Límite inverso

Construcción en teoría de categorías.

En matemáticas , el límite inverso (también llamado límite proyectivo ) es una construcción que permite "pegar" varios objetos relacionados , estando especificado el proceso de pegado preciso mediante morfismos entre los objetos. Así, los límites inversos se pueden definir en cualquier categoría aunque su existencia depende de la categoría que se considere. Son un caso especial del concepto de límite en la teoría de categorías.

Trabajando en la categoría dual , es decir invirtiendo las flechas, un límite inverso se convierte en límite directo o límite inductivo , y un límite se convierte en colimit .

Definicion formal

Objetos algebraicos

Comenzamos con la definición de un sistema inverso (o sistema proyectivo) de grupos y homomorfismos . Sea un poset dirigido (no todos los autores requieren que I sea dirigido). Sea ( A _i ) _{i ∈ I} una familia de grupos y supongamos que tenemos una familia de homomorfismos para todos (tenga en cuenta el orden) con las siguientes propiedades: ${\displaystyle (I,\leq )}$ ${\displaystyle f_{ij}:A_{j}\to A_{i}}$ ${\displaystyle i\leq j}$

1. ${\displaystyle f_{ii}}$está la identidad encendida , ${\displaystyle A_{i}}$
2. ${\displaystyle f_{ik}=f_{ij}\circ f_{jk}\quad {\text{for all }}i\leq j\leq k.}$

Entonces el par se llama sistema inverso de grupos y morfismos sobre , y los morfismos se llaman morfismos de transición del sistema. ${\displaystyle ((A_{i})_{i\in I},(f_{ij})_{i\leq j\in I})}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f_{ij}}$

Definimos el límite inverso del sistema inverso como un subgrupo particular del producto directo de 's: ${\displaystyle ((A_{i})_{i\in I},(f_{ij})_{i\leq j\in I})}$ ${\displaystyle A_{i}}$

${\displaystyle A=\varprojlim _{i\in I}{A_{i}}=\left\{\left.{\vec {a}}\in \prod _{i\in I}A_{i}\;\right|\;a_{i}=f_{ij}(a_{j}){\text{ for all }}i\leq j{\text{ in }}I\right\}.}$

El límite inverso viene equipado con proyecciones naturales π _i : A → A _i que seleccionan la i ésima componente del producto directo para cada in . El límite inverso y las proyecciones naturales satisfacen una propiedad universal que se describe en la siguiente sección. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I}$

Esta misma construcción se puede realizar si los son conjuntos , ^[1] semigrupos , ^[1] espacios topológicos , ^[1] anillos , módulos (sobre un anillo fijo), álgebras (sobre un anillo fijo), etc., y los homomorfismos son morfismos en la categoría correspondiente . El límite inverso también pertenecerá a esa categoría. ${\displaystyle A_{i}}$

Definición general

El límite inverso se puede definir de forma abstracta en una categoría arbitraria mediante una propiedad universal . Sea un sistema inverso de objetos y morfismos en una categoría C (misma definición que arriba). El límite inverso de este sistema es un objeto X en C junto con morfismos π _i : X → X _i (llamados proyecciones ) que satisfacen π _i = ∘ π _j para todo i ≤ j . El par ( X , π _i ) debe ser universal en el sentido de que para cualquier otro par ( Y , ψ _i ) existe un morfismo único u : Y → X tal que el diagrama ${\textstyle (X_{i},f_{ij})}$ ${\displaystyle f_{ij}}$

conmuta para todo i ≤ j . El límite inverso a menudo se denota

${\displaystyle X=\varprojlim X_{i}}$

entendiéndose el sistema inverso . ${\textstyle (X_{i},f_{ij})}$

En algunas categorías, el límite inverso de ciertos sistemas inversos no existe. Sin embargo, si es así, es único en un sentido fuerte: dados dos límites inversos cualesquiera X y X' de un sistema inverso, existe un isomorfismo único X ′ → X que conmuta con los mapas de proyección.

Los sistemas inversos y límites inversos en una categoría C admiten una descripción alternativa en términos de functores . Cualquier conjunto I parcialmente ordenado puede considerarse como una categoría pequeña donde los morfismos consisten en flechas i → j si y solo si i ≤ j . Un sistema inverso es entonces simplemente un functor contravariante I → C . Sea la categoría de estos functores (con transformaciones naturales como morfismos). Un objeto X de C puede considerarse un sistema inverso trivial, donde todos los objetos son iguales a X y todas las flechas son identidad de X. Esto define un "funtor trivial" de C a El límite inverso, si existe, se define como un adjunto derecho de este funtor trivial. ${\displaystyle C^{I^{\mathrm {op} }}}$ ${\displaystyle C^{I^{\mathrm {op} }}.}$

Ejemplos

• El anillo de enteros p -ádicos es el límite inverso de los anillos (ver aritmética modular ), siendo el conjunto de índices los números naturales con el orden habitual y los morfismos "tomar resto". Es decir, se consideran secuencias de números enteros tales que cada elemento de la secuencia se "proyecta" hacia los anteriores, es decir, que siempre que la topología natural de los enteros p -ádicos sea la que se implica aquí, es decir, la topología del producto con conjuntos de cilindros como los conjuntos abiertos. ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (n_{1},n_{2},\dots )}$ ${\displaystyle n_{i}\equiv n_{j}{\mbox{ mod }}p^{i}}$ ${\displaystyle i<j.}$
• El p -solenoide ádico es el límite inverso de los grupos topológicos siendo el conjunto de índices los números naturales con el orden habitual y los morfismos "tomar resto". Es decir, se consideran secuencias de números reales tales que cada elemento de la secuencia se "proyecta" hacia los anteriores, es decir, que siempre que sus elementos sean exactamente de la forma , donde es un entero p-ádico y es el "resto" . ${\displaystyle \mathbb {R} /p^{n}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots )}$ ${\displaystyle x_{i}\equiv x_{j}{\mbox{ mod }}p^{i}}$ ${\displaystyle i<j.}$ ${\displaystyle n+r}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle r\in [0,1)}$
• El anillo de una serie de potencias formal sobre un anillo conmutativo R puede considerarse como el límite inverso de los anillos , indexados por los números naturales como suelen ordenarse, con los morfismos de a dados por la proyección natural. ${\displaystyle \textstyle R[[t]]}$ ${\displaystyle \textstyle R[t]/t^{n}R[t]}$ ${\displaystyle \textstyle R[t]/t^{n+j}R[t]}$ ${\displaystyle \textstyle R[t]/t^{n}R[t]}$
• Los grupos profinitos se definen como límites inversos de grupos finitos (discretos).
• Sea el conjunto de índices I de un sistema inverso ( Xi _, ) que tenga un elemento mayor m . Entonces la proyección natural π _m : X → X _m es un isomorfismo. ${\displaystyle f_{ij}}$
• En la categoría de conjuntos , todo sistema inverso tiene un límite inverso, que puede construirse de manera elemental como un subconjunto del producto de los conjuntos que forman el sistema inverso. El límite inverso de cualquier sistema inverso de conjuntos finitos no vacíos no está vacío. Esta es una generalización del lema de Kőnig en teoría de grafos y puede demostrarse con el teorema de Tychonoff , considerando los conjuntos finitos como espacios compactos discretos y luego aplicando la caracterización de la compacidad de la propiedad de intersección finita .
• En la categoría de espacios topológicos , todo sistema inverso tiene un límite inverso. Se construye colocando la topología inicial en el límite inverso de la teoría de conjuntos subyacente. Esto se conoce como topología límite .
  • El conjunto de cadenas infinitas es el límite inverso del conjunto de cadenas finitas y, por tanto, está dotado de la topología límite. Como los espacios originales son discretos , el espacio límite está totalmente desconectado . Esta es una forma de realizar los p -números ádicos y el conjunto de Cantor (como cadenas infinitas).

Functores derivados del límite inverso

Para una categoría abeliana C , el funtor de límite inverso

${\displaystyle \varprojlim :C^{I}\rightarrow C}$

queda exacto . Si I está ordenado (no simplemente parcialmente ordenado) y es contable , y C es la categoría Ab de grupos abelianos, la condición de Mittag-Leffler es una condición de los morfismos de transición _fij que asegura la exactitud de . Específicamente, Eilenberg construyó un functor ${\displaystyle \varprojlim }$

${\displaystyle \varprojlim {}^{1}:\operatorname {Ab} ^{I}\rightarrow \operatorname {Ab} }$

(pronunciado "lim one") tal que si ( A _i , fij ), ( B _i , g _ij ) y ( C _i , hij _{) son tres sistemas inversos de} grupos abelianos, y

${\displaystyle 0\rightarrow A_{i}\rightarrow B_{i}\rightarrow C_{i}\rightarrow 0}$

es una secuencia corta y exacta de sistemas inversos, entonces

${\displaystyle 0\rightarrow \varprojlim A_{i}\rightarrow \varprojlim B_{i}\rightarrow \varprojlim C_{i}\rightarrow \varprojlim {}^{1}A_{i}}$

es una secuencia exacta en Ab .

Condición de Mittag-Leffler

Si los rangos de los morfismos de un sistema inverso de grupos abelianos ( _A i _, fij ) son estacionarios , es decir, para cada k existe j ≥ k tal que para todo i ≥ j  : se dice que el sistema satisface el Mittag -Condición de Leffler . ${\displaystyle f_{kj}(A_{j})=f_{ki}(A_{i})}$

El nombre "Mittag-Leffler" para esta condición lo dio Bourbaki en su capítulo sobre estructuras uniformes por un resultado similar sobre los límites inversos de espacios uniformes completos de Hausdorff. Mittag-Leffler utilizó un argumento similar en la demostración del teorema de Mittag-Leffler .

Las siguientes situaciones son ejemplos en los que se cumple la condición de Mittag-Leffler:

• un sistema en el que los morfismos f _ij son sobreyectivos
• un sistema de espacios vectoriales de dimensión finita o grupos abelianos finitos o módulos de longitud finita o módulos artinianos.

Un ejemplo en el que es distinto de cero se obtiene tomando I como números enteros no negativos , dejando A _i = p ⁱ Z , B _i = Z y C _i = B _i / A _i = Z / p ⁱ Z. Entonces ${\displaystyle \varprojlim {}^{1}}$

${\displaystyle \varprojlim {}^{1}A_{i}=\mathbf {Z} _{p}/\mathbf {Z} }$

donde Z _p denota los enteros p-ádicos .

Otros resultados

De manera más general, si C es una categoría abeliana arbitraria que tiene suficientes inyectivos , entonces también los tiene C ^I , y así se pueden definir los funtores derivados derechos del functor límite inverso. El n- ésimo functor derivado por la derecha se denota

${\displaystyle R^{n}\varprojlim :C^{I}\rightarrow C.}$

En el caso en que C satisface el axioma de Grothendieck (AB4*) , Jan-Erik Roos generalizó el funtor lim ¹ en Ab ^I a una serie de funtores lim ⁿ tales que

${\displaystyle \varprojlim {}^{n}\cong R^{n}\varprojlim .}$

Durante casi 40 años se pensó que Roos había demostrado (en Sur les _foncteurs dérivés de lim. Applications. ) que lim ¹ A _i = 0 para ( A _i , fij ) un sistema inverso con morfismos de transición sobreyectivos y I el conjunto de enteros no negativos (estos sistemas inversos a menudo se denominan " secuencias de Mittag-Leffler "). Sin embargo, en 2002, Amnon Neeman y Pierre Deligne construyeron un ejemplo de tal sistema en una categoría que satisface (AB4) (además de (AB4*)) con lim ¹ A _i ≠ 0. Desde entonces, Roos ha demostrado (en "Functores derivados de límites inversos revisados") que su resultado es correcto si C tiene un conjunto de generadores (además de satisfacer (AB3) y (AB4*)).

Barry Mitchell ha demostrado (en "La dimensión cohomológica de un conjunto dirigido") que si I tiene cardinalidad (el d -ésimo cardinal infinito ), entonces R ⁿ lim es cero para todo n ≥ d + 2. Esto se aplica a los I -indexados diagramas en la categoría de R -módulos, siendo R un anillo conmutativo; no es necesariamente cierto en una categoría abeliana arbitraria (ver "Functores derivados de límites inversos revisados" de Roos para ejemplos de categorías abelianas en las que lim ⁿ , en diagramas indexados por un conjunto contable, es distinto de cero para  n  > 1). ${\displaystyle \aleph _{d}}$

Conceptos relacionados y generalizaciones.

El dual categórico de un límite inverso es un límite directo (o límite inductivo). Conceptos más generales son los límites y colimites de la teoría de categorías. La terminología es algo confusa: los límites inversos son una clase de límites, mientras que los límites directos son una clase de colimites.

Notas

1. John Rhodes y Benjamin Steinberg. La teoría q de semigrupos finitos. pag. 133. ISBN  978-0-387-09780-0 .

Referencias

• Bourbaki, Nicolas (1989), Álgebra I , Springer, ISBN 978-3-540-64243-5, OCLC  40551484
• Bourbaki, Nicolas (1989), Topología general: capítulos 1 a 4 , Springer, ISBN 978-3-540-64241-1, OCLC  40551485
• Mac Lane, Saunders (septiembre de 1998), Categorías para el matemático que trabaja (2ª ed.), Springer, ISBN 0-387-98403-8
• Mitchell, Barry (1972), "Anillos con varios objetos", Avances en Matemáticas , 8 : 1–161, doi : 10.1016/0001-8708(72)90002-3 , SEÑOR  0294454
• Neeman, Amnon (2002), "Un contraejemplo de un" teorema "de 1961 en álgebra homológica (con apéndice de Pierre Deligne)", Inventiones Mathematicae , 148 (2): 397–420, doi :10.1007/s002220100197, MR  1906154
• Roos, Jan-Erik (1961), "Sur les foncteurs dérivés de lim. Applications", CR Acad. Ciencia. París , 252 : 3702–3704, SEÑOR  0132091
• Roos, Jan-Erik (2006), "Revisión de los functores derivados de límites inversos", J. London Math. Soc. , Serie 2, 73 (1): 65–83, doi :10.1112/S0024610705022416, SEÑOR  2197371
• Sección 3.5 de Weibel, Charles A. (1994). Una introducción al álgebra homológica . Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. vol. 38. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-55987-4. SEÑOR  1269324. OCLC  36131259.