Cohomología de Dolbeault

En matemáticas , en particular en geometría algebraica y geometría diferencial , la cohomología de Dolbeault (nombrada en honor a Pierre Dolbeault ) es un análogo de la cohomología de De Rham para variedades complejas . Sea M una variedad compleja. Entonces, los grupos de cohomología de Dolbeault dependen de un par de números enteros p y q y se realizan como un subcociente del espacio de formas diferenciales complejas de grado ( p , q ). ${\displaystyle H^{p,q}(M,\mathbb {C} )}$

Construcción de los grupos de cohomología

Sea Ω ^{p , q} el fibrado vectorial de formas diferenciales complejas de grado ( p , q ). En el artículo sobre formas complejas , el operador de Dolbeault se define como un operador diferencial sobre secciones suaves

${\displaystyle {\bar {\partial }}:\Omega ^{p,q}\to \Omega ^{p,q+1}}$

Desde

${\displaystyle {\bar {\partial }}^{2}=0}$

Este operador tiene una cohomología asociada . En concreto, defina la cohomología como el espacio cociente.

${\displaystyle H^{p,q}(M,\mathbb {C} )={\frac {\ker \,({\bar {\partial }}:\Omega ^{p,q}\to \Omega ^{p,q+1})}{\mathrm {im} \,({\bar {\partial }}:\Omega ^{p,q-1}\to \Omega ^{p,q})}}.}$

Cohomología de Dolbeault de fibrados vectoriales

Si E es un fibrado vectorial holomorfo en una variedad compleja X , entonces se puede definir asimismo una resolución fina del haz de secciones holomorfas de E , utilizando el operador Dolbeault de E . Por lo tanto, se trata de una resolución de la cohomología del haz de . ${\displaystyle {\mathcal {O}}(E)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(E)}$

En particular, asociado a la estructura holomorfa de hay un operador de Dolbeault que toma secciones de a -formas con valores en . Esto satisface la regla característica de Leibniz con respecto al operador de Dolbeault en formas diferenciales y, por lo tanto, a veces se lo conoce como una -conexión en . Por lo tanto, de la misma manera que una conexión en un fibrado vectorial se puede extender a la derivada covariante exterior , el operador de Dolbeault de se puede extender a un operador ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}:\Gamma (E)\to \Omega ^{0,1}(E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

$${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}:\Omega ^{p,q}(E)\to \Omega ^{p,q+1}(E)}$$que actúa sobre una sección por ${\displaystyle \alpha \otimes s\in \Omega ^{p,q}(E)}$

$${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}(\alpha \otimes s)=({\bar {\partial }}\alpha )\otimes s+(-1)^{p+q}\alpha \wedge {\bar {\partial }}_{E}s}$$y se extiende linealmente a cualquier sección en . El operador Dolbeault satisface la condición de integrabilidad y, por lo tanto, la cohomología de Dolbeault con coeficientes en se puede definir como se indica arriba: ${\displaystyle \Omega ^{p,q}(E)}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}^{2}=0}$ ${\displaystyle E}$

$${\displaystyle H^{p,q}(X,(E,{\bar {\partial }}_{E}))={\frac {\ker \,({\bar {\partial }}_{E}:\Omega ^{p,q}(E)\to \Omega ^{p,q+1}(E))}{\mathrm {im} \,({\bar {\partial }}_{E}:\Omega ^{p,q-1}(E)\to \Omega ^{p,q}(E))}}.}$$Los grupos de cohomología de Dolbeault no dependen de la elección del operador de Dolbeault compatible con la estructura holomorfa de , por lo que normalmente se denotan eliminando la dependencia de . ${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle H^{p,q}(X,E)}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}_{E}}$

Lema de Dolbeault-Grothendieck

Para establecer el isomorfismo de Dolbeault necesitamos demostrar el lema de Dolbeault–Grothendieck (o lema de Poincaré ). Primero demostramos una versión unidimensional del lema de Poincaré; utilizaremos la siguiente forma generalizada de la representación integral de Cauchy para funciones suaves : ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$

Proposición : Sea la bola abierta centrada en de radio abierto y , entonces ${\displaystyle B_{\varepsilon }(0):=\lbrace z\in \mathbb {C} \mid |z|<\varepsilon \rbrace }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \varepsilon \in \mathbb {R} _{>0},}$ ${\displaystyle {\overline {B_{\varepsilon }(0)}}\subseteq U}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(U)}$

${\displaystyle \forall z\in B_{\varepsilon }(0):\quad f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial B_{\varepsilon }(0)}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi +{\frac {1}{2\pi i}}\iint _{B_{\varepsilon }(0)}{\frac {\partial f}{\partial {\bar {\xi }}}}{\frac {d\xi \wedge d{\bar {\xi }}}{\xi -z}}.}$

Lema ( -lema de Poincaré en el plano complejo): Sea como antes y una forma suave, entonces ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle B_{\varepsilon }(0),U}$ ${\displaystyle \alpha =fd{\bar {z}}\in {\mathcal {A}}_{\mathbb {C} }^{0,1}(U)}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(U)\ni g(z):={\frac {1}{2\pi i}}\int _{B_{\varepsilon }(0)}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi \wedge d{\bar {\xi }}}$

satisface en ${\displaystyle \alpha ={\bar {\partial }}g}$ ${\displaystyle B_{\varepsilon }(0).}$

Demostración. Nuestra afirmación es que la definida anteriormente es una función suave bien definida y . Para demostrarlo, elegimos un punto y un entorno abierto , entonces podemos encontrar una función suave cuyo soporte sea compacto y se encuentre en y Luego podemos escribir ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \alpha =f\,d{\bar {z}}={\bar {\partial }}g}$ ${\displaystyle z\in B_{\varepsilon }(0)}$ ${\displaystyle z\in V\subseteq B_{\varepsilon }(0)}$ ${\displaystyle \rho :B_{\varepsilon }(0)\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle B_{\varepsilon }(0)}$ ${\displaystyle \rho |_{V}\equiv 1.}$

${\displaystyle f=f_{1}+f_{2}:=\rho f+(1-\rho )f}$

y definir

${\displaystyle g_{i}:={\frac {1}{2\pi i}}\int _{B_{\varepsilon }(0)}{\frac {f_{i}(\xi )}{\xi -z}}d\xi \wedge d{\bar {\xi }}.}$

Puesto que en entonces está claramente bien definido y suave; observamos que ${\displaystyle f_{2}\equiv 0}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle g_{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{1}&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{B_{\varepsilon }(0)}{\frac {f_{1}(\xi )}{\xi -z}}d\xi \wedge d{\bar {\xi }}\\&={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\mathbb {C} }{\frac {f_{1}(\xi )}{\xi -z}}d\xi \wedge d{\bar {\xi }}\\&=\pi ^{-1}\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{2\pi }f_{1}(z+re^{i\theta })e^{-i\theta }d\theta dr,\end{aligned}}}$

que está bien definido y es uniforme, por lo tanto, lo mismo es cierto para . Ahora lo demostramos en . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}g=\alpha }$ ${\displaystyle B_{\varepsilon }(0)}$

${\displaystyle {\frac {\partial g_{2}}{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{B_{\varepsilon }(0)}f_{2}(\xi ){\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}{\Big (}{\frac {1}{\xi -z}}{\Big )}d\xi \wedge d{\bar {\xi }}=0}$

ya que es holomórfico en . ${\displaystyle (\xi -z)^{-1}}$ ${\displaystyle B_{\varepsilon }(0)\setminus V}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial g_{1}}{\partial {\bar {z}}}}=&\pi ^{-1}\int _{\mathbb {C} }{\frac {\partial f_{1}(z+re^{i\theta })}{\partial {\bar {z}}}}e^{-i\theta }d\theta \wedge dr\\=&\pi ^{-1}\int _{\mathbb {C} }{\Big (}{\frac {\partial f_{1}}{\partial {\bar {z}}}}{\Big )}(z+re^{i\theta })e^{-i\theta }d\theta \wedge dr\\=&{\frac {1}{2\pi i}}\iint _{B_{\varepsilon }(0)}{\frac {\partial f_{1}}{\partial {\bar {\xi }}}}{\frac {d\xi \wedge d{\bar {\xi }}}{\xi -z}}\end{aligned}}}$

Aplicando la fórmula de Cauchy generalizada encontramos ${\displaystyle f_{1}}$

${\displaystyle f_{1}(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial B_{\varepsilon }(0)}{\frac {f_{1}(\xi )}{\xi -z}}d\xi +{\frac {1}{2\pi i}}\iint _{B_{\varepsilon }(0)}{\frac {\partial f_{1}}{\partial {\bar {\xi }}}}{\frac {d\xi \wedge d{\bar {\xi }}}{\xi -z}}={\frac {1}{2\pi i}}\iint _{B_{\varepsilon }(0)}{\frac {\partial f_{1}}{\partial {\bar {\xi }}}}{\frac {d\xi \wedge d{\bar {\xi }}}{\xi -z}}}$

ya que , pero luego en . Como era arbitrario, el lema ahora queda demostrado. ${\displaystyle f_{1}|_{\partial B_{\varepsilon }(0)}=0}$ ${\displaystyle f=f_{1}={\frac {\partial g_{1}}{\partial {\bar {z}}}}={\frac {\partial g}{\partial {\bar {z}}}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle z}$

Demostración del lema de Dolbeault-Grothendieck

Ahora estamos listos para demostrar el lema de Dolbeault-Grothendieck; la prueba presentada aquí se debe a Grothendieck . ^{[1] [2]} Denotamos con el polidisco abierto centrado en con radio . ${\displaystyle \Delta _{\varepsilon }^{n}(0)}$ ${\displaystyle 0\in \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \varepsilon \in \mathbb {R} _{>0}}$

Lema (Dolbeault–Grothendieck): Sea donde abierto y tal que , entonces existe que satisface: en ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{p,q}(U)}$ ${\displaystyle {\overline {\Delta _{\varepsilon }^{n}(0)}}\subseteq U}$ ${\displaystyle q>0}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}\alpha =0}$ ${\displaystyle \beta \in {\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{p,q-1}(U)}$ ${\displaystyle \alpha ={\bar {\partial }}\beta }$ ${\displaystyle \Delta _{\varepsilon }^{n}(0).}$

Antes de comenzar la prueba, notamos que cualquier forma puede escribirse como ${\displaystyle (p,q)}$

${\displaystyle \alpha =\sum _{IJ}\alpha _{IJ}dz_{I}\wedge d{\bar {z}}_{J}=\sum _{J}\left(\sum _{I}\alpha _{IJ}dz_{I}\right)_{J}\wedge d{\bar {z}}_{J}}$

para multiíndices , por lo tanto, podemos reducir la prueba al caso . ${\displaystyle I,J,|I|=p,|J|=q}$ ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{0,q}(U)}$

Demostración. Sea el índice más pequeño tal que en el haz de -módulos, procedemos por inducción en . Porque tenemos ya que ; a continuación suponemos que si entonces existe tal que en . Luego supongamos y observemos que podemos escribir ${\displaystyle k>0}$ ${\displaystyle \alpha \in (d{\bar {z}}_{1},\dots ,d{\bar {z}}_{k})}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k=0}$ ${\displaystyle \alpha \equiv 0}$ ${\displaystyle q>0}$ ${\displaystyle \alpha \in (d{\bar {z}}_{1},\dots ,d{\bar {z}}_{k})}$ ${\displaystyle \beta \in {\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{0,q-1}(U)}$ ${\displaystyle \alpha ={\bar {\partial }}\beta }$ ${\displaystyle \Delta _{\varepsilon }^{n}(0)}$ ${\displaystyle \omega \in (d{\bar {z}}_{1},\dots ,d{\bar {z}}_{k+1})}$

${\displaystyle \omega =d{\bar {z}}_{k+1}\wedge \psi +\mu ,\qquad \psi ,\mu \in (d{\bar {z}}_{1},\dots ,d{\bar {z}}_{k}).}$

Como es -cerrado se sigue que son holomorfas en variables y suaves en las restantes en el polidisco . Además podemos aplicar el lema de -Poincaré a las funciones suaves en la esfera abierta , por lo tanto existe una familia de funciones suaves que satisfacen ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle \psi ,\mu }$ ${\displaystyle z_{k+2},\dots ,z_{n}}$ ${\displaystyle \Delta _{\varepsilon }^{n}(0)}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle z_{k+1}\mapsto \psi _{J}(z_{1},\dots ,z_{k+1},\dots ,z_{n})}$ ${\displaystyle B_{\varepsilon _{k+1}}(0)}$ ${\displaystyle g_{J}}$

${\displaystyle \psi _{J}={\frac {\partial g_{J}}{\partial {\bar {z}}_{k+1}}}\quad {\text{on}}\quad B_{\varepsilon _{k+1}}(0).}$

${\displaystyle g_{J}}$También son holomorfos en . Definir ${\displaystyle z_{k+2},\dots ,z_{n}}$

${\displaystyle {\tilde {\psi }}:=\sum _{J}g_{J}d{\bar {z}}_{J}}$

entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega -{\bar {\partial }}{\tilde {\psi }}&=d{\bar {z}}_{k+1}\wedge \psi +\mu -\sum _{J}{\frac {\partial g_{J}}{\partial {\bar {z}}_{k+1}}}d{\bar {z}}_{k+1}\wedge d{\bar {z}}_{J}+\sum _{j=1}^{k}\sum _{J}{\frac {\partial g_{J}}{\partial {\bar {z}}_{j}}}d{\bar {z}}_{j}\wedge d{\bar {z}}_{J\setminus \lbrace j\rbrace }\\&=d{\bar {z}}_{k+1}\wedge \psi +\mu -d{\bar {z}}_{k+1}\wedge \psi +\sum _{j=1}^{k}\sum _{J}{\frac {\partial g_{J}}{\partial {\bar {z}}_{j}}}d{\bar {z}}_{j}\wedge d{\bar {z}}_{J\setminus \lbrace j\rbrace }\\&=\mu +\sum _{j=1}^{k}\sum _{J}{\frac {\partial g_{J}}{\partial {\bar {z}}_{j}}}d{\bar {z}}_{j}\wedge d{\bar {z}}_{J\setminus \lbrace j\rbrace }\in (d{\bar {z}}_{1},\dots ,d{\bar {z}}_{k}),\end{aligned}}}$

Por lo tanto podemos aplicarle la hipótesis de inducción, existe tal que ${\displaystyle \eta \in {\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{0,q-1}(U)}$

${\displaystyle \omega -{\bar {\partial }}{\tilde {\psi }}={\bar {\partial }}\eta \quad {\text{on}}\quad \Delta _{\varepsilon }^{n}(0)}$

y finaliza el paso de inducción. QED ${\displaystyle \zeta :=\eta +{\tilde {\psi }}}$

El lema anterior se puede generalizar admitiendo polidiscos con para algunos de los componentes del poliradio. ${\displaystyle \varepsilon _{k}=+\infty }$

Lema (Dolbeault-Grothendieck ampliado). Si es un polidisco abierto con y , entonces ${\displaystyle \Delta _{\varepsilon }^{n}(0)}$ ${\displaystyle \varepsilon _{k}\in \mathbb {R} \cup \lbrace +\infty \rbrace }$ ${\displaystyle q>0}$ ${\displaystyle H_{\bar {\partial }}^{p,q}(\Delta _{\varepsilon }^{n}(0))=0.}$

Demostración. Consideremos dos casos: y . ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{p,q+1}(U),q>0}$ ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{p,1}(U)}$

Caso 1. Sea , y cubrimos con polidiscos , entonces por el lema de Dolbeault–Grothendieck podemos encontrar formas de bigrado en abierto tales que ; queremos demostrar que ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{p,q+1}(U),q>0}$ ${\displaystyle \Delta _{\varepsilon }^{n}(0)}$ ${\displaystyle {\overline {\Delta _{i}}}\subset \Delta _{i+1}}$ ${\displaystyle \beta _{i}}$ ${\displaystyle (p,q-1)}$ ${\displaystyle {\overline {\Delta _{i}}}\subseteq U_{i}}$ ${\displaystyle \alpha |_{\Delta _{i}}={\bar {\partial }}\beta _{i}}$

${\displaystyle \beta _{i+1}|_{\Delta _{i}}=\beta _{i}.}$

Procedemos por inducción sobre : el caso cuando se cumple por el lema anterior. Sea la afirmación verdadera para y tomemos con ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i=1}$ ${\displaystyle k>1}$ ${\displaystyle \Delta _{k+1}}$

${\displaystyle \Delta _{\varepsilon }^{n}(0)=\bigcup _{i=1}^{k+1}\Delta _{i}\quad {\text{and}}\quad {\overline {\Delta _{k}}}\subset \Delta _{k+1}.}$

Entonces encontramos una -forma definida en un entorno abierto de tal que . Sea un entorno abierto de entonces en y podemos aplicar de nuevo el lema de Dolbeault-Grothendieck para encontrar una -forma tal que en . Ahora, sea un conjunto abierto con y una función suave tal que: ${\displaystyle (p,q-1)}$ ${\displaystyle \beta '_{k+1}}$ ${\displaystyle {\overline {\Delta _{k+1}}}}$ ${\displaystyle \alpha |_{\Delta _{k+1}}={\bar {\partial }}\beta _{k+1}}$ ${\displaystyle U_{k}}$ ${\displaystyle {\overline {\Delta _{k}}}}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}(\beta _{k}-\beta '_{k+1})=0}$ ${\displaystyle U_{k}}$ ${\displaystyle (p,q-2)}$ ${\displaystyle \gamma _{k}}$ ${\displaystyle \beta _{k}-\beta '_{k+1}={\bar {\partial }}\gamma _{k}}$ ${\displaystyle \Delta _{k}}$ ${\displaystyle V_{k}}$ ${\displaystyle {\overline {\Delta _{k}}}\subset V_{k}\subsetneq U_{k}}$ ${\displaystyle \rho _{k}:\Delta _{\varepsilon }^{n}(0)\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \operatorname {supp} (\rho _{k})\subset U_{k},\qquad \rho |_{V_{k}}=1,\qquad \rho _{k}|_{\Delta _{\varepsilon }^{n}(0)\setminus U_{k}}=0.}$

Entonces es una forma suave bien definida en la que se satisface ${\displaystyle \rho _{k}\gamma _{k}}$ ${\displaystyle \Delta _{\varepsilon }^{n}(0)}$

${\displaystyle \beta _{k}=\beta '_{k+1}+{\bar {\partial }}(\gamma _{k}\rho _{k})\quad {\text{on}}\quad \Delta _{k},}$

De ahí la forma

${\displaystyle \beta _{k+1}:=\beta '_{k+1}+{\bar {\partial }}(\gamma _{k}\rho _{k})}$

satisface

${\displaystyle {\begin{aligned}\beta _{k+1}|_{\Delta _{k}}&=\beta '_{k+1}+{\bar {\partial }}\gamma _{k}=\beta _{k}\\{\bar {\partial }}\beta _{k+1}&={\bar {\partial }}\beta '_{k+1}=\alpha |_{\Delta _{k+1}}\end{aligned}}}$

Caso 2. Si en cambio no podemos aplicar el lema de Dolbeault-Grothendieck dos veces; tomamos y como antes, queremos demostrar que ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{p,1}(U),}$ ${\displaystyle \beta _{i}}$ ${\displaystyle \Delta _{i}}$

${\displaystyle \left\|\left.\left({\beta _{i}}_{I}-{\beta _{i+1}}_{I}\right)\right|_{\Delta _{k-1}}\right\|_{\infty }<2^{-i}.}$

Nuevamente, procedemos por inducción sobre : ya que la respuesta está dada por el lema de Dolbeault-Grothendieck. A continuación, suponemos que la afirmación es verdadera para . Tomamos tal que cubre , luego podemos encontrar una forma tal que ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i=1}$ ${\displaystyle k>1}$ ${\displaystyle \Delta _{k+1}\supset {\overline {\Delta _{k}}}}$ ${\displaystyle \Delta _{k+1}\cup \lbrace \Delta _{i}\rbrace _{i=1}^{k}}$ ${\displaystyle \Delta _{\varepsilon }^{n}(0)}$ ${\displaystyle (p,0)}$ ${\displaystyle \beta '_{k+1}}$

${\displaystyle \alpha |_{\Delta _{k+1}}={\bar {\partial }}\beta '_{k+1},}$

que también satisface en , es decir, es una forma holomorfa dondequiera que se defina, por lo tanto, por el teorema de Stone-Weierstrass podemos escribirla como ${\displaystyle {\bar {\partial }}(\beta _{k}-\beta '_{k+1})=0}$ ${\displaystyle \Delta _{k}}$ ${\displaystyle \beta _{k}-\beta '_{k+1}}$ ${\displaystyle (p,0)}$

${\displaystyle \beta _{k}-\beta '_{k+1}=\sum _{|I|=p}(P_{I}+r_{I})dz_{I}}$

¿Dónde están los polinomios y ${\displaystyle P_{I}}$

${\displaystyle \left\|r_{I}|_{\Delta _{k-1}}\right\|_{\infty }<2^{-k},}$

pero luego la forma

${\displaystyle \beta _{k+1}:=\beta '_{k+1}+\sum _{|I|=p}P_{I}dz_{I}}$

satisface

${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {\partial }}\beta _{k+1}&={\bar {\partial }}\beta '_{k+1}=\alpha |_{\Delta _{k+1}}\\\left\|({\beta _{k}}_{I}-{\beta _{k+1}}_{I})|_{\Delta _{k-1}}\right\|_{\infty }&=\|r_{I}\|_{\infty }<2^{-k}\end{aligned}}}$

lo que completa el paso de inducción; por lo tanto, hemos construido una secuencia que converge uniformemente a alguna forma tal que . QED ${\displaystyle \lbrace \beta _{i}\rbrace _{i\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle (p,0)}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha |_{\Delta _{\varepsilon }^{n}(0)}={\bar {\partial }}\beta }$

Teorema de Dolbeault

El teorema de Dolbeault es un análogo complejo ^[3] del teorema de De Rham . Afirma que la cohomología de Dolbeault es isomorfa a la cohomología del haz del haz de formas diferenciales holomorfas. Específicamente,

${\displaystyle H^{p,q}(M)\cong H^{q}(M,\Omega ^{p})}$

¿Dónde está el haz de formas p holomórficas en M ? ${\displaystyle \Omega ^{p}}$

Una versión del teorema de Dolbeault también es válida para la cohomología de Dolbeault con coeficientes en un fibrado vectorial holomorfo . Es decir, se tiene un isomorfismo ${\displaystyle E}$

$${\displaystyle H^{p,q}(M,E)\cong H^{q}(M,\Omega ^{p}\otimes E).}$$

También se ha establecido una versión para formas logarítmicas . ^[4]

Prueba

Sea el haz fino de formas del tipo . Entonces el lema de Poincaré dice que la sucesión ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{p,q}}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle {\overline {\partial }}}$

${\displaystyle \Omega ^{p,q}{\xrightarrow {\overline {\partial }}}{\mathcal {F}}^{p,q+1}{\xrightarrow {\overline {\partial }}}{\mathcal {F}}^{p,q+2}{\xrightarrow {\overline {\partial }}}\cdots }$

es exacta. Como cualquier secuencia larga exacta, esta secuencia se divide en secuencias cortas exactas. Las secuencias largas exactas de cohomología correspondientes a estas dan como resultado, una vez que se utiliza, que las cohomologías superiores de un haz fino se desvanecen.

Ejemplo explícito de cálculo

La cohomología de Dolbeault del espacio proyectivo complejo -dimensional es ${\displaystyle n}$

${\displaystyle H_{\bar {\partial }}^{p,q}(P_{\mathbb {C} }^{n})={\begin{cases}\mathbb {C} &p=q\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Aplicamos el siguiente hecho bien conocido de la teoría de Hodge :

${\displaystyle H_{\rm {dR}}^{k}\left(P_{\mathbb {C} }^{n},\mathbb {C} \right)=\bigoplus _{p+q=k}H_{\bar {\partial }}^{p,q}(P_{\mathbb {C} }^{n})}$

porque es una variedad compleja de Kähler compacta . Entonces y ${\displaystyle P_{\mathbb {C} }^{n}}$ ${\displaystyle b_{2k+1}=0}$

${\displaystyle b_{2k}=h^{k,k}+\sum _{p+q=2k,p\neq q}h^{p,q}=1.}$

Además sabemos que es Kähler, y donde es la forma fundamental asociada a la métrica de Fubini-Study (que de hecho es Kähler), por lo tanto y siempre que se obtiene el resultado. ${\displaystyle P_{\mathbb {C} }^{n}}$ ${\displaystyle 0\neq [\omega ^{k}]\in H_{\bar {\partial }}^{k,k}(P_{\mathbb {C} }^{n}),}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle h^{k,k}=1}$ ${\displaystyle h^{p,q}=0}$ ${\displaystyle p\neq q,}$

Véase también

• Dualidad de Serre
• ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$-lema , que describe el potencial de una forma diferencial -exacta en el contexto de variedades de Kähler compactas . ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$

Notas al pie

1. Serre, Jean-Pierre (1953-1954), "Faisceaux analytiques sur l'espace projectif", Séminaire Henri Cartan , 6 (Charla n.° 18): 1-10
2. "Cálculo en variedades complejas". Varias variables complejas y variedades complejas II . 1982. págs. 1–64. doi :10.1017/CBO9780511629327.002. ISBN 9780521288880.
3. A diferencia de la cohomología de De Rham, la cohomología de Dolbeault ya no es un invariante topológico porque depende estrechamente de la estructura compleja.
4. Navarro Aznar, Vicente (1987), "Sur la théorie de Hodge–Deligne", Inventiones Mathematicae , 90 (1): 11–76, Bibcode :1987InMat..90...11A, doi :10.1007/bf01389031, S2CID  122772976, Sección 8

Referencias

• Dolbeault, Pierre (1953). "Sur la cohomologie des variétés analytiques complexes". Cuentas de resultados de la Academia de Ciencias . 236 : 175–277.
• Wells, Raymond O. (1980). Análisis diferencial en variedades complejas . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90419-1.
• Gunning, Robert C. (1990). Introducción a las funciones holomorfas de varias variables, volumen 1. Chapman y Hall/CRC. pág. 198. ISBN 9780534133085.
• Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (2014). Principios de geometría algebraica . John Wiley & Sons. pág. 832. ISBN 9781118626320.