Dualidad de Serre

En geometría algebraica , una rama de las matemáticas , la dualidad de Serre es una dualidad para la cohomología de haces coherentes de variedades algebraicas, demostrada por Jean-Pierre Serre . La versión básica se aplica a los fibrados vectoriales en una variedad proyectiva suave, pero Alexander Grothendieck encontró amplias generalizaciones, por ejemplo, para variedades singulares. En una variedad n -dimensional, el teorema dice que un grupo de cohomología es el espacio dual de otro, . La dualidad de Serre es análoga para la cohomología de haces coherentes de la dualidad de Poincaré en topología, con el fibrado lineal canónico reemplazando al haz de orientación . ${\displaystyle H^{i}}$ ${\displaystyle H^{n-i}}$

El teorema de dualidad de Serre también es válido en geometría compleja en general, para variedades complejas compactas que no son necesariamente variedades algebraicas complejas proyectivas . En este contexto, el teorema de dualidad de Serre es una aplicación de la teoría de Hodge para la cohomología de Dolbeault y puede verse como un resultado en la teoría de operadores elípticos .

Estas dos interpretaciones diferentes de la dualidad de Serre coinciden para variedades algebraicas complejas proyectivas no singulares, mediante una aplicación del teorema de Dolbeault que relaciona la cohomología de haces con la cohomología de Dolbeault.

Dualidad de Serre para fibrados vectoriales

Teorema algebraico

Sea X una variedad suave de dimensión n sobre un cuerpo k . Definamos el fibrado lineal canónico como el fibrado de n -formas sobre X , la potencia exterior superior del fibrado cotangente : ${\displaystyle K_{X}}$

${\displaystyle K_{X}=\Omega _{X}^{n}={\bigwedge }^{n}(T^{*}X).}$

Supongamos además que X es propio (por ejemplo, proyectivo ) sobre k . Entonces la dualidad de Serre dice: para un fibrado vectorial algebraico E sobre X y un entero i , existe un isomorfismo natural:

${\displaystyle H^{i}(X,E)\cong H^{n-i}(X,K_{X}\otimes E^{\ast })^{\ast }}$

de espacios vectoriales de dimensión finita k . Aquí se denota el producto tensorial de los fibrados vectoriales. De ello se deduce que las dimensiones de los dos grupos de cohomología son iguales: ${\displaystyle \otimes }$

${\displaystyle h^{i}(X,E)=h^{n-i}(X,K_{X}\otimes E^{\ast }).}$

Al igual que en la dualidad de Poincaré, el isomorfismo en la dualidad de Serre proviene del producto de copa en la cohomología de haces. Es decir, la composición del producto de copa con un mapa de trazas natural en es una combinación perfecta : ${\displaystyle H^{n}(X,K_{X})}$

${\displaystyle H^{i}(X,E)\times H^{n-i}(X,K_{X}\otimes E^{\ast })\to H^{n}(X,K_{X})\to k.}$

El mapa de trazas es el análogo de la cohomología de haces coherentes de integración en la cohomología de De Rham . ^[1]

Teorema geométrico diferencial

Serre también demostró el mismo enunciado de dualidad para X, una variedad compleja compacta , y E, un fibrado vectorial holomorfo . ^[2] Aquí, el teorema de dualidad de Serre es una consecuencia de la teoría de Hodge . Es decir, en una variedad compleja compacta equipada con una métrica de Riemann , existe un operador de estrella de Hodge : ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \star :\Omega ^{p}(X)\to \Omega ^{2n-p}(X),}$

donde . Además, dado que es complejo, hay una división de las formas diferenciales complejas en formas de tipo . El operador de estrella de Hodge (extendido de forma lineal compleja a formas diferenciales de valor complejo) interactúa con esta gradación como: ${\displaystyle \dim _{\mathbb {C} }X=n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (p,q)}$

${\displaystyle \star :\Omega ^{p,q}(X)\to \Omega ^{n-q,n-p}(X).}$

Observe que los índices holomorfos y antiholomorfos han intercambiado sus lugares. Hay una conjugación en formas diferenciales complejas que intercambian formas de tipo y , y si se define el operador de estrella de Hodge lineal conjugado , entonces tenemos: ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle (q,p)}$ ${\displaystyle {\bar {\star }}\omega =\star {\bar {\omega }}}$

${\displaystyle {\bar {\star }}:\Omega ^{p,q}(X)\to \Omega ^{n-p,n-q}(X).}$

Utilizando la estrella de Hodge conjugada-lineal, se puede definir un producto interno hermítico en formas diferenciales complejas, mediante: ${\displaystyle L^{2}}$

${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle _{L^{2}}=\int _{X}\alpha \wedge {\bar {\star }}\beta ,}$

donde ahora es una forma -, y en particular una forma - de valor complejo y por lo tanto puede integrarse en con respecto a su orientación canónica . Además, supongamos que es un fibrado vectorial holomorfo hermítico. Entonces la métrica hermítica da un isomorfismo lineal conjugado entre y su fibrado vectorial dual , digamos . Definiendo , se obtiene un isomorfismo: ${\displaystyle \alpha \wedge {\bar {\star }}\beta }$ ${\displaystyle (n,n)}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (E,h)}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle E\cong E^{*}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \tau :E\to E^{*}}$ ${\displaystyle {\bar {\star }}_{E}(\omega \otimes s)={\bar {\star }}\omega \otimes \tau (s)}$

${\displaystyle {\bar {\star }}_{E}:\Omega ^{p,q}(X,E)\to \Omega ^{n-p,n-q}(X,E^{*})}$

donde consta de formas diferenciales complejas de valor suave. Utilizando el emparejamiento entre y dado por y , se puede definir un producto interno hermítico en tales formas de valor suave mediante: ${\displaystyle \Omega ^{p,q}(X,E)=\Omega ^{p,q}(X)\otimes \Gamma (E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E^{*}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle _{L^{2}}=\int _{X}\alpha \wedge _{h}{\bar {\star }}_{E}\beta ,}$

donde aquí significa producto de cuña de formas diferenciales y usando el emparejamiento entre y dado por . ${\displaystyle \wedge _{h}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E^{*}}$ ${\displaystyle h}$

El teorema de Hodge para la cohomología de Dolbeault afirma que si definimos:

${\displaystyle \Delta _{{\bar {\partial }}_{E}}={\bar {\partial }}_{E}^{*}{\bar {\partial }}_{E}+{\bar {\partial }}_{E}{\bar {\partial }}_{E}^{*}}$

donde es el operador Dolbeault de y es su adjunto formal con respecto al producto interno, entonces: ${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}^{*}}$

${\displaystyle H^{p,q}(X,E)\cong {\mathcal {H}}_{\Delta _{{\bar {\partial }}_{E}}}^{p,q}(X).}$

A la izquierda está la cohomología de Dolbeault, y a la derecha está el espacio vectorial de formas diferenciales con valores armónicos ${\displaystyle E}$ definidos por:

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\Delta _{{\bar {\partial }}_{E}}}^{p,q}(X)=\{\alpha \in \Omega ^{p,q}(X,E)\mid \Delta _{{\bar {\partial }}_{E}}(\alpha )=0\}.}$

Utilizando esta descripción, el teorema de dualidad de Serre puede enunciarse de la siguiente manera: El isomorfismo induce un isomorfismo lineal complejo: ${\displaystyle {\bar {\star }}_{E}}$

${\displaystyle H^{p,q}(X,E)\cong H^{n-p,n-q}(X,E^{*})^{*}.}$

Esto se puede demostrar fácilmente utilizando la teoría de Hodge mencionada anteriormente. Es decir, si es una clase de cohomología en con un representante armónico único , entonces: ${\displaystyle [\alpha ]}$ ${\displaystyle H^{p,q}(X,E)}$ ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {H}}_{\Delta _{{\bar {\partial }}_{E}}}^{p,q}(X)}$

${\displaystyle (\alpha ,{\bar {\star }}_{E}\alpha )=\langle \alpha ,\alpha \rangle _{L^{2}}\geq 0}$

con igualdad si y sólo si . En particular, el par lineal complejo: ${\displaystyle \alpha =0}$

${\displaystyle (\alpha ,\beta )=\int _{X}\alpha \wedge _{h}\beta }$

entre y no es degenerado e induce el isomorfismo en el teorema de dualidad de Serre. ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\Delta _{{\bar {\partial }}_{E}}}^{p,q}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\Delta _{{\bar {\partial }}_{E^{*}}}}^{n-p,n-q}(X)}$

La afirmación de la dualidad de Serre en el contexto algebraico se puede recuperar tomando y aplicando el teorema de Dolbeault , que establece que: ${\displaystyle p=0}$

${\displaystyle H^{p,q}(X,E)\cong H^{q}(X,{\boldsymbol {\Omega }}^{p}\otimes E)}$

donde a la izquierda está la cohomología de Dolbeault y a la derecha la cohomología del haz, donde denota el haz de formas holomorfas. En particular, obtenemos: ${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}^{p}}$ ${\displaystyle (p,0)}$

${\displaystyle H^{q}(X,E)\cong H^{0,q}(X,E)\cong H^{n,n-q}(X,E^{*})^{*}\cong H^{n-q}(X,K_{X}\otimes E^{*})^{*}}$

donde hemos utilizado que el haz de formas holomorfas es simplemente el haz canónico de . ${\displaystyle (n,0)}$ ${\displaystyle X}$

Curvas algebraicas

Una aplicación fundamental de la dualidad de Serre es a las curvas algebraicas . (Sobre los números complejos , es equivalente a considerar superficies compactas de Riemann ). Para un fibrado lineal L en una curva proyectiva suave X sobre un cuerpo k , los únicos grupos de cohomología posiblemente distintos de cero son y . La dualidad de Serre describe el grupo en términos de un grupo (para un fibrado lineal diferente). ^[3] Esto es más concreto, ya que de un fibrado lineal es simplemente su espacio de secciones. ${\displaystyle H^{0}(X,L)}$ ${\displaystyle H^{1}(X,L)}$ ${\displaystyle H^{1}}$ ${\displaystyle H^{0}}$ ${\displaystyle H^{0}}$

La dualidad de Serre es especialmente relevante para el teorema de Riemann-Roch para curvas. Para un fibrado lineal L de grado d en una curva X de género g , el teorema de Riemann-Roch dice que:

${\displaystyle h^{0}(X,L)-h^{1}(X,L)=d-g+1.}$

Usando la dualidad de Serre, esto puede replantearse en términos más elementales:

${\displaystyle h^{0}(X,L)-h^{0}(X,K_{X}\otimes L^{*})=d-g+1.}$

El último enunciado (expresado en términos de divisores ) es de hecho la versión original del teorema del siglo XIX. Esta es la principal herramienta utilizada para analizar cómo una curva dada puede insertarse en el espacio proyectivo y, por lo tanto, para clasificar las curvas algebraicas.

Ejemplo: Toda sección global de un fibrado lineal de grado negativo es cero. Además, el grado del fibrado canónico es . Por lo tanto, Riemann-Roch implica que para un fibrado lineal L de grado , es igual a . Cuando el género g es al menos 2, se sigue por dualidad de Serre que . Aquí está el espacio de deformación de primer orden de X . Este es el cálculo básico necesario para mostrar que el espacio de módulos de curvas de género g tiene dimensión . ${\displaystyle 2g-2}$ ${\displaystyle d>2g-2}$ ${\displaystyle h^{0}(X,L)}$ ${\displaystyle d-g+1}$ ${\displaystyle h^{1}(X,TX)=h^{0}(X,K_{X}^{\otimes 2})=3g-3}$ ${\displaystyle H^{1}(X,TX)}$ ${\displaystyle 3g-3}$

Dualidad de Serre para haces coherentes

Otra formulación de la dualidad de Serre es válida para todos los haces coherentes , no solo para los fibrados vectoriales. Como primer paso para generalizar la dualidad de Serre, Grothendieck demostró que esta versión funciona para esquemas con singularidades leves, esquemas de Cohen-Macaulay , no solo esquemas suaves.

Es decir, para un esquema de Cohen-Macaulay X de dimensión pura n sobre un cuerpo k , Grothendieck definió un haz coherente sobre X llamado haz dualizante . (Algunos autores llaman a este haz .) Supóngase además que X es propio sobre k . Para un haz coherente E sobre X y un entero i , la dualidad de Serre dice que hay un isomorfismo natural: ${\displaystyle \omega _{X}}$ ${\displaystyle K_{X}}$

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{X}^{i}(E,\omega _{X})\cong H^{n-i}(X,E)^{*}}$

de espacios vectoriales k de dimensión finita . ^[4] Aquí el grupo Ext se toma en la categoría abeliana de -módulos . Esto incluye la afirmación anterior, ya que es isomorfo a cuando E es un fibrado vectorial. ${\displaystyle O_{X}}$ ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{X}^{i}(E,\omega _{X})}$ ${\displaystyle H^{i}(X,E^{*}\otimes \omega _{X})}$

Para poder utilizar este resultado, hay que determinar el haz dualizante explícitamente, al menos en casos especiales. Cuando X es suave sobre k , es el fibrado lineal canónico definido anteriormente. De manera más general, si X es un subesquema de Cohen-Macaulay de codimensión r en un esquema suave Y sobre k , entonces el haz dualizante puede describirse como un haz Ext : ^[5] ${\displaystyle \omega _{X}}$ ${\displaystyle K_{X}}$

${\displaystyle \omega _{X}\cong {\mathcal {Ext}}_{O_{Y}}^{r}(O_{X},K_{Y}).}$

Cuando X es una intersección completa local de codimensión r en un esquema suave Y , hay una descripción más elemental: el fibrado normal de X en Y es un fibrado vectorial de rango r , y el haz dualizante de X está dado por: ^[6]

${\displaystyle \omega _{X}\cong K_{Y}|_{X}\otimes {\bigwedge }^{r}(N_{X/Y}).}$

En este caso, X es un esquema de Cohen-Macaulay con un fibrado lineal, que dice que X es Gorenstein . ${\displaystyle \omega _{X}}$

Ejemplo: Sea X una intersección completa en el espacio proyectivo sobre un cuerpo k , definido por polinomios homogéneos de grados . (Decir que se trata de una intersección completa significa que X tiene dimensión .) Existen fibrados lineales O ( d ) en para los enteros d , con la propiedad de que los polinomios homogéneos de grado d pueden considerarse como secciones de O ( d ). Entonces, el haz dualizante de X es el fibrado lineal: ${\displaystyle {\mathbf {P} }^{n}}$ ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{r}}$ ${\displaystyle d_{1},\ldots ,d_{r}}$ ${\displaystyle n-r}$ ${\displaystyle {\mathbf {P} }^{n}}$

${\displaystyle \omega _{X}=O(d_{1}+\cdots +d_{r}-n-1)|_{X},}$

por la fórmula de adjunción . Por ejemplo, el haz dualizante de una curva plana X de grado d es . ${\displaystyle O(d-3)|_{X}}$

Módulos complejos de Calabi-Yau triples

En particular, podemos calcular el número de deformaciones complejas, igual a para una tripleta quíntica en , una variedad de Calabi–Yau, utilizando la dualidad de Serre. Dado que la propiedad de Calabi–Yau asegura que la dualidad de Serre nos muestra que mostrar el número de módulos complejos es igual a en el diamante de Hodge. Por supuesto, la última afirmación depende del teorema de Bogomolev–Tian–Todorov que establece que toda deformación en un Calabi–Yau no tiene obstrucciones. ${\displaystyle \dim(H^{1}(X,TX))}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{4}}$ ${\displaystyle K_{X}\cong {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle H^{1}(X,TX)\cong H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X}\otimes \Omega _{X})\cong H^{2}(X,\Omega _{X})}$ ${\displaystyle h^{2,1}}$

Dualidad de Grothendieck

La teoría de la dualidad coherente de Grothendieck es una generalización amplia de la dualidad de Serre, que utiliza el lenguaje de las categorías derivadas . Para cualquier esquema X de tipo finito sobre un cuerpo k , existe un objeto de la categoría derivada acotada de haces coherentes sobre X , , llamado complejo dualizante de X sobre k . Formalmente, es la imagen inversa excepcional , donde f es el morfismo dado . Cuando X es Cohen–Macaulay de dimensión pura n , es ; es decir, es el haz dualizante discutido anteriormente, visto como un complejo en grado (cohomológico) − n . En particular, cuando X es suave sobre k , es el fibrado lineal canónico colocado en grado − n . ${\displaystyle \omega _{X}^{\bullet }}$ ${\displaystyle D_{\operatorname {coh} }^{b}(X)}$ ${\displaystyle \omega _{X}^{\bullet }}$ ${\displaystyle f^{!}O_{Y}}$ ${\displaystyle X\to Y=\operatorname {Spec} (k)}$ ${\displaystyle \omega _{X}^{\bullet }}$ ${\displaystyle \omega _{X}[n]}$ ${\displaystyle \omega _{X}^{\bullet }}$

Utilizando el complejo dualizante, la dualidad de Serre se generaliza a cualquier esquema propio X sobre k . Es decir, existe un isomorfismo natural de espacios vectoriales k de dimensión finita:

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{X}(E,\omega _{X}^{\bullet })\cong \operatorname {Hom} _{X}(O_{X},E)^{*}}$

para cualquier objeto E en . ^[7] ${\displaystyle D_{\operatorname {coh} }^{b}(X)}$

De manera más general, para un esquema adecuado X sobre k , un objeto E en , y F un complejo perfecto en , se tiene la elegante afirmación: ${\displaystyle D_{\operatorname {coh} }^{b}(X)}$ ${\displaystyle D_{\operatorname {perf} }(X)}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{X}(E,F\otimes \omega _{X}^{\bullet })\cong \operatorname {Hom} _{X}(F,E)^{*}.}$

Aquí el producto tensorial significa el producto tensorial derivado , como es natural en las categorías derivadas. (Para comparar con formulaciones anteriores, note que puede verse como ). Cuando X también es suave sobre k , cada objeto en es un complejo perfecto, y por lo tanto esta dualidad se aplica a todos los E y F en . La afirmación anterior se resume diciendo que es un funtor de Serre en para X suave y propio sobre k . ^[8] ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{X}^{i}(E,\omega _{X})}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{X}(E,\omega _{X}[i])}$ ${\displaystyle D_{\operatorname {coh} }^{b}(X)}$ ${\displaystyle D_{\operatorname {coh} }^{b}(X)}$ ${\displaystyle F\mapsto F\otimes \omega _{X}^{\bullet }}$ ${\displaystyle D_{\operatorname {coh} }^{b}(X)}$

La dualidad de Serre se aplica de manera más general a espacios algebraicos propios sobre un cuerpo. ^[9]

Notas

1. Huybrechts (2005), ejercicio 3.2.3.
2. Serre (1955); Huybrechts (2005), Proposición 4.1.15.
3. Para una curva, la dualidad de Serre es más simple, pero aún no trivial. Una prueba de ello se encuentra en Tate (1968).
4. Hartshorne (1977), Teorema III.7.6.
5. Hartshorne (1977), prueba de la Proposición III.7.5; Proyecto Stacks, etiqueta 0A9X.
6. Hartshorne (1977), Teorema III.7.11; Proyecto Stacks, Etiqueta 0BQZ.
7. Hartshorne (1966), Corolario VII.3.4(c); Proyecto Stacks, Etiqueta 0B6I; Proyecto Stacks, Etiqueta 0B6S.
8. Huybrechts (2006), Definición 1.28, Teorema 3.12.
9. Proyecto Stacks, etiqueta 0E58.

Referencias

• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, MR  0463157, OCLC  13348052
• Hartshorne, Robin (1966), Residuos y dualidad , Lecture Notes in Mathematics, vol. 20, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-03603-6, Sr.  0222093
• "Dualidad", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Huybrechts, Daniel (2005), Geometría compleja , Berlín: Springer-Verlag , ISBN 3-540-21290-6, Sr.  2093043
• Huybrechts, Daniel (2006), Transformadas de Fourier-Mukai en geometría algebraica , Oxford University Press , ISBN 978-0199296866, Sr.  2244106
• Serre, Jean-Pierre (1955), "Un théorème de dualité", Commentarii Mathematici Helvetici , 29 : 9–26, doi :10.1007/BF02564268, SEÑOR  0067489
• Tate, John (1968), "Residuos de diferenciales en curvas" (PDF) , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 1 : 149–159, doi : 10.24033/asens.1162 , ISSN  0012-9593, SEÑOR  0227171

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