Límite directo

Caso especial de colimite en la teoría de categorías

En matemáticas , un límite directo es una forma de construir un objeto (normalmente grande) a partir de muchos objetos (normalmente más pequeños) que se juntan de una manera específica. Estos objetos pueden ser grupos , anillos , espacios vectoriales o, en general, objetos de cualquier categoría . La forma en que se juntan se especifica mediante un sistema de homomorfismos ( homomorfismo de grupo , homomorfismo de anillo o, en general, morfismos de la categoría) entre esos objetos más pequeños. El límite directo de los objetos , donde se extiende sobre algún conjunto dirigido , se denota por . Esta notación suprime el sistema de homomorfismos; sin embargo, el límite depende del sistema de homomorfismos. ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \varinjlim A_{i}}$

Los límites directos son un caso especial del concepto de colimite en la teoría de categorías . Los límites directos son duales a los límites inversos , que son un caso especial de límites en la teoría de categorías.

Definición formal

Primero daremos la definición de estructuras algebraicas como grupos y módulos , y luego la definición general, que se puede utilizar en cualquier categoría .

Límites directos de objetos algebraicos

En esta sección se entiende por objetos conjuntos subyacentes dotados de una estructura algebraica dada , tales como grupos , anillos , módulos (sobre un anillo fijo), álgebras (sobre un cuerpo fijo ), etc. Con esto en mente, se entienden los homomorfismos en el contexto correspondiente ( homomorfismos de grupo , etc.).

Sea un conjunto dirigido . Sea una familia de objetos indexados por y sea un homomorfismo para todos con las siguientes propiedades: ${\displaystyle \langle I,\leq \rangle }$ ${\displaystyle \{A_{i}:i\in I\}}$ ${\displaystyle I\,}$ ${\displaystyle f_{ij}\colon A_{i}\rightarrow A_{j}}$ ${\displaystyle i\leq j}$

1. ${\displaystyle f_{ii}\,}$es la identidad en , y ${\displaystyle A_{i}\,}$
2. ${\displaystyle f_{ik}=f_{jk}\circ f_{ij}}$Para todos . ${\displaystyle i\leq j\leq k}$

Entonces el par se llama sistema directo sobre . ${\displaystyle \langle A_{i},f_{ij}\rangle }$ ${\displaystyle I}$

El límite directo del sistema directo se denota por y se define de la siguiente manera. Su conjunto subyacente es la unión disjunta de los módulo una cierta relación de equivalencia : ${\displaystyle \langle A_{i},f_{ij}\rangle }$ ${\displaystyle \varinjlim A_{i}}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle \sim \,}$

${\displaystyle \varinjlim A_{i}=\bigsqcup _{i}A_{i}{\bigg /}\sim .}$

Aquí, si y , entonces si y solo si hay algún con y tal que . Intuitivamente, dos elementos en la unión disjunta son equivalentes si y solo si "eventualmente se vuelven iguales" en el sistema directo. Una formulación equivalente que resalta la dualidad hasta el límite inverso es que un elemento es equivalente a todas sus imágenes bajo las funciones del sistema directo, es decir, siempre que . ${\displaystyle x_{i}\in A_{i}}$ ${\displaystyle x_{j}\in A_{j}}$ ${\displaystyle x_{i}\sim \,x_{j}}$ ${\displaystyle k\in I}$ ${\displaystyle i\leq k}$ ${\displaystyle j\leq k}$ ${\displaystyle f_{ik}(x_{i})=f_{jk}(x_{j})\,}$ ${\displaystyle x_{i}\sim \,f_{ij}(x_{i})}$ ${\displaystyle i\leq j}$

De esta definición se obtienen funciones canónicas que envían cada elemento a su clase de equivalencia. Las operaciones algebraicas sobre se definen de modo que estas aplicaciones se conviertan en homomorfismos. Formalmente, el límite directo del sistema directo consiste en el objeto junto con los homomorfismos canónicos . ${\displaystyle \phi _{j}\colon A_{j}\rightarrow \varinjlim A_{i}}$ ${\displaystyle \varinjlim A_{i}\,}$ ${\displaystyle \langle A_{i},f_{ij}\rangle }$ ${\displaystyle \varinjlim A_{i}}$ ${\displaystyle \phi _{j}\colon A_{j}\rightarrow \varinjlim A_{i}}$

Límites directos en una categoría arbitraria

El límite directo se puede definir en una categoría arbitraria por medio de una propiedad universal . Sea un sistema directo de objetos y morfismos en (como se definió anteriormente). Un objetivo es un par donde es un objeto en y son morfismos para cada uno tales que siempre que . Un límite directo del sistema directo es un objetivo universalmente repelente en el sentido de que es un objetivo y para cada objetivo , hay un morfismo único tal que para cada i . El siguiente diagrama ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \langle X_{i},f_{ij}\rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \langle X,\phi _{i}\rangle }$ ${\displaystyle X\,}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \phi _{i}\colon X_{i}\rightarrow X}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle \phi _{i}=\phi _{j}\circ f_{ij}}$ ${\displaystyle i\leq j}$ ${\displaystyle \langle X_{i},f_{ij}\rangle }$ ${\displaystyle \langle X,\phi _{i}\rangle }$ ${\displaystyle \langle X,\phi _{i}\rangle }$ ${\displaystyle \langle Y,\psi _{i}\rangle }$ ${\displaystyle u\colon X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle u\circ \phi _{i}=\psi _{i}}$

luego conmutará para todos los i , j .

El límite directo se denota a menudo

${\displaystyle X=\varinjlim X_{i}}$

con el sistema directo y los morfismos canónicos comprendidos. ${\displaystyle \langle X_{i},f_{ij}\rangle }$ ${\displaystyle \phi _{i}}$

A diferencia de lo que ocurre con los objetos algebraicos, no todo sistema directo de una categoría arbitraria tiene un límite directo. Sin embargo, si lo tiene, el límite directo es único en un sentido fuerte: dado otro límite directo X ′ existe un único isomorfismo X ′ → X que conmuta con los morfismos canónicos.

Ejemplos

• Una colección de subconjuntos de un conjunto puede ordenarse parcialmente por inclusión. Si la colección está dirigida, su límite directo es la unión . Lo mismo es válido para una colección dirigida de subgrupos de un grupo dado, o una colección dirigida de subanillos de un anillo dado, etc. ${\displaystyle M_{i}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \bigcup M_{i}}$
• La topología débil de un complejo CW se define como un límite directo.
• Sea cualquier conjunto dirigido con un elemento mayor . El límite directo de cualquier sistema directo correspondiente es isomorfo a y el morfismo canónico es un isomorfismo. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle X_{m}}$ ${\displaystyle \phi _{m}:X_{m}\rightarrow X}$
• Sea K un cuerpo. Para un entero positivo n , considérese el grupo lineal general GL( n;K ) que consiste en matrices n x n invertibles con entradas de K . Tenemos un homomorfismo de grupo GL( n;K ) → GL( n +1; K ) que agranda las matrices colocando un 1 en la esquina inferior derecha y ceros en el resto de la última fila y columna. El límite directo de este sistema es el grupo lineal general de K , escrito como GL( K ). Un elemento de GL( K ) puede considerarse como una matriz invertible infinita que difiere de la matriz identidad infinita solo en un número finito de entradas. El grupo GL( K ) es de vital importancia en la teoría K algebraica .
• Sea p un número primo . Considérese el sistema directo compuesto por los grupos factoriales y los homomorfismos inducidos por la multiplicación por . El límite directo de este sistema consiste en todas las raíces de la unidad de orden alguna potencia de , y se denomina grupo de Prüfer . ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /p^{n+1}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$
• Existe un homomorfismo de anillo inyectivo (no obvio) desde el anillo de polinomios simétricos en variables hasta el anillo de polinomios simétricos en variables. Al formar el límite directo de este sistema directo se obtiene el anillo de funciones simétricas . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n+1}$
• Sea F un haz de valores C en un espacio topológico X . Fijemos un punto x en X . Los entornos abiertos de x forman un conjunto dirigido ordenado por inclusión ( U ≤ V si y solo si U contiene a V ). El sistema directo correspondiente es ( F ( U ), r _{U , V} ) donde r es la función de restricción. El límite directo de este sistema se denomina tallo de F en x , denotado F _x . Para cada entorno U de x , el morfismo canónico F ( U ) → F _x asocia a una sección s de F sobre U un elemento s _x del tallo F _x llamado germen de s en x .
• Los límites directos en la categoría de espacios topológicos se dan colocando la topología final en el límite directo de la teoría de conjuntos subyacente.
• Un esquema ind es un límite inductivo de esquemas.

Propiedades

Los límites directos están vinculados a los límites inversos a través de

${\displaystyle \mathrm {Hom} (\varinjlim X_{i},Y)=\varprojlim \mathrm {Hom} (X_{i},Y).}$

Una propiedad importante es que tomar límites directos en la categoría de módulos es un funtor exacto . Esto significa que si se parte de un sistema dirigido de sucesiones cortas exactas y se forman límites directos, se obtiene una sucesión corta exacta . ${\displaystyle 0\to A_{i}\to B_{i}\to C_{i}\to 0}$ ${\displaystyle 0\to \varinjlim A_{i}\to \varinjlim B_{i}\to \varinjlim C_{i}\to 0}$

Construcciones y generalizaciones relacionadas

Observamos que un sistema directo en una categoría admite una descripción alternativa en términos de funtores . Cualquier conjunto dirigido puede considerarse como una pequeña categoría cuyos objetos son los elementos y existe un morfismos si y sólo si . Un sistema directo sobre es entonces lo mismo que un funtor covariante . El colimite de este funtor es el mismo que el límite directo del sistema directo original. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \langle I,\leq \rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle i\rightarrow j}$ ${\displaystyle i\leq j}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$

Un concepto estrechamente relacionado con los límites directos son los colímites filtrados . Aquí comenzamos con un funtor covariante de una categoría filtrada a alguna categoría y formamos el colímite de este funtor. Se puede demostrar que una categoría tiene todos los límites dirigidos si y solo si tiene todos los colímites filtrados, y un funtor definido en dicha categoría conmuta con todos los límites directos si y solo si conmuta con todos los colímites filtrados. ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Dada una categoría arbitraria , puede haber sistemas directos en que no tienen un límite directo en (consideremos por ejemplo la categoría de conjuntos finitos, o la categoría de grupos abelianos finitamente generados ). En este caso, siempre podemos incrustar en una categoría en la que existen todos los límites directos; los objetos de se llaman ind-objetos de . ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\text{Ind}}({\mathcal {C}})}$ ${\displaystyle {\text{Ind}}({\mathcal {C}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

El dual categórico del límite directo se denomina límite inverso . Como se mencionó anteriormente, los límites inversos pueden considerarse como límites de ciertos funtores y están estrechamente relacionados con los límites sobre categorías cofiltradas.

Terminología

En la literatura se encuentran los términos “límite dirigido”, “límite inductivo directo”, “colímite dirigido”, “colímite directo” y “límite inductivo” para el concepto de límite directo definido anteriormente. Sin embargo, el término “límite inductivo” es ambiguo, ya que algunos autores lo utilizan para el concepto general de colímite.

Véase también

• Límites directos de los grupos

Notas

1. Adamek, J.; Rosicky, J. (1994). Categorías accesibles y presentables a nivel local. Cambridge University Press. pág. 15. ISBN 9780521422611.

Referencias

• Bourbaki, Nicolas (1968), Elementos de matemáticas. Teoría de conjuntos , Traducido del francés, París: Hermann, MR  0237342
• Mac Lane, Saunders (1998), Categorías para el matemático en activo , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 5 (2.ª ed.), Springer-Verlag