Entero

Número en {..., –2, –1, 0, 1, 2, ...}

Una Z en negrita de pizarra , utilizada a menudo para indicar el conjunto de todos los números enteros.

Un número entero es el número cero ( 0 ), un número natural positivo (1, 2, 3, etc.) o un número entero negativo ( −1 , −2, −3, etc.). ^[1] Los números negativos son los inversos aditivos de los números positivos correspondientes. ^[2] El conjunto de todos los números enteros a menudo se indica con la Z en negrita o negrita de pizarra . ^{[3] [4]} ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

El conjunto de los números naturales es un subconjunto de , que a su vez es un subconjunto del conjunto de todos los números racionales , que a su vez es un subconjunto de los números reales . ^[a] Al igual que el conjunto de los números naturales, el conjunto de los números enteros es infinito contablemente . Un número entero puede considerarse como un número real que puede escribirse sin un componente fraccionario . Por ejemplo, 21, 4, 0 y −2048 son números enteros, mientras que 9,75, 5 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$+1/2, y  √ 2 no lo son. ^[8]

Los números enteros forman el grupo más pequeño y el anillo más pequeño que contiene los números naturales . En la teoría algebraica de números , los números enteros a veces se califican como enteros racionales para distinguirlos de los números enteros algebraicos más generales . De hecho, los números enteros (racionales) son números enteros algebraicos que también son números racionales .

Historia

La palabra entero proviene del latín entero que significa "entero" o (literalmente) "intacto", de in ("no") más tangere ("tocar"). "Entero" deriva del mismo origen a través de la palabra francesa entier , que significa tanto entero como entero . ^[9] Históricamente el término se usaba para un número que era múltiplo de 1, ^{[10] [11]} o para la parte entera de un número mixto . ^{[12] [13]} Sólo se consideraron números enteros positivos, lo que hace que el término sea sinónimo de números naturales . La definición de número entero se amplió con el tiempo para incluir números negativos a medida que se reconoció su utilidad. ^[14] Por ejemplo , Leonhard Euler en sus Elementos de álgebra de 1765 definió los números enteros para incluir tanto números positivos como negativos. ^[15] Sin embargo, los matemáticos europeos, en su mayor parte, se resistieron al concepto de números negativos hasta mediados del siglo XIX. ^[14]

El uso de la letra Z para designar el conjunto de números enteros proviene de la palabra alemana Zahlen ("números") ^{[3] [4]} y ha sido atribuido a David Hilbert . ^[16] El primer uso conocido de la notación en un libro de texto ocurre en Algébre escrito por el colectivo Nicolas Bourbaki , que data de 1947. ^{[3] [17]} La ​​notación no fue adoptada inmediatamente, por ejemplo, otro libro de texto usó la letra J ^{[18 ]} y un artículo de 1960 utilizó Z para denotar los números enteros no negativos. ^[19] Pero en 1961, Z era utilizado generalmente en los textos de álgebra modernos para denotar los números enteros positivos y negativos. ^[20]

El símbolo suele estar anotado para indicar varios conjuntos, con diferentes usos entre diferentes autores: , o para los números enteros positivos, o para los números enteros no negativos, y para los números enteros distintos de cero. Algunos autores lo usan para números enteros distintos de cero, mientras que otros lo usan para números enteros no negativos o para {–1, 1} (el grupo de unidades de ). Además, se utiliza para denotar el conjunto de números enteros módulo p (es decir, el conjunto de clases de congruencia de números enteros) o el conjunto de enteros p -ádicos . ^{[21] [22]} ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{>}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{0+}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\geq }}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\neq }}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

Los números enteros eran sinónimos de números enteros hasta principios de la década de 1950. ^{[23] [24] [25]} A finales de la década de 1950, como parte del movimiento New Math , ^[26] los maestros de escuelas primarias estadounidenses comenzaron a enseñar que los "números enteros" se referían a los números naturales , excluyendo los números negativos, mientras que "enteros" Incluye los números negativos. ^{[27] [28]} El "número entero" sigue siendo ambiguo hasta el día de hoy. ^[29]

Propiedades algebraicas

Los números enteros se pueden considerar como puntos discretos y equidistantes en una recta numérica infinitamente larga . En lo anterior, los números enteros no negativos se muestran en azul y los números enteros negativos en rojo.

Al igual que los números naturales , es cerrado bajo las operaciones de suma y multiplicación , es decir, la suma y el producto de dos números enteros cualesquiera es un número entero. Sin embargo, con la inclusión de los números naturales negativos (y, lo que es más importante,  ), , a diferencia de los números naturales, también se cierra bajo la resta . ^[30] ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Los números enteros forman un anillo unital que es el más básico, en el siguiente sentido: para cualquier anillo unital, existe un homomorfismo de anillo único de los números enteros en este anillo. Esta propiedad universal , es decir, ser un objeto inicial en la categoría de anillos , caracteriza al anillo  . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \mathbb {Z} }$no está cerrado bajo división , ya que el cociente de dos números enteros (por ejemplo, 1 dividido por 2) no tiene por qué ser un número entero. Aunque los números naturales son cerrados bajo exponenciación , los números enteros no lo son (ya que el resultado puede ser una fracción cuando el exponente es negativo).

La siguiente tabla enumera algunas de las propiedades básicas de la suma y la multiplicación de cualquier número entero a , b y c :

Las primeras cinco propiedades enumeradas anteriormente para la suma dicen que , bajo suma, es un grupo abeliano . También es un grupo cíclico , ya que todo número entero distinto de cero se puede escribir como una suma finita 1 + 1 +... + 1 o (−1) + (−1) +... + (−1) . De hecho, bajo la suma se encuentra el único grupo cíclico infinito, en el sentido de que cualquier grupo cíclico infinito es isomorfo a . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Las primeras cuatro propiedades enumeradas anteriormente para la multiplicación dicen que bajo la multiplicación hay un monoide conmutativo . Sin embargo, no todo número entero tiene inverso multiplicativo (como es el caso del número 2), lo que significa que bajo multiplicación no es un grupo. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Todas las reglas de la tabla de propiedades anterior (excepto la última), cuando se toman en conjunto, dicen que junto con la suma y la multiplicación es un anillo conmutativo con unidad . Es el prototipo de todos los objetos de tal estructura algebraica . Sólo aquellas igualdades de expresiones son verdaderas  para todos los valores de variables, que son verdaderas en cualquier anillo conmutativo unital. Ciertos números enteros distintos de cero se asignan a cero en ciertos anillos. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

La falta de divisores de cero en los números enteros (última propiedad de la tabla) significa que el anillo conmutativo  es un dominio integral . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

La falta de inversos multiplicativos, lo que equivale a que no es cerrado bajo división, significa que no es un campo . El campo más pequeño que contiene los números enteros como subanillo es el campo de los números racionales . El proceso de construcción de los racionales a partir de números enteros se puede imitar para formar el campo de fracciones de cualquier dominio integral. Y viceversa, partiendo de un campo numérico algebraico (una extensión de los números racionales), se puede extraer su anillo de números enteros , que incluye como su subanillo . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Aunque la división ordinaria no está definida en , en ellos se define la división "con resto". Se llama división euclidiana y posee la siguiente propiedad importante: dados dos números enteros a y b con b ≠ 0 , existen enteros únicos q y r tales que a = q × b + r y 0 ≤ r < | segundo | , donde | segundo | denota el valor absoluto de b . El número entero q se llama cociente y r se llama resto de la división de a por b . El algoritmo euclidiano para calcular el máximo común divisor funciona mediante una secuencia de divisiones euclidianas. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Lo anterior dice que es un dominio euclidiano . Esto implica que es un dominio ideal principal , y cualquier número entero positivo puede escribirse como producto de números primos de una manera esencialmente única . ^[31] Este es el teorema fundamental de la aritmética . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Propiedades de la teoría del orden

${\displaystyle \mathbb {Z} }$Es un conjunto totalmente ordenado sin cota superior ni inferior . El orden de está dado por: ... −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < 3 < ... Un número entero es positivo si es mayor que cero y negativo si es menor que cero. . El cero no se define como ni negativo ni positivo. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

El orden de los números enteros es compatible con las operaciones algebraicas de la siguiente manera:

1. si a < b y c < d , entonces a + c < b + d
2. si a < b y 0 < c , entonces ac < bc .

Por lo tanto, se deduce que junto con el orden anterior hay un anillo ordenado . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Los números enteros son el único grupo abeliano no trivial y totalmente ordenado cuyos elementos positivos están bien ordenados . ^[32] Esto equivale a la afirmación de que cualquier anillo de valoración noetheriano es un campo o un anillo de valoración discreto .

Construcción

Desarrollo tradicional

En la enseñanza de la escuela primaria, los números enteros a menudo se definen intuitivamente como la unión de los números naturales (positivos), el cero , y las negaciones de los números naturales. Esto se puede formalizar de la siguiente manera. ^[33] Primero construye el conjunto de los números naturales según los axiomas de Peano , llámalo . Luego construya un conjunto que sea disjunto y en correspondencia uno a uno mediante una función . Por ejemplo, tomemos como pares ordenados con el mapeo . Finalmente, sea 0 algún objeto que no esté en o , por ejemplo, el par ordenado . Entonces los números enteros se definen como la unión . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P^{-}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle P^{-}}$ ${\displaystyle (1,n)}$ ${\displaystyle \psi =n\mapsto (1,n)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P^{-}}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle P\cup P^{-}\cup \{0\}}$

Las operaciones aritméticas tradicionales se pueden definir entonces con los números enteros por partes , para cada uno de los números positivos, negativos y cero. Por ejemplo, la negación se define de la siguiente manera:

$${\displaystyle -x={\begin{cases}\psi (x),&{\text{if }}x\in P\\\psi ^{-1}(x),&{\text{if }}x\in P^{-}\\0,&{\text{if }}x=0\end{cases}}}$$

El estilo tradicional de definición conduce a muchos casos diferentes (cada operación aritmética debe definirse en cada combinación de tipos de números enteros) y hace que sea tedioso demostrar que los números enteros obedecen las diversas leyes de la aritmética. ^[34]

Clases de equivalencia de pares ordenados

Los puntos rojos representan pares ordenados de números naturales . Los puntos rojos vinculados son clases de equivalencia que representan los números enteros azules al final de la línea.

En las matemáticas modernas de teoría de conjuntos, a menudo se utiliza una construcción más abstracta ^{[35] [36]} que permite definir operaciones aritméticas sin ninguna distinción de casos. ^[37] Los números enteros pueden así construirse formalmente como clases de equivalencia de pares ordenados de números naturales ( a , b ) . ^[38]

La intuición es que ( a , b ) representa el resultado de restar b de a . ^[38] Para confirmar nuestra expectativa de que 1 − 2 y 4 − 5 denotan el mismo número, definimos una relación de equivalencia ~ en estos pares con la siguiente regla:

${\displaystyle (a,b)\sim (c,d)}$

precisamente cuando

${\displaystyle a+d=b+c.}$

La suma y multiplicación de números enteros se pueden definir en términos de operaciones equivalentes con los números naturales; ^[38] al usar [( a , b )] para denotar la clase de equivalencia que tiene ( a , b ) como miembro, se tiene:

${\displaystyle [(a,b)]+[(c,d)]:=[(a+c,b+d)].}$

${\displaystyle [(a,b)]\cdot [(c,d)]:=[(ac+bd,ad+bc)].}$

La negación (o inverso aditivo) de un número entero se obtiene invirtiendo el orden del par:

${\displaystyle -[(a,b)]:=[(b,a)].}$

Por tanto, la resta se puede definir como la suma del inverso del aditivo:

${\displaystyle [(a,b)]-[(c,d)]:=[(a+d,b+c)].}$

El orden estándar de los números enteros viene dado por:

${\displaystyle [(a,b)]<[(c,d)]}$ si y solo si ${\displaystyle a+d<b+c.}$

Se comprueba fácilmente que estas definiciones son independientes de la elección de los representantes de las clases de equivalencia.

Cada clase de equivalencia tiene un miembro único que tiene la forma ( n ,0) o (0, n ) (o ambos a la vez). El número natural n se identifica con la clase [( n ,0)] (es decir, los números naturales se incrustan en los números enteros mediante el envío del mapa n a [( n ,0)] ), y la clase [(0, n ) ] se denota − n (esto cubre todas las clases restantes y da la clase [(0,0)] por segunda vez desde −0 = 0.

Por lo tanto, [( a , b )] se denota por

${\displaystyle {\begin{cases}a-b,&{\mbox{if }}a\geq b\\-(b-a),&{\mbox{if }}a<b.\end{cases}}}$

Si los números naturales se identifican con los números enteros correspondientes (usando la incrustación mencionada anteriormente), esta convención no crea ambigüedad.

Esta notación recupera la familiar representación de los números enteros como {..., −2, −1, 0, 1, 2,...} .

Algunos ejemplos son:

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=[(0,0)]&=[(1,1)]&=\cdots &&=[(k,k)]\\1&=[(1,0)]&=[(2,1)]&=\cdots &&=[(k+1,k)]\\-1&=[(0,1)]&=[(1,2)]&=\cdots &&=[(k,k+1)]\\2&=[(2,0)]&=[(3,1)]&=\cdots &&=[(k+2,k)]\\-2&=[(0,2)]&=[(1,3)]&=\cdots &&=[(k,k+2)].\end{aligned}}}$

Otros enfoques

En informática teórica, los probadores de teoremas automatizados y los motores de reescritura de términos utilizan otros enfoques para la construcción de números enteros . Los números enteros se representan como términos algebraicos construidos usando algunas operaciones básicas (por ejemplo, cero , succ , pred ) y, posiblemente, usando números naturales , que se supone que ya están construidos (usando, por ejemplo, el enfoque de Peano ).

Existen al menos diez construcciones de este tipo de enteros con signo. ^[39] Estas construcciones difieren en varios aspectos: el número de operaciones básicas utilizadas para la construcción, el número (generalmente, entre 0 y 2) y los tipos de argumentos aceptados por estas operaciones; la presencia o ausencia de números naturales como argumentos de algunas de estas operaciones, y el hecho de que estas operaciones sean constructores libres o no, es decir, que un mismo número entero pueda representarse utilizando sólo uno o varios términos algebraicos.

La técnica para la construcción de números enteros presentada en la sección anterior corresponde al caso particular donde existe un único par de operaciones básicas que toma como argumentos dos números naturales y , y devuelve un número entero (igual a ). Esta operación no es gratuita ya que el número entero 0 se puede escribir par (0,0), o par (1,1), o par (2,2), etc. Esta técnica de construcción es utilizada por la asistente de pruebas Isabelle ; sin embargo, muchas otras herramientas utilizan técnicas de construcción alternativas, destacando aquellas basadas en constructores libres, que son más simples y pueden implementarse de manera más eficiente en computadoras. ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x-y}$

Ciencias de la Computación

Un número entero suele ser un tipo de datos primitivo en los lenguajes informáticos . Sin embargo, los tipos de datos enteros sólo pueden representar un subconjunto de todos los números enteros, ya que las computadoras prácticas tienen una capacidad finita. Además, en la representación común en complemento a dos , la definición inherente de signo distingue entre "negativo" y "no negativo" en lugar de "negativo, positivo y 0". (Sin embargo, es ciertamente posible que una computadora determine si un valor entero es verdaderamente positivo). Los tipos de datos (o subconjuntos) de aproximación de enteros de longitud fija se denominan int o Integer en varios lenguajes de programación (como Algol68 , C , Java , Delfos , etc.).

Las representaciones de números enteros de longitud variable, como bignums , pueden almacenar cualquier número entero que quepa en la memoria de la computadora. Otros tipos de datos enteros se implementan con un tamaño fijo, generalmente un número de bits que es una potencia de 2 (4, 8, 16, etc.) o un número memorable de dígitos decimales (por ejemplo, 9 o 10).

Cardinalidad

El conjunto de números enteros es contablemente infinito , lo que significa que es posible emparejar cada número entero con un número natural único. Un ejemplo de este tipo de emparejamiento es

(0, 1), (1, 2), (−1, 3), (2, 4), (−2, 5), (3, 6), . . . , (1 -  k , 2 k  - 1), ( k , 2 k  ), . . .

Más técnicamente, se dice que la cardinalidad de es igual a ℵ ₀ ( aleph-null ). El emparejamiento entre elementos de y se llama biyección . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

Ver también

• Portal de matemáticas

• Factorización canónica de un número entero positivo
• Hiperentero
• Complejidad entera
• celosía entera
• parte entera
• secuencia entera
• Función de valores enteros
• Símbolos matemáticos
• Paridad (matemáticas)
• Entero finito

Notas a pie de página

1. Más precisamente, cada sistema está integrado en el siguiente, asignado isomórficamente a un subconjunto. ^[5] La contención de la teoría de conjuntos comúnmente asumida se puede obtener construyendo los reales, descartando cualquier construcción anterior y definiendo los otros conjuntos como subconjuntos de los reales. ^[6] Tal convención es "una cuestión de elección", pero no lo es. ^[7]

Referencias

1. Enciclopedia de ciencia y tecnología. Prensa de la Universidad de Chicago. Septiembre de 2000. pág. 280.ISBN _ 978-0-226-74267-0.
2. "Enteros: Introducción al concepto, con actividades comparando temperaturas y dinero. | Unidad 1". REA comunes .
3. Miller, Jeff (29 de agosto de 2010). "Primeros usos de los símbolos de la teoría de números". Archivado desde el original el 31 de enero de 2010 . Consultado el 20 de septiembre de 2010 .
4. Peter Jephson Cameron (1998). Introducción al Álgebra. Prensa de la Universidad de Oxford. pag. 4.ISBN _ 978-0-19-850195-4. Archivado desde el original el 8 de diciembre de 2016 . Consultado el 15 de febrero de 2016 .
5. Partee, Barbara H.; Meulen, Alice ter; Wall, Robert E. (30 de abril de 1990). Métodos matemáticos en lingüística. Medios de ciencia y negocios de Springer. págs. 78–82. ISBN 978-90-277-2245-4. Los números naturales no son en sí mismos un subconjunto de esta representación teórica de conjuntos de los números enteros. Más bien, el conjunto de todos los números enteros contiene un subconjunto formado por los números enteros positivos y el cero que es isomorfo al conjunto de los números naturales.
6. Wohlgemuth, Andrew (10 de junio de 2014). Introducción a la demostración en matemáticas abstractas. Corporación de mensajería. pag. 237.ISBN _ 978-0-486-14168-8.
7. Polkinghorne, John (19 de mayo de 2011). Significado en Matemáticas. OUP Oxford. pag. 68.ISBN _ 978-0-19-162189-5.
8. Preparación, prueba Kaplan (4 de junio de 2019). GMAT Complete 2020: lo último en autoestudio integral para GMAT. Simón y Schuster. ISBN 978-1-5062-4844-8.
9. Evans, Nick (1995). "A-Cuantificadores y alcance". En Bach, Emmon W. (ed.). Cuantificación en Lenguajes Naturales. Dordrecht, Países Bajos; Boston, MA: Editores académicos de Kluwer. pag. 262.ISBN _ 978-0-7923-3352-4.
10. Smedley, Eduardo; Rosa, Hugh James; Rosa, Henry John (1845). Enciclopedia Metropolitana. B. Compañeros. pag. 537. Un número entero es múltiplo de la unidad
11. Enciclopedia Británica 1771, pag. 367
12. Pisano, Leonardo ; Boncompagni, Baldassarre (transliteración) (1202). Incipit liber Abbaci compositus a Lionardo filio Bonaccii Pisano en el año Mccij [ El libro de cálculo ] (Manuscrito) (en latín). Traducido por Sigler, Laurence E. Museo Galileo. pag. 30. Nam rupti uel fracti semper ponendi sunt post integra, quamuis prius integra quam rupti pronuntiari debeant. [Y las fracciones siempre se ponen después del entero, así primero se escribe el entero, y luego la fracción]
13. Enciclopedia Británica 1771, pag. 83
14. Martínez, Alberto (2014). Matemáticas negativas . Prensa de la Universidad de Princeton. págs. 80-109.
15. Euler, Leonhard (1771). Vollstandige Anleitung Zur Algebra [ Introducción completa al álgebra ] (en alemán). vol. 1. pág. 10. Alle diese Zahlen, so wohl positivo como negativo, führen den bekannten Nahmen der gantzen Zahlen, welche also entweder größer oder kleiner sind als nichts. Man nennt dieselbe gantze Zahlen, um sie von den gebrochenen, und noch vielerley andern Zahlen, wovon unten gehandelt werden wird, zu unterscheiden. [Todos estos números, tanto positivos como negativos, se llaman números enteros, que son mayores o menores que nada. Los llamamos números enteros para distinguirlos de las fracciones y de otros tipos de números de los que hablaremos más adelante.]
16. Revisión de la Universidad de Leeds. vol. 31–32. Universidad de Leeds. 1989. pág. 46. ​​Por cierto, Z proviene de "Zahl": la notación fue creada por Hilbert.
17. Bourbaki, Nicolás (1951). Algèbre, Capítulo 1 (en francés) (2ª ed.). París: Hermann. pag. 27. Le symétrisé de N se note Z ; ses elementos sont apelados entiers rationnels. [El grupo de diferencias de N se denota por Z ; sus elementos se llaman números enteros racionales.]
18. Birkhoff, Garrett (1948). Teoría de la celosía (edición revisada). Sociedad Matemática Estadounidense. pag. 63. el conjunto J de todos los números enteros
19. Sociedad, Matemática Canadiense (1960). Revista Canadiense de Matemáticas. Sociedad Canadiense de Matemáticas. pag. 374. Considere el conjunto Z de números enteros no negativos.
20. Bezuszka, Stanley (1961). Progreso contemporáneo en matemáticas: suplemento para profesores [de] las partes 1 y 2. Boston College. pag. 69. Los textos de Álgebra moderna generalmente designan el conjunto de los números enteros con la letra mayúscula Z.
21. Keith Pledger y Dave Wilkins, "Edexcel AS y matemáticas modulares de nivel A: matemáticas básicas 1" Pearson 2008
22. LK Turner, FJ BUdden, D Knighton, "Matemáticas avanzadas", Libro 2, Longman 1975.
23. Mathews, George Ballard (1892). Teoría de los Números. Deighton, Bell y compañía. pag. 2.
24. Betz, William (1934). Matemáticas juveniles para hoy. Ginn. Los números enteros, o enteros, cuando están ordenados en su orden natural, como 1, 2, 3, se llaman enteros consecutivos.
25. Peck, Lyman C. (1950). Elementos de álgebra. McGraw-Hill. pag. 3. Los números que así surgen se llaman números enteros positivos o enteros positivos.
26. Hayden, Robert (1981). Una historia del movimiento de las "nuevas matemáticas" en los Estados Unidos (Doctor). Universidad del Estado de Iowa. pag. 145.doi : 10.31274 /rtd-180813-5631 . Una fuerza mucho más influyente a la hora de llevar noticias sobre las "nuevas matemáticas" a los profesores y administradores de escuelas secundarias fue el Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas (NCTM).
27. El crecimiento de las ideas matemáticas, grados K-12: Anuario 24. Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas. 1959. pág. 14.ISBN _ 9780608166186.
28. Decanos, Edwina (1963). Matemáticas de la escuela primaria: nuevas direcciones. Departamento de Salud, Educación y Bienestar de EE. UU., Oficina de Educación. pag. 42.
29. "entrada: número entero". Diccionario de la herencia americana . HarperCollins.
30. "Entero | matemáticas". Enciclopedia Británica . Consultado el 11 de agosto de 2020 .
31. Lang, Serge (1993). Álgebra (3ª ed.). Addison-Wesley. págs. 86–87. ISBN 978-0-201-55540-0.
32. Warner, Seth (2012). Álgebra moderna. Libros de Dover sobre matemáticas. Corporación de mensajería. Teorema 20.14, pág. 185.ISBN _ 978-0-486-13709-4. Archivado desde el original el 6 de septiembre de 2015 . Consultado el 29 de abril de 2015 ..
33. Mendelson, Elliott (1985). Los sistemas numéricos y los fundamentos del análisis. Malabar, Florida: RE Krieger Pub. Co.p. 153.ISBN _ 978-0-89874-818-5.
34. Mendelson, Elliott (2008). Sistemas numéricos y fundamentos del análisis. Libros de Dover sobre matemáticas. Publicaciones de Courier Dover. pag. 86.ISBN _ 978-0-486-45792-5. Archivado desde el original el 8 de diciembre de 2016 . Consultado el 15 de febrero de 2016 ..
35. Ivorra Castillo: Álgebra
36. Kramer, Jürg; von Pippich, Anna-Maria (2017). De los números naturales a los cuaterniones (1ª ed.). Suiza: Springer Cham. págs. 78–81. doi :10.1007/978-3-319-69429-0. ISBN 978-3-319-69427-6.
37. Frobisher, Len (1999). Aprender a enseñar números: manual para estudiantes y profesores de escuela primaria. Serie de enseñanza de matemáticas de primaria de Stanley Thornes. Nelson Thornes. pag. 126.ISBN _ 978-0-7487-3515-0. Archivado desde el original el 8 de diciembre de 2016 . Consultado el 15 de febrero de 2016 ..
38. Campbell, Howard E. (1970). La estructura de la aritmética . Appleton-Century-Crofts. pag. 83.ISBN _ 978-0-390-16895-5.
39. Garavel, Hubert (2017). Sobre la axiomatización más adecuada de números enteros con signo. Actas posteriores al 23º Taller internacional sobre técnicas de desarrollo algebraico (WADT'2016). Apuntes de conferencias sobre informática. vol. 10644. Saltador. págs. 120-134. doi :10.1007/978-3-319-72044-9_9. ISBN 978-3-319-72043-2. Archivado desde el original el 26 de enero de 2018 . Consultado el 25 de enero de 2018 .

Fuentes

• Bell, et (1986). Hombres de Matemáticas . Nueva York: Simon & Schuster. ISBN 0-671-46400-0.)
• Herstein, IN (1975). Temas de álgebra (2ª ed.). Wiley. ISBN 0-471-01090-1.
• Mac Lane, Saunders ; Birkhoff, Garrett (1999). Álgebra (3ª ed.). Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 0-8218-1646-2.
• Una sociedad de caballeros en Escocia (1771). Enciclopedia Británica. Edimburgo.

enlaces externos

• "Entero", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Los enteros positivos: tablas de divisores y herramientas de representación numérica
• Enciclopedia en línea de secuencias enteras cf OEIS
• Weisstein, Eric W. "Entero". MundoMatemático .

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