En matemáticas , el espacio proyectivo complejo es el espacio proyectivo con respecto al campo de los números complejos . Por analogía, mientras que los puntos de un espacio proyectivo real etiquetan las líneas que pasan por el origen de un espacio euclidiano real , los puntos de un espacio proyectivo complejo etiquetan las líneas complejas que pasan por el origen de un espacio euclidiano complejo (ver más abajo para una explicación intuitiva) . Formalmente, un espacio proyectivo complejo es el espacio de líneas complejas que pasan por el origen de un espacio vectorial complejo ( n +1)-dimensional . El espacio se denota de diversas formas como P ( C n +1 ), P n ( C ) o CP n . Cuando n = 1 , el espacio proyectivo complejo CP 1 es la esfera de Riemann , y cuando n = 2 , CP 2 es el plano proyectivo complejo (ver allí para una discusión más elemental).
El espacio proyectivo complejo fue introducido por primera vez por von Staudt (1860) como un ejemplo de lo que entonces se conocía como "geometría de posición", una noción originalmente debida a Lazare Carnot , una especie de geometría sintética que incluía también otras geometrías proyectivas. Posteriormente, cerca del cambio de siglo XX, quedó claro para la escuela italiana de geometría algebraica que los espacios proyectivos complejos eran los dominios más naturales para considerar las soluciones de ecuaciones polinómicas – variedades algebraicas (Grattan-Guinness 2005, págs. 445). –446). En los tiempos modernos, tanto la topología como la geometría del espacio proyectivo complejo se comprenden bien y están estrechamente relacionadas con la de la esfera . De hecho, en cierto sentido la esfera (2 n +1) puede considerarse como una familia de círculos parametrizados por CP n : esta es la fibración de Hopf . El espacio proyectivo complejo lleva una métrica ( Kähler ) , llamada métrica de Fubini-Study , en términos de la cual es un espacio simétrico hermitiano de rango 1.
El espacio proyectivo complejo tiene muchas aplicaciones tanto en matemáticas como en física cuántica . En geometría algebraica , el espacio proyectivo complejo es el hogar de las variedades proyectivas , una clase de variedades algebraicas de buen comportamiento . En topología, el espacio proyectivo complejo juega un papel importante como espacio clasificador de haces de líneas complejas : familias de líneas complejas parametrizadas por otro espacio. En este contexto, la unión infinita de espacios proyectivos ( límite directo ), denotada CP ∞ , es el espacio clasificador K(Z,2) . En física cuántica, la función de onda asociada a un estado puro de un sistema mecánico cuántico es una amplitud de probabilidad , lo que significa que tiene norma unitaria y tiene una fase general no esencial: es decir, la función de onda de un estado puro es naturalmente un punto. en el espacio proyectivo de Hilbert del espacio de estados.
La noción de plano proyectivo surge de la idea de perspectiva en geometría y arte: que a veces es útil incluir en el plano euclidiano una línea "imaginaria" adicional que representa el horizonte que podría ver un artista que pinta el plano. Siguiendo cada dirección desde el origen, hay un punto diferente en el horizonte, por lo que se puede pensar en el horizonte como el conjunto de todas las direcciones desde el origen. El plano euclidiano, junto con su horizonte, se denomina plano proyectivo real , y al horizonte a veces se le llama recta en el infinito . Por la misma construcción, los espacios proyectivos pueden considerarse en dimensiones superiores. Por ejemplo, el 3-espacio proyectivo real es un espacio euclidiano junto con un plano en el infinito que representa el horizonte que vería un artista (que necesariamente debe vivir en cuatro dimensiones).
Estos espacios proyectivos reales se pueden construir de una manera un poco más rigurosa como sigue. Aquí, sea R n +1 el espacio de coordenadas real de n +1 dimensiones, y considere el paisaje a pintar como un hiperplano en este espacio. Supongamos que el ojo del artista es el origen en R n +1 . Luego, a lo largo de cada línea que pasa por su ojo, hay un punto del paisaje o un punto en su horizonte. Así, el espacio proyectivo real es el espacio de líneas que pasan por el origen en R n +1 . Sin referencia a coordenadas, este es el espacio de líneas que pasan por el origen en un espacio vectorial real ( n +1) dimensional .
Para describir el espacio proyectivo complejo de manera análoga se requiere una generalización de la idea de vector, línea y dirección. Imaginemos que en lugar de estar en un espacio euclidiano real, el artista está en un espacio euclidiano complejo C n +1 (que tiene una dimensión real 2 n +2) y el paisaje es un hiperplano complejo (de dimensión real 2 n ). A diferencia del caso del espacio euclidiano real, en el caso complejo hay direcciones en las que el artista puede mirar y que no ven el paisaje (porque no tiene una dimensión suficientemente alta). Sin embargo, en un espacio complejo, hay una "fase" adicional asociada con las direcciones a través de un punto, y al ajustar esta fase el artista puede garantizar que ve el paisaje normalmente. El "horizonte" es entonces el espacio de direcciones, pero tal que dos direcciones se consideran "iguales" si difieren sólo en una fase. El espacio proyectivo complejo es entonces el paisaje ( C n ) con el horizonte fijado "en el infinito". Al igual que en el caso real, el espacio proyectivo complejo es el espacio de direcciones que pasan por el origen de C n +1 , donde dos direcciones se consideran iguales si difieren en una fase.
El espacio proyectivo complejo es una variedad compleja que puede describirse mediante n + 1 coordenadas complejas como
donde se identifican las tuplas que difieren por un cambio de escala global:
Es decir, se trata de coordenadas homogéneas en el sentido tradicional de la geometría proyectiva . El conjunto de puntos CP n está cubierto por los parches . En U i , se puede definir un sistema de coordenadas mediante
Las transiciones de coordenadas entre dos gráficos diferentes U i y U j son funciones holomorfas (de hecho, son transformaciones lineales fraccionarias ). Así, CP n lleva la estructura de una variedad compleja de dimensión compleja n , y a fortiori la estructura de una variedad real diferenciable de dimensión real 2 n .
También se puede considerar CP n como un cociente de la unidad 2 n + 1 esfera en C n +1 bajo la acción de U(1) :
Esto se debe a que cada línea en C n +1 intersecta la esfera unitaria en un círculo . Proyectando primero a la esfera unitaria y luego identificándola bajo la acción natural de U(1) se obtiene CP n . Para n = 1, esta construcción produce el paquete de Hopf clásico . Desde esta perspectiva, la estructura diferenciable de CP n es inducida de la de S 2 n +1 , siendo el cociente de esta última por un grupo compacto que actúa propiamente.
La topología de CP n se determina inductivamente mediante la siguiente descomposición celular . Sea H un hiperplano fijo que pasa por el origen en C n +1 . Bajo el mapa de proyección C n +1 \{0} → CP n , H entra en un subespacio que es homeomorfo a CP n −1 . El complemento de la imagen de H en CP n es homeomorfo a C n . Así, CP n surge al unir una celda de 2 n a CP n −1 :
Alternativamente, si la celda 2 n se considera como la bola unitaria abierta en C n , entonces el mapa adjunto es la fibración de Hopf del límite. Una descomposición celular inductiva análoga es válida para todos los espacios proyectivos; ver (Besse 1978).
Una forma útil de construir espacios proyectivos complejos es mediante una construcción recursiva utilizando complejos CW . Recuerde que existe un homeomorfismo para las 2 esferas, lo que da el primer espacio. Luego podemos inducir las celdas para obtener un mapa de expulsión.
El espacio proyectivo complejo es compacto y conexo , siendo cociente de un espacio compacto y conexo.
Del haz de fibras
o más sugestivamente
El CP n está simplemente conexo . Además, según la larga secuencia exacta de homotopía , el segundo grupo de homotopía es π 2 ( CP n ) ≅ Z , y todos los grupos de homotopía superiores concuerdan con los de S 2 n +1 : π k ( CP n ) ≅ π k ( S 2 norte +1 ) para todo k > 2.
En general, la topología algebraica de CP n se basa en que el rango de los grupos de homología es cero en dimensiones impares; también H 2 i ( CP n , Z ) es cíclico infinito para i = 0 an . Por lo tanto, los números de Betti corren
Es decir, 0 en dimensiones impares, 1 en dimensiones pares de 0 a 2n. La característica de Euler de CP n es, por tanto, n + 1. Según la dualidad de Poincaré , lo mismo ocurre con los rangos de los grupos de cohomología . En el caso de la cohomología, se puede ir más allá e identificar la estructura de anillo graduada para el producto de copa ; el generador de H 2 ( CP n , Z ) es la clase asociada a un hiperplano , y este es un generador de anillos, por lo que el anillo es isomorfo con
con T un generador de grado dos. Esto implica también que el número de Hodge h i , i = 1 y todos los demás son cero. Véase (Besse 1978).
De la inducción y la periodicidad de Bott se deduce que
El paquete tangente satisface
donde denota el paquete de líneas trivial, de la secuencia de Euler . A partir de esto, las clases de Chern y los números característicos se pueden calcular explícitamente.
Hay un espacio que, en cierto sentido, es el límite inductivo de as . Es BU(1) , el espacio de clasificación de U(1) , el grupo circular, en el sentido de la teoría de la homotopía , y por eso clasifica haces de líneas complejos . De manera equivalente, representa la primera clase Chern . Esto se puede ver heurísticamente observando los mapas de haces de fibras.
La métrica natural en CP n es la métrica de Fubini-Study , y su grupo de isometría holomorfa es el grupo unitario proyectivo PU ( n +1), donde el estabilizador de un punto es
Es un espacio simétrico hermitiano (Kobayashi & Nomizu 1996), representado como un espacio lateral
La simetría geodésica en un punto p es la transformación unitaria que fija p y es la identidad negativa sobre el complemento ortogonal de la recta representada por p .
Por dos puntos cualesquiera p , q en el espacio proyectivo complejo, pasa una línea compleja única (una CP 1 ). Un gran círculo de esta línea compleja que contiene p y q es una geodésica para la métrica del estudio Fubini. En particular, todas las geodésicas son cerradas (son círculos) y todas tienen la misma longitud. (Esto siempre es cierto para los espacios globalmente simétricos de Riemann de rango 1.)
El lugar de corte de cualquier punto p es igual a un hiperplano CP n −1 . Este es también el conjunto de puntos fijos de la simetría geodésica en p (menos p en sí). Véase (Besse 1978).
Tiene una curvatura seccional que va de 1/4 a 1, y es la variedad más redonda que no es una esfera (o está cubierta por una esfera): según el teorema de la esfera pellizcada de 1/4 , cualquier variedad de Riemann completa, simplemente conectada con curvatura estrictamente entre 1/4 y 1 es difeomorfo a la esfera. El espacio proyectivo complejo muestra que 1/4 es agudo. Por el contrario, si una variedad de Riemann completa y simplemente conexa tiene curvaturas seccionales en el intervalo cerrado [1/4,1], entonces es difeomorfa a la esfera o isométrica al espacio proyectivo complejo, el espacio proyectivo cuaterniónico , o bien el Cayley . plano F 4 /Girar(9); ver (Brendle y Schoen 2008).
A los espacios proyectivos de dimensiones impares se les puede dar una estructura de espín , a los de dimensiones pares no.
El espacio proyectivo complejo es un caso especial de Grassmanniano y es un espacio homogéneo para varios grupos de Lie . Es una variedad de Kähler que lleva la métrica de Fubini-Study , que está esencialmente determinada por las propiedades de simetría. También juega un papel central en la geometría algebraica ; Según el teorema de Chow , cualquier subvariedad compleja compacta de CP n es el lugar cero de un número finito de polinomios y, por tanto, es una variedad algebraica proyectiva . Ver (Griffiths y Harris 1994)
En geometría algebraica , el espacio proyectivo complejo puede equiparse con otra topología conocida como topología de Zariski (Hartshorne 1977, §II.2). Sea S = C [ Z 0 ,..., Z n ] el anillo conmutativo de polinomios en las ( n +1 ) variables Z 0 ,..., Z n . Este anillo se clasifica por el grado total de cada polinomio:
Defina un subconjunto de CP n cerrado si es el conjunto de solución simultánea de una colección de polinomios homogéneos . Al declarar abiertos los complementos de los conjuntos cerrados, se define una topología (la topología de Zariski) en CP n .
Es posible otra construcción de CP n (y su topología de Zariski). Sea S + ⊂ S el ideal abarcado por los polinomios homogéneos de grado positivo:
Defina Proj S como el conjunto de todos los ideales primos homogéneos en S que no contienen S + . Llame cerrado a un subconjunto de Proj S si tiene la forma
para algún ideal I en S . Los complementos de estos conjuntos cerrados definen una topología en Proj S. El anillo S , por localización en un ideal primo , determina un haz de anillos locales en Proj S. El espacio Proj S , junto con su topología y haz de anillos locales, es un esquema . El subconjunto de puntos cerrados de Proj S es homeomorfo a CP n con su topología Zariski. Las secciones locales de la gavilla se identifican con las funciones racionales de grado cero total en CP n .
Todos los paquetes de líneas en el espacio proyectivo complejo se pueden obtener mediante la siguiente construcción. Una función f : C n +1 \{0} → C se llama homogénea de grado k si
para todo λ ∈ C \{0 } y z ∈ C n +1 \{0 }. De manera más general, esta definición tiene sentido en conos en C n +1 \{0 }. Un conjunto V ⊂ C n +1 \{0 } se llama cono si, siempre que v ∈ V , entonces λv ∈ V para todo λ ∈ C \{0 }; es decir, un subconjunto es un cono si contiene la recta compleja que pasa por cada uno de sus puntos. Si U ⊂ CP n es un conjunto abierto (ya sea en la topología analítica o en la topología de Zariski ), sea V ⊂ C n +1 \{0 } el cono sobre U : la preimagen de U bajo la proyección C n +1 \ {0} → CP n . Finalmente, para cada entero k , sea O ( k )( U ) el conjunto de funciones homogéneas de grado k en V . Esto define un haz de secciones de un determinado paquete de líneas, denotado por O ( k ).
En el caso especial k = −1 , el paquete O (−1) se llama paquete de líneas tautológicas . Se define de manera equivalente como el subpaquete del producto.
cuya fibra sobre L ∈ CP n es el conjunto
Estos paquetes de líneas también se pueden describir en el lenguaje de los divisores . Sea H = CP n −1 un hiperplano complejo dado en CP n . El espacio de funciones meromorfas en CP n con como máximo un polo simple a lo largo de H (y en ningún otro lugar) es un espacio unidimensional, denotado por O ( H ), y llamado paquete de hiperplano . El paquete dual se denota por O (− H ), y la k- ésima potencia tensorial de O ( H ) se denota por O ( kH ). Esta es la gavilla generada por múltiplos holomorfos de una función meromorfa con un polo de orden k a lo largo de H. Resulta que
De hecho, si L ( z ) = 0 es una función definitoria lineal para H , entonces L − k es una sección meromórfica de O ( k ), y localmente las otras secciones de O ( k ) son múltiplos de esta sección.
Dado que H 1 ( CP n , Z ) = 0 , los paquetes de líneas en CP n se clasifican hasta el isomorfismo por sus clases de Chern , que son números enteros: se encuentran en H 2 ( CP n , Z ) = Z. De hecho, las primeras clases Chern del espacio proyectivo complejo se generan bajo la dualidad de Poincaré por la clase de homología asociada a un hiperplano H. El haz de líneas O ( kH ) tiene clase Chern k . Por lo tanto, cada paquete de líneas holomorfas en CP n es una potencia tensorial de O ( H ) u O (− H ). En otras palabras, el grupo Picard de CP n es generado como un grupo abeliano por la clase de hiperplano [ H ] (Hartshorne 1977).
![{\displaystyle K_{\mathbf {C} }^{*}(\mathbf {CP} ^{n})=K_{\mathbf {C} }^{0}(\mathbf {CP} ^{n}) =\mathbf {Z} [H]/(H-1)^{n+1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56ca98c43c631c39e0e1568588ee297c5439322f)
![{\displaystyle H^{2}(X;\mathbb {Z} )\cong [X,\mathbf {CP} ^{\infty }]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a379d7f5ca2bc00bc98c22ecae3a4747caae935e)
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