Ind-finalización

En matemáticas, proceso para ampliar una categoría.

En matemáticas , la ind-completación o ind-construcción es el proceso de agregar libremente colimites filtrados a una categoría dada C. Los objetos en esta categoría ind-completada, denotados Ind( C ), se conocen como sistemas directos , son funtores de una pequeña categoría filtrada I a C .

El concepto dual es la pro-completación, Pro( C ).

Definiciones

Categorías filtradas

Los sistemas directos dependen de la noción de categorías filtradas . Por ejemplo, la categoría N , cuyos objetos son números naturales y con exactamente un morfismo de n a m siempre que , es una categoría filtrada. ${\displaystyle n\leq m}$

Sistemas directos

Un sistema directo o un objeto ind en una categoría C se define como un funtor.

${\displaystyle F:I\to C}$

de una pequeña categoría filtrada I a C. Por ejemplo, si I es la categoría N mencionada anteriormente, este dato es equivalente a una secuencia

${\displaystyle X_{0}\to X_{1}\to \cdots }$

de objetos en C junto con morfismos tal como se muestran.

La finalización del ind

Los objetos Ind en C forman una categoría ind- C.

Dos objetos ind

${\displaystyle F:I\to C}$

y

${\textstyle G:J\to C}$determinar un funtor

Yo ^op x J Conjuntos , ${\displaystyle \to }$

Es decir, el funtor

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}(F(i),G(j)).}$

El conjunto de morfismos entre F y G en Ind( C ) se define como el colimite de este funtor en la segunda variable, seguido por el límite en la primera variable:

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\operatorname {Ind} {\text{-}}C}(F,G)=\lim _{i}\operatorname {colim} _{j}\operatorname {Hom} _{C}(F(i),G(j)).}$

De manera más coloquial, esto significa que un morfismo consiste en una colección de mapas para cada i , donde es (dependiendo de i ) suficientemente grande. ${\displaystyle F(i)\to G(j_{i})}$ ${\displaystyle j_{i}}$

Relación entredoy Ind(do)

La categoría final I = {*} que consta de un único objeto * y solo su morfismo identidad es un ejemplo de una categoría filtrada. En particular, cualquier objeto X en C da lugar a un funtor

${\displaystyle \{*\}\to C,*\mapsto X}$

y por lo tanto a un funtor

${\displaystyle C\to \operatorname {Ind} (C),X\mapsto (*\mapsto X).}$

Este funtor es, como consecuencia directa de las definiciones, completamente fiel. Por lo tanto, Ind( C ) puede considerarse como una categoría mayor que C .

Por el contrario, en general no es necesario que exista un funtor natural.

${\displaystyle \operatorname {Ind} (C)\to C.}$

Sin embargo, si C posee todos los colimites filtrados (también conocidos como límites directos), entonces enviar un objeto ind (para alguna categoría filtrada I ) a su colimite ${\displaystyle F:I\to C}$

${\displaystyle \operatorname {colim} _{I}F(i)}$

sí da un funtor de este tipo, que sin embargo no es en general una equivalencia. Por lo tanto, incluso si C ya tiene todos los colimites filtrados, Ind( C ) es una categoría estrictamente mayor que C .

Los objetos en Ind( C ) pueden considerarse como límites directos formales, de modo que algunos autores también denotan dichos objetos mediante

${\displaystyle {\text{“}}\varinjlim _{i\in I}{\text{'' }}F(i).}$

Esta notación se debe a Pierre Deligne . ^[1]

Propiedad universal de la ind-compleción

El paso de una categoría C a Ind( C ) equivale a añadir libremente colimites filtrados a la categoría. Por eso, la construcción también se conoce como ind-completación de C . Esto se precisa con la siguiente afirmación: cualquier funtor que tome valores en una categoría D que tenga todos los colimites filtrados se extiende a un funtor que esté determinado de forma única por los requisitos de que su valor en C sea el funtor original F y que conserve todos los colimites filtrados. ${\displaystyle F:C\to D}$ ${\displaystyle Ind(C)\to D}$

Propiedades básicas de las categorías ind

Objetos compactos

Esencialmente por diseño de los morfismos en Ind( C ), cualquier objeto X de C es compacto cuando se lo considera un objeto de Ind( C ), es decir, el funtor correpresentable

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\operatorname {Ind} (C)}(X,-)}$

conserva los colimites filtrados. Esto es cierto sin importar qué sea C o el objeto X , en contraste con el hecho de que X no necesita ser compacto en C . Por el contrario, cualquier objeto compacto en Ind( C ) surge como la imagen de un objeto en X .

Una categoría C se denomina generada de forma compacta si es equivalente a para alguna categoría pequeña . La ind-compleción de la categoría FinSet de conjuntos finitos es la categoría de todos los conjuntos . De forma similar, si C es la categoría de grupos generados de forma finita, ind-C es equivalente a la categoría de todos los grupos. ${\displaystyle \operatorname {Ind} (C_{0})}$ ${\displaystyle C_{0}}$

Reconociendo las finalizaciones de ind

Estas identificaciones se basan en los siguientes hechos: como se mencionó anteriormente, cualquier funtor que tome valores en una categoría D que tenga todos los colimites filtrados, tiene una extensión ${\displaystyle F:C\to D}$

${\displaystyle {\tilde {F}}:\operatorname {Ind} (C)\to D,}$

que conserva los colímites filtrados. Esta extensión es única hasta la equivalencia. En primer lugar, este funtor es esencialmente sobreyectivo si cualquier objeto en D puede expresarse como un colímite filtrado de objetos de la forma para objetos apropiados c en C . En segundo lugar, es completamente fiel si y solo si el funtor original F es completamente fiel y si F envía objetos arbitrarios en C a objetos compactos en D . ${\displaystyle {\tilde {F}}}$ ${\displaystyle F(c)}$ ${\displaystyle {\tilde {F}}}$

Aplicando estos hechos, por ejemplo, al functor de inclusión

${\displaystyle F:\operatorname {FinSet} \subset \operatorname {Set} ,}$

La equivalencia

${\displaystyle \operatorname {Ind} (\operatorname {FinSet} )\cong \operatorname {Set} }$

expresa el hecho de que cualquier conjunto es el colimite filtrado de conjuntos finitos (por ejemplo, cualquier conjunto es la unión de sus subconjuntos finitos, lo cual es un sistema filtrado) y además, que cualquier conjunto finito es compacto cuando se lo considera un objeto del Conjunto .

La pro-finalización

Al igual que otras nociones y construcciones categóricas, la ind-compleción admite un dual conocido como pro-compleción: la categoría Pro( C ) se define en términos del ind-objeto como

${\displaystyle \operatorname {Pro} (C):=\operatorname {Ind} (C^{op})^{op}.}$

(La definición de pro- C se debe a Grothendieck (1960). ^[2] )

Por lo tanto, los objetos de Pro( C ) son sistemas inversoso pro-objetos en C. Por definición, estos son sistemas directos en la categoría opuesta o, equivalentemente, funtores. ${\displaystyle C^{op}}$

${\displaystyle F:I\to C}$

de una pequeña categoría I cofiltrada .

Ejemplos de procategorías

Si bien Pro( C ) existe para cualquier categoría C , varios casos especiales son dignos de mención debido a sus conexiones con otras nociones matemáticas.

• Si C es la categoría de los grupos finitos , entonces pro-C es equivalente a la categoría de los grupos profinitos y a los homomorfismos continuos entre ellos.
• El proceso de dotar a un conjunto preordenado de su topología de Alexandrov produce una equivalencia de la procategoría de la categoría de conjuntos preordenados finitos, , con la categoría de espacios topológicos espectrales y morfismos cuasi-compactos. ${\displaystyle \operatorname {Pro} (\operatorname {PoSet} ^{\text{fin}})}$
• La dualidad de Stone afirma que la procategoría de la categoría de conjuntos finitos es equivalente a la categoría de espacios de Stone . ^[3] ${\displaystyle \operatorname {Pro} (\operatorname {FinSet} )}$

La aparición de nociones topológicas en estas procategorías se puede rastrear hasta la equivalencia, que es en sí misma un caso especial de la dualidad de Stone.

${\displaystyle \operatorname {FinSet} ^{op}=\operatorname {FinBool} }$

que envía un conjunto finito al conjunto potencia (considerado como un álgebra booleana finita). La dualidad entre objetos pro e ind y la descripción conocida de las compleciones ind también dan lugar a descripciones de ciertas categorías opuestas. Por ejemplo, tales consideraciones se pueden utilizar para mostrar que la categoría opuesta de la categoría de espacios vectoriales (sobre un cuerpo fijo) es equivalente a la categoría de espacios vectoriales linealmente compactos y aplicaciones lineales continuas entre ellos. ^[4]

Aplicaciones

Las pro-completitud son menos prominentes que las ind-completitud, pero sus aplicaciones incluyen la teoría de la forma . Los pro-objetos también surgen a través de su conexión con funtores pro-representables, por ejemplo en la teoría de Galois de Grothendieck y también en el criterio de Schlessinger en la teoría de la deformación .

Nociones relacionadas

Los objetos Tate son una mezcla de ind- y pro-objetos.

Variantes categóricas de infinito

Lurie (2009) ha extendido la ind-completación (y, dualmente, la pro-completación) a las ∞-categorías .

Véase también

• Límite directo  : caso especial de colimite en la teoría de categorías
• Límite inverso  – Construcción en teoría de categorías
• terminaciones en la teoría de categorías

Notas

1. Illusie, Luc, Desde el jardín secreto de Pierre Deligne: una mirada retrospectiva a algunas de sus cartas , Revista japonesa de matemáticas, vol. 10, págs. 237-248 (2015)
2. CE Aull; R. Lowen (31 de diciembre de 2001). Manual de historia de la topología general. Springer Science & Business Media. pág. 1147. ISBN 978-0-7923-6970-7.
3. Johnstone (1982, §VI.2)
4. Bergman y Hausknecht (1996, Proposición 24.8)

Referencias

• Bergman; Hausknecht (1996), Cogrupos y co-anillos en categorías de anillos asociativos , Encuestas y monografías matemáticas, vol. 45, doi :10.1090/surv/045, ISBN 9780821804957
• Bourbaki, Nicolas (1968), Elementos de matemáticas. Teoría de conjuntos , Traducido del francés, París: Hermann, MR  0237342.
• Blom, Thomas; Moerdijk, Ieke (2023), "Estructuras de modelos simpliciales en procategorías", Topología algebraica y geométrica , 23 (8): 3849–3908, arXiv : 2009.07539 , doi :10.2140/agt.2023.23.3849
• Grothendieck, Alexander (1960), "Technique de descente et théoèmes d'existence en géométrie algébriques. II. Le théorème d'existence en théorie formelle des module", Séminaire Bourbaki: años 1958/59 - 1959/60, exposiciones 169-204 (en francés), Sociétée mathématique de France, págs. 369–390, MR  1603480, Zbl  0234.14007
• "Sistema (en una categoría)", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Johnstone, Peter T. (1982), Espacios de piedra , ISBN 0521337798
• Lurie, Jacob (2009), Teoría de topos superiores , Annals of Mathematics Studies, vol. 170, Princeton University Press , arXiv : math.CT/0608040 , ISBN 978-0-691-14049-0, Sr.  2522659
• Segal, Jack; Mardešić, Sibe (1982), Teoría de la forma , Biblioteca matemática de Holanda Septentrional, vol. 26, Ámsterdam: Holanda Septentrional, ISBN 978-0-444-86286-0