Anillo de valoración discreta

Concepto en álgebra abstracta

En álgebra abstracta , un anillo de valoración discreto ( DVR ) es un dominio ideal principal (PID) con exactamente un ideal maximal distinto de cero .

Esto significa que un DVR es un dominio integral R que satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:

1. R es un dominio ideal principal local , y no un campo .
2. R es un anillo de valoración con un grupo de valores isomorfo a los números enteros bajo adición.
3. R es un dominio local de Dedekind y no un campo.
4. R es un dominio local noetheriano cuyo ideal máximo es principal y no un cuerpo. ^[1]
5. R es un anillo local noetheriano integralmente cerrado con dimensión de Krull uno.
6. R es un dominio ideal principal con un ideal primo único distinto de cero .
7. R es un dominio ideal principal con un único elemento irreducible ( hasta la multiplicación por unidades ).
8. R es un dominio de factorización único con un único elemento irreducible (hasta la multiplicación por unidades).
9. R es noetheriano, no un campo , y todo ideal fraccionario distinto de cero de R es irreducible en el sentido de que no puede escribirse como una intersección finita de ideales fraccionarios que lo contengan adecuadamente.
10. Existe una valoración discreta ν en el campo de fracciones K de R tal que R = {0} { x K  : ν( x ) ≥ 0}. ${\displaystyle \cup }$ ${\displaystyle \in }$

Ejemplos

Algebraico

Localización de los anillos de Dedekind

Sea . Entonces, el campo de fracciones de es . Para cualquier elemento distinto de cero de , podemos aplicar factorización única al numerador y denominador de r para escribir r como ⁠ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(2)}:=\{z/n\mid z,n\in \mathbb {Z} ,\,\,n{\text{ is odd}}\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(2)}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$2kz^​ ​/norte⁠ donde z , n y k son números enteros con z y n impares. En este caso, definimos ν( r )= k . Entonces es el anillo de valoración discreto correspondiente a ν. El ideal máximo de es el ideal principal generado por 2, es decir , y el elemento irreducible "único" (hasta unidades) es 2 (esto también se conoce como parámetro uniformizador). Nótese que es la localización del dominio de Dedekind en el ideal primo generado por 2. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(2)}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(2)}}$ ${\displaystyle 2\mathbb {Z} _{(2)}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(2)}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

En términos más generales, cualquier localización de un dominio de Dedekind en un ideal primo distinto de cero es un anillo de valoración discreto; en la práctica, así es como surgen con frecuencia los anillos de valoración discretos. En particular, podemos definir anillos

${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}:=\left.\left\{{\frac {z}{n}}\,\right|z,n\in \mathbb {Z} ,p\nmid n\right\}}$

para cualquier primo p en completa analogía.

pag-enteros ádicos

El anillo de números enteros p -ádicos es un DVR, para cualquier primo . Aquí hay un elemento irreducible ; la valoración asigna a cada número entero p-ádico el número entero más grande tal que divida a . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p^{k}}$ ${\displaystyle x}$

Serie de potencias formales

Otro ejemplo importante de DVR es el anillo de series de potencias formales en una variable sobre algún cuerpo . El elemento irreducible "único" es , el ideal máximo de es el ideal principal generado por , y la valoración asigna a cada serie de potencias el índice (es decir, el grado) del primer coeficiente distinto de cero. ${\displaystyle R=k[[T]]}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \nu }$

Si nos limitamos a coeficientes reales o complejos , podemos considerar el anillo de series de potencias en una variable que convergen en un entorno de 0 (el entorno depende de la serie de potencias). Este es un anillo de valoración discreto. Esto es útil para desarrollar intuición con el criterio de propiedad valuativo .

Anillo en campo de función

Para un ejemplo de naturaleza más geométrica, tomemos el anillo R = { f / g  : f , g polinomios en R [ X ] y g (0) ≠ 0}, considerado como un subanillo del cuerpo de funciones racionales R ( X ) en la variable X . R puede identificarse con el anillo de todas las funciones racionales de valor real definidas (es decir, finitas) en un entorno de 0 en el eje real (con el entorno dependiendo de la función). Es un anillo de valoración discreto; el elemento irreducible "único" es X y la valoración asigna a cada función f el orden (posiblemente 0) del cero de f en 0. Este ejemplo proporciona la plantilla para estudiar curvas algebraicas generales cerca de puntos no singulares, siendo la curva algebraica en este caso la línea real.

Teoría de esquemas

Rasgo henseliano

Para un DVR es común escribir el campo de fracción como y el campo de residuo. Estos corresponden a los puntos genéricos y cerrados de Por ejemplo, el punto cerrado de es y el punto genérico es . A veces esto se denota como ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle K={\text{Frac}}(R)}$ ${\displaystyle \kappa =R/{\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle S={\text{Spec}}(R).}$ ${\displaystyle {\text{Spec}}(\mathbb {Z} _{p})}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

${\displaystyle \eta \to S\leftarrow s}$

donde es el punto genérico y es el punto cerrado. ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle s}$

Localización de un punto en una curva

Dada una curva algebraica , el anillo local en un punto liso es un anillo de valoración discreto, porque es un anillo de valoración principal. Nótese que, como el punto es liso, la finalización del anillo local es isomorfa a la finalización de la localización de en algún punto . ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,{\mathfrak {p}}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$

Parámetro uniformizador

Dado un DVR R , cualquier elemento irreducible de R es un generador del ideal máximo único de R y viceversa. Este elemento también se denomina parámetro uniformizador de R (o elemento uniformizador , uniformizador o elemento primo ).

Si fijamos un parámetro uniformizador t , entonces M =( t ) es el único ideal maximal de R , y todo otro ideal distinto de cero es una potencia de M , es decir, tiene la forma ( t ^k ) para algún k ≥0. Todas las potencias de t son distintas, y también lo son las potencias de M . Todo elemento distinto de cero x de R se puede escribir en la forma α t ^k con α una unidad en R y k ≥0, ambos determinados de forma única por x . La valoración está dada por ν ( x ) = kv ( t ). Así que para entender el anillo completamente, uno necesita conocer el grupo de unidades de R y cómo las unidades interactúan aditivamente con las potencias de t .  

La función v también convierte cualquier anillo de valoración discreto en un dominio euclidiano . ^{[ cita requerida ]}

Topología

Todo anillo de valoración discreto, al ser un anillo local , tiene una topología natural y es un anillo topológico . También podemos darle una estructura espacial métrica donde la distancia entre dos elementos x e y se puede medir de la siguiente manera:

${\displaystyle |x-y|=2^{-\nu (x-y)}}$

(o con cualquier otro número real fijo > 1 en lugar de 2). Intuitivamente: un elemento z es "pequeño" y "cercano a 0" si y solo si su valoración ν( z ) es grande. La función |xy|, complementada por |0|=0, es la restricción de un valor absoluto definido en el cuerpo de fracciones del anillo de valoración discreto.

Un DVR es compacto si y sólo si es completo y su campo de residuos R / M es un campo finito .

Algunos ejemplos de DVR completos incluyen:

• el anillo de enteros p -ádicos y
• El anillo de series de potencias formales sobre cualquier campo.

En el caso de un DVR dado, a menudo se pasa a su terminación , un DVR completo que contiene el anillo dado, que a menudo es más fácil de estudiar. Este procedimiento de terminación se puede considerar de manera geométrica como el paso de funciones racionales a series de potencias , o de números racionales a números reales .

Volviendo a nuestros ejemplos: el anillo de todas las series de potencias formales en una variable con coeficientes reales es la compleción del anillo de funciones racionales definidas (es decir, finitas) en una vecindad de 0 en la recta real; es también la compleción del anillo de todas las series de potencias reales que convergen cerca de 0. La compleción de (que puede verse como el conjunto de todos los números racionales que son enteros p -ádicos) es el anillo de todos los enteros p -ádicos Z _p . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}=\mathbb {Q} \cap \mathbb {Z} _{p}}$

Véase también

• Categoría:Localización (matemáticas)
• Anillo local
• Ramificación de los campos locales
• Anillo de Cohen
• Anillo de valoración

Referencias

1. "álgebra ac.conmutativa - Condición para que un anillo local cuyo ideal máximo sea principal sea noetheriano". MathOverflow .

• Atiyah, Michael Francis ; Macdonald, IG (1969), Introducción al álgebra conmutativa , Westview Press, ISBN 978-0-201-40751-8
• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004), Álgebra abstracta (3.ª ed.), Nueva York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-43334-7, Sr.  2286236
• Anillo de valoración discreta, La enciclopedia de las matemáticas .