Finalización de un anillo

En álgebra abstracta , una terminación es cualquiera de varios functores relacionados en anillos y módulos que dan como resultado anillos y módulos topológicos completos . La terminación es similar a la localización y juntas se encuentran entre las herramientas más básicas para analizar anillos conmutativos . Los anillos conmutativos completos tienen una estructura más simple que los generales y se les aplica el lema de Hensel . En geometría algebraica , la finalización de un anillo de funciones R en un espacio X se concentra en una vecindad formal de un punto de X : heurísticamente, esta es una vecindad tan pequeña que todas las series de Taylor centradas en el punto son convergentes. Una terminación algebraica se construye de manera análoga a la completación de un espacio métrico con secuencias de Cauchy , y concuerda con ella en el caso en que R tiene una métrica dada por un valor absoluto no de Arquímedes .

Construcción general

Supongamos que E es un grupo abeliano con filtración descendente

${\displaystyle E=F^{0}E\supset F^{1}E\supset F^{2}E\supset \cdots \,}$

de subgrupos. Se define entonces la terminación (con respecto a la filtración) como el límite inverso :

${\displaystyle {\widehat {E}}=\varprojlim (E/F^{n}E)=\left\{\left.({\overline {a_{n}}})_{n\geq 0}\in \prod _{n\geq 0}(E/F^{n}E)\;\right|\;a_{i}\equiv a_{j}{\pmod {F^{i}E}}{\text{ for all }}i\leq j\right\}.\,}$

Este es nuevamente un grupo abeliano. Generalmente E es un grupo abeliano aditivo . Si E tiene una estructura algebraica adicional compatible con la filtración, por ejemplo E es un anillo filtrado , un módulo filtrado o un espacio vectorial filtrado , entonces su finalización es nuevamente un objeto con la misma estructura que está completo en la topología determinada por la filtración. . Esta construcción se puede aplicar tanto a anillos conmutativos como a anillos no conmutativos . Como es de esperar, cuando la intersección de los dos es igual a cero, se produce un anillo topológico completo . ${\displaystyle F^{i}E}$

Topología de Krull

En álgebra conmutativa , la filtración en un anillo conmutativo R por las potencias de un ideal adecuado I determina la topología Krull (después de Wolfgang Krull ) o I - ádica en R. El caso de un ideal máximo es especialmente importante, por ejemplo el distinguido ideal máximo de un anillo de valoración . La base de las vecindades abiertas de 0 en R está dada por ^las potencias In , que están anidadas y forman una filtración descendente en R : ${\displaystyle I={\mathfrak {m}}}$

${\displaystyle F^{0}R=R\supset I\supset I^{2}\supset \cdots ,\quad F^{n}R=I^{n}.}$

(Las vecindades abiertas de cualquier r ∈ R están dadas por las clases laterales r + In .) La terminación ( I -ádica) es el límite inverso de los anillos de ^factores ,

${\displaystyle {\widehat {R}}_{I}=\varprojlim (R/I^{n})}$

pronunciado "sombrero RI". El núcleo de la aplicación canónica π desde el anillo hasta su finalización es la intersección de las potencias de I. Por tanto, π es inyectivo si y sólo si esta intersección se reduce al elemento cero del anillo; Según el teorema de la intersección de Krull , este es el caso de cualquier anillo noetheriano conmutativo que sea un dominio integral o un anillo local .

Existe una topología relacionada en los módulos R , también llamada topología Krull o I -adic. Una base de vecindades abiertas de un módulo M viene dada por los conjuntos de la forma

${\displaystyle x+I^{n}M\quad {\text{for }}x\in M.}$

La terminación I -ádica de un R -módulo M es el límite inverso de los cocientes

${\displaystyle {\widehat {M}}_{I}=\varprojlim (M/I^{n}M).}$

Este procedimiento convierte cualquier módulo sobre R en un módulo topológico completo sobre . [¡Eso está mal en general! Sólo si el ideal es generado de forma finita, ese es el caso.] ${\displaystyle {\widehat {R}}_{I}}$

Ejemplos

• El anillo de enteros p -ádicos se obtiene completando el anillo de números enteros en el ideal ( p ). ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

• Sea R = K [ x ₁ ,..., x _n ] el anillo polinomial en n variables sobre un campo K y sea el ideal máximo generado por las variables. Entonces la finalización es el anillo K [[ x ₁ ,..., x _n ]] de series de potencias formales en n variables sobre K . ${\displaystyle {\mathfrak {m}}=(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle {\widehat {R}}_{\mathfrak {m}}}$

• Dado un anillo noetheriano y un ideal, la terminación -ádica de es una imagen de un anillo formal en serie de potencias, específicamente, la imagen de la sobreyección ^[1] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I=(f_{1},\ldots ,f_{n}),}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\begin{cases}R[[x_{1},\ldots ,x_{n}]]\to {\widehat {R}}_{I}\\x_{i}\mapsto f_{i}\end{cases}}}$

El núcleo es el ideal. ${\displaystyle (x_{1}-f_{1},\ldots ,x_{n}-f_{n}).}$

Las terminaciones también se pueden utilizar para analizar la estructura local de singularidades de un esquema . Por ejemplo, los esquemas afines asociados a la curva plana cúbica nodal tienen singularidades similares en el origen cuando se ven sus gráficos (ambos parecen un signo más). Observe que en el segundo caso, cualquier vecindad de Zariski del origen sigue siendo una curva irreducible. Si utilizamos terminaciones, entonces estamos viendo una vecindad "suficientemente pequeña" donde el nodo tiene dos componentes. Tomando las localizaciones de estos anillos a lo largo del ideal y completando se obtiene y respectivamente, ¿dónde está la raíz cuadrada formal de ? Más explícitamente, la serie de potencias: ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/(xy)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/(y^{2}-x^{2}(1+x))}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [[x,y]]/(xy)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [[x,y]]/((y+u)(y-u))}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle x^{2}(1+x)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [[x,y]].}$

${\displaystyle u=x{\sqrt {1+x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)(n!)^{2}(4^{n})}}x^{n+1}.}$

Dado que ambos anillos están dados por la intersección de dos ideales generados por un polinomio homogéneo de grado 1, podemos ver algebraicamente que las singularidades "parecen" iguales. Esto se debe a que dicho esquema es la unión de dos subespacios lineales no iguales del plano afín.

Propiedades

• La finalización de un anillo noetheriano con respecto a algún ideal es un anillo noetheriano. ^[2]
• La finalización de un anillo local noetheriano con respecto al ideal máximo único es un anillo local noetheriano. ^[3]
• La terminación es una operación funtorial: un mapa continuo f :  R  →  S de anillos topológicos da lugar a un mapa de sus terminaciones,
  $${\displaystyle {\widehat {f}}:{\widehat {R}}\to {\widehat {S}}.}$$

Además, si M y N son dos módulos sobre el mismo anillo topológico R y f :  M  →  N es un mapa de módulos continuo, entonces f se extiende únicamente al mapa de las terminaciones:

${\displaystyle {\widehat {f}}:{\widehat {M}}\to {\widehat {N}},}$

¿Dónde están los módulos? ${\displaystyle {\widehat {M}},{\widehat {N}}}$ ${\displaystyle {\widehat {R}}.}$

• La finalización de un anillo noetheriano R es un módulo plano sobre R. ^[4]
• La finalización de un módulo M generado finitamente sobre un anillo noetheriano R se puede obtener mediante extensión de escalares :

${\displaystyle {\widehat {M}}=M\otimes _{R}{\widehat {R}}.}$

Junto con la propiedad anterior, esto implica que el funtor de finalización en módulos R generados finitamente es exacto : conserva secuencias cortas exactas . En particular, tomar cocientes de anillos conmuta con compleción, lo que significa que para cualquier cociente R -álgebra , existe un isomorfismo ${\displaystyle R/I}$

${\displaystyle {\widehat {R/I}}\cong {\widehat {R}}/{\widehat {I}}.}$

• Teorema de estructura de Cohen (caso equicaracterístico). Sea R unanillo conmutativo noetheriano local completo con ideal máximo y campo de residuos K. Si R contiene un campo, entonces ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

${\displaystyle R\simeq K[[x_{1},\ldots ,x_{n}]]/I}$

para algún n y algún ideal I (Eisenbud, Teorema 7.7).

Ver también

• Esquema formal
• Entero finito
• Campo localmente compacto
• anillo zariski
• Topología lineal
• Anillo casi sin mezclar

Citas

1. "Proyecto Stacks - Etiqueta 0316". pilas.math.columbia.edu . Consultado el 14 de enero de 2017 .
2. Atiyah y Macdonald 1969, teorema 10.26.
3. Atiyah y Macdonald 1969, Proposición 10.16. y Teorema 10.26.
4. Atiyah y Macdonald 1969, Proposición 10.14.

Referencias

• Atiyah, Michael Francis ; Macdonald, IG (1969). Introducción al Álgebra Conmutativa . Prensa de Westview. ISBN 978-0-201-40751-8.
• David Eisenbud , Álgebra conmutativa. Con miras a la geometría algebraica . Textos de Posgrado en Matemáticas , 150. Springer-Verlag, Nueva York, 1995. xvi+785 págs.  ISBN 0-387-94268-8 ; ISBN 0-387-94269-6 SEÑOR 1322960  
• Fujiwara, Kazuhiro; Gabber, Ofer ; Kato, Fumiharu (2011). "Sobre las terminaciones de Hausdorff de anillos conmutativos en geometría rígida". Revista de Álgebra . 332 (1): 293–321. doi : 10.1016/j.jalgebra.2011.02.001 .