Igualdad (matemáticas)

Relationship asserting that two quantities are the same

En matemáticas , la igualdad es una relación entre dos cantidades o, más generalmente, dos expresiones matemáticas , afirmando que las cantidades tienen el mismo valor, o que las expresiones representan el mismo objeto matemático . La igualdad entre A y B se escribe A  =  B , y se pronuncia " A es igual a B ". ^[1] El símbolo " = " se llama " signo igual ". Dos objetos que no son iguales se dicen distintos .

Por ejemplo:

• ${\displaystyle x=y}$significa que x e y denotan el mismo objeto. ^[2]
• La identidad significa que si x es cualquier número, entonces las dos expresiones tienen el mismo valor. Esto también puede interpretarse como que los dos lados del signo igual representan la misma función . ${\displaystyle (x+1)^{2}=x^{2}+2x+1}$
• ${\displaystyle \{x\mid P(x)\}=\{x\mid Q(x)\}}$si y sólo si Esta afirmación, que utiliza la notación de constructor de conjuntos , significa que si los elementos que satisfacen la propiedad son los mismos que los elementos que la satisfacen, entonces los dos usos de la notación de constructor de conjuntos definen el mismo conjunto. Esta propiedad a menudo se expresa como "dos conjuntos que tienen los mismos elementos son iguales". Es uno de los axiomas habituales de la teoría de conjuntos , llamado axioma de extensionalidad . ^[3] ${\displaystyle P(x)\Leftrightarrow Q(x).}$ ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle Q(x),}$

Etimología

La etimología de la palabra proviene del latín aequālis ("igual", "parecido", "comparable", "similar") de aequus ("igual", "nivel", "justo", "justo").

Propiedades básicas

• Propiedad de sustitución : para cualquier cantidad a y b y cualquier expresión F ( x ), si a = b , entonces F ( a ) = F ( b ) (siempre que ambos lados estén bien formados ).

  Algunos ejemplos específicos de esto son:

  • Para cualquier número real a , b y c , si a = b , entonces a + c = b + c (aquí, F ( x ) es x + c );
  • Para cualquier número real a , b y c , si a = b , entonces a − c = b − c (aquí, F ( x ) es x − c );
  • Para cualquier número real a , b y c , si a = b , entonces ac = bc (aquí, F ( x ) es xc );
  • Para cualquier número real a , b y c , si a = b y c no es cero , entonces a / c = b / c (aquí, F ( x ) es x / c ).
• Propiedad reflexiva : Para cualquier cantidad a , a = a .
• Propiedad simétrica : Para cualquier cantidad a y b , si a = b , entonces b = a .
• Propiedad transitiva : Para cualquier cantidad a , b y c , si a = b y b = c , entonces a = c . ^[4]

Estas tres últimas propiedades hacen de la igualdad una relación de equivalencia . Originalmente se incluyeron entre los axiomas de Peano para los números naturales. Aunque las propiedades simétricas y transitivas a menudo se consideran fundamentales, pueden deducirse de las propiedades reflexivas y de sustitución.

La igualdad como predicado

Cuando A y B no están completamente especificados o dependen de algunas variables , la igualdad es una proposición , que puede ser verdadera para algunos valores y falsa para otros valores. La igualdad es una relación binaria (es decir, un predicado de dos argumentos ) que puede producir un valor de verdad ( falso o verdadero ) a partir de sus argumentos. En programación informática , su cálculo a partir de las dos expresiones se conoce como comparación .

Identidades

Cuando A y B pueden verse como funciones de algunas variables, entonces A  =  B significa que A y B definen la misma función. Esta igualdad de funciones a veces se denomina identidad . Un ejemplo es A veces, pero no siempre, una identidad se escribe con una barra triple : ${\displaystyle \left(x+1\right)\left(x+1\right)=x^{2}+2x+1.}$ ${\displaystyle \left(x+1\right)\left(x+1\right)\equiv x^{2}+2x+1.}$

Ecuaciones

Una ecuación es un problema de encontrar valores de algunas variables, llamadas incógnitas , para las cuales la igualdad especificada es verdadera. El término "ecuación" también puede referirse a una relación de igualdad que se satisface sólo para los valores de las variables que nos interesan. Por ejemplo, es la ecuación del círculo unitario . ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$

No existe una notación estándar que distinga una ecuación de una identidad u otro uso de la relación de igualdad: hay que adivinar una interpretación apropiada a partir de la semántica de las expresiones y el contexto. Se afirma que una identidad es verdadera para todos los valores de variables en un dominio determinado. Una "ecuación" a veces puede significar una identidad, pero la mayoría de las veces especifica un subconjunto del espacio variable como el subconjunto donde la ecuación es verdadera.

Igualdad aproximada

Hay algunos sistemas lógicos que no tienen ninguna noción de igualdad. Esto refleja la indecidibilidad de la igualdad de dos números reales , definida por fórmulas que involucran los números enteros , las operaciones aritméticas básicas , el logaritmo y la función exponencial . En otras palabras, no puede existir ningún algoritmo para decidir tal igualdad.

La relación binaria " es aproximadamente igual " (indicada por el símbolo ) entre números reales u otras cosas, incluso si se define con mayor precisión, no es transitiva (ya que muchas diferencias pequeñas pueden sumar algo grande). Sin embargo, la igualdad en casi todas partes es transitiva. ${\displaystyle \approx }$

Una igualdad cuestionable bajo prueba se puede indicar usando el símbolo ≟ .

Relación con equivalencia, congruencia e isomorfismo

Vista como una relación, la igualdad es el arquetipo del concepto más general de relación de equivalencia en un conjunto: aquellas relaciones binarias que son reflexivas , simétricas y transitivas . La relación de identidad es una relación de equivalencia. Por el contrario, sea R una relación de equivalencia y denotemos por x ^R la clase de equivalencia de x , que consta de todos los elementos z tales que x R z . Entonces la relación x R y es equivalente a la igualdad x ^R  =  y ^R . De ello se deduce que la igualdad es la relación de equivalencia más fina en cualquier conjunto S en el sentido de que es la relación que tiene las clases de equivalencia más pequeñas (cada clase se reduce a un solo elemento).

En algunos contextos, la igualdad se distingue claramente de la equivalencia o el isomorfismo . ^[5] Por ejemplo, se pueden distinguir fracciones de números racionales , siendo estos últimos clases de equivalencia de fracciones: las fracciones y son distintas como fracciones (como diferentes cadenas de símbolos) pero "representan" el mismo número racional (el mismo punto en una recta numérica). Esta distinción da lugar a la noción de conjunto cociente . ${\displaystyle 1/2}$ ${\displaystyle 2/4}$

De manera similar, los conjuntos

${\displaystyle \{{\text{A}},{\text{B}},{\text{C}}\}}$y ${\displaystyle \{1,2,3\}}$

no son conjuntos iguales (el primero está formado por letras, mientras que el segundo está formado por números), pero ambos son conjuntos de tres elementos y, por tanto, isomórficos, lo que significa que hay una biyección entre ellos. Por ejemplo

${\displaystyle {\text{A}}\mapsto 1,{\text{B}}\mapsto 2,{\text{C}}\mapsto 3.}$

Sin embargo, existen otras opciones de isomorfismo, como

${\displaystyle {\text{A}}\mapsto 3,{\text{B}}\mapsto 2,{\text{C}}\mapsto 1,}$

y esos conjuntos no pueden identificarse sin hacer esa elección: cualquier declaración que los identifique "depende de la elección de la identificación". Esta distinción, entre igualdad e isomorfismo , es de fundamental importancia en la teoría de categorías y es una motivación para el desarrollo de la teoría de categorías.

En algunos casos, se pueden considerar iguales dos objetos matemáticos que sólo son equivalentes en las propiedades y estructura consideradas. La palabra congruencia (y el símbolo asociado ) se usa frecuentemente para este tipo de igualdad y se define como el conjunto cociente de clases de isomorfismo entre los objetos. En geometría , por ejemplo, se dice que dos formas geométricas son iguales o congruentes cuando una puede moverse para que coincida con la otra, y la relación de igualdad/congruencia son las clases de isomorfismo de isometrías entre formas. De manera similar a los isomorfismos de conjuntos, la diferencia entre isomorfismos e igualdad/congruencia entre tales objetos matemáticos con propiedades y estructura fue una motivación para el desarrollo de la teoría de categorías , así como para la teoría de tipos de homotopía y los fundamentos univalentes . ${\displaystyle \cong }$

Definiciones lógicas

Leibniz caracterizó la noción de igualdad de la siguiente manera:

Dado cualquier x e y , x = y si y solo si , dado cualquier predicado P , P ( x ) si y solo si P ( y ).

Igualdad en la teoría de conjuntos

La igualdad de conjuntos se axioma en la teoría de conjuntos de dos maneras diferentes, dependiendo de si los axiomas se basan en un lenguaje de primer orden con o sin igualdad.

Establecer igualdad basada en lógica de primer orden con igualdad

En lógica de primer orden con igualdad, el axioma de extensionalidad establece que dos conjuntos que contienen los mismos elementos son el mismo conjunto. ^[6]

• Axioma lógico: ${\displaystyle x=y\implies \forall z,(z\in x\iff z\in y)}$
• Axioma lógico: ${\displaystyle x=y\implies \forall z,(x\in z\iff y\in z)}$
• Axioma de la teoría de conjuntos: ${\displaystyle (\forall z,(z\in x\iff z\in y))\implies x=y}$

Incorporar la mitad del trabajo a la lógica de primer orden puede considerarse una mera cuestión de conveniencia, como señala Lévy.

"La razón por la que adoptamos el cálculo de predicados de primer orden con igualdad es una cuestión de conveniencia; con esto nos ahorramos el trabajo de definir la igualdad y demostrar todas sus propiedades; esta carga ahora la asume la lógica". ^[7]

Establecer igualdad basada en lógica de primer orden sin igualdad

En lógica de primer orden sin igualdad, se define que dos conjuntos son iguales si contienen los mismos elementos. Entonces, el axioma de extensionalidad establece que dos conjuntos iguales están contenidos en los mismos conjuntos. ^[8]

• Definición de teoría de conjuntos: ${\displaystyle (x=y)\ :=\ \forall z,(z\in x\iff z\in y)}$
• Axioma de la teoría de conjuntos: ${\displaystyle x=y\implies \forall z,(x\in z\iff y\in z)}$

Ver también

• Extensionalidad
• Teoría del tipo de homotopía
• Desigualdad
• Lista de símbolos matemáticos
• Igualdad lógica
• Proporcionalidad (matemáticas)

Notas

1. Weisstein, Eric W. "Igualdad". mathworld.wolfram.com . Consultado el 1 de septiembre de 2020 .
2. Rosser 2008, pag. 163.
3. Lévy 2002, págs. 13, 358. Mac Lane y Birkhoff 1999, pág. 2. Mendelson 1964, pág. 5.
4. Weisstein, Eric W. "Igual". mathworld.wolfram.com . Consultado el 1 de septiembre de 2020 .
5. (Mazur 2007)
6. Kleene 2002, pag. 189. Levy 2002, pág. 13. Shoenfield 2001, pág. 239.
7. Levy 2002, pag. 4.
8. Mendelson 1964, págs. 159-161. Rosser 2008, págs. 211-213

Referencias

• Kleene, Stephen Cole (2002) [1967]. Lógica Matemática . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-42533-7.
• Levy, Azriel (2002) [1979]. Teoría básica de conjuntos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-42079-0.
• Mac Lane, Saunders ; Birkhoff, Garrett (1999) [1967]. Álgebra (Tercera ed.). Providence, Rhode Island: Sociedad Matemática Estadounidense.
• Mazur, Barry (12 de junio de 2007), ¿Cuándo una cosa es igual a otra? (PDF) , archivado desde el original (PDF) el 24 de octubre de 2019 , recuperado 13 de diciembre 2009
• Mendelson, Elliott (1964). Introducción a la Lógica Matemática . Nueva York: Van Nostrand Reinhold.
• Rosser, John Barkley (2008) [1953]. Lógica para matemáticos . Mineola, Nueva York: Publicación de Dover. ISBN 978-0-486-46898-3.
• Shoenfield, Joseph Robert (2001) [1967]. Lógica Matemática (2ª ed.). AK Peters . ISBN 978-1-56881-135-2.

enlaces externos

• "Axiomas de igualdad", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]