Multiplicación inversa

Número que multiplicado por x es igual a 1

La función recíproca: y = 1/ x . Para cada x excepto 0, y representa su inverso multiplicativo. La gráfica forma una hipérbola rectangular .

En matemáticas , un inverso multiplicativo o recíproco de un número x , denotado por 1/ x o x ⁻¹ , es un número que cuando se multiplica por x produce la identidad multiplicativa , 1. El inverso multiplicativo de una fracción a / b es b / a . Para el inverso multiplicativo de un número real, divide 1 por el número. Por ejemplo, el recíproco de 5 es un quinto (1/5 o 0,2) y el recíproco de 0,25 es 1 dividido por 0,25, o 4. La función recíproca , la función f ( x ) que asigna x a 1/ x , es uno de los ejemplos más simples de una función que es su propia inversa (una involución ).

Multiplicar por un número es lo mismo que dividir por su recíproco y viceversa. Por ejemplo, la multiplicación por 4/5 (o 0,8) dará el mismo resultado que la división por 5/4 (o 1,25). Por lo tanto, la multiplicación por un número seguida de la multiplicación por su recíproco produce el número original (ya que el producto del número y su recíproco es 1).

El término recíproco era de uso común al menos desde la tercera edición de Encyclopædia Britannica (1797) para describir dos números cuyo producto es 1; Las cantidades geométricas en proporción inversa se describen como recíprocas en una traducción de 1570 de los Elementos de Euclides . ^[1]

En la frase inverso multiplicativo , el calificativo multiplicativo a menudo se omite y luego se entiende tácitamente (en contraste con el inverso aditivo ). Los inversos multiplicativos se pueden definir en muchos dominios matemáticos, así como en números. En estos casos puede ocurrir que ab ≠ ba ; entonces "inverso" normalmente implica que un elemento es tanto inverso izquierdo como derecho .

La notación f ⁻¹ a veces también se usa para la función inversa de la función f , que para la mayoría de las funciones no es igual a la inversa multiplicativa. Por ejemplo, el inverso multiplicativo 1/(sin x ) = (sin x ) ⁻¹ es la cosecante de x, y no el seno inverso de x denotado por sin ⁻¹ x o arcosen x . La diferencia terminológica recíproca versus inversa no es suficiente para hacer esta distinción, ya que muchos autores prefieren la convención de nomenclatura opuesta, probablemente por razones históricas (por ejemplo, en francés , la función inversa se llama preferiblemente biyección réciproque).

Ejemplos y contraejemplos

En los números reales, el cero no tiene recíproco ( la división por cero no está definida ) porque ningún número real multiplicado por 0 produce 1 (el producto de cualquier número por cero es cero). Con excepción del cero, los recíprocos de todo número real son reales, los recíprocos de todo número racional son racionales y los recíprocos de todo número complejo son complejos. La propiedad de que todo elemento distinto de cero tiene un inverso multiplicativo es parte de la definición de campo , de la cual todos estos son ejemplos. Por otro lado, ningún número entero distinto de 1 y −1 tiene un número entero recíproco, por lo que los números enteros no son un campo.

En aritmética modular , el inverso multiplicativo modular de a también se define: es el número x tal que ax ≡ 1 (mod n ) . Este inverso multiplicativo existe si y sólo si a y n son coprimos . Por ejemplo, el inverso de 3 módulo 11 es 4 porque 4 ⋅ 3 ≡ 1 (mod 11) . Para calcularlo se puede utilizar el algoritmo euclidiano extendido .

Los sedeniones son un álgebra en la que todo elemento distinto de cero tiene un inverso multiplicativo, pero que, no obstante, tiene divisores de cero, es decir, elementos distintos de cero x , y tales que xy  = 0.

Una matriz cuadrada tiene inversa si y sólo si su determinante tiene inversa en el anillo de coeficientes . La aplicación lineal que tiene la matriz A ⁻¹ con respecto a alguna base es entonces la función inversa de la aplicación que tiene A como matriz en la misma base. Así, las dos nociones distintas de inversa de una función están fuertemente relacionadas en este caso, pero aún así no coinciden, ya que la inversa multiplicativa de Ax sería ( Ax ) ⁻¹ , no A ⁻¹ x.

Estas dos nociones de función inversa a veces coinciden, por ejemplo para la función donde es la rama principal del logaritmo complejo y : ${\displaystyle f(x)=x^{i}=e^{i\ln(x)}}$ ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle e^{-\pi }<|x|<e^{\pi }}$

${\displaystyle ((1/f)\circ f)(x)=(1/f)(f(x))=1/(f(f(x)))=1/e^{i\ln(e^{i\ln(x)})}=1/e^{ii\ln(x)}=1/e^{-\ln(x)}=x}$.

Las funciones trigonométricas están relacionadas por la identidad recíproca: la cotangente es el recíproco de la tangente; la secante es el recíproco del coseno; la cosecante es el recíproco del seno.

Un anillo en el que cada elemento distinto de cero tiene un inverso multiplicativo es un anillo de división ; Asimismo, un álgebra en la que esto se cumple es un álgebra de división .

Números complejos

Como se mencionó anteriormente, el recíproco de todo número complejo distinto de cero z = a + bi es complejo. Se puede encontrar multiplicando la parte superior e inferior de 1/ z por su conjugado complejo y usando la propiedad de que , el valor absoluto de z al cuadrado, que es el número real a ² + b ² : ${\displaystyle {\bar {z}}=a-bi}$ ${\displaystyle z{\bar {z}}=\|z\|^{2}}$

${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {\bar {z}}{\|z\|^{2}}}={\frac {a-bi}{a^{2}+b^{2}}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i.}$

La intuición es que

${\displaystyle {\frac {\bar {z}}{\|z\|}}}$

nos da el conjugado complejo con una magnitud reducida a un valor de , por lo que dividir nuevamente por asegura que la magnitud ahora también sea igual al recíproco de la magnitud original, por lo tanto: ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \|z\|}$

${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{\|z\|^{2}}}}$

En particular, si || z ||=1 ( z tiene magnitud unitaria), entonces . En consecuencia, las unidades imaginarias , ± i , tienen inverso aditivo igual a inverso multiplicativo, y son los únicos números complejos con esta propiedad. Por ejemplo, los inversos aditivos y multiplicativos de i son −( i ) = − i y 1/ i = − i , respectivamente. ${\displaystyle 1/z={\bar {z}}}$

Para un número complejo en forma polar z = r (cos φ + i  sen φ) , el recíproco simplemente toma el recíproco de la magnitud y el negativo del ángulo:

${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {1}{r}}\left(\cos(-\varphi )+i\sin(-\varphi )\right).}$

Intuición geométrica para la integral de 1/ x . Las tres integrales del 1 al 2, del 2 al 4 y del 4 al 8 son todas iguales. Cada región es la región anterior dividida a la mitad verticalmente y duplicada horizontalmente. Ampliando esto, la integral de 1 a 2 ^k es k multiplicada por la integral de 1 a 2, tal como ln 2 ^k = k ln 2.

Cálculo

En cálculo real , la derivada de 1/ x = x ⁻¹ viene dada por la regla de la potencia con la potencia −1:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{-1}=(-1)x^{(-1)-1}=-x^{-2}=-{\frac {1}{x^{2}}}.}$

La regla de potencia para integrales ( fórmula de cuadratura de Cavalieri ) no se puede utilizar para calcular la integral de 1/ x , porque hacerlo daría como resultado una división entre 0:

$${\displaystyle \int {\frac {dx}{x}}={\frac {x^{0}}{0}}+C}$$

$${\displaystyle \int _{1}^{a}{\frac {dx}{x}}=\ln a,}$$

$${\displaystyle \int {\frac {dx}{x}}=\ln x+C.}$$

logaritmo natural^[2] ${\textstyle {\frac {d}{dy}}e^{y}=e^{y}}$ ${\displaystyle x=e^{y}}$ ${\displaystyle y=\ln x}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {dx}{dy}}=x\quad \Rightarrow \quad {\frac {dx}{x}}=dy\\[10mu]&\quad \Rightarrow \quad \int {\frac {dx}{x}}=\int dy=y+C=\ln x+C.\end{aligned}}}$$

Algoritmos

El recíproco se puede calcular a mano mediante el uso de una división larga .

Calcular el recíproco es importante en muchos algoritmos de división , ya que el cociente a / b se puede calcular calculando primero 1/ b y luego multiplicándolo por a . Al observar que tiene un cero en x = 1/ b , el método de Newton puede encontrar ese cero, comenzando con una suposición e iterando usando la regla: ${\displaystyle f(x)=1/x-b}$ ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}=x_{n}-{\frac {1/x_{n}-b}{-1/x_{n}^{2}}}=2x_{n}-bx_{n}^{2}=x_{n}(2-bx_{n}).}$

Esto continúa hasta alcanzar la precisión deseada. Por ejemplo, supongamos que deseamos calcular 1/17 ≈ 0,0588 con 3 dígitos de precisión. Tomando x ₀ = 0,1, se produce la siguiente secuencia:

x1 ₌ 0,1(2 − 17 × 0,1) = 0,03

x2 = 0,03(2 ₋ 17 × 0,03) = 0,0447

x3 = _0,0447 (2 − 17 × 0,0447) ≈ 0,0554

x4 = _0,0554 (2 − 17 × 0,0554) ≈ 0,0586

x5 = _0,0586 (2 − 17 × 0,0586) ≈ 0,0588

Se puede encontrar una suposición inicial típica redondeando b a una potencia cercana a 2 y luego usando desplazamientos de bits para calcular su recíproco.

En matemáticas constructivas , para que un número real x tenga un recíproco, no es suficiente que x ≠ 0. En su lugar, se debe dar un número racional r tal que 0 <  r  < | x |. En términos del algoritmo de aproximación descrito anteriormente, esto es necesario para demostrar que el cambio en y eventualmente se volverá arbitrariamente pequeño.

Gráfica de f( x ) = x ^x que muestra el mínimo en (1/ e , e ^{−1/ e} ).

Esta iteración también se puede generalizar a un tipo más amplio de inversas; por ejemplo, inversas matriciales .

Recíprocos de números irracionales

Todo número real o complejo, excepto el cero, tiene un recíproco, y los recíprocos de ciertos números irracionales pueden tener importantes propiedades especiales. Los ejemplos incluyen el recíproco de e (≈ 0,367879) y el recíproco de la proporción áurea (≈ 0,618034). El primer recíproco es especial porque ningún otro número positivo puede producir un número menor cuando se lo eleva a sí mismo; es el mínimo global de . El segundo número es el único número positivo que es igual a su recíproco más uno: . Su inverso aditivo es el único número negativo que es igual a su recíproco menos uno: . ${\displaystyle f(1/e)}$ ${\displaystyle f(x)=x^{x}}$ ${\displaystyle \varphi =1/\varphi +1}$ ${\displaystyle -\varphi =-1/\varphi -1}$

La función da un número infinito de números irracionales que difieren de su recíproco en un número entero. Por ejemplo, es lo irracional . Su recíproco es exactamente menor. Estos números irracionales comparten una propiedad evidente: tienen la misma parte fraccionaria que su recíproco, ya que estos números difieren en un número entero. ${\textstyle f(n)=n+{\sqrt {n^{2}+1}},n\in \mathbb {N} ,n>0}$ ${\displaystyle f(2)}$ ${\displaystyle 2+{\sqrt {5}}}$ ${\displaystyle 1/(2+{\sqrt {5}})}$ ${\displaystyle -2+{\sqrt {5}}}$ ${\displaystyle 4}$

La función recíproca juega un papel importante en las fracciones continuas , que tienen una serie de propiedades notables relacionadas con la representación de números (tanto racionales como) irracionales.

Más observaciones

Si la multiplicación es asociativa, un elemento x con un inverso multiplicativo no puede ser un divisor de cero ( x es un divisor de cero si algún y , xy = 0 distinto de cero ). Para ver esto, basta con multiplicar la ecuación xy = 0 por la inversa de x (a la izquierda) y luego simplificar usando asociatividad. En ausencia de asociatividad, los sedeniones proporcionan un contraejemplo.

Lo contrario no se cumple: no se garantiza que un elemento que no es divisor de cero tenga un inverso multiplicativo. Dentro de Z , todos los números enteros excepto −1, 0, 1 proporcionan ejemplos; no son divisores de cero ni tienen inversos en Z. Sin embargo, si el anillo o el álgebra es finito , entonces todos los elementos a que no son divisores de cero tienen una inversa (izquierda y derecha). Porque, primero observe que el mapa f ( x ) = ax debe ser inyectivo : f ( x ) = f ( y ) implica x = y :

${\displaystyle {\begin{aligned}ax&=ay&\quad \Rightarrow &\quad ax-ay=0\\&&\quad \Rightarrow &\quad a(x-y)=0\\&&\quad \Rightarrow &\quad x-y=0\\&&\quad \Rightarrow &\quad x=y.\end{aligned}}}$

Los elementos distintos se asignan a elementos distintos, por lo que la imagen consta del mismo número finito de elementos y el mapa es necesariamente sobreyectivo . Específicamente, ƒ (es decir, la multiplicación por a ) debe asignar algún elemento x a 1, ax = 1 , de modo que x sea inverso para a .

Aplicaciones

La expansión del recíproco 1/ q en cualquier base también puede actuar ^[3] como fuente de números pseudoaleatorios , si q es un primo seguro "adecuado" , un primo de la forma 2 p  + 1 donde p también es un principal.  La expansión producirá una secuencia de números pseudoaleatorios de longitud q − 1.

Ver también

• División (matemáticas)
• Decrecimiento exponencial
• Fracción
• Grupo (matemáticas)
• Hipérbola
• Distribución inversa
• Lista de sumas de recíprocos
• decimal periódico
• coordenadas de 6 esferas
• Fracciones unitarias : recíprocos de números enteros
• Ceros y polos

Notas

1. "En igual Paralelipipedons las bases son recíprocas a sus altitudes". DEO "Recíproco" §3a. Traducción de Sir Henry Billingsley de Elementos XI, 34.
2. Anthony, Dr. "Prueba de que INT(1/x)dx = lnx". Pregúntele al Dr. Matemáticas . Universidad de Drexel . Consultado el 22 de marzo de 2013 .
3. Mitchell, Douglas W., "Un generador de números aleatorios no lineal con una duración de ciclo larga conocida", Cryptologia 17, enero de 1993, 55–62.

Referencias

• Recíprocos máximos periódicos, Boletín Matthews RAJ del Instituto de Matemáticas y sus aplicaciones vol 28 págs. 147-148 1992