secuencia de cauchy

Secuencia de puntos que se van acercando progresivamente entre sí.

En matemáticas , una secuencia de Cauchy es una secuencia cuyos elementos se acercan arbitrariamente entre sí a medida que avanza la secuencia. ^[1] Más precisamente, dada cualquier distancia positiva pequeña, todos, excluyendo un número finito de elementos de la secuencia, son menores que la distancia dada entre sí. Las secuencias de Cauchy llevan el nombre de Augustin-Louis Cauchy ; en ocasiones pueden conocerse como secuencias fundamentales . ^[2]

No es suficiente que cada término se acerque arbitrariamente al término anterior . Por ejemplo, en la secuencia de raíces cuadradas de números naturales:

$${\displaystyle a_{n}={\sqrt {n}},}$$

$${\displaystyle a_{n+1}-a_{n}={\sqrt {n+1}}-{\sqrt {n}}={\frac {1}{{\sqrt {n+1}}+{\sqrt {n}}}}<{\frac {1}{2{\sqrt {n}}}}}$$

nnndmsí ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle a_{m}-a_{n}>d.}$

La utilidad de las secuencias de Cauchy radica en el hecho de que en un espacio métrico completo (uno donde se sabe que todas esas secuencias convergen a un límite ), el criterio de convergencia depende sólo de los términos de la secuencia misma, a diferencia de la definición de convergencia, que utiliza el valor límite así como los términos. Esto a menudo se explota en algoritmos , tanto teóricos como aplicados, donde se puede mostrar con relativa facilidad que un proceso iterativo produce una secuencia de Cauchy, que consta de iteraciones, cumpliendo así una condición lógica, como la terminación.

Existen generalizaciones de secuencias de Cauchy en espacios uniformes más abstractos en forma de filtros de Cauchy y redes de Cauchy .

En números reales

Una secuencia

$${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\ldots }$$

positivoentero positivo Nlos números naturales ${\displaystyle \varepsilon ,}$ ${\displaystyle m,n>N,}$

$${\displaystyle |x_{m}-x_{n}|<\varepsilon ,}$$

valor absolutonúmeros racionales o complejosinfinitesimalmn ${\displaystyle x_{m}-x_{n}}$

Para cualquier número real r , la secuencia de expansiones decimales truncadas de r forma una secuencia de Cauchy. Por ejemplo, cuando esta secuencia es (3, 3.1, 3.14, 3.141,...). Los términos m y n difieren como máximo cuando m < n y, a medida que m crece, se vuelve más pequeño que cualquier número positivo fijo. ${\displaystyle r=\pi ,}$ ${\displaystyle 10^{1-m}}$ ${\displaystyle \varepsilon .}$

Módulo de convergencia de Cauchy

Si es una secuencia en el conjunto , entonces un módulo de convergencia de Cauchy para la secuencia es una función del conjunto de números naturales hacia sí misma, de modo que para todos los números naturales y números naturales ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},...)}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle m,n>\alpha (k),}$ ${\displaystyle |x_{m}-x_{n}|<1/k.}$

Cualquier secuencia con un módulo de convergencia de Cauchy es una secuencia de Cauchy. La existencia de un módulo para una secuencia de Cauchy se deriva de la propiedad de buen ordenamiento de los números naturales (sea el más pequeño posible en la definición de la secuencia de Cauchy, tomando como ). La existencia de un módulo también se deriva del principio de elección contable . Las secuencias regulares de Cauchy son secuencias con un módulo de convergencia de Cauchy dado (generalmente o ). Cualquier secuencia de Cauchy con un módulo de convergencia de Cauchy es equivalente a una secuencia de Cauchy regular; esto se puede demostrar sin utilizar ninguna forma del axioma de elección. ${\displaystyle \alpha (k)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle 1/k}$ ${\displaystyle \alpha (k)=k}$ ${\displaystyle \alpha (k)=2^{k}}$

Los módulos de convergencia de Cauchy son utilizados por matemáticos constructivos que no desean utilizar ninguna forma de elección. El uso de un módulo de convergencia de Cauchy puede simplificar tanto las definiciones como los teoremas en el análisis constructivo. Bishop (2012) y Bridges (1997) utilizaron secuencias regulares de Cauchy en libros de texto de matemáticas constructivas.

en un espacio métrico

Dado que la definición de una secuencia de Cauchy sólo implica conceptos métricos, es sencillo generalizarla a cualquier espacio métrico X. Para hacerlo, el valor absoluto se reemplaza por la distancia (donde d denota una métrica ) entre y ${\displaystyle \left|x_{m}-x_{n}\right|}$ ${\displaystyle d\left(x_{m},x_{n}\right)}$ ${\displaystyle x_{m}}$ ${\displaystyle x_{n}.}$

Formalmente, dado un espacio métrico una secuencia ${\displaystyle (X,d),}$

$${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\ldots }$$

número realentero ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle m,n>N,}$

$${\displaystyle d\left(x_{m},x_{n}\right)<\varepsilon .}$$

En términos generales, los términos de la secuencia se están acercando cada vez más de una manera que sugiere que la secuencia debería tener un límite en X. Sin embargo, tal límite no siempre existe dentro de X : la propiedad de un espacio de que cada secuencia de Cauchy converge en el espacio se llama completitud y se detalla a continuación.

Lo completo

Un espacio métrico ( X , d ) en el que cada secuencia de Cauchy converge a un elemento de X se llama completo .

Ejemplos

Los números reales están completos bajo la métrica inducida por el valor absoluto habitual, y una de las construcciones estándar de los números reales implica secuencias de Cauchy de números racionales . En esta construcción, cada clase de equivalencia de secuencias de Cauchy de números racionales con un cierto comportamiento de cola (es decir, cada clase de secuencias que se acercan arbitrariamente entre sí) es un número real.

Un tipo de ejemplo bastante diferente lo ofrece un espacio métrico X que tiene la métrica discreta (donde dos puntos distintos están a una distancia 1 entre sí). Cualquier secuencia de Cauchy de elementos de X debe ser constante más allá de algún punto fijo y converger al término que eventualmente se repite.

No ejemplo: números racionales

Los números racionales no están completos (por la distancia habitual): Hay secuencias de racionales que convergen (en ) a números irracionales ; estas son secuencias de Cauchy que no tienen límite en De hecho, si un número real x es irracional, entonces la secuencia ( x _n ), cuyo n -ésimo término es el truncamiento a n decimales de la expansión decimal de x , da una secuencia de Cauchy de números racionales con límite irracional x . Los números irracionales ciertamente existen, por ejemplo: ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$

• La secuencia definida por consta de números racionales (1, 3/2, 17/12,...), lo cual se desprende claramente de la definición; sin embargo, converge a la raíz cuadrada irracional de 2 ; consulte el método babilónico de calcular la raíz cuadrada . ${\displaystyle x_{0}=1,x_{n+1}={\frac {x_{n}+2/x_{n}}{2}}}$
• La secuencia de razones de números de Fibonacci consecutivos que, si converge, converge a un límite que satisface y ningún número racional tiene esta propiedad. Sin embargo, si se considera esto como una secuencia de números reales, converge al número real, la proporción áurea , que es irracional. ${\displaystyle x_{n}=F_{n}/F_{n-1}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi ^{2}=\phi +1,}$ ${\displaystyle \varphi =(1+{\sqrt {5}})/2,}$
• Se sabe que los valores de las funciones exponencial, seno y coseno, exp( x ), sin( x ), cos( x ), son irracionales para cualquier valor racional de , pero cada uno puede definirse como el límite de una secuencia de Cauchy racional. utilizando, por ejemplo, la serie Maclaurin . ${\displaystyle x\neq 0,}$

No ejemplo: intervalo abierto

El intervalo abierto en un conjunto de números reales con una distancia ordinaria en no es un espacio completo: hay una secuencia en él, que es Cauchy (para distancias arbitrariamente pequeñas une todos los términos de ajuste en el intervalo), sin embargo no converge en — su 'límite', el número 0, no pertenece al espacio ${\displaystyle X=(0,2)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{n}=1/n}$ ${\displaystyle d>0}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle n>1/d}$ ${\displaystyle (0,d)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Otras propiedades

• Toda secuencia convergente (con límite s , digamos) es una secuencia de Cauchy, ya que, dado cualquier número real más allá de algún punto fijo, cada término de la secuencia está a una distancia de s , por lo que dos términos cualesquiera de la secuencia están a una distancia entre sí . ${\displaystyle \varepsilon >0,}$ ${\displaystyle \varepsilon /2}$ ${\displaystyle \varepsilon }$
• En cualquier espacio métrico, una secuencia de Cauchy está acotada (ya que para algún N , todos los términos de la secuencia desde el N -ésimo en adelante están a una distancia de 1 entre sí, y si M es la distancia más grande entre y cualquier término hasta el N -ésimo, entonces ningún término de la secuencia tiene una distancia mayor que desde ). ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x_{N}}$ ${\displaystyle M+1}$ ${\displaystyle x_{N}}$
• En cualquier espacio métrico, una secuencia de Cauchy que tiene una subsecuencia convergente con límite s es en sí misma convergente (con el mismo límite), ya que, dado cualquier número real r > 0, más allá de algún punto fijo en la secuencia original, cada término de la subsecuencia está a una distancia r /2 de s , y dos términos cualesquiera de la secuencia original están a una distancia r /2 entre sí, por lo que cada término de la secuencia original está a una distancia r de s .

Estas dos últimas propiedades, junto con el teorema de Bolzano-Weierstrass , producen una prueba estándar de la completitud de los números reales, estrechamente relacionada tanto con el teorema de Bolzano-Weierstrass como con el teorema de Heine-Borel . Cada secuencia de Cauchy de números reales está acotada, por lo tanto, según Bolzano-Weierstrass tiene una subsecuencia convergente y, por lo tanto, es ella misma convergente. Esta prueba de la integridad de los números reales hace uso implícitamente del axioma del límite superior mínimo . El enfoque alternativo, mencionado anteriormente, de construir los números reales como la compleción de los números racionales, hace que la completitud de los números reales sea tautológica.

Una de las ilustraciones estándar de la ventaja de poder trabajar con secuencias de Cauchy y hacer uso de la completitud la proporciona la consideración de la suma de una serie infinita de números reales (o, más generalmente, de elementos de cualquier espacio lineal normado completo ). o espacio de Banach ). Tal serie se considera convergente si y sólo si la secuencia de sumas parciales es convergente, donde es una cuestión de rutina determinar si la secuencia de sumas parciales es de Cauchy o no, ya que para números enteros positivos ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }x_{n}}$ ${\displaystyle (s_{m})}$ ${\textstyle s_{m}=\sum _{n=1}^{m}x_{n}.}$ ${\displaystyle p>q,}$

$${\displaystyle s_{p}-s_{q}=\sum _{n=q+1}^{p}x_{n}.}$$

Si es una aplicación uniformemente continua entre los espacios métricos M y N y ( x _n ) es una secuencia de Cauchy en M , entonces es una secuencia de Cauchy en N . Si y son dos secuencias de Cauchy en números racionales, reales o complejos, entonces la suma y el producto también son secuencias de Cauchy. ${\displaystyle f:M\to N}$ ${\displaystyle (f(x_{n}))}$ ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle (y_{n})}$ ${\displaystyle (x_{n}+y_{n})}$ ${\displaystyle (x_{n}y_{n})}$

Generalizaciones

En espacios vectoriales topológicos

También existe un concepto de secuencia de Cauchy para un espacio vectorial topológico : elija una base local para aproximadamente 0; entonces ( ) es una secuencia de Cauchy si para cada miembro hay algún número tal que siempre es un elemento de Si la topología de es compatible con una métrica invariante de traducción, las dos definiciones concuerdan. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle V\in B,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n,m>N,x_{n}-x_{m}}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d,}$

En grupos topológicos

Dado que la definición del espacio vectorial topológico de la secuencia de Cauchy requiere sólo que haya una operación de "resta" continua, también puede expresarse en el contexto de un grupo topológico : una secuencia en un grupo topológico es una secuencia de Cauchy si para cada secuencia abierta vecindad de la identidad en existe algún número tal que siempre que se siga que Como arriba, es suficiente verificar esto para las vecindades en cualquier base local de la identidad en ${\displaystyle (x_{k})}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle m,n>N}$ ${\displaystyle x_{n}x_{m}^{-1}\in U.}$ ${\displaystyle G.}$

Como en la construcción de la compleción de un espacio métrico , se puede además definir la relación binaria en secuencias de Cauchy en que y son equivalentes si para cada vecindad abierta de la identidad en existe algún número tal que siempre que se siga que Esta relación es una Relación de equivalencia : Es reflexiva ya que las secuencias son secuencias de Cauchy. Es simétrico por lo que por continuidad de la inversa es otra vecindad abierta de la identidad. Es transitivo desde donde y son barrios abiertos de la identidad tales que ; tales pares existen por la continuidad de la operación del grupo. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (x_{k})}$ ${\displaystyle (y_{k})}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle m,n>N}$ ${\displaystyle x_{n}y_{m}^{-1}\in U.}$ ${\displaystyle y_{n}x_{m}^{-1}=(x_{m}y_{n}^{-1})^{-1}\in U^{-1}}$ ${\displaystyle x_{n}z_{l}^{-1}=x_{n}y_{m}^{-1}y_{m}z_{l}^{-1}\in U'U''}$ ${\displaystyle U'}$ ${\displaystyle U''}$ ${\displaystyle U'U''\subseteq U}$

En grupos

También existe un concepto de secuencia de Cauchy en un grupo : Sea una secuencia decreciente de subgrupos normales de índice finito . Entonces se dice que una secuencia en es Cauchy (con respecto a ) si y sólo si para cualquiera existe tal que para todos ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H=(H_{r})}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle m,n>N,x_{n}x_{m}^{-1}\in H_{r}.}$

Técnicamente, esto es lo mismo que una secuencia de Cauchy de grupo topológico para una elección particular de topología, es decir, aquella para la cual es una base local. ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle H}$

El conjunto de tales secuencias de Cauchy forma un grupo (para el producto por componentes), y el conjunto de secuencias nulas (secuencias tales que ) es un subgrupo normal de El grupo de factores se llama compleción de con respecto a ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C_{0}}$ ${\displaystyle \forall r,\exists N,\forall n>N,x_{n}\in H_{r}}$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle C/C_{0}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H.}$

Entonces se puede demostrar que esta terminación es isomorfa al límite inverso de la secuencia. ${\displaystyle (G/H_{r}).}$

Un ejemplo de esta construcción familiar en la teoría de números y la geometría algebraica es la construcción de la terminación -ádica de los números enteros con respecto a un primo . En este caso, son los números enteros bajo la suma y es el subgrupo aditivo que consta de múltiplos enteros de ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p.}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H_{r}}$ ${\displaystyle p_{r}.}$

Si es una secuencia cofinal (es decir, cualquier subgrupo normal de índice finito contiene algo ), entonces esta terminación es canónica en el sentido de que es isomorfa al límite inverso de donde varía en todos los subgrupos normales de índice finito . Para más detalles, ver Cap. I.10 en "Álgebra" de Lang . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H_{r}}$ ${\displaystyle (G/H)_{H},}$ ${\displaystyle H}$

En un continuo hiperreal

Una secuencia real tiene una extensión hiperreal natural , definida para valores hipernaturales H del índice n además del habitual n natural . La secuencia es de Cauchy si y sólo si para cada H y K infinitos , los valores de y son infinitamente cercanos o adecuados , es decir, ${\displaystyle \langle u_{n}:n\in \mathbb {N} \rangle }$ ${\displaystyle u_{H}}$ ${\displaystyle u_{K}}$

${\displaystyle \mathrm {st} (u_{H}-u_{K})=0}$

donde "st" es la función de pieza estándar .

Cauchy finalización de categorías

Krause (2020) introdujo la noción de finalización de una categoría por parte de Cauchy . Aplicada a (la categoría cuyos objetos son números racionales, y hay un morfismo de x a y si y sólo si ), esta terminación de Cauchy produce (nuevamente interpretada como una categoría que usa su orden natural). ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \left\{\infty \right\}}$

Ver también

• Modos de convergencia (índice anotado)  : índice anotado de varios modos de convergencia
• Corte de Dedekind  – Método de construcción de los números reales

Referencias

1. Lang 1992.
2. Ebbinghaus, Heinz-Dieter (1991). Números . Nueva York: Springer. pag. 40.

Otras lecturas

• Obispo, Errett Albert (2012). Fundamentos del Análisis Constructivo . Prensa Ishi. ISBN 9784871877145.

• Bourbaki, Nicolás (1972). Álgebra conmutativa (edición en traducción al inglés). Addison-Wesley / Hermann. ISBN 0-201-00644-8.

• Puentes, Douglas Sutherland (1997). Fundamentos del Análisis Constructivo . Saltador. ISBN 978-0-387-98239-7.

• Krause, Henning (2020). "Completar complejos perfectos: con apéndices de Tobias Barthel y Bernhard Keller". Mathematische Zeitschrift . 296 (3–4): 1387–1427. arXiv : 1805.10751 . doi : 10.1007/s00209-020-02490-z .

• Lang, Serge (1992). Álgebra (3ª ed.). Reading, Massachusetts: Addison Wesley Publishing Company. ISBN 978-0-201-55540-0. Zbl  0848.13001.

• Spivak, Michael (1994). Cálculo (3ª ed.). Berkeley, CA: Publicar o perecer. ISBN 0-914098-89-6. Archivado desde el original el 17 de mayo de 2007 . Consultado el 26 de mayo de 2007 .

• Troelstra, AS ; van Dalen, D. Constructivismo en matemáticas: una introducción .(para usos en matemáticas constructivas)

enlaces externos

• "Cauchy sequence", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]