Fracción

Relación de dos números

Un pastel al que se le ha quitado un cuarto (un cuarto). Los tres cuartos restantes se muestran con líneas de puntos y están etiquetados con la fracción1/4

Una fracción (del latín : fractus , "roto") representa una parte de un todo o, más generalmente, cualquier número de partes iguales. Cuando se habla en inglés cotidiano, una fracción describe cuántas partes de un determinado tamaño hay, por ejemplo, la mitad, ocho quintos, tres cuartos. Una fracción común , vulgar o simple (ejemplos: y ) consta de un numerador entero , que se muestra encima de una línea (o antes de una barra como 1 ⁄ 2 ), y un denominador entero distinto de cero , que se muestra debajo (o después) de esa línea. . Si estos números enteros son positivos, entonces el numerador representa un número de partes iguales y el denominador indica cuántas de esas partes forman una unidad o un todo. Por ejemplo, en la fracción ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {17}{3}}}$3/4, el numerador 3 indica que la fracción representa 3 partes iguales y el denominador 4 indica que 4 partes forman un todo. La imagen de la derecha ilustra3/4de un pastel.

Otros usos de las fracciones son representar proporciones y divisiones . ^[1] Así la fracción3/4También se puede utilizar para representar la proporción 3:4 (la proporción de la parte al todo) y la división 3 ÷ 4 (tres dividido por cuatro).

También podemos escribir fracciones negativas, que representan lo opuesto a una fracción positiva. Por ejemplo, si1/2representa una ganancia de medio dólar, entonces:1/2representa una pérdida de medio dólar. Debido a las reglas de división de números con signo (que establecen en parte que negativo dividido por positivo es negativo), -1/2,−1/2y1/−2todos representan la misma fracción: menos un medio. Y como un negativo dividido por un negativo produce un positivo,−1/−2representa un medio positivo.

En matemáticas un número racional es un número que se puede representar mediante una fracción de la formaa/b, donde a y b son números enteros y b no es cero; El conjunto de todos los números racionales se representa comúnmente con el símbolo Qo , que significa cociente . El término fracción y la notación. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$a/bTambién se puede utilizar para expresiones matemáticas que no representan un número racional (por ejemplo ), e incluso no representan ningún número (por ejemplo la fracción racional ). ${\displaystyle \textstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{x}}}$

Vocabulario

En una fracción, el número de partes iguales que se describen es el numerador (del latín : numerātor , "contador" o "numerador"), y el tipo o variedad de las partes es el denominador (del latín : dēnōminātor , "cosa que nombra"). o designe"). ^{[2] [3]} Como ejemplo, la fracción8/5consta de ocho partes, cada una de las cuales es del tipo denominado "quinta". En términos de división , el numerador corresponde al dividendo y el denominador corresponde al divisor .

De manera informal, el numerador y el denominador se pueden distinguir únicamente por su ubicación, pero en contextos formales generalmente están separados por una barra de fracción . La barra de fracción puede ser horizontal (como en1/3), oblicuo (como en 2/5) o diagonal (como en 4 ⁄ 9 ). ^[4] Estas marcas se conocen respectivamente como barra horizontal; la vírgula, barra ( EE.UU. ) o trazo ( Reino Unido ); y la fracción barra, solidus, ^[5] o fracción barra . ^{[n 1]} En tipografía , las fracciones apiladas verticalmente también se conocen como " en " o " fracciones de nuez ", y las diagonales como " em " o "fracciones de cordero", dependiendo de si ocupa o no una fracción con numerador y denominador de un solo dígito. la proporción de un cuadrado en estrecho o un cuadrado em más ancho. ^[4] En la fundición tipográfica tradicional , una pieza de tipo que lleva una fracción completa (por ejemplo,1/2) se conocía como "fracción de caso", mientras que aquellas que representaban sólo una parte de la fracción se llamaban "fracciones de pieza".

Los denominadores de las fracciones inglesas generalmente se expresan como números ordinales , en plural si el numerador no es 1. (Por ejemplo,2/5y3/5ambos se leen como un número de "quintos".) Las excepciones incluyen el denominador 2, que siempre se lee "mitad" o "mitades", el denominador 4, que puede expresarse alternativamente como "cuarto"/"cuartos" o como " cuarto"/"cuartos", y el denominador 100, que puede expresarse alternativamente como "centésimas"/"centésimas" o " porcentaje ".

Cuando el denominador es 1, se puede expresar en términos de "enteros", pero es más común ignorarlo y leer el numerador como un número entero. Por ejemplo,3/1puede describirse como "tres enteros", o simplemente como "tres". Cuando el numerador es 1, se puede omitir (como en "un décimo" o "cada trimestre").

La fracción completa puede expresarse como una sola composición, en cuyo caso se divide con guiones, o como un número de fracciones con numerador uno, en cuyo caso no lo están. (Por ejemplo, "dos quintos" es la fracción2/5y "dos quintos" es la misma fracción entendida como 2 instancias de1/5.) Las fracciones siempre deben estar separadas por guiones cuando se usan como adjetivos. Alternativamente, una fracción puede describirse leyéndola como el numerador "sobre" el denominador, expresando el denominador como un número cardinal . (Por ejemplo,3/1También se puede expresar como "tres sobre uno".) El término "sobre" se utiliza incluso en el caso de fracciones solidus, donde los números se colocan a la izquierda y a la derecha de una barra oblicua . (Por ejemplo, 1/2 puede leerse "la mitad", "la mitad" o "uno entre dos".) Las fracciones con denominadores grandes que no son potencias de diez a menudo se representan de esta manera (p. ej.,1/117como "uno entre ciento diecisiete"), mientras que aquellos con denominadores divisibles por diez normalmente se leen en la forma ordinal normal (p. ej.,6/1000000como "seis millonésimas", "seis millonésimas" o "seis una millonésimas").

Formas de fracciones

Fracciones simples, comunes o vulgares

Una fracción simple (también conocida como fracción común o fracción vulgar , donde vulgar significa "común" en latín) es un número racional escrito como a / b o , donde a y b son ambos números enteros . ^[9] Como ocurre con otras fracciones, el denominador ( b ) no puede ser cero. Ejemplos incluyen ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$1/2, -8/5,−8/5, y8/−5. El término se utilizó originalmente para distinguir este tipo de fracción de la fracción sexagesimal utilizada en astronomía. ^[10]

Las fracciones comunes pueden ser positivas o negativas y pueden ser propias o impropias (ver más abajo). Las fracciones compuestas, las fracciones complejas, los números mixtos y los decimales (ver más abajo) no son fracciones comunes ; sin embargo, a menos que sean irracionales, pueden evaluarse como una fracción común.

• Una fracción unitaria es una fracción común con un numerador de 1 (por ejemplo,1/7). Las fracciones unitarias también se pueden expresar usando exponentes negativos, como en 2 ⁻¹ , que representa 1/2, y 2 ⁻² , que representa 1/(2 ² ) o 1/4.
• Una fracción diádica es una fracción común en la que el denominador es una potencia de dos , por ejemplo1/8=1/2 ³.

En Unicode, los caracteres fraccionarios precompuestos se encuentran en el bloque Formas numéricas .

Fracciones propias e impropias

Las fracciones comunes se pueden clasificar como propias o impropias. Cuando el numerador y el denominador son ambos positivos, la fracción se dice propia si el numerador es menor que el denominador, e impropia en caso contrario. ^[11] El concepto de "fracción impropia" es un desarrollo tardío, y la terminología deriva del hecho de que "fracción" significa "una pieza", por lo que una fracción propia debe ser menor que 1. ^[10] Esto se explicó en el libro de texto del siglo XVII The Ground of Arts . ^{[12] [13]}

En general, se dice que una fracción común es una fracción propia si el valor absoluto de la fracción es estrictamente menor que uno, es decir, si la fracción es mayor que −1 y menor que 1. ^{[14] [15]} se dice que es una fracción impropia o, a veces, una fracción muy pesada , ^[16] si el valor absoluto de la fracción es mayor o igual a 1. Ejemplos de fracciones propias son 2/3, −3/4 y 4/ 9, mientras que ejemplos de fracciones impropias son 9/4, −4/3 y 3/3.

Recíprocos y el "denominador invisible"

El recíproco de una fracción es otra fracción con el numerador y el denominador intercambiados. El recíproco de3/7, por ejemplo, es7/3. El producto de una fracción y su recíproco es 1, por lo tanto el recíproco es el inverso multiplicativo de una fracción. El recíproco de una fracción propia es impropio y el recíproco de una fracción impropia distinta de 1 (es decir, el numerador y el denominador no son iguales) es una fracción propia.

Cuando el numerador y el denominador de una fracción son iguales (por ejemplo,7/7), su valor es 1 y, por tanto, la fracción es impropia. Su recíproco es idéntico y, por tanto, también igual a 1 e impropio.

Cualquier número entero se puede escribir como una fracción con el número uno como denominador. Por ejemplo, 17 se puede escribir como17/1, donde a veces se hace referencia a 1 como el denominador invisible . ^[17] Por lo tanto, toda fracción o número entero, excepto el cero, tiene un recíproco. Por ejemplo. el recíproco de 17 es1/17.

proporciones

Una razón es una relación entre dos o más números que a veces se puede expresar como una fracción. Normalmente, se agrupan varios elementos y se comparan en una proporción, especificando numéricamente la relación entre cada grupo. Las proporciones se expresan como "grupo 1 con respecto al grupo 2... con respecto al grupo n ". Por ejemplo, si un lote de automóviles tuviera 12 vehículos, de los cuales

• 2 son blancos,
• 6 son rojos, y
• 4 son amarillos,

entonces la proporción de autos rojos a blancos y amarillos es de 6 a 2 a 4. La proporción de autos amarillos a autos blancos es de 4 a 2 y puede expresarse como 4:2 o 2:1.

Una razón a menudo se convierte en una fracción cuando se expresa como una razón con respecto al todo. En el ejemplo anterior, la proporción de autos amarillos con respecto a todos los autos en el lote es 4:12 o 1:3. Podemos convertir estas razones a una fracción y decir que4/12de los autos o1/3de los autos en el lote son amarillos. Por lo tanto, si una persona elige al azar un automóvil en el lote, entonces hay una probabilidad entre tres de que sea amarillo.

Fracciones decimales y porcentajes

Una fracción decimal es una fracción cuyo denominador no se da explícitamente, sino que se entiende como una potencia entera de diez. Las fracciones decimales se expresan comúnmente usando notación decimal en la que el denominador implícito está determinado por el número de dígitos a la derecha de un separador decimal , cuya apariencia (por ejemplo, un punto, un interpunto (·), una coma) depende de la configuración regional (para ejemplos, consulte Separador decimal ). Así, para 0,75 el numerador es 75 y el denominador implícito es 10 elevado a la segunda potencia, es decir, 100, porque hay dos dígitos a la derecha del separador decimal. En números decimales mayores que 1 (como 3,75), la parte fraccionaria del número se expresa mediante los dígitos a la derecha del decimal (con un valor de 0,75 en este caso). 3,75 se puede escribir como fracción impropia, 375/100, o como número mixto, 3+75/100.

Las fracciones decimales también se pueden expresar usando notación científica con exponentes negativos, como6,023 × 10 ⁻⁷ , que representa 0,0000006023. El10 ⁻⁷ representa un denominador de10 ⁷ . Dividiendo por10 ⁷ mueve el punto decimal 7 lugares a la izquierda.

Las fracciones decimales con infinitos dígitos a la derecha del separador decimal representan una serie infinita . Por ejemplo,1/3= 0.333... representa la serie infinita 3/10 + 3/100 + 3/1000 + ....

Otro tipo de fracción es el porcentaje (del latín : per centum , que significa "por cien", representado por el símbolo %), en el que el denominador implícito es siempre 100. Así, 51% significa 51/100. Los porcentajes mayores que 100 o menores que cero se tratan de la misma manera, por ejemplo, 311% es igual a 311/100 y −27% es igual a −27/100.

El concepto relacionado de permille o partes por mil (ppt) tiene un denominador implícito de 1000, mientras que la notación más general de partes por millón , como en 75 partes por millón (ppm), significa que la proporción es 75/1.000.000.

El uso de fracciones comunes o fracciones decimales suele ser una cuestión de gusto y contexto. Las fracciones comunes se utilizan con mayor frecuencia cuando el denominador es relativamente pequeño. Mediante cálculo mental , es más fácil multiplicar 16 por 3/16 que hacer el mismo cálculo usando el equivalente decimal de la fracción (0,1875). Y es más exacto multiplicar 15 por 1/3, por ejemplo, que multiplicar 15 por cualquier aproximación decimal de un tercio. Los valores monetarios se expresan comúnmente como fracciones decimales con denominador 100, es decir, con dos decimales, por ejemplo $3,75. Sin embargo, como se señaló anteriormente, en la moneda británica predecimal, a los chelines y peniques a menudo se les daba la forma (pero no el significado) de una fracción, como, por ejemplo, "3/6" (léase "tres y seis") que significa 3 chelines y 6 peniques, y sin relación con la fracción 3/6.

Numeros mezclados

Un número mixto (también llamado fracción mixta o número mixto ) es la suma de un número entero distinto de cero y una fracción propia, escrita convencionalmente mediante yuxtaposición (o concatenación ) de las dos partes, sin el uso de un más intermedio (+) o signo menos (-). Cuando la fracción se escribe horizontalmente, se agrega un espacio entre el número entero y la fracción para separarlos.

Como ejemplo básico, dos pasteles enteros y tres cuartos de otro pastel podrían escribirse como pasteles o pasteles, con el número representando los pasteles completos y la fracción representando el pastel parcial adicional yuxtapuesto; esto es más conciso que las tortas de notación más explícitas. El numero mixto 2 ${\displaystyle 2{\tfrac {3}{4}}}$ ${\displaystyle 2\ \,3/4}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}$ ${\displaystyle 2+{\tfrac {3}{4}}}$+3/4se pronuncia "dos y tres cuartos", con las partes enteras y fraccionarias conectadas por la palabra y . ^[18] La resta o negación se aplica a todo el número mixto, por lo que significa ${\displaystyle -2{\tfrac {3}{4}}}$ ${\displaystyle -{\bigl (}2+{\tfrac {3}{4}}{\bigr )}.}$

Cualquier número mixto se puede convertir en una fracción impropia aplicando las reglas de la suma de cantidades desiguales. Por ejemplo, a la inversa, una fracción impropia se puede convertir en un número mixto mediante división con resto , siendo la fracción adecuada el resto dividido por el divisor. Por ejemplo, dado que 4 cabe en 11 dos veces y sobra 3, ${\displaystyle 2+{\tfrac {3}{4}}={\tfrac {8}{4}}+{\tfrac {3}{4}}={\tfrac {11}{4}}.}$ ${\displaystyle {\tfrac {11}{4}}=2+{\tfrac {3}{4}}.}$

En la escuela primaria, los profesores suelen insistir en que cada resultado fraccionario debe expresarse como un número mixto. ^[19] Fuera de la escuela, los números mixtos se utilizan comúnmente para describir medidas, por ejemplo 2+1/2horas o 5 3/16 pulgadas , y siguen estando muy extendidos en la vida diaria y en los oficios, especialmente en regiones que no utilizan el sistema métrico decimalizado . Sin embargo, las mediciones científicas suelen utilizar el sistema métrico, que se basa en fracciones decimales, y a partir del nivel de escuela secundaria, la pedagogía matemática trata cada fracción de manera uniforme como un número racional , el cociente.pag/qde números enteros, dejando atrás los conceptos de "fracción impropia" y "número mixto". ^[20] Los estudiantes universitarios con años de formación matemática a veces se confunden cuando se reencuentran con números mixtos porque están acostumbrados a la convención de que la yuxtaposición en expresiones algebraicas significa multiplicación. ^[21]

Nociones históricas

fracción egipcia

Una fracción egipcia es la suma de distintas fracciones unitarias positivas, por ejemplo . Esta definición deriva del hecho de que los antiguos egipcios expresaban todas las fracciones excepto y de esta manera. Todo número racional positivo se puede expandir como una fracción egipcia. Por ejemplo, se puede escribir como Cualquier número racional positivo se puede escribir como una suma de fracciones unitarias de infinitas maneras. Dos formas de escribir son y . ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {5}{7}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{21}}.}$ ${\displaystyle {\tfrac {13}{17}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{68}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{68}}}$

Fracciones complejas y compuestas.

En una fracción compleja , el numerador, el denominador, o ambos, es una fracción o un número mixto, ^{[22] [23]} correspondiente a la división de fracciones. Por ejemplo, y son fracciones complejas. Para interpretar fracciones anidadas escritas "apiladas" con barras de fracción horizontales, trate las barras más cortas como si estuvieran anidadas dentro de barras más largas. Las fracciones complejas se pueden simplificar multiplicando por el recíproco, como se describe a continuación en § División. Por ejemplo: ${\displaystyle {\tfrac {1/2}{1/3}}}$ ${\displaystyle {\bigl (}12{\tfrac {3}{4}}{\bigr )}{\big /}26}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\;\!{\tfrac {1}{2}}\;\!}{\tfrac {1}{3}}}&={\frac {1}{2}}\div {\frac {1}{3}}={\frac {1}{2}}\times {\frac {3}{1}}={\frac {3}{2}},\qquad {\frac {\;\!{\tfrac {3}{2}}\;\!}{5}}={\frac {3}{2}}\div 5={\frac {3}{2}}\times {\frac {1}{5}}={\frac {3}{10}},\\[10mu]{\frac {12{\tfrac {3}{4}}}{26}}&={\frac {12\times 4+3}{4}}\div 26={\frac {12\times 4+3}{4}}\times {\frac {1}{26}}={\frac {51}{104}}.\end{aligned}}}$

Nunca se debe escribir una fracción compleja sin un marcador obvio que muestre qué fracción está anidada dentro de la otra, ya que este tipo de expresiones son ambiguas. Por ejemplo, la expresión podría interpretarse de manera plausible como o como. El significado puede hacerse explícito escribiendo las fracciones usando separadores distintos o agregando paréntesis explícitos, en este caso o ${\displaystyle 5/10/20}$ ${\displaystyle {\tfrac {5}{10}}{\big /}20={\tfrac {1}{40}}}$ ${\displaystyle 5{\big /}{\tfrac {10}{20}}=10.}$ ${\displaystyle (5/10){\big /}20}$ ${\displaystyle 5{\big /}(10/20).}$

Una fracción compuesta es una fracción de una fracción, o cualquier número de fracciones conectadas con la palabra de , ^{[22] [23]} correspondiente a la multiplicación de fracciones. Para reducir una fracción compuesta a una fracción simple, basta con realizar la multiplicación (ver § Multiplicación ). Por ejemplo, of es una fracción compuesta, correspondiente a . Los términos fracción compuesta y fracción compleja están estrechamente relacionados y, en ocasiones, uno se utiliza como sinónimo del otro. (Por ejemplo, la fracción compuesta es equivalente a la fracción compleja ). ${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {5}{7}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}\times {\tfrac {5}{7}}={\tfrac {15}{28}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}\times {\tfrac {5}{7}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {3/4}{7/5}}}$

Sin embargo, "fracción compleja" y "fracción compuesta" pueden considerarse obsoletas ^[24] y ahora no se utilizan de manera bien definida, en parte incluso tomadas como sinónimos entre sí ^[25] o para números mixtos. ^[26] Han perdido su significado como términos técnicos y los atributos "complejo" y "compuesto" tienden a usarse en su significado cotidiano de "que consta de partes".

Aritmética con fracciones

Al igual que los números enteros, las fracciones obedecen a las leyes conmutativa , asociativa y distributiva , y a la regla contra la división por cero .

La aritmética de números mixtos se puede realizar convirtiendo cada número mixto en una fracción impropia o tratándolos como una suma de partes enteras y fraccionarias.

Fracciones equivalentes

Multiplicar el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número (distinto de cero) da como resultado una fracción equivalente a la fracción original. Esto es cierto porque para cualquier número distinto de cero , la fracción es igual a 1. Por lo tanto, multiplicar por es lo mismo que multiplicar por uno, y cualquier número multiplicado por uno tiene el mismo valor que el número original. A modo de ejemplo, comencemos con la fracción . Cuando el numerador y el denominador se multiplican por 2, el resultado es ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\tfrac {n}{n}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {n}{n}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$2/4, que tiene el mismo valor (0,5) que1/2. Para imaginar esto visualmente, imagina cortar un pastel en cuatro pedazos; dos de las piezas juntas (2/4) constituyen la mitad del pastel (1/2).

Simplificar (reducir) fracciones

Dividir el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número distinto de cero produce una fracción equivalente: si el numerador y el denominador de una fracción son divisibles por un número (llamado factor) mayor que 1, entonces la fracción se puede reducir a una fracción equivalente con un numerador y un denominador más pequeños. Por ejemplo, si tanto el numerador como el denominador de la fracción son divisibles por , entonces se pueden escribir como , y la fracción se convierte en ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a=cd}$ ${\displaystyle b=ce}$cd/CE, que se puede reducir dividiendo tanto el numerador como el denominador por c para obtener la fracción reducidad/mi.

Si se toma como c el máximo común divisor del numerador y del denominador, se obtiene la fracción equivalente cuyo numerador y denominador tienen los valores absolutos más bajos . Se dice que la fracción se ha reducido a sus términos más bajos .

Si el numerador y el denominador no comparten ningún factor mayor que 1, la fracción ya está reducida a sus términos más bajos, y se dice que es irreducible , reducida o en términos más simples . Por ejemplo, no está en términos mínimos porque tanto 3 como 9 se pueden dividir exactamente entre 3. Por el contrario, está en términos mínimos: el único entero positivo que cabe en 3 y 8 de manera uniforme es 1. ${\displaystyle {\tfrac {3}{9}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {3}{8}}}$

Usando estas reglas, podemos demostrar que5/10=1/2=10/20=50/100, Por ejemplo.

Como otro ejemplo, dado que el máximo común divisor de 63 y 462 es 21, la fracción63/462se puede reducir a sus términos más bajos dividiendo el numerador y el denominador por 21:

${\displaystyle {\tfrac {63}{462}}={\tfrac {63\,\div \,21}{462\,\div \,21}}={\tfrac {3}{22}}}$

El algoritmo euclidiano proporciona un método para encontrar el máximo común divisor de dos números enteros cualesquiera.

Comparar fracciones

Comparar fracciones con el mismo denominador positivo produce el mismo resultado que comparar los numeradores:

${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}>{\tfrac {2}{4}}}$porque 3 > 2 y los denominadores iguales son positivos. ${\displaystyle 4}$

Si los denominadores iguales son negativos, entonces el resultado opuesto de comparar los numeradores es válido para las fracciones:

${\displaystyle {\tfrac {3}{-4}}<{\tfrac {2}{-4}}{\text{ because }}{\tfrac {a}{-b}}={\tfrac {-a}{b}}{\text{ and }}-3<-2.}$

Si dos fracciones positivas tienen el mismo numerador, entonces la fracción con el denominador menor es el número mayor. Cuando un todo se divide en partes iguales, si se necesitan menos partes iguales para formar el todo, entonces cada pieza debe ser más grande. Cuando dos fracciones positivas tienen el mismo numerador, representan el mismo número de partes, pero en la fracción con el denominador menor, las partes son más grandes.

Una forma de comparar fracciones con diferentes numeradores y denominadores es encontrar un denominador común. Para comparar y , estos se convierten a y (donde el punto significa multiplicación y es un símbolo alternativo a ×). Entonces bd es un denominador común y se pueden comparar los numeradores ad y bc . No es necesario determinar el valor del denominador común para comparar fracciones; uno puede simplemente comparar ad y bc , sin evaluar bd , por ejemplo, comparar  ? da . ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {c}{d}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {a\cdot d}{b\cdot d}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {b\cdot c}{b\cdot d}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {4}{6}}>{\tfrac {3}{6}}}$

¿Para la pregunta más laboriosa  ? multiplica la parte superior e inferior de cada fracción por el denominador de la otra fracción para obtener un denominador común, lo que da como resultado  ? . No es necesario calcular , sólo hay que comparar los numeradores. Dado que 5×17 (= 85) es mayor que 4×18 (= 72), el resultado de la comparación es . ${\displaystyle {\tfrac {5}{18}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {4}{17}},}$ ${\displaystyle {\tfrac {5\times 17}{18\times 17}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {18\times 4}{18\times 17}}}$ ${\displaystyle 18\times 17}$ ${\displaystyle {\tfrac {5}{18}}>{\tfrac {4}{17}}}$

Como todo número negativo, incluidas las fracciones negativas, es menor que cero, y todo número positivo, incluidas las fracciones positivas, es mayor que cero, se deduce que cualquier fracción negativa es menor que cualquier fracción positiva. Esto permite, junto con las reglas anteriores, comparar todas las fracciones posibles.

Suma

La primera regla de la suma es que sólo se pueden sumar cantidades iguales; por ejemplo, varias cantidades de monedas de veinticinco centavos. Cantidades diferentes, como sumar tercios a cuartos, primero deben convertirse en cantidades similares como se describe a continuación: Imagine un bolsillo que contiene dos cuartos y otro bolsillo que contiene tres cuartos; en total, son cinco cuartos. Dado que cuatro cuartos equivalen a un (dólar), esto se puede representar de la siguiente manera:

${\displaystyle {\tfrac {2}{4}}+{\tfrac {3}{4}}={\tfrac {5}{4}}=1{\tfrac {1}{4}}}$.

Si se va a añadir un bizcocho a un bizcocho, los trozos deben convertirse en cantidades comparables, como octavos o cuartos de bizcocho. ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$

Sumar cantidades diferentes

Para sumar fracciones que contienen cantidades diferentes (por ejemplo, cuartos y tercios), es necesario convertir todas las cantidades a cantidades similares. Es fácil determinar el tipo de fracción elegida para convertir; simplemente multiplica los dos denominadores (número inferior) de cada fracción. En el caso de un número entero, se aplica el denominador invisible 1.

Para sumar cuartos a tercios, ambos tipos de fracción se convierten a duodécimos, así:

${\displaystyle {\frac {1}{4}}\ +{\frac {1}{3}}={\frac {1\times 3}{4\times 3}}\ +{\frac {1\times 4}{3\times 4}}={\frac {3}{12}}\ +{\frac {4}{12}}={\frac {7}{12}}.}$

Considere agregar las siguientes dos cantidades:

${\displaystyle {\frac {3}{5}}+{\frac {2}{3}}}$

Primero, convierta a quinceavos multiplicando el numerador y el denominador por tres: . Desde ${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}\times {\tfrac {3}{3}}={\tfrac {9}{15}}}$3/3es igual a 1, multiplicado por3/3no cambia el valor de la fracción.

Segundo, convertir2/3en quinceavos multiplicando tanto el numerador como el denominador por cinco: . ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}\times {\tfrac {5}{5}}={\tfrac {10}{15}}}$

Ahora se puede observar que:

${\displaystyle {\frac {3}{5}}+{\frac {2}{3}}}$

es equivalente a:

${\displaystyle {\frac {9}{15}}+{\frac {10}{15}}={\frac {19}{15}}=1{\frac {4}{15}}}$

Este método se puede expresar algebraicamente:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+cb}{bd}}}$

Este método algebraico siempre funciona, garantizando así que la suma de fracciones simples vuelva a ser siempre una fracción simple. Sin embargo, si los denominadores únicos contienen un factor común, se puede utilizar un denominador menor que el producto de estos. Por ejemplo, al sumar y los denominadores simples tienen un factor común 2, y por lo tanto, en lugar del denominador 24 (4 × 6), se puede usar el denominador dividido por la mitad 12, reduciendo no solo el denominador en el resultado, sino también los factores. en el numerador. ${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {5}{6}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {3}{4}}+{\frac {5}{6}}&={\frac {3\cdot 6}{4\cdot 6}}+{\frac {4\cdot 5}{4\cdot 6}}={\frac {18}{24}}+{\frac {20}{24}}&={\frac {19}{12}}\\&={\frac {3\cdot 3}{4\cdot 3}}+{\frac {2\cdot 5}{2\cdot 6}}={\frac {9}{12}}+{\frac {10}{12}}&={\frac {19}{12}}\end{aligned}}}$

El mínimo denominador posible viene dado por el mínimo común múltiplo de los denominadores únicos, que resulta de dividir el múltiplo de memoria por todos los factores comunes de los denominadores únicos. A esto se le llama mínimo común denominador.

Sustracción

El proceso para restar fracciones es, en esencia, el mismo que para sumarlas: encontrar un denominador común y cambiar cada fracción por una fracción equivalente con el denominador común elegido. La fracción resultante tendrá ese denominador, y su numerador será el resultado de restar los numeradores de las fracciones originales. Por ejemplo,

${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}-{\tfrac {1}{2}}={\tfrac {4}{6}}-{\tfrac {3}{6}}={\tfrac {1}{6}}}$

Para restar un número mixto, se puede tomar prestado uno extra del minuendo, por ejemplo

${\displaystyle 4-2{\tfrac {3}{4}}=(4-2-1)+{\bigl (}1-{\tfrac {3}{4}}{\bigr )}=1{\tfrac {1}{4}}.}$

Multiplicación

Multiplicar una fracción por otra fracción

Para multiplicar fracciones, multiplica los numeradores y multiplica los denominadores. De este modo:

${\displaystyle {\frac {2}{3}}\times {\frac {3}{4}}={\frac {6}{12}}}$

Para explicar el proceso, considere un tercio de un cuarto. Usando el ejemplo de un pastel, si tres rebanadas pequeñas de igual tamaño forman un cuarto y cuatro cuartos forman un todo, doce de estas rebanadas pequeñas e iguales forman un todo. Por tanto, un tercio de un cuarto es un duodécimo. Consideremos ahora los numeradores. La primera fracción, dos tercios, es el doble de un tercio. Como un tercio de un cuarto es un doceavo, dos tercios de un cuarto son dos doceavos. La segunda fracción, tres cuartos, es tres veces mayor que un cuarto, por lo que dos tercios de tres cuartos es tres veces mayor que dos tercios de un cuarto. Así, dos tercios por tres cuartos son seis duodécimos.

Un atajo para multiplicar fracciones se llama "cancelación". Efectivamente, la respuesta se reduce a los términos más bajos durante la multiplicación. Por ejemplo:

${\displaystyle {\frac {2}{3}}\times {\frac {3}{4}}={\frac {{\cancel {2}}^{~1}}{{\cancel {3}}^{~1}}}\times {\frac {{\cancel {3}}^{~1}}{{\cancel {4}}^{~2}}}={\frac {1}{1}}\times {\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}}$

Un dos es un factor común tanto en el numerador de la fracción izquierda como en el denominador de la derecha y se divide entre ambos. Tres es un factor común del denominador izquierdo y del numerador derecho y se divide entre ambos.

Multiplicar una fracción por un número entero

Dado que un número entero se puede reescribir como si mismo dividido por 1, aún se pueden aplicar las reglas normales de multiplicación de fracciones.

${\displaystyle 6\times {\tfrac {3}{4}}={\tfrac {6}{1}}\times {\tfrac {3}{4}}={\tfrac {18}{4}}}$

Este método funciona porque la fracción 6/1 significa seis partes iguales, cada una de las cuales es un entero.

Multiplicar números mixtos

El producto de números mixtos se puede calcular convirtiendo cada uno a una fracción impropia. ^[27] Por ejemplo:

${\displaystyle 3\times 2{\frac {3}{4}}={\frac {3}{1}}\times {\frac {2\times 4+3}{4}}={\frac {33}{4}}=8{\frac {1}{4}}}$

Alternativamente, los números mixtos pueden tratarse como sumas y multiplicarse como binomios . En este ejemplo,

${\displaystyle 3\times 2{\frac {3}{4}}=3\times 2+3\times {\frac {3}{4}}=6+{\frac {9}{4}}=8{\frac {1}{4}}.}$

División

Para dividir una fracción por un número entero, puedes dividir el numerador por el número, si es uniforme, o multiplicar el denominador por el número. Por ejemplo, es igual y también es igual a , lo que se reduce a . Para dividir un número por una fracción, multiplica ese número por el recíproco de esa fracción. De este modo, . ${\displaystyle {\tfrac {10}{3}}\div 5}$ ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {10}{3\cdot 5}}={\tfrac {10}{15}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\div {\tfrac {3}{4}}={\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {4}{3}}={\tfrac {1\cdot 4}{2\cdot 3}}={\tfrac {2}{3}}}$

Convertir entre decimales y fracciones

Para cambiar una fracción común a decimal, haga una división larga de las representaciones decimales del numerador por el denominador (esto también se expresa idiomáticamente como "dividir el denominador entre el numerador") y redondee la respuesta a la precisión deseada. Por ejemplo, para cambiar1/4a un decimal, dividir1.00 por4 ("4 en1,00 "), para obtener0,25 . Cambiar1/3a un decimal, dividir1.000... por3 ("3 en1.000... "), y se detiene cuando se obtiene la precisión deseada, por ejemplo, en4 decimales con0,3333 . La fracción1/4se puede escribir exactamente con dos dígitos decimales, mientras que la fracción1/3no se puede escribir exactamente como un decimal con un número finito de dígitos. Para cambiar un decimal a una fracción, escribe en el denominador a1 seguido de tantos ceros como dígitos haya a la derecha del punto decimal, y escribe en el numerador todos los dígitos del decimal original, omitiendo solo el punto decimal. De este modo ${\displaystyle 12.3456={\tfrac {123456}{10000}}.}$

Convertir decimales periódicos a fracciones

Los números decimales, aunque posiblemente sean más útiles para trabajar con ellos al realizar cálculos, a veces carecen de la precisión que tienen las fracciones comunes. A veces se requiere un decimal periódico infinito para alcanzar la misma precisión. Por tanto, suele resultar útil convertir decimales periódicos en fracciones.

Una forma convencional de indicar un decimal periódico es colocar una barra (conocida como vinculum ) sobre los dígitos que se repiten, por ejemplo 0. 789 = 0,789789789... Para patrones repetidos que comienzan inmediatamente después del punto decimal, el resultado del La conversión es la fracción con el patrón como numerador y el mismo número de nueves como denominador. Por ejemplo:

0, 5 = 5/9

0 , 62 = 62/99

0.264 = 264/999

0. 6291 = 6291/9999

Si los ceros iniciales preceden al patrón, los nueves tienen como sufijo el mismo número de ceros finales :

0,0 5 = 5/90

0,000 392 = 392/999000

0,00 12 = 12/9900

Si un conjunto de decimales no repetitivos precede al patrón (como 0,1523 987 ), se puede escribir el número como la suma de las partes no repetitivas y repetitivas, respectivamente:

0,1523 + 0,0000 987

Luego, convierte ambas partes a fracciones y súmalas usando los métodos descritos anteriormente:

1523/10000 + 987/9990000 = 1522464/9990000

Alternativamente, se puede utilizar álgebra, como a continuación:

1. Sea x = el decimal periódico:

   x = 0,1523 987

2. Multiplica ambos lados por la potencia de 10 lo suficientemente grande (en este caso 10 ⁴ ) para mover el punto decimal justo antes de la parte repetida del número decimal:

   10.000 x = 1.523. 987

3. Multiplica ambos lados por la potencia de 10 (en este caso 10 ³ ) que es igual al número de lugares que se repiten:

   10.000.000 x = 1.523.987. 987

4. Resta las dos ecuaciones entre sí (si a = b y c = d , entonces a − c = b − d ):

   10.000.000 x − 10.000 x = 1.523.987. 987-1.523 . 987

5. Continúe la operación de resta para borrar el decimal periódico:

   9.990.000 x = 1.523.987 − 1.523

   9.990.000 x = 1.522.464

6. Divide ambos lados entre 9.990.000 para representar x como una fracción

   x =1522464/9990000

Fracciones en matemáticas abstractas

Además de ser de gran importancia práctica, las fracciones también son estudiadas por los matemáticos, quienes verifican que las reglas para fracciones dadas anteriormente sean consistentes y confiables . Los matemáticos definen una fracción como un par ordenado de números enteros y para el cual las operaciones de suma , resta , multiplicación y división se definen de la siguiente manera: ^[28] ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b\neq 0,}$

${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(ad+bc,bd)\,}$

${\displaystyle (a,b)-(c,d)=(ad-bc,bd)\,}$

${\displaystyle (a,b)\cdot (c,d)=(ac,bd)}$

${\displaystyle (a,b)\div (c,d)=(ad,bc)\quad ({\text{with, additionally, }}c\neq 0)}$

Estas definiciones concuerdan en todos los casos con las definiciones dadas anteriormente; sólo la notación es diferente. Alternativamente, en lugar de definir la resta y la división como operaciones, las fracciones "inversas" con respecto a la suma y la multiplicación podrían definirse como:

${\displaystyle {\begin{aligned}-(a,b)&=(-a,b)&&{\text{additive inverse fractions,}}\\&&&{\text{with }}(0,b){\text{ as additive unities, and}}\\(a,b)^{-1}&=(b,a)&&{\text{multiplicative inverse fractions, for }}a\neq 0,\\&&&{\text{with }}(b,b){\text{ as multiplicative unities}}.\end{aligned}}}$

Además, la relación , especificada como

${\displaystyle (a,b)\sim (c,d)\quad \iff \quad ad=bc,}$

es una relación de equivalencia de fracciones. Cada fracción de una clase de equivalencia puede considerarse representativa de toda la clase, y cada clase completa puede considerarse como una fracción abstracta. Esta equivalencia se preserva mediante las operaciones definidas anteriormente, es decir, los resultados de operar con fracciones son independientes de la selección de representantes de su clase de equivalencia. Formalmente, para la suma de fracciones

${\displaystyle (a,b)\sim (a',b')\quad }$e implicar ${\displaystyle \quad (c,d)\sim (c',d')\quad }$

${\displaystyle ((a,b)+(c,d))\sim ((a',b')+(c',d'))}$

y lo mismo para las demás operaciones.

En el caso de fracciones de números enteros, las fraccionesa/bcon a y b coprimos y b > 0 a menudo se toman como representantes determinados de forma única para sus fracciones equivalentes , que se consideran el mismo número racional. De esta forma las fracciones de números enteros forman el cuerpo de los números racionales.

De manera más general, a y b pueden ser elementos de cualquier dominio integral R , en cuyo caso una fracción es un elemento del campo de fracciones de R. Por ejemplo, los polinomios en un indeterminado, con coeficientes de algún dominio integral D , son en sí mismos un dominio integral, llámelo P. Entonces, para los elementos a y b de P , el campo de fracciones generado es el campo de fracciones racionales (también conocido como campo de funciones racionales ).

fracciones algebraicas

Una fracción algebraica es el cociente indicado de dos expresiones algebraicas . Como ocurre con las fracciones de números enteros, el denominador de una fracción algebraica no puede ser cero. Dos ejemplos de fracciones algebraicas son y . Las fracciones algebraicas están sujetas a las mismas propiedades de campo que las fracciones aritméticas. ${\displaystyle {\frac {3x}{x^{2}+2x-3}}}$ ${\displaystyle {\frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}}}$

Si el numerador y el denominador son polinomios , como en , la fracción algebraica se llama fracción racional (o expresión racional ). Una fracción irracional es aquella que no es racional, como, por ejemplo, una que contiene la variable bajo un exponente o raíz fraccionaria, como en . ${\displaystyle {\frac {3x}{x^{2}+2x-3}}}$ ${\displaystyle {\frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}}}$

La terminología utilizada para describir fracciones algebraicas es similar a la utilizada para las fracciones ordinarias. Por ejemplo, una fracción algebraica está en sus términos más bajos si los únicos factores comunes al numerador y al denominador son 1 y −1. Una fracción algebraica cuyo numerador o denominador, o ambos, contienen una fracción, como por ejemplo , se llama fracción compleja . ${\displaystyle {\frac {1+{\tfrac {1}{x}}}{1-{\tfrac {1}{x}}}}}$

El campo de los números racionales es el campo de las fracciones de los números enteros, mientras que los números enteros en sí no son un campo sino un dominio integral . De manera similar, las fracciones racionales con coeficientes en un campo forman el campo de fracciones de polinomios con coeficiente en ese campo. Considerando las fracciones racionales con coeficientes reales, las expresiones radicales que representan números, como , también son fracciones racionales, al igual que los números trascendentales , como ya que todos y son números reales y, por lo tanto, se consideran coeficientes. Estos mismos números, sin embargo, no son fracciones racionales con coeficientes enteros . ${\displaystyle \textstyle {\sqrt {2}}/2}$ ${\textstyle \pi /2,}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}},\pi ,}$ ${\displaystyle 2}$

El término fracción parcial se utiliza cuando se descomponen fracciones racionales en sumas de fracciones más simples. Por ejemplo, la fracción racional se puede descomponer como la suma de dos fracciones: . Esto es útil para el cálculo de antiderivadas de funciones racionales (consulte descomposición en fracciones parciales para obtener más información). ${\displaystyle {\frac {2x}{x^{2}-1}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{x+1}}+{\frac {1}{x-1}}}$

Expresiones radicales

Una fracción también puede contener radicales en el numerador o en el denominador. Si el denominador contiene radicales, puede resultar útil racionalizarlo (compárese con la forma simplificada de una expresión radical ), especialmente si se van a realizar operaciones adicionales, como sumar o comparar esa fracción con otra. También es más conveniente si la división se va a realizar manualmente. Cuando el denominador es una raíz cuadrada monomio , se puede racionalizar multiplicando la parte superior e inferior de la fracción por el denominador:

${\displaystyle {\frac {3}{\sqrt {7}}}={\frac {3}{\sqrt {7}}}\cdot {\frac {\sqrt {7}}{\sqrt {7}}}={\frac {3{\sqrt {7}}}{7}}}$

El proceso de racionalización de denominadores binomiales implica multiplicar la parte superior e inferior de una fracción por el conjugado del denominador para que el denominador se convierta en un número racional. Por ejemplo:

${\displaystyle {\frac {3}{3-2{\sqrt {5}}}}={\frac {3}{3-2{\sqrt {5}}}}\cdot {\frac {3+2{\sqrt {5}}}{3+2{\sqrt {5}}}}={\frac {3(3+2{\sqrt {5}})}{{3}^{2}-(2{\sqrt {5}})^{2}}}={\frac {3(3+2{\sqrt {5}})}{9-20}}=-{\frac {9+6{\sqrt {5}}}{11}}}$

${\displaystyle {\frac {3}{3+2{\sqrt {5}}}}={\frac {3}{3+2{\sqrt {5}}}}\cdot {\frac {3-2{\sqrt {5}}}{3-2{\sqrt {5}}}}={\frac {3(3-2{\sqrt {5}})}{{3}^{2}-(2{\sqrt {5}})^{2}}}={\frac {3(3-2{\sqrt {5}})}{9-20}}=-{\frac {9-6{\sqrt {5}}}{11}}}$

Incluso si este proceso da como resultado que el numerador sea irracional, como en los ejemplos anteriores, el proceso aún puede facilitar manipulaciones posteriores al reducir la cantidad de irracionales con los que uno tiene que trabajar en el denominador.

Variaciones tipográficas

En las pantallas de computadora y en la tipografía , las fracciones simples a veces se imprimen como un solo carácter, por ejemplo, ½ ( la mitad ). Consulte el artículo sobre Formularios numéricos para obtener información sobre cómo hacer esto en Unicode .

Las publicaciones científicas distinguen cuatro formas de establecer fracciones, junto con pautas de uso: ^[29]

• Fracciones especiales : fracciones que se presentan como un solo carácter con una barra inclinada, con aproximadamente la misma altura y ancho que otros caracteres del texto. Generalmente se usa para fracciones simples, como: ½, ⅓, ⅔, ¼ y ¾. Dado que los números son más pequeños, la legibilidad puede ser un problema, especialmente para fuentes de tamaño pequeño. Estos no se utilizan en la notación matemática moderna, sino en otros contextos.
• Fracciones de caso : similares a las fracciones especiales, estas se representan como un solo carácter tipográfico, pero con una barra horizontal, lo que las hace verticales . Un ejemplo sería1/2, pero renderizado con la misma altura que otros personajes. Algunas fuentes incluyen toda representación de fracciones como fracciones de casos si ocupan solo un espacio tipográfico, independientemente de la dirección de la barra. ^[30]
• Fracciones de chelín o solidus : 1/2, llamadas así porque esta notación se usaba para la moneda británica pre-decimal ( £sd ), como en "2/6" para media corona , es decir, dos chelines y seis peniques. Si bien la notación "dos chelines y seis peniques" no representaba una fracción, la barra inclinada ahora se usa en fracciones, especialmente para fracciones alineadas con prosa (en lugar de mostradas), para evitar líneas desiguales. También se utiliza para fracciones dentro de fracciones (fracciones complejas) o dentro de exponentes para aumentar la legibilidad. Las fracciones escritas de esta manera, también conocidas como fracciones de pieza , ^[31] se escriben todas en una línea tipográfica, pero ocupan 3 o más espacios tipográficos.
• Fracciones acumuladas : . Esta notación utiliza dos o más líneas de texto normal y da como resultado una variación en el espacio entre líneas cuando se incluye dentro de otro texto. Si bien son grandes y legibles, pueden resultar perturbadores, especialmente en el caso de fracciones simples o dentro de fracciones complejas. ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$

Historia

Las primeras fracciones eran recíprocas de números enteros : símbolos antiguos que representaban una parte de dos, una parte de tres, una parte de cuatro, etc. ^[32] Los egipcios usaban fracciones egipcias c.  1000  a.C. Hace unos 4.000 años, los egipcios dividían en fracciones utilizando métodos ligeramente diferentes. Usaron mínimos comunes múltiplos con fracciones unitarias . Sus métodos dieron la misma respuesta que los métodos modernos. ^[33] Los egipcios también tenían una notación diferente para las fracciones diádicas , utilizada para ciertos sistemas de pesos y medidas. ^[34]

Los griegos utilizaban fracciones unitarias y (posteriormente) fracciones continuas . Los seguidores del filósofo griego Pitágoras ( c.  530  a. C.) descubrieron que la raíz cuadrada de dos no se puede expresar como una fracción de números enteros . (Esto se atribuye comúnmente, aunque probablemente erróneamente, a Hipaso de Metaponto , de quien se dice que fue ejecutado por revelar este hecho). En el año 150 a. C., los matemáticos jainistas de la India escribieron el " Sthananga Sutra ", que contiene trabajos sobre la teoría de números, aritmética y operaciones y operaciones con fracciones.

Una expresión moderna de fracciones conocida como bhinnarasi parece haberse originado en la India en la obra de Aryabhatta ( c.  500 d.C. ), ^{[ cita necesaria ]} Brahmagupta ( c.  628 ) y Bhaskara ( c.  1150 ). ^[35] Sus obras forman fracciones colocando los numeradores ( sánscrito : amsa ) sobre los denominadores ( cheda ), pero sin una barra entre ellos. ^[35] En la literatura sánscrita , las fracciones siempre se expresaban como una suma o una resta de un número entero. ^{[ cita necesaria ]} El número entero se escribió en una línea y la fracción en sus dos partes en la línea siguiente. Si la fracción estaba marcada por un pequeño círculo ⟨०⟩ o una cruz ⟨+⟩ , se resta del número entero; si no aparece tal signo, se entiende añadido. Por ejemplo, Bhaskara I escribe: ^[36]

६ १ २

१ १ १ _०

४ ५ ९

que es el equivalente a

6 1 2

1 1 −1

4 5 9

y se escribiría en notación moderna como 61/4, 11/5, y 2 - 1/9(es decir, 18/9).

La barra de fracción horizontal aparece atestiguada por primera vez en la obra de Al-Hassār ( fl.  1200 ), ^[35] un matemático musulmán de Fez , Marruecos , que se especializó en jurisprudencia islámica sobre herencias . En su discusión escribe: "por ejemplo, si te dicen que escribas tres quintos y un tercio de quinto, escribe así ". ^[37] La ​​misma notación fraccionaria, con la fracción dada antes del número entero ^[35] , aparece poco después en la obra de Leonardo Fibonacci en el siglo XIII. ^[38] ${\displaystyle {\frac {3\quad 1}{5\quad 3}}}$

Al analizar los orígenes de las fracciones decimales , Dirk Jan Struik afirma: ^[39]

La introducción de las fracciones decimales como práctica computacional común se remonta al panfleto flamenco De Thiende , publicado en Leyden en 1585, junto con una traducción francesa, La Disme , del matemático flamenco Simon Stevin (1548-1620), entonces establecida en el norte de Holanda . Es cierto que las fracciones decimales fueron utilizadas por los chinos muchos siglos antes que Stevin y que el astrónomo persa Al-Kāshī utilizó con gran facilidad tanto fracciones decimales como sexagesimales en su Clave de la aritmética ( Samarcanda , principios del siglo XV). ^[40]

Mientras que el matemático persa Jamshīd al-Kāshī afirmó haber descubierto las fracciones decimales en el siglo XV, J. Lennart Berggren señala que estaba equivocado, ya que las fracciones decimales fueron utilizadas por primera vez cinco siglos antes que él por el matemático bagdadí Abu'l-Hasan al. -Uqlidisi ya en el siglo X. ^{[41] [n 2]}

Educación informal

Herramientas pedagógicas

En las escuelas primarias , las fracciones se han demostrado mediante varillas de Cuisenaire , barras de fracciones, tiras de fracciones, círculos de fracciones, papel (para doblar o cortar), bloques de patrones , piezas en forma de pastel, rectángulos de plástico, papel cuadriculado, papel de puntos, geoplanos , contadores y software de ordenador.

Documentos para profesores.

Varios estados de los Estados Unidos han adoptado trayectorias de aprendizaje de las directrices de la Iniciativa de Estándares Estatales Básicos Comunes para la educación matemática. Además de secuenciar el aprendizaje de fracciones y operaciones con fracciones, el documento proporciona la siguiente definición de fracción: "Un número expresable en la forma ${\displaystyle a}$/ ${\displaystyle b}$donde es un número entero y es un número entero positivo. (La palabra fracción en estas normas siempre se refiere a un número no negativo)". ^[43] El documento en sí también se refiere a fracciones negativas. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Ver también

• multiplicación cruzada
• 0,999...
• Múltiple
• FRACTRAN

Notas

1. Algunos tipógrafos como Bringhurst distinguen erróneamente la barra diagonal ⟨ / ⟩ como la vírgula y la barra fraccionaria ⟨ ⁄ ⟩ como el solidus , ^[6] aunque en realidad ambas son sinónimos de la barra diagonal estándar. ^{[7] [8]}
2. Si bien existe cierto desacuerdo entre los estudiosos de la historia de las matemáticas en cuanto a la primacía de la contribución de al-Uqlidisi, no hay dudas sobre su principal contribución al concepto de fracciones decimales. ^[42]

Referencias

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enlaces externos

• "Fracción, aritmética". La enciclopedia de matemáticas en línea .
• "Fracción". Enciclopedia Británica . 5 de enero de 2024.