su traza de Dixmier.

Referencias

• Albeverio, S.; Guido, D.; Ponosov, A.; Scarlatti, S.: Trazas singulares y operadores compactos. J. Funct. Anal. 137 (1996), no. 2, 281—302.
• Connes, Alain (1988), "La acción funcional en geometría no conmutativa", Communications in Mathematical Physics , 117 (4): 673–683, Bibcode :1988CMaPh.117..673C, doi :10.1007/BF01218391, ISSN  0010-3616, MR  0953826
• Connes, Alain (1994), Geometría no conmutativa , Boston, MA: Academic Press , ISBN 978-0-12-185860-5^{[ enlace muerto permanente ]}
• Dixmier, Jacques (1966), "Existence de traces non normales", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A et B , 262 : A1107–A1108, ISSN  0151-0509, MR  0196508
• Wodzicki, M. (1984), "Invariantes locales de asimetría espectral", Inventiones Mathematicae , 75 (1): 143–177, Bibcode :1984InMat..75..143W, doi :10.1007/BF01403095, ISSN  0020-9910, MR  0728144, S2CID  120857263

Véase también

• Rastro singular