Relación de congruencia

Relación de equivalencia en álgebra

En álgebra abstracta , una relación de congruencia (o simplemente congruencia ) es una relación de equivalencia en una estructura algebraica (como un grupo , un anillo o un espacio vectorial ) que es compatible con la estructura en el sentido de que las operaciones algebraicas realizadas con elementos equivalentes producirán elementos equivalentes. ^[1] Cada relación de congruencia tiene una estructura de cociente correspondiente , cuyos elementos son las clases de equivalencia (o clases de congruencia ) de la relación. ^[2]

Definición

La definición de congruencia depende del tipo de estructura algebraica que se considere. Se pueden hacer definiciones particulares de congruencia para grupos , anillos , espacios vectoriales , módulos , semigrupos , redes , etc. El tema común es que una congruencia es una relación de equivalencia sobre un objeto algebraico que es compatible con la estructura algebraica, en el sentido de que las operaciones están bien definidas sobre las clases de equivalencia .

General

La noción general de relación de congruencia se puede definir formalmente en el contexto del álgebra universal , un campo que estudia ideas comunes a todas las estructuras algebraicas . En este contexto, una relación en una estructura algebraica dada se llama compatible si ${\displaystyle R}$

para todas y cada una de las operaciones -arias definidas en la estructura: siempre y ... y , entonces . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle a_{1}\mathrel {R} a'_{1}}$ ${\displaystyle a_{n}\mathrel {R} a'_{n}}$ ${\displaystyle \mu (a_{1},\ldots ,a_{n})\mathrel {R} \mu (a'_{1},\ldots ,a'_{n})}$

Una relación de congruencia sobre la estructura se define entonces como una relación de equivalencia que también es compatible. ^{[3] [4]}

Ejemplos

Ejemplo básico

El ejemplo prototípico de una relación de congruencia es el módulo de congruencia en el conjunto de números enteros . Para un entero positivo dado , dos números enteros se llaman módulo congruente , escrito ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle a\equiv b{\pmod {n}}}$

si es divisible por (o equivalentemente si y tienen el mismo resto cuando se dividen por ). ${\displaystyle a-b}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle n}$

Por ejemplo, y son módulo congruente , ${\displaystyle 37}$ ${\displaystyle 57}$ ${\displaystyle 10}$

${\displaystyle 37\equiv 57{\pmod {10}}}$

puesto que es múltiplo de 10, o equivalentemente puesto que ambos y tienen un resto de cuando se dividen por . ${\displaystyle 37-57=-20}$ ${\displaystyle 37}$ ${\displaystyle 57}$ ${\displaystyle 7}$ ${\displaystyle 10}$

El módulo de congruencia (para un fijo ) es compatible tanto con la suma como con la multiplicación de números enteros. Eso es, ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

si

${\displaystyle a_{1}\equiv a_{2}{\pmod {n}}}$y ${\displaystyle b_{1}\equiv b_{2}{\pmod {n}}}$

entonces

${\displaystyle a_{1}+b_{1}\equiv a_{2}+b_{2}{\pmod {n}}}$ y ${\displaystyle a_{1}b_{1}\equiv a_{2}b_{2}{\pmod {n}}}$

La correspondiente suma y multiplicación de clases de equivalencia se conoce como aritmética modular . Desde el punto de vista del álgebra abstracta, el módulo de congruencia es una relación de congruencia en el anillo de números enteros, y el módulo aritmético ocurre en el anillo de cociente correspondiente . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Ejemplo: grupos

Por ejemplo, un grupo es un objeto algebraico que consta de un conjunto junto con una única operación binaria , que satisface ciertos axiomas. Si es un grupo con operación , una relación de congruencia es una relación de equivalencia sobre los elementos de satisfacer ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \ast }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \equiv }$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle g_{1}\equiv g_{2}\ \ \,}$y ${\displaystyle \ \ \,h_{1}\equiv h_{2}\implies g_{1}\ast h_{1}\equiv g_{2}\ast h_{2}}$

para todos . Para una congruencia en un grupo, la clase de equivalencia que contiene el elemento de identidad es siempre un subgrupo normal , y las otras clases de equivalencia son las otras clases laterales de este subgrupo. Juntas, estas clases de equivalencia son los elementos de un grupo cociente . ${\displaystyle g_{1},g_{2},h_{1},h_{2}\in G}$

Ejemplo: anillos

Cuando una estructura algebraica incluye más de una operación, se requiere que las relaciones de congruencia sean compatibles con cada operación. Por ejemplo, un anillo posee tanto suma como multiplicación, y una relación de congruencia en un anillo debe satisfacer

${\displaystyle r_{1}+s_{1}\equiv r_{2}+s_{2}}$y ${\displaystyle r_{1}s_{1}\equiv r_{2}s_{2}}$

cuando y . Para una congruencia en un anillo, la clase de equivalencia que contiene 0 es siempre un ideal de dos lados , y las dos operaciones en el conjunto de clases de equivalencia definen el anillo cociente correspondiente. ${\displaystyle r_{1}\equiv r_{2}}$ ${\displaystyle s_{1}\equiv s_{2}}$

Relación con homomorfismos

Si hay un homomorfismo entre dos estructuras algebraicas (como el homomorfismo de grupos o un mapa lineal entre espacios vectoriales ), entonces la relación definida por ${\displaystyle f:A\,\rightarrow B}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle a_{1}\,R\,a_{2}}$ si y solo si ${\displaystyle f(a_{1})=f(a_{2})}$

es una relación de congruencia en . Según el primer teorema del isomorfismo , la imagen de A debajo es una subestructura de B isomorfa al cociente de A por esta congruencia. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$

Por otro lado, la relación de congruencia induce un homomorfismo único dado por ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f:A\rightarrow A/R}$

${\displaystyle f(x)=\{y\mid x\,R\,y\}}$.

Por tanto, existe una correspondencia natural entre las congruencias y los homomorfismos de cualquier estructura algebraica determinada.

Congruencias de grupos y subgrupos e ideales normales

En el caso particular de los grupos , las relaciones de congruencia se pueden describir en términos elementales de la siguiente manera: Si G es un grupo (con elemento de identidad e y operación *) y ~ es una relación binaria sobre G , entonces ~ es una congruencia siempre que:

1. Dado cualquier elemento a de G , a ~ a ( reflexividad );
2. Dados los elementos a y b de G , si a ~ b , entonces b ~ a ( simetría );
3. Dados los elementos a , b y c de G , si a ~ b y b ~ c , entonces a ~ c ( transitividad );
4. Dados los elementos a , a ′, b y b ′ de G , si a ~ a ′ y b ~ b ′ , entonces a * b ~ a ′ * b ′ ;
5. Dados los elementos a y a ′ de G , si a ~ a ′ , entonces a ⁻¹ ~ a ′ ⁻¹ (esto está implícito en los otros cuatro, ^{[nota 1] [ cita necesaria ]} , por lo que es estrictamente redundante).

Las condiciones 1, 2 y 3 dicen que ~ es una relación de equivalencia .

Una congruencia ~ está determinada enteramente por el conjunto { a ∈ G | a ~ e } de aquellos elementos de G que son congruentes con el elemento identidad, y este conjunto es un subgrupo normal . Específicamente, a ~ b si y solo si b ⁻¹ * a ~ e . Entonces, en lugar de hablar de congruencias en grupos, la gente suele hablar en términos de subgrupos normales de ellos; de hecho, cada congruencia corresponde únicamente a algún subgrupo normal de G.

Ideales de anillos y el caso general.

Un truco similar permite hablar de los núcleos en la teoría de anillos como ideales en lugar de relaciones de congruencia, y en la teoría de módulos como submódulos en lugar de relaciones de congruencia.

Una situación más general donde este truco es posible es con los grupos Omega (en el sentido general, permiten operadores con aridad múltiple). Pero esto no se puede hacer, por ejemplo, con monoides , por lo que el estudio de las relaciones de congruencia juega un papel más central en la teoría de los monoides.

álgebra universal

La noción general de congruencia es particularmente útil en álgebra universal . Una formulación equivalente en este contexto es la siguiente: ^[4]

Una relación de congruencia en un álgebra A es un subconjunto del producto directo A × A que es a la vez una relación de equivalencia en A y una subálgebra de A × A.

El núcleo de un homomorfismo es siempre una congruencia. De hecho, toda congruencia surge como un núcleo. Para una congruencia dada ~ en A , al conjunto A / ~ de clases de equivalencia se le puede dar la estructura de un álgebra de forma natural, el álgebra del cociente . La función que asigna cada elemento de A a su clase de equivalencia es un homomorfismo, y el núcleo de este homomorfismo es ~.

La red Con ( A ) de todas las relaciones de congruencia en un álgebra A es algebraica .

John M. Howie describió cómo la teoría de semigrupos ilustra las relaciones de congruencia en álgebra universal:

En un grupo se determina una congruencia si conocemos una única clase de congruencia, en particular si conocemos el subgrupo normal que es la clase que contiene la identidad. De manera similar, en un anillo se determina una congruencia si conocemos el ideal que es la clase de congruencia que contiene el cero. En los semigrupos no ocurre algo tan afortunado y, por tanto, nos enfrentamos a la necesidad de estudiar las congruencias como tales. Más que cualquier otra cosa, es esta necesidad la que da a la teoría de semigrupos su sabor característico. Los semigrupos son de hecho el primer y más simple tipo de álgebra al que se deben aplicar los métodos del álgebra universal... ^[5]

Ver también

• Teorema del resto chino
• Problema de red de congruencia
• Tabla de congruencias

Notas explicatorias

1. Dado que a ′ ⁻¹ = a ′ ⁻¹ * a * a ⁻¹ ~ a ′ ⁻¹ * a ′ * a ⁻¹ = a ⁻¹

Notas

1. Hungerford (1974), pág. 27
2. Hungerford (1974), pág. 26
3. Barendregt (1990), pág. 338, def. 3.1.1
4. Bergman (2011), secc. 1.5 y el ejercicio 1(a) del conjunto de ejercicios 1.26 (Bergman usa la expresión que tiene la propiedad de sustitución para ser compatible )
5. Howie (1975), pág. v

Referencias

• Barendregt, Henk (1990). "Programación funcional y cálculo Lambda". En Jan van Leeuwen (ed.). Modelos formales y semántica . Manual de informática teórica. vol. B. Elsevier. págs. 321–364. ISBN 0-444-88074-7.
• Bergman, Clifford (2011), Álgebra universal: fundamentos y temas seleccionados , Taylor y Francis
• Bocina; Johnson (1985), Análisis matricial , Cambridge University Press, ISBN 0-521-38632-2(La sección 4.5 analiza la congruencia de matrices).
• Howie, JM (1975), Introducción a la teoría de semigrupos , Academic Press
• Hungerford, Thomas W. (1974), Álgebra , Springer-Verlag
• Rosen, Kenneth H. (2012). Matemáticas discretas y sus aplicaciones . Educación McGraw-Hill. ISBN 978-0077418939.