En álgebra , la dualidad de Matlis es una dualidad entre módulos artinianos y noetherianos sobre un anillo local noetheriano completo . En el caso especial en el que el anillo local tiene un cuerpo [ aclaración necesaria ] que se asigna al cuerpo de residuos , está estrechamente relacionada con el trabajo anterior de Francis Sowerby Macaulay sobre anillos polinómicos y a veces se la denomina dualidad de Macaulay , y el caso general fue introducido por Matlis (1958).
Supóngase que R es un anillo local completo noetheriano con cuerpo de residuos k , y se elige que E sea una envoltura inyectiva de k (a veces llamada módulo de Matlis ). El dual D R ( M ) de un módulo M se define como Hom R ( M , E ). Entonces, la dualidad de Matlis establece que el funtor de dualidad D R da una antiequivalencia entre las categorías de R -módulos artinianos y noetherianos. En particular, el funtor de dualidad da una antiequivalencia de la categoría de módulos de longitud finita a sí mismo.
Supóngase que el anillo local completo noetheriano R tiene un subcuerpo k que se mapea sobre un subcuerpo de índice finito de su cuerpo de residuos R / m . Entonces el dual de Matlis de cualquier módulo R es simplemente su dual como espacio vectorial topológico sobre k , si se le da al módulo su topología m -ádica. En particular, el dual de R como espacio vectorial topológico sobre k es un módulo de Matlis. Este caso está estrechamente relacionado con el trabajo de Macaulay sobre anillos polinómicos graduados y a veces se lo denomina dualidad de Macaulay.
Si R es un anillo de valoración discreto con cuerpo cociente K entonces el módulo de Matlis es K / R . En el caso especial cuando R es el anillo de números p -ádicos , el dual de Matlis de un módulo finitamente generado es el dual de Pontryagin de éste considerado como un grupo abeliano localmente compacto .
Si R es un anillo local de Cohen-Macaulay de dimensión d con módulo dualizante Ω, entonces el módulo de Matlis viene dado por el grupo de cohomología local Hdr
(Ω). En particular, si R es un anillo local artiniano, entonces el módulo de Matlis es el mismo que el módulo dualizador.
La dualidad de Matlis se puede explicar conceptualmente utilizando el lenguaje de los funtores adjuntos y las categorías derivadas : [1] el funtor entre las categorías derivadas de los módulos R y k inducido al considerar un módulo k como un módulo R , admite un adjunto derecho ( Hom interno derivado )
Este adjunto derecho envía la envoltura inyectiva mencionada anteriormente a k , que es un objeto dualizante en . Este hecho abstracto da lugar entonces a la equivalencia mencionada anteriormente.
