Cohomología local

Concepto en geometría algebraica

En geometría algebraica , la cohomología local es un análogo algebraico de la cohomología relativa . Alexander Grothendieck la introdujo en seminarios en Harvard en 1961, escritos por Hartshorne (1967), y en 1961-2 en IHES, escrito como SGA2 - Grothendieck (1968), republicado como Grothendieck (2005). Dada una función (más generalmente, una sección de un haz cuasicoherente ) definida en un subconjunto abierto de una variedad algebraica (o esquema ), la cohomología local mide la obstrucción a la extensión de esa función a un dominio más grande . La función racional , por ejemplo, está definida solo en el complemento de en la línea afín sobre un cuerpo , y no puede extenderse a una función en todo el espacio. El módulo de cohomología local (donde es el anillo de coordenadas de ) detecta esto en la no desaparición de una clase de cohomología . De manera similar, se define lejos de los ejes y en el plano afín , pero no puede extenderse ni al complemento del eje ni al complemento del eje solo (ni tampoco puede expresarse como una suma de tales funciones); esta obstrucción corresponde precisamente a una clase distinta de cero en el módulo de cohomología local . ^[1] ${\displaystyle 1/x}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{1}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle H_{(x)}^{1}(K[x])}$ ${\displaystyle K[x]}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{1}}$ ${\displaystyle [1/x]}$ ${\displaystyle 1/xy}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle [1/xy]}$ ${\displaystyle H_{(x,y)}^{2}(K[x,y])}$

Fuera de la geometría algebraica, la cohomología local ha encontrado aplicaciones en el álgebra conmutativa , ^{[2] [3] [4],} combinatoria , ^{[5] [6] [7]} y ciertos tipos de ecuaciones diferenciales parciales . ^[8]

Definición

En la forma geométrica más general de la teoría, se consideran secciones de un haz de grupos abelianos , sobre un espacio topológico , con apoyo en un subconjunto cerrado . Los funtores derivados de forman grupos de cohomología local . ${\displaystyle \Gamma _{Y}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \Gamma _{Y}}$

${\displaystyle H_{Y}^{i}(X,F)}$

En la forma algebraica de la teoría, el espacio X es el espectro Spec( R ) de un anillo conmutativo R (que se supone que es noetheriano a lo largo de este artículo) y el haz F es el haz cuasicoherente asociado a un módulo R M , denotado por . El subesquema cerrado Y está definido por un ideal I . En esta situación, el funtor Γ Y ₍ F ) corresponde al funtor de torsión I , una unión de aniquiladores ${\displaystyle {\tilde {M}}}$

${\displaystyle \Gamma _{I}(M):=\bigcup _{n\geq 0}(0:_{M}I^{n}),}$

es decir, los elementos de M que son aniquilados por alguna potencia de I. Como funtor derivado derecho , el i- ^ésimo módulo de cohomología local con respecto a I es el i- ^ésimo grupo de cohomología del complejo de cadena obtenido al tomar la parte de I -torsión de una resolución inyectiva del módulo . ^[9] Debido a que consta de R -módulos y homomorfismos de R -módulo , los grupos de cohomología local tienen cada uno la estructura natural de un R -módulo. ${\displaystyle H^{i}(\Gamma _{I}(E^{\bullet }))}$ ${\displaystyle \Gamma _{I}(E^{\bullet })}$ ${\displaystyle \Gamma _{I}(-)}$ ${\displaystyle E^{\bullet }}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E^{\bullet }}$

La parte de torsión I puede describirse alternativamente como ${\displaystyle \Gamma _{I}(M)}$

${\displaystyle \Gamma _{I}(M):=\varinjlim _{n\in N}\operatorname {Hom} _{R}(R/I^{n},M),}$

y por esta razón, la cohomología local de un R -módulo M concuerda ^[10] con un límite directo de los módulos Ext ,

${\displaystyle H_{I}^{i}(M):=\varinjlim _{n\in N}\operatorname {Ext} _{R}^{i}(R/I^{n},M).}$

De cualquiera de estas definiciones se deduce que I permanecería inalterado si se reemplazara por otro ideal que tuviera el mismo radical . ^[11] También se deduce que la cohomología local no depende de ninguna elección de generadores para I , un hecho que se vuelve relevante en la siguiente definición que involucra al complejo de Čech. ${\displaystyle H_{I}^{i}(M)}$ ${\displaystyle I}$

Utilizando los complejos de Koszul y Čech

La definición de functor derivada de la cohomología local requiere una resolución inyectiva del módulo , lo que puede hacer que sea inaccesible para su uso en cálculos explícitos. El complejo de Čech se considera más práctico en ciertos contextos. Iyengar et al. (2007), por ejemplo, afirman que "esencialmente ignoran" el "problema de producir realmente cualquiera de estos tipos de resoluciones [inyectivas] para un módulo dado" ^[12] antes de presentar la definición de cohomología local del complejo de Čech, y Hartshorne (1977) describe la cohomología de Čech como "que proporciona un método práctico para calcular la cohomología de haces cuasi coherentes en un esquema" ^[13] y como "muy adecuada para los cálculos". ^[14] ${\displaystyle M}$

El complejo de Čech puede definirse como un colímite de complejos de Koszul donde genere . Los módulos de cohomología local pueden describirse ^[15] como: ${\displaystyle K^{\bullet }(f_{1},\ldots ,f_{m})}$ ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}}$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle H_{I}^{i}(M)\cong \varinjlim _{m}H^{i}\left(\operatorname {Hom} _{R}\left(K^{\bullet }\left(f_{1}^{m},\dots ,f_{n}^{m}\right),M\right)\right)}$

Los complejos de Koszul tienen la propiedad de que la multiplicación por induce un morfismo complejo de cadena que es homotópico a cero, ^[16] lo que significa que es aniquilado por el . Una función distinta de cero en el colimite de los conjuntos contiene funciones de todos los complejos de Koszul, excepto un número finito, y que no son aniquiladas por algún elemento en el ideal. ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle \cdot f_{i}:K^{\bullet }(f_{1},\ldots ,f_{n})\to K^{\bullet }(f_{1},\ldots ,f_{n})}$ ${\displaystyle H^{i}(K^{\bullet }(f_{1},\ldots ,f_{n}))}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} }$

Este colímite de complejos de Koszul es isomorfo al ^[17] complejo de Čech , denotado a continuación. ${\displaystyle {\check {C}}^{\bullet }(f_{1},\ldots ,f_{n};M)}$

${\displaystyle 0\to M\to \bigoplus _{i_{0}}M_{f_{i}}\to \bigoplus _{i_{0}<i_{1}}M_{f_{i_{0}}f_{i_{1}}}\to \cdots \to M_{f_{1}\cdots f_{n}}\to 0}$

donde el i- ^ésimo módulo de cohomología local de con respecto a es isomorfo a ^[18] el i- ^ésimo grupo de cohomología del complejo de cadena anterior , ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle I=(f_{1},\ldots ,f_{n})}$

${\displaystyle H_{I}^{i}(M)\cong H^{i}({\check {C}}^{\bullet }(f_{1},\ldots ,f_{n};M)).}$

La cuestión más amplia del cálculo de módulos de cohomología local (en característica cero ) se analiza en Leykin (2002) e Iyengar et al. (2007, conferencia 23).

Propiedades básicas

Dado que la cohomología local se define como functor derivado , para cualquier secuencia exacta corta de R -módulos , existe, por definición, una secuencia exacta larga natural en cohomología local. ${\displaystyle 0\to M_{1}\to M_{2}\to M_{3}\to 0}$

${\displaystyle \cdots \to H_{I}^{i}(M_{1})\to H_{I}^{i}(M_{2})\to H_{I}^{i}(M_{3})\to H_{I}^{i+1}(M_{1})\to \cdots }$

También hay una larga secuencia exacta de cohomología de haces que vincula la cohomología de haces ordinaria de X y del conjunto abierto U = X \ Y , con los módulos de cohomología local. Para un haz cuasicoherente F definido en X , esto tiene la forma

${\displaystyle \cdots \to H_{Y}^{i}(X,F)\to H^{i}(X,F)\to H^{i}(U,F)\to H_{Y}^{i+1}(X,F)\to \cdots }$

En el contexto donde X es un esquema afín e Y es el conjunto evanescente de un ideal I , los grupos de cohomología se desvanecen para . ^[19] Si , esto conduce a una secuencia exacta ${\displaystyle {\text{Spec}}(R)}$ ${\displaystyle H^{i}(X,F)}$ ${\displaystyle i>0}$ ${\displaystyle F={\tilde {M}}}$

${\displaystyle 0\to H_{I}^{0}(M)\to M{\stackrel {\text{res}}{\to }}H^{0}(U,{\tilde {M}})\to H_{I}^{1}(M)\to 0,}$

donde el mapa intermedio es la restricción de secciones. El objetivo de este mapa de restricción también se conoce como la transformación ideal. Para n ≥ 1, existen isomorfismos

${\displaystyle H^{n}(U,{\tilde {M}}){\stackrel {\cong }{\to }}H_{I}^{n+1}(M).}$

Debido al isomorfismo anterior con la cohomología de haces , la cohomología local se puede utilizar para expresar una serie de construcciones topológicas significativas en el esquema en términos puramente algebraicos. Por ejemplo, existe un análogo natural en la cohomología local de la secuencia de Mayer–Vietoris con respecto a un par de conjuntos abiertos U y V en X , dado por los complementos de los subesquemas cerrados correspondientes a un par de ideales I y J , respectivamente. ^[20] Esta secuencia tiene la forma ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (R)}$

${\displaystyle \cdots H_{I+J}^{i}(M)\to H_{I}^{i}(M)\oplus H_{J}^{i}(M)\to H_{I\cap J}^{i}(M)\to H_{I+J}^{i+1}(M)\to \cdots }$

para cualquier -módulo . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$

La desaparición de la cohomología local se puede utilizar para limitar el menor número de ecuaciones (denominado rango aritmético) necesario para (establecer teóricamente) definir el conjunto algebraico en . Si tiene el mismo radical que , y está generado por elementos, entonces el complejo de Čech sobre los generadores de no tiene términos de grado . El menor número de generadores entre todos los ideales tales que es el rango aritmético de , denotado . ^[21] Dado que la cohomología local con respecto a se puede calcular utilizando cualquiera de esos ideales, se deduce que para . ^[22] ${\displaystyle V(I)}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle i>n}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle {\sqrt {J}}={\sqrt {I}}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \operatorname {ara} (I)}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle H_{I}^{i}(M)=0}$ ${\displaystyle i>\operatorname {ara} (I)}$

Cohomología local graduada y geometría proyectiva

Cuando se gradúa por , se genera por elementos homogéneos y es un módulo graduado, existe una gradación natural en el módulo de cohomología local que es compatible con las gradaciones de y . ^[23] Todas las propiedades básicas de la cohomología local expresadas en este artículo son compatibles con la estructura graduada. ^[24] Si se genera finitamente y es el ideal generado por los elementos de que tienen grado positivo, entonces los componentes graduados se generan finitamente y se desvanecen para suficientemente grande . ^[25] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle H_{I}^{i}(M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle I={\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle H_{\mathfrak {m}}^{i}(M)_{n}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle n}$

El caso donde es el ideal generado por todos los elementos de grado positivo (a veces llamado ideal irrelevante ) es particularmente especial, debido a su relación con la geometría proyectiva. ^[26] En este caso, hay un isomorfismo ${\displaystyle I={\mathfrak {m}}}$

${\displaystyle H_{\mathfrak {m}}^{i+1}(M)\cong \bigoplus _{k\in \mathbf {Z} }H^{i}({\text{Proj}}(R),{\tilde {M}}(k))}$

donde es el esquema proyectivo asociado a , y denota el giro de Serre . Este isomorfismo es graduado, dando ${\displaystyle {\text{Proj}}(R)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle (k)}$

${\displaystyle H_{\mathfrak {m}}^{i+1}(M)_{n}\cong H^{i}({\text{Proj}}(R),{\tilde {M}}(n))}$

en todos los grados . ^[27] ${\displaystyle n}$

Este isomorfismo relaciona la cohomología local con la cohomología global de los esquemas proyectivos . Por ejemplo, la regularidad de Castelnuovo–Mumford se puede formular utilizando la cohomología local ^[28] como

${\displaystyle {\text{reg}}(M)={\text{sup}}\{{\text{end}}(H_{\mathfrak {m}}^{i}(M))+i\,|\,0\leq i\leq {\text{dim}}(M)\}}$

donde denota el grado más alto tal que . La cohomología local se puede utilizar para demostrar ciertos resultados de límite superior relacionados con la regularidad. ^[29] ${\displaystyle {\text{end}}(N)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle N_{t}\neq 0}$

Ejemplos

Cohomología local superior

Utilizando el complejo de Čech, si el módulo de cohomología local se genera mediante las imágenes de las fracciones formales ${\displaystyle I=(f_{1},\ldots ,f_{n})R}$ ${\displaystyle H_{I}^{n}(M)}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle \left[{\frac {m}{f_{1}^{t_{1}}\cdots f_{n}^{t_{n}}}}\right]}$

para y . ^[30] Esta fracción corresponde a un elemento distinto de cero de si y solo si no existe tal que . ^[31] Por ejemplo, si , entonces ${\displaystyle m\in M}$ ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}\geq 1}$ ${\displaystyle H_{I}^{n}(M)}$ ${\displaystyle k\geq 0}$ ${\displaystyle (f_{1}\cdots f_{t})^{k}m\in (f_{1}^{t_{1}+k},\ldots ,f_{t}^{t_{n}+k})M}$ ${\displaystyle t_{i}=1}$

${\displaystyle f_{i}\cdot \left[{\frac {m}{f_{1}^{t_{1}}\cdots f_{i}\cdots f_{n}^{t_{n}}}}\right]=0.}$

• Si es un cuerpo y es un anillo polinomial sobre en variables, entonces el módulo de cohomología local puede considerarse como un espacio vectorial sobre con base dada por (las clases de cohomología de Čech de) los monomios inversos para . ^[32] Como un -módulo, la multiplicación por disminuye en 1, sujeto a la condición Debido a que las potencias no se pueden aumentar al multiplicar con elementos de , el módulo no se genera finitamente . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle R=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H_{(x_{1},\ldots ,x_{n})}^{n}(K[x_{1},\ldots ,x_{n}])}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \left[x_{1}^{-t_{1}}\cdots x_{n}^{-t_{n}}\right]}$ ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}\geq 1}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle t_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}\cdot \left[x_{1}^{-t_{1}}\cdots x_{i}^{-1}\cdots x_{n}^{-t_{n}}\right]=0.}$ ${\displaystyle t_{i}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle H_{(x_{1},\ldots ,x_{n})}^{n}(K[x_{1},\ldots ,x_{n}])}$

Ejemplos de H1

Si se conoce (donde ), el módulo a veces se puede calcular explícitamente utilizando la secuencia ${\displaystyle H^{0}(U,{\tilde {R}})}$ ${\displaystyle U=\operatorname {Spec} (R)-V(I)}$ ${\displaystyle H_{I}^{1}(R)}$

${\displaystyle 0\to H_{I}^{0}(R)\to R\to H^{0}(U,{\tilde {R}})\to H_{I}^{1}(R)\to 0.}$

En los siguientes ejemplos, cualquier campo es . ${\displaystyle K}$

• Si y , entonces y como un espacio vectorial sobre , el primer módulo de cohomología local es , un espacio vectorial unidimensional generado por . ^[33] ${\displaystyle R=K[X,Y^{2},XY,Y^{3}]}$ ${\displaystyle I=(X,Y^{2})R}$ ${\displaystyle H^{0}(U,{\tilde {R}})=K[X,Y]}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle H_{I}^{1}(R)}$ ${\displaystyle K[X,Y]/K[X,Y^{2},XY,Y^{3}]}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle Y}$

• Si y , entonces y , entonces es un espacio vectorial de dimensión infinita con base ^[34] ${\displaystyle R=K[X,Y]/(X^{2},XY)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}=(X,Y)R}$ ${\displaystyle \Gamma _{\mathfrak {m}}(R)=xR}$ ${\displaystyle H^{0}(U,{\tilde {R}})=K[Y,Y^{-1}]}$ ${\displaystyle H_{\mathfrak {m}}^{1}(R)=K[Y,Y^{-1}]/K[Y]}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle Y^{-1},Y^{-2},Y^{-3},\ldots }$

Relación con invariantes de módulos

La dimensión dim _R (M) de un módulo (definida como la dimensión de Krull de su soporte) proporciona un límite superior para los módulos de cohomología local: ^[35]

${\displaystyle H_{I}^{n}(M)=0{\text{ for all }}n>\dim _{R}(M).}$

Si R es local y M finitamente generado , entonces este límite es agudo, es decir, . ${\displaystyle H_{\mathfrak {m}}^{n}(M)\neq 0}$

La profundidad (definida como la longitud máxima de una secuencia M regular ; también denominada grado de M ) proporciona un límite inferior preciso, es decir, es el entero más pequeño n tal que ^[36]

${\displaystyle H_{I}^{n}(M)\neq 0.}$

Estos dos límites juntos producen una caracterización de los módulos de Cohen-Macaulay sobre anillos locales: son precisamente aquellos módulos donde se desvanece para todos menos uno n . ${\displaystyle H_{\mathfrak {m}}^{n}(M)}$

Dualidad local

El teorema de dualidad local es un análogo local de la dualidad de Serre . Para un anillo local de Cohen-Macaulay de dimensión que es una imagen homomórfica de un anillo local de Gorenstein ^[37] (por ejemplo, si es completo ^[38] ), establece que el emparejamiento natural ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle H_{\mathfrak {m}}^{n}(M)\times \operatorname {Ext} _{R}^{d-n}(M,\omega _{R})\to H_{\mathfrak {m}}^{d}(\omega _{R})}$

es un emparejamiento perfecto , donde es un módulo dualizante para . ^[39] En términos del funtor de dualidad de Matlis , el teorema de dualidad local puede expresarse como el siguiente isomorfismo. ^[40] ${\displaystyle \omega _{R}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle D(-)}$

${\displaystyle H_{\mathfrak {m}}^{n}(M)\cong D(\operatorname {Ext} _{R}^{d-n}(M,\omega _{R}))}$

El enunciado es más sencillo cuando , lo que equivale ^[41] a la hipótesis de que es Gorenstein . Este es el caso, por ejemplo, si es regular . ${\displaystyle \omega _{R}\cong R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

Aplicaciones

Las aplicaciones iniciales fueron para análogos de los teoremas de hiperplano de Lefschetz . En general, tales teoremas establecen que la homología o cohomología se sustenta en una sección de hiperplano de una variedad algebraica , excepto por alguna "pérdida" que se puede controlar. Estos resultados se aplicaron al grupo fundamental algebraico y al grupo de Picard .

Otro tipo de aplicación son los teoremas de conectividad, como el teorema de conectividad de Grothendieck (un análogo local del teorema de Bertini ) o el teorema de conectividad de Fulton-Hansen, debido a Fulton y Hansen (1979) y Faltings (1979). Este último afirma que para dos variedades proyectivas V y W en P ^r sobre un cuerpo algebraicamente cerrado , la dimensión de conectividad de Z = V ∩ W (es decir, la dimensión mínima de un subconjunto cerrado T de Z que debe eliminarse de Z para que el complemento Z \ T esté desconectado ) está limitada por

c( Z ) ≥ dim V + dim W − r − 1.

Por ejemplo, Z está conectado si dim V + dim W > r . ^[42]

En geometría poliédrica, un ingrediente clave de la prueba de Stanley de 1975 de la forma simplicial del teorema del límite superior de McMullen implica mostrar que el anillo de Stanley-Reisner del complejo simplicial correspondiente es Cohen-Macaulay , y la cohomología local es una herramienta importante en este cálculo, a través de la fórmula de Hochster. ^{[43] [6] [44]}

Véase también

• Homología local : proporciona un análogo topológico y el cálculo de la homología local del cono de un espacio.
• Teorema del aniquilador de Faltings

Notas

1. Hartshorne (1977, Ejercicio 4.3)
2. Eisenbud (2005, Capítulo 4, Regularidad de Castelnuovo-Mumford)
3. Brodmann y Sharp (1998, Capítulo 17, Polinomios de Hilbert)
4. Brodmann y Sharp (1998, Capítulo 18, Aplicaciones a reducciones de ideales)
5. Huang (2002, Capítulo 10, Métodos de residuos en análisis combinatorio)
6. Stanley, Richard (1996). Combinatoria y álgebra conmutativa . Boston, MA: Birkhäuser Boston, Inc. p. 164. ISBN 0-8176-3836-9.
7. Iyengar et al. (2007, Lección 16, Geometría poliédrica)
8. Iyengar et al. (2007, Lección 24, Rango holonómico y sistemas hipergeométricos)
9. Brodmann y Sharp (1998, 1.2.2)
10. Brodmann y Sharp (1998, Teorema 1.3.8)
11. Brodmann y Sharp (1998, Observación 1.2.3)
12. Iyengar y otros (2007)
13. Hartshorne (1977, pág. 218)
14. Hartshorne (1977, pág. 219)
15. Brodmann y Sharp (1998, Teorema 5.2.9)
16. "Lema 15.28.6 (0663)—El proyecto Stacks". stacks.math.columbia.edu . Consultado el 1 de mayo de 2020 .
17. "Lema 15.28.13 (0913)—El proyecto Stacks". stacks.math.columbia.edu . Consultado el 1 de mayo de 2020 .
18. Brodmann y Sharp (1998, Teorema 5.1.19)
19. Hartshorne (1977, Teorema 3.7)
20. Brodmann y Sharp (1998, Teorema 3.2.3)
21. Brodmann y Sharp (1998, Definición 3.3.2)
22. Brodmann y Sharp (1998, Observación 5.1.20)
23. Brodmann y Sharp (1998, Corolario 12.3.3)
24. Brodmann y Sharp (1998, Capítulo 13)
25. Brodmann y Sharp (1998, Proposición 15.1.5)
26. Eisenbud (1995, §A.4)
27. Brodmann y Sharp (1998, Teorema 20.4.4)
28. Brodmann y Sharp (1998, Definición 15.2.9)
29. Brodmann y Sharp (1998, Capítulo 16)
30. Iyengar y col. (2007, Corolario 7.14)
31. Brodmann y Sharp (1998, Ejercicio 5.1.21)
32. Iyengar y col. (2007, Ejercicio 7.16)
33. Brodmann y Sharp (1998, Ejercicio 2.3.6(v))
34. Eisenbud (2005, Ejemplo A1.10)
35. Brodmann y Sharp (1998, Teorema 6.1.2)
36. Hartshorne (1967, Teorema 3.8), Brodmann y Sharp (1998, Teorema 6.2.7), M se genera finitamente, IM ≠ M
37. Bruns y Herzog (1998, Teorema 3.3.6)
38. Bruns y Herzog (1998, Corolario 3.3.8)
39. Hartshorne (1967, Teorema 6.7)
40. Brodmann y Sharp (1998, Teorema 11.2.8)
41. Bruns y Herzog (1998, Teorema 3.3.7)
42. Brodmann y Sharp (1998, §19.6)
43. Stanley, Richard (2014). "Cómo se demostró la conjetura del límite superior". Anales de combinatoria . 18 (3): 533–539. doi :10.1007/s00026-014-0238-5. hdl : 1721.1/93189 . S2CID  253585250.
44. Iyengar y col. (2007, Conferencia 16)

Referencia introductoria

• Huneke, Craig; Taylor, Amelia, Conferencias sobre cohomología local

Referencias

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