Alexander Grothendieck , más tarde Alexandre Grothendieck en francés ( / ˈ ɡ r oʊ t ən d iː k / ; alemán: [ˌalɛˈksandɐ ˈɡʁoːtn̩ˌdiːk] ;Francés:[ɡʁɔtɛndik]matemáticofrancés nacido en Alemania que se convirtió en la figura principal en la creación de lageometría algebraica.[7][8]Su investigación amplió el alcance del campo y agregó elementos deálgebra conmutativa,álgebra homológica,teoría de hacesyteoría de categoríasa sus fundamentos, mientras que su llamadaperspectiva "relativa"condujo a avances revolucionarios en muchas áreas dematemáticas puras.[7][9]Muchos lo consideran el matemático más grande del siglo XX.[10][11]
Grothendieck comenzó su productiva y pública carrera como matemático en 1949. En 1958, fue nombrado profesor de investigación en el Institut des hautes études scientifiques (IHÉS) y permaneció allí hasta 1970, cuando, impulsado por convicciones personales y políticas, abandonó el puesto tras una disputa sobre la financiación militar. Recibió la Medalla Fields en 1966 por sus avances en geometría algebraica , álgebra homológica y teoría K. [12] Más tarde se convirtió en profesor de la Universidad de Montpellier [1] y, aunque siguió produciendo trabajos matemáticos relevantes, se retiró de la comunidad matemática y se dedicó a actividades políticas y religiosas (primero al budismo y, más tarde, a una visión cristiana más católica). [13] En 1991, se trasladó al pueblo francés de Lasserre , en los Pirineos , donde vivió recluido, trabajando todavía en matemáticas y en sus pensamientos filosóficos y religiosos hasta su muerte en 2014. [14]
Grothendieck nació en Berlín de padres anarquistas . Su padre, Alexander "Sascha" Schapiro (también conocido como Alexander Tanaroff), tenía raíces judías jasídicas y había sido encarcelado en Rusia antes de mudarse a Alemania en 1922, mientras que su madre, Johanna "Hanka" Grothendieck , provenía de una familia alemana protestante en Hamburgo y trabajaba como periodista. [a] Cuando eran adolescentes, sus padres se habían distanciado de sus orígenes tempranos. [16] En el momento de su nacimiento, la madre de Grothendieck estaba casada con el periodista Johannes Raddatz e inicialmente, su nombre de nacimiento fue registrado como "Alexander Raddatz". Ese matrimonio se disolvió en 1929 y Schapiro reconoció su paternidad, pero nunca se casó con Hanka Grothendieck. [16] Grothendieck tenía un hermano materno, su media hermana Maidi.
Grothendieck vivió con sus padres en Berlín hasta finales de 1933, cuando su padre se trasladó a París para evadir el nazismo . Su madre le siguió poco después. Grothendieck quedó al cuidado de Wilhelm Heydorn, un pastor y profesor luterano en Hamburgo . [17] [18] Según Winfried Scharlau , durante este tiempo, sus padres participaron en la Guerra Civil Española como auxiliares no combatientes. [19] [20] Sin embargo, otros afirman que Schapiro luchó en la milicia anarquista. [21]
En mayo de 1939, Grothendieck fue puesto en un tren en Hamburgo con destino a Francia. Poco después, su padre fue internado en Le Vernet . [22] Él y su madre fueron internados en varios campos desde 1940 hasta 1942 como "extranjeros peligrosos e indeseables". [23] El primer campo fue el de Rieucros , donde su madre contrajo la tuberculosis que finalmente causaría su muerte en 1957. Mientras estuvo allí, Grothendieck logró asistir a la escuela local, en Mendel. Una vez, logró escapar del campo, con la intención de asesinar a Hitler . [22] Más tarde, su madre Hanka fue transferida al campo de internamiento de Gurs durante el resto de la Segunda Guerra Mundial . [22] A Grothendieck se le permitió vivir separado de su madre. [24]
En el pueblo de Le Chambon-sur-Lignon , fue protegido y escondido en pensiones o pensiones locales , aunque ocasionalmente tuvo que buscar refugio en los bosques durante las incursiones nazis, sobreviviendo a veces sin comida ni agua durante varios días. [22] [24]
Su padre fue arrestado bajo la legislación antijudía de Vichy , y enviado al campo de internamiento de Drancy , y luego entregado por el gobierno francés de Vichy a los alemanes para ser enviado a ser asesinado en el campo de concentración de Auschwitz en 1942. [8] [25]
En Le Chambon, Grothendieck asistió al Collège Cévenol (hoy conocido como Le Collège-Lycée Cévenol International ), una escuela secundaria única fundada en 1938 por pacifistas protestantes locales y activistas contra la guerra. Muchos de los niños refugiados escondidos en Le Chambon asistieron al Collège Cévenol, y fue en esta escuela donde Grothendieck aparentemente se fascinó por primera vez con las matemáticas. [26]
En 1990, por arriesgar sus vidas para rescatar a los judíos, todo el pueblo fue reconocido como " Justos entre las Naciones ".
Después de la guerra, el joven Grothendieck estudió matemáticas en Francia, inicialmente en la Universidad de Montpellier, donde al principio no obtuvo buenos resultados y reprobó asignaturas como astronomía. [27] Trabajando por su cuenta, redescubrió la medida de Lebesgue . Después de tres años de estudios cada vez más independientes allí, fue a continuar sus estudios en París en 1948. [17]
Inicialmente, Grothendieck asistió al Seminario de Henri Cartan en la École Normale Supérieure , pero carecía de la formación necesaria para seguir el seminario de alto nivel. Por consejo de Cartan y André Weil , se trasladó a la Universidad de Nancy , donde dos expertos destacados estaban trabajando en el área de interés de Grothendieck, los espacios vectoriales topológicos : Jean Dieudonné y Laurent Schwartz . Este último había ganado recientemente una medalla Fields. Le mostró a su nuevo estudiante su último artículo; terminaba con una lista de 14 preguntas abiertas, relevantes para espacios localmente convexos . Grothendieck introdujo nuevos métodos matemáticos que le permitieron resolver todos estos problemas en unos pocos meses. [28]
En Nancy, escribió su tesis bajo la tutela de esos dos profesores sobre análisis funcional , de 1950 a 1953. [29] En ese momento era un experto líder en la teoría de espacios vectoriales topológicos. [30] En 1953 se trasladó a la Universidad de São Paulo en Brasil, donde emigró mediante un pasaporte Nansen , dado que se había negado a tomar la nacionalidad francesa (ya que eso habría implicado el servicio militar en contra de sus convicciones). Permaneció en São Paulo (aparte de una larga visita a Francia desde octubre de 1953 hasta marzo de 1954) hasta finales de 1954. Su trabajo publicado del tiempo que pasó en Brasil todavía se encuentra en la teoría de espacios vectoriales topológicos; es allí donde completó su último trabajo importante sobre ese tema (sobre la teoría "métrica" de los espacios de Banach ).
Grothendieck se mudó a Lawrence, Kansas a principios de 1955, y allí dejó de lado su antiguo tema para trabajar en topología algebraica y álgebra homológica , y cada vez más en geometría algebraica. [31] [32] Fue en Lawrence donde Grothendieck desarrolló su teoría de categorías abelianas y la reformulación de la cohomología de haces basada en ellas, lo que condujo al muy influyente " artículo de Tôhoku ". [33]
En 1957, Oscar Zariski lo invitó a visitar la Universidad de Harvard , pero la oferta fracasó cuando se negó a firmar un compromiso en el que prometía no trabajar para derrocar al gobierno de los Estados Unidos, una negativa que, según le advirtieron, amenazaba con llevarlo a prisión. La perspectiva de la prisión no lo preocupaba, siempre y cuando pudiera tener acceso a los libros. [34]
Comparando a Grothendieck durante sus años en Nancy con los estudiantes formados en la École Normale Supérieure de esa época ( Pierre Samuel , Roger Godement , René Thom , Jacques Dixmier , Jean Cerf , Yvonne Bruhat , Jean-Pierre Serre y Bernard Malgrange ), Leila Schneps dijo:
Era tan completamente desconocido para este grupo y para sus profesores, provenía de un entorno tan desfavorecido y caótico y, comparado con ellos, era tan ignorante al comienzo de su carrera de investigación, que su fulgurante ascenso al estrellato repentino es aún más increíble; bastante único en la historia de las matemáticas. [35]
Sus primeros trabajos sobre espacios vectoriales topológicos en 1953 se han aplicado con éxito a la física y la informática, culminando en una relación entre la desigualdad de Grothendieck y la paradoja de Einstein-Podolsky-Rosen en la física cuántica . [36]
En 1958, Grothendieck fue instalado en el Institut des hautes études scientifiques (IHÉS), un nuevo instituto de investigación financiado con fondos privados que, en efecto, había sido creado para Jean Dieudonné y Grothendieck. [3] Grothendieck atrajo la atención por una intensa y altamente productiva actividad de seminarios allí ( grupos de trabajo de facto que reclutaban para el trabajo fundacional a algunos de los matemáticos franceses y otros más capaces de la generación más joven). [17] Grothendieck prácticamente dejó de publicar artículos a través de la vía convencional de las revistas científicas . Sin embargo, pudo desempeñar un papel dominante en las matemáticas durante aproximadamente una década, reuniendo una escuela fuerte. [37]
Oficialmente durante este tiempo, tuvo como estudiantes a Michel Demazure (quien trabajó en SGA3, en esquemas de grupo ), Luc Illusie (complejo cotangente), Michel Raynaud , Jean-Louis Verdier (cofundador de la teoría de categorías derivadas ) y Pierre Deligne . Los colaboradores en los proyectos SGA también incluyeron a Michael Artin ( cohomología étale ), Nick Katz ( teoría de la monodromía y lápices de Lefschetz ). Jean Giraud elaboró también extensiones de la teoría del torsor de la cohomología no abeliana . Muchos otros como David Mumford , Robin Hartshorne , Barry Mazur y CP Ramanujam también estuvieron involucrados.
El trabajo de Alexander Grothendieck durante lo que se describe como el período de la "Edad de Oro" en el IHÉS estableció varios temas unificadores en geometría algebraica , teoría de números , topología , teoría de categorías y análisis complejo . [29] Su primer descubrimiento (previo al IHÉS) en geometría algebraica fue el teorema de Grothendieck-Hirzebruch-Riemann-Roch , una generalización del teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch demostrado algebraicamente; en este contexto también introdujo la teoría K. Luego, siguiendo el programa que describió en su charla en el Congreso Internacional de Matemáticos de 1958 , introdujo la teoría de esquemas , desarrollándola en detalle en sus Elementos de geometría algebraica ( EGA ) y proporcionando los nuevos fundamentos más flexibles y generales para la geometría algebraica que se han adoptado en el campo desde entonces. [17] Luego introdujo la teoría de cohomología étale de esquemas, proporcionando las herramientas clave para probar las conjeturas de Weil , así como la cohomología cristalina y la cohomología algebraica de De Rham para complementarla. Estrechamente vinculado a estas teorías de cohomología, originó la teoría de topos como una generalización de la topología (relevante también en lógica categórica ). También proporcionó, por medio de una teoría categórica de Galois , una definición algebraica de grupos fundamentales de esquemas dando origen al ahora famoso grupo fundamental étale y luego conjeturó la existencia de una generalización adicional del mismo, que ahora se conoce como el esquema de grupo fundamental . Como marco para su teoría de dualidad coherente , también introdujo las categorías derivadas , que fueron desarrolladas posteriormente por Verdier. [38]
Los resultados de sus trabajos sobre estos y otros temas fueron publicados en la EGA y de forma menos pulida en las notas del Séminaire de géométrie algébrique ( SGA ) que dirigió en el IHÉS. [17]
Las opiniones políticas de Grothendieck eran radicales y pacifistas . Se opuso firmemente tanto a la intervención de los Estados Unidos en Vietnam como al expansionismo militar soviético . Para protestar contra la guerra de Vietnam , dio conferencias sobre teoría de categorías en los bosques que rodean Hanoi mientras la ciudad estaba siendo bombardeada. [39] En 1966, se negó a asistir al Congreso Internacional de Matemáticos (ICM) en Moscú, donde iba a recibir la Medalla Fields. [7] Se retiró de la vida científica alrededor de 1970 después de descubrir que el IHÉS estaba financiado en parte por los militares. [40] Regresó a la academia unos años más tarde como profesor en la Universidad de Montpellier .
Aunque la cuestión de la financiación militar fue quizás la explicación más obvia para la salida de Grothendieck del IHÉS, quienes lo conocieron dicen que las causas de la ruptura fueron más profundas. Pierre Cartier , un visiteur de longue durée ("invitado de larga duración") en el IHÉS, escribió un artículo sobre Grothendieck para un volumen especial publicado con motivo del cuadragésimo aniversario del IHÉS. [41] En esa publicación, Cartier señala que, como hijo de un anarquista antimilitarista y alguien que creció entre los marginados, Grothendieck siempre tuvo una profunda compasión por los pobres y los oprimidos. Como dice Cartier, Grothendieck llegó a encontrar Bures-sur-Yvette como " une cage dorée " ("una jaula dorada"). Mientras Grothendieck estaba en el IHÉS, la oposición a la guerra de Vietnam se estaba calentando, y Cartier sugiere que esto también reforzó el desagrado de Grothendieck por haberse convertido en un mandarín del mundo científico. [3] Además, después de varios años en el IHÉS, Grothendieck parecía buscar nuevos intereses intelectuales. A fines de la década de 1960, había comenzado a interesarse en áreas científicas fuera de las matemáticas. David Ruelle , un físico que se unió a la facultad del IHÉS en 1964, dijo que Grothendieck fue a hablar con él algunas veces sobre física . [b] La biología interesó a Grothendieck mucho más que la física, y organizó algunos seminarios sobre temas biológicos. [41]
En 1970, Grothendieck, junto con otros dos matemáticos, Claude Chevalley y Pierre Samuel , creó un grupo político llamado Survivre —el nombre más tarde cambió a Survivre et vivre— . El grupo publicaba un boletín y se dedicaba a cuestiones antimilitaristas y ecológicas. También desarrolló una fuerte crítica al uso indiscriminado de la ciencia y la tecnología. [42] Grothendieck dedicó los siguientes tres años a este grupo y se desempeñó como editor principal de su boletín. [1]
Aunque Grothendieck continuó con sus investigaciones matemáticas, su carrera matemática estándar terminó casi por completo cuando dejó el IHÉS. [8] Después de dejar el IHÉS, Grothendieck se convirtió en profesor temporal en el Collège de France durante dos años. [42] Luego se convirtió en profesor en la Universidad de Montpellier, donde se alejó cada vez más de la comunidad matemática. Se retiró formalmente en 1988, unos años después de haber aceptado un puesto de investigación en el CNRS . [1]
Si bien no publicó investigaciones matemáticas de manera convencional durante la década de 1980, produjo varios manuscritos influyentes con distribución limitada, con contenido tanto matemático como biográfico.
Producida durante 1980 y 1981, La Longue Marche à travers la théorie de Galois ( La larga marcha a través de la teoría de Galois ) es un manuscrito de 1600 páginas que contiene muchas de las ideas que llevaron a la Esquisse d'un programme . [43] También incluye un estudio de la teoría de Teichmüller .
En 1983, estimulado por la correspondencia con Ronald Brown y Tim Porter en la Universidad de Bangor , Grothendieck escribió un manuscrito de 600 páginas titulado Pursuing Stacks . Comenzaba con una carta dirigida a Daniel Quillen . Esta carta y partes sucesivas se distribuyeron desde Bangor (ver enlaces externos a continuación). En ellas, de manera informal, similar a un diario, Grothendieck explicó y desarrolló sus ideas sobre la relación entre la teoría de la homotopía algebraica y la geometría algebraica y las perspectivas para una teoría no conmutativa de las pilas . El manuscrito, que está siendo editado para su publicación por G. Maltsiniotis, más tarde condujo a otra de sus obras monumentales, Les Dérivateurs . Escrita en 1991, esta última obra de aproximadamente 2000 páginas, desarrolló aún más las ideas homotópicas iniciadas en Pursuing Stacks . [7] Gran parte de este trabajo anticipó el desarrollo posterior, a mediados de la década de 1990, de la teoría de la homotopía motívica de Fabien Morel y Vladimir Voevodsky .
En 1984, Grothendieck escribió la propuesta Esquisse d'un Programme ("Bosquejo de un programa") [43] para un puesto en el Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS). En ella se describen nuevas ideas para estudiar el espacio de módulos de curvas complejas. Aunque Grothendieck nunca publicó su trabajo en esta área, la propuesta inspiró a otros matemáticos a trabajar en el área al convertirse en la fuente de la teoría del dessin d'enfant y la geometría anabeliana . Más tarde, se publicó en dos volúmenes y se tituló Geometric Galois Actions (Cambridge University Press, 1997).
Durante este período, Grothendieck también dio su consentimiento para publicar algunos de sus borradores para EGA sobre teoremas de tipo Bertini ( EGA V, publicado en Ulam Quarterly en 1992-1993 y posteriormente disponible en el sitio web del Círculo Grothendieck en 2004).
En su extensa obra autobiográfica, Récoltes et Semailles (1986), Grothendieck describe su aproximación a las matemáticas y sus experiencias en la comunidad matemática, una comunidad que inicialmente lo aceptó de manera abierta y acogedora, pero que progresivamente percibió como regida por la competencia y el estatus. Se queja de lo que vio como el "entierro" de su trabajo y la traición de sus antiguos estudiantes y colegas después de que dejó la comunidad. [17] Récoltes et Semailles fue finalmente publicado en 2022 por Gallimard [44] y, gracias al historiador de la ciencia francés Alain Herreman, [7] también está disponible en Internet. [45] MIT Press publicará una traducción al inglés de Leila Schneps en 2025. [46] Se puede encontrar una traducción parcial al inglés en Internet. [47] Tsuji Yuichi (1938-2002), amigo de Grothendieck del período Survivre , completó una traducción japonesa del libro completo en cuatro volúmenes . Los tres primeros volúmenes (que corresponden a las partes 0 a III del libro) se publicaron entre 1989 y 1993, mientras que el cuarto volumen (parte IV) se completó y, aunque no se publicó, circulan copias del mismo como manuscrito mecanografiado. Grothendieck ayudó con la traducción y escribió un prefacio para ella, en el que llamó a Tsuji su "primer colaborador verdadero". [48] [49] [50] [51] [52] [53] Partes de Récoltes et Semailles se han traducido al español, [54] así como a una traducción rusa que se publicó en Moscú. [55]
En 1988, Grothendieck rechazó el premio Crafoord mediante una carta abierta a los medios de comunicación. Escribió que él y otros matemáticos consagrados no tenían necesidad de apoyo financiero adicional y criticó lo que consideraba una ética en decadencia de la comunidad científica, caracterizada por un robo científico descarado que, según él, se había convertido en algo común y tolerado. La carta también expresaba su creencia de que unos acontecimientos totalmente imprevistos antes de finales de siglo conducirían a un colapso sin precedentes de la civilización. Grothendieck añadió, sin embargo, que sus opiniones "no pretendían en modo alguno ser una crítica a los objetivos de la Real Academia en la administración de sus fondos" y añadió: "Lamento los inconvenientes que mi negativa a aceptar el premio Crafoord pueda haber causado a usted y a la Real Academia". [56]
La Clef des Songes , [57] un manuscrito de 315 páginas escrito en 1987, es el relato de Grothendieck de cómo su consideración de la fuente de los sueños lo llevó a concluir que existe una deidad . [58] Como parte de las notas de este manuscrito, Grothendieck describió la vida y el trabajo de 18 "mutantes", personas a las que admiraba como visionarios muy adelantados a su tiempo y anunciadores de una nueva era. [1] El único matemático en su lista era Bernhard Riemann . [59] Influenciado por la mística católica Marthe Robin , de quien se decía que había sobrevivido sólo con la Sagrada Eucaristía, Grothendieck casi se muere de hambre en 1988. [1] Su creciente preocupación por los asuntos espirituales también se hizo evidente en una carta titulada Lettre de la Bonne Nouvelle enviada a 250 amigos en enero de 1990. En ella, describía sus encuentros con una deidad y anunciaba que una "Nueva Era" comenzaría el 14 de octubre de 1996. [7]
El Grothendieck Festschrift , publicado en 1990, fue una colección de tres volúmenes de artículos de investigación para conmemorar su sexagésimo cumpleaños en 1988. [60]
Más de 20.000 páginas de escritos matemáticos y de otro tipo de Grothendieck se conservan en la Universidad de Montpellier y permanecen inéditas. [61] Se han digitalizado para su conservación y están disponibles de forma gratuita y en acceso abierto a través del portal del Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck. [62] [63]
En 1991, Grothendieck se mudó a una nueva dirección que no compartió con sus contactos anteriores en la comunidad matemática. [1] Muy pocas personas lo visitaron después. [64] Los aldeanos locales lo ayudaron a mantenerse con una dieta más variada después de que intentó vivir con un alimento básico de sopa de diente de león . [65] En algún momento, Leila Schneps y Pierre Lochak lo localizaron y luego mantuvieron una breve correspondencia. Por lo tanto, se convirtieron en "los últimos miembros del establishment matemático en entrar en contacto con él". [66] Después de su muerte, se reveló que vivía solo en una casa en Lasserre, Ariège , un pequeño pueblo al pie de los Pirineos . [67]
En enero de 2010, Grothendieck escribió una carta titulada "Declaración de intención de no publicación" a Luc Illusie , en la que afirmaba que todos los materiales publicados en su ausencia habían sido publicados sin su permiso. Pidió que no se reprodujera ninguna de sus obras, ni total ni parcialmente, y que se retiraran de las bibliotecas copias de las mismas. [68] Calificó de "abominación" un sitio web dedicado a su obra. [69] Es posible que su dictamen haya sido revertido en 2010. [70]
En septiembre de 2014, casi totalmente sordo y ciego, pidió a un vecino que le comprara un revólver para poder suicidarse. [71] El 13 de noviembre de 2014, a los 86 años, Grothendieck murió en el hospital de Saint-Lizier [71] o Saint-Girons, Ariège . [26] [72]
Grothendieck nació en la Alemania de Weimar . En 1938, a los diez años, se trasladó a Francia como refugiado. Los registros de su nacionalidad fueron destruidos en la caída de la Alemania nazi en 1945 y no solicitó la ciudadanía francesa después de la guerra. Por lo tanto, se convirtió en una persona apátrida durante al menos la mayor parte de su vida laboral y viajó con un pasaporte Nansen . [4] [5] [6] Parte de su renuencia a tener la nacionalidad francesa se atribuye a no querer servir en el ejército francés, en particular debido a la guerra de Argelia (1954-1962). [3] [6] [15] Finalmente solicitó la ciudadanía francesa a principios de la década de 1980, después de haber superado la edad que lo eximía del servicio militar. [3]
Grothendieck era muy cercano a su madre, a quien dedicó su tesis doctoral. Ella murió en 1957 a causa de una tuberculosis que contrajo en campos de desplazados . [42]
Tuvo cinco hijos: un hijo con su casera durante su estancia en Nancy; [3] tres hijos, Johanna (1959), Alexander (1961) y Mathieu (1965) con su esposa Mireille Dufour; [1] [34] y un hijo con Justine Skalba, con quien vivió en una comuna a principios de los años 1970. [1]
Los primeros trabajos matemáticos de Grothendieck fueron en el campo del análisis funcional . Entre 1949 y 1953 trabajó en su tesis doctoral sobre este tema en Nancy , supervisado por Jean Dieudonné y Laurent Schwartz . Sus contribuciones clave incluyen los productos tensoriales topológicos de los espacios vectoriales topológicos , la teoría de los espacios nucleares como base para las distribuciones de Schwartz y la aplicación de los espacios L p en el estudio de aplicaciones lineales entre espacios vectoriales topológicos. En pocos años, se había convertido en una autoridad líder en esta área del análisis funcional, hasta el punto de que Dieudonné compara su impacto en este campo con el de Banach . [73]
Sin embargo, es en la geometría algebraica y campos relacionados donde Grothendieck realizó su trabajo más importante e influyente. Desde aproximadamente 1955 comenzó a trabajar en la teoría de haces y el álgebra homológica , produciendo el influyente " artículo de Tôhoku " ( Sur quelques points d'algèbre homologique , publicado en el Tohoku Mathematical Journal en 1957) donde introdujo las categorías abelianas y aplicó su teoría para demostrar que la cohomología de haces puede definirse como ciertos funtores derivados en este contexto. [17]
Los métodos homológicos y la teoría de haces ya habían sido introducidos en la geometría algebraica por Jean-Pierre Serre [74] y otros, después de que los haces hubieran sido definidos por Jean Leray . Grothendieck los llevó a un nivel superior de abstracción y los convirtió en un principio organizador clave de su teoría. Cambió la atención del estudio de variedades individuales a su punto de vista relativo (pares de variedades relacionadas por un morfismo ), lo que permitió una amplia generalización de muchos teoremas clásicos. [42] La primera aplicación importante fue la versión relativa del teorema de Serre que muestra que la cohomología de un haz coherente en una variedad completa es de dimensión finita; el teorema de Grothendieck muestra que las imágenes directas superiores de haces coherentes bajo una función propia son coherentes; esto se reduce al teorema de Serre sobre un espacio de un punto.
En 1956, aplicó el mismo pensamiento al teorema de Riemann-Roch , que recientemente había sido generalizado a cualquier dimensión por Hirzebruch . El teorema de Grothendieck-Riemann-Roch fue anunciado por Grothendieck en el Mathematische Arbeitstagung inicial en Bonn , en 1957. [42] Apareció impreso en un artículo escrito por Armand Borel con Serre. Este resultado fue su primer trabajo en geometría algebraica. Grothendieck continuó planificando y ejecutando un programa para reconstruir los fundamentos de la geometría algebraica, que en ese momento estaban en un estado de cambio y en discusión en el seminario de Claude Chevalley . Esbozó su programa en su charla en el Congreso Internacional de Matemáticos de 1958 .
Su trabajo fundacional sobre geometría algebraica se encuentra en un nivel de abstracción más alto que todas las versiones anteriores. Adaptó el uso de puntos genéricos no cerrados , lo que condujo a la teoría de esquemas . Grothendieck también fue pionero en el uso sistemático de nilpotentes . Como 'funciones', estas solo pueden tomar el valor 0, pero llevan información infinitesimal , en entornos puramente algebraicos. Su teoría de esquemas se ha establecido como la mejor base universal para este campo, debido a su expresividad y su profundidad técnica. En ese contexto, se puede utilizar geometría biracional , técnicas de teoría de números , teoría de Galois , álgebra conmutativa y análogos cercanos de los métodos de topología algebraica , todo de manera integrada. [17] [75] [76]
Grothendieck es conocido por su dominio de los enfoques abstractos de las matemáticas y su perfeccionismo en cuestiones de formulación y presentación. [37] Relativamente poco de su trabajo después de 1960 fue publicado por la vía convencional de la revista científica , circulando inicialmente en volúmenes duplicados de notas de seminarios; su influencia fue en gran medida personal. Su influencia se extendió a muchas otras ramas de las matemáticas, por ejemplo, la teoría contemporánea de los módulos D. Aunque alabado como "el Einstein de las matemáticas", su trabajo también provocó reacciones adversas, con muchos matemáticos buscando áreas y problemas más concretos. [77] [78]
La mayor parte del trabajo publicado de Grothendieck se recoge en los monumentales, aunque incompletos, Éléments de géométrie algébrique ( EGA ) y Séminaire de géométrie algébrique ( SGA ). La colección Fondements de la Géometrie Algébrique ( FGA ), que reúne las conferencias pronunciadas en el Séminaire Bourbaki , contiene también material importante. [17]
El trabajo de Grothendieck incluye la invención de las teorías de cohomología étale y l-ádica , que explican una observación hecha por André Weil que defendía una conexión entre las características topológicas de una variedad y sus propiedades diofánticas (teóricas de números). [42] Por ejemplo, el número de soluciones de una ecuación sobre un cuerpo finito refleja la naturaleza topológica de sus soluciones sobre los números complejos . Weil se había dado cuenta de que para demostrar tal conexión, se necesitaba una nueva teoría de cohomología, pero ni él ni ningún otro experto vieron cómo lograrlo hasta que Grothendieck expresó dicha teoría.
Este programa culminó con las pruebas de las conjeturas de Weil , la última de las cuales fue resuelta por el estudiante de Grothendieck, Pierre Deligne, a principios de la década de 1970, después de que Grothendieck se hubiera retirado en gran medida de las matemáticas. [17]
En su retrospectiva Récoltes et Semailles , Grothendieck identificó doce de sus contribuciones que, en su opinión, se calificaban como «grandes ideas». [79] En orden cronológico, son:
Aquí el término yoga denota una especie de "metateoría" que puede utilizarse heurísticamente; Michel Raynaud escribe los otros términos "hilo de Ariadna" y "filosofía" como equivalentes efectivos. [80]
Grothendieck escribió que, de estos temas, el de mayor alcance era el de los topos, ya que sintetizaban la geometría algebraica, la topología y la aritmética. El tema que se había desarrollado más extensamente era el de los esquemas, que eran el marco " por excelencia " para ocho de los otros temas (todos excepto 1, 5 y 12). Grothendieck escribió que el primer y el último tema, los productos tensoriales topológicos y las configuraciones regulares, eran de un tamaño más modesto que los demás. Los productos tensoriales topológicos habían desempeñado el papel de una herramienta más que de una fuente de inspiración para desarrollos posteriores; pero esperaba que las configuraciones regulares no pudieran agotarse durante la vida de un matemático que se dedicara a ellas. Creía que los temas más profundos eran los motivos, la geometría anabeliana y la teoría de Galois-Teichmüller. [81]
Muchos consideran a Grothendieck el mayor matemático del siglo XX. [11] En un obituario, David Mumford y John Tate escribieron:
Aunque las matemáticas se volvieron cada vez más abstractas y generales a lo largo del siglo XX, fue Alexander Grothendieck el mayor maestro de esta tendencia. Su habilidad única fue eliminar todas las hipótesis innecesarias y adentrarse en un área tan profundamente que sus patrones internos en el nivel más abstracto se revelaban por sí mismos, y luego, como un mago, mostraba cómo la solución de viejos problemas se presentaba de manera sencilla ahora que su naturaleza real había sido revelada. [11]
En la década de 1970, el trabajo de Grothendieck fue considerado influyente, no sólo en la geometría algebraica y los campos afines de la teoría de haces y el álgebra homológica, [82] sino que influyó en la lógica, en el campo de la lógica categórica. [83]
Según el matemático Ravi Vakil , «Campos enteros de las matemáticas hablan el lenguaje que él creó. Vivimos en esta gran estructura que él construyó. Lo damos por sentado: el arquitecto se ha ido». En el mismo artículo, Colin McLarty dijo: «Hoy en día, mucha gente vive en la casa de Grothendieck, sin saber que es la casa de Grothendieck». [64]
Grothendieck abordó la geometría algebraica aclarando los fundamentos de la disciplina y desarrollando herramientas matemáticas destinadas a demostrar una serie de conjeturas notables. La geometría algebraica ha significado tradicionalmente la comprensión de objetos geométricos, como curvas y superficies algebraicas, a través del estudio de las ecuaciones algebraicas para esos objetos. Las propiedades de las ecuaciones algebraicas se estudian a su vez utilizando las técnicas de la teoría de anillos . En este enfoque, las propiedades de un objeto geométrico se relacionan con las propiedades de un anillo asociado. El espacio (por ejemplo, real, complejo o proyectivo) en el que se define el objeto es extrínseco al objeto, mientras que el anillo es intrínseco.
Grothendieck sentó una nueva base para la geometría algebraica al hacer de los espacios intrínsecos ("espectros") y de los anillos asociados los objetos primarios de estudio. Para ello, desarrolló la teoría de esquemas que informalmente pueden considerarse como espacios topológicos en los que un anillo conmutativo está asociado a cada subconjunto abierto del espacio. Los esquemas se han convertido en los objetos básicos de estudio para los practicantes de la geometría algebraica moderna. Su uso como base permitió a la geometría absorber los avances técnicos de otros campos. [84]
Su generalización del teorema clásico de Riemann-Roch relacionó las propiedades topológicas de las curvas algebraicas complejas con su estructura algebraica y ahora lleva su nombre, siendo llamada "el teorema de Grothendieck-Hirzebruch-Riemann-Roch". Las herramientas que desarrolló para demostrar este teorema iniciaron el estudio de la teoría K algebraica y topológica , que explora las propiedades topológicas de los objetos asociándolos con anillos. [85] Después del contacto directo con las ideas de Grothendieck en la Arbeitstagung de Bonn , la teoría K topológica fue fundada por Michael Atiyah y Friedrich Hirzebruch . [86]
La construcción de nuevas teorías de cohomología por parte de Grothendieck , que utilizan técnicas algebraicas para estudiar objetos topológicos, ha influido en el desarrollo de la teoría algebraica de números , la topología algebraica y la teoría de la representación . Como parte de este proyecto, su creación de la teoría de topos , una generalización de la topología de conjuntos puntuales basada en la teoría de categorías , ha influido en los campos de la teoría de conjuntos y la lógica matemática . [82]
Las conjeturas de Weil se formularon a finales de la década de 1940 como un conjunto de problemas matemáticos de geometría aritmética . Describen propiedades de invariantes analíticos, llamadas funciones zeta locales , del número de puntos en una curva algebraica o variedad de dimensión superior. El descubrimiento de Grothendieck de la cohomología étale ℓ-ádica , el primer ejemplo de una teoría de cohomología de Weil , abrió el camino para una prueba de las conjeturas de Weil, finalmente completada en la década de 1970 por su estudiante Pierre Deligne . [85] El enfoque a gran escala de Grothendieck ha sido llamado un "programa visionario". [87] La cohomología ℓ-ádica se convirtió entonces en una herramienta fundamental para los teóricos de números, con aplicaciones al programa Langlands . [88]
La teoría conjetural de los motivos de Grothendieck pretendía ser la teoría "ℓ-ádica" pero sin la elección de "ℓ", un número primo. No proporcionó la ruta prevista para las conjeturas de Weil, pero ha estado detrás de los desarrollos modernos en la teoría K algebraica , la teoría de la homotopía motívica y la integración motívica . [89] Esta teoría, el trabajo de Daniel Quillen y la teoría de las clases de Chern de Grothendieck se consideran el antecedente de la teoría del cobordismo algebraico , otro análogo algebraico de las ideas topológicas. [90]
El énfasis de Grothendieck en el papel de las propiedades universales en diversas estructuras matemáticas llevó a la teoría de categorías a la corriente principal como principio organizador de las matemáticas en general. Entre sus usos, la teoría de categorías crea un lenguaje común para describir estructuras y técnicas similares observadas en muchos sistemas matemáticos diferentes. [91] Su noción de categoría abeliana es ahora el objeto básico de estudio en el álgebra homológica . [92] El surgimiento de una disciplina matemática separada de la teoría de categorías se ha atribuido a la influencia de Grothendieck, aunque no de manera intencional. [93]
Coronel Lágrimas , novela del escritor puertorriqueño-costarricense Carlos Fonseca, trata sobre Grothendieck. [ 94]
La banda Stone Hill All Stars tiene una canción que lleva el nombre de Alexander Grothendieck. [95]
El libro Cuando dejamos de entender el mundo, de Benjamín Labatut , dedica un capítulo a la obra y la vida de Grothendieck, presentando su historia haciendo referencia al matemático japonés Shinichi Mochizuki . El libro es un relato ligeramente novelado del mundo de la investigación científica y fue finalista del Premio Nacional del Libro [96].
En El pasajero de Cormac McCarthy y su secuela Stella Maris , un personaje principal es un estudiante de Grothendieck. [97]
Alexandre Grothendieck es posiblemente el matemático más importante del siglo XX...
{{cite book}}: Mantenimiento de CS1: falta la ubicación del editor ( enlace ){{cite web}}: Mantenimiento CS1: año ( enlace )Primeros 4 capítulos de la segunda parte incompleta de la biografía planificada en cuatro volúmenes.
