Regla de potencia

Método de diferenciación de polinomios de un solo término

En cálculo , la regla de potencia se utiliza para diferenciar funciones de la forma , siempre que sea un número real . Dado que la diferenciación es una operación lineal en el espacio de funciones diferenciables, los polinomios también se pueden diferenciar utilizando esta regla. La regla de potencia es la base de la serie de Taylor , ya que relaciona una serie de potencias con las derivadas de una función . ${\displaystyle f(x)=x^{r}}$ ${\displaystyle r}$

Enunciado de la regla de potencia

Sea una función que satisface para todo , donde . ^[a] Entonces, ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)=x^{r}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle f'(x)=rx^{r-1}\,.}$

La regla de potencia para la integración establece que

${\displaystyle \int \!x^{r}\,dx={\frac {x^{r+1}}{r+1}}+C}$

para cualquier número real . Se puede derivar invirtiendo la regla de potencia para la diferenciación. En esta ecuación C es cualquier constante . ${\displaystyle r\neq -1}$

Pruebas

Prueba para exponentes reales

Para empezar, deberíamos elegir una definición funcional del valor de , donde es cualquier número real. Aunque es factible definir el valor como el límite de una secuencia de potencias racionales que se aproximan a la potencia irracional siempre que encontremos dicha potencia, o como el límite superior mínimo de un conjunto de potencias racionales menores que la potencia dada, este tipo de definición no es susceptible de diferenciación. Por lo tanto, es preferible utilizar una definición funcional, que generalmente se toma como para todos los valores de , donde es la función exponencial natural y es el número de Euler . ^{[1] [2]} Primero, podemos demostrar que la derivada de es . ${\displaystyle f(x)=x^{r}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x^{r}=\exp(r\ln x)}$ ${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle \exp(x)=e^{x}}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$ ${\displaystyle f'(x)=e^{x}}$

Si , entonces , donde es la función logaritmo natural , la función inversa de la función exponencial, como lo demostró Euler. ^[3] Dado que las dos últimas funciones son iguales para todos los valores de , sus derivadas también son iguales, siempre que exista cualquiera de las derivadas, por lo que tenemos, por la regla de la cadena , o , como se requería. Por lo tanto, al aplicar la regla de la cadena a , vemos que lo que se simplifica a . ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$ ${\displaystyle \ln(f(x))=x}$ ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle x>0}$ $${\displaystyle {\frac {1}{f(x)}}\cdot f'(x)=1}$$ ${\displaystyle f'(x)=f(x)=e^{x}}$ ${\displaystyle f(x)=e^{r\ln x}}$ $${\displaystyle f'(x)={\frac {r}{x}}e^{r\ln x}={\frac {r}{x}}x^{r}}$$ ${\displaystyle rx^{r-1}}$

Cuando , podemos usar la misma definición con , donde ahora tenemos . Esto conduce necesariamente al mismo resultado. Nótese que debido a que no tiene una definición convencional cuando no es un número racional, las funciones de potencia irracionales no están bien definidas para bases negativas. Además, como las potencias racionales de −1 con denominadores pares (en términos mínimos) no son números reales, estas expresiones solo tienen valores reales para potencias racionales con denominadores impares (en términos mínimos). ${\displaystyle x<0}$ ${\displaystyle x^{r}=((-1)(-x))^{r}=(-1)^{r}(-x)^{r}}$ ${\displaystyle -x>0}$ ${\displaystyle (-1)^{r}}$ ${\displaystyle r}$

Finalmente, siempre que la función sea diferenciable en , el límite que define la derivada es: que da como resultado 0 solo cuando es un número racional con denominador impar (en términos mínimos) y , y 1 cuando . Para todos los demás valores de , la expresión no está bien definida para , como se explicó anteriormente, o no es un número real, por lo que el límite no existe como una derivada de valor real. Para los dos casos que sí existen, los valores concuerdan con el valor de la regla de potencia existente en 0, por lo que no es necesario hacer ninguna excepción. ${\displaystyle x=0}$ $${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {h^{r}-0^{r}}{h}}}$$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r>1}$ ${\displaystyle r=1}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle h^{r}}$ ${\displaystyle h<0}$

La exclusión de la expresión ${\displaystyle 0^{0}}$ (el caso ) de nuestro esquema de exponenciación se debe al hecho de que la función no tiene límite en (0,0), ya que tiende a 1 cuando x se acerca a 0, mientras que se acerca a 0 cuando y se acerca a 0. Por lo tanto, sería problemático atribuirle un valor particular, ya que el valor contradiría uno de los dos casos, dependiendo de la aplicación. Tradicionalmente se deja sin definir. ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle f(x,y)=x^{y}}$ ${\displaystyle x^{0}}$ ${\displaystyle 0^{y}}$

Pruebas para exponentes enteros

Prueba porinducción(números naturales)

Sea . Se requiere demostrar que El caso base puede ser cuando o , dependiendo de cómo se defina el conjunto de números naturales . ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}.}$ ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle 1}$

Cuando , ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{0}={\frac {d}{dx}}(1)=\lim _{h\to 0}{\frac {1-1}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{h}}=0=0x^{0-1}.}$

Cuando , ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{1}=\lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)-x}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {h}{h}}=1=1x^{1-1}.}$

Por lo tanto, el caso base es válido en ambos casos.

Supongamos que la afirmación es válida para algún número natural k , es decir ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{k}=kx^{k-1}.}$

Cuando , por el principio de inducción matemática, la afirmación es verdadera para todos los números naturales n . ${\displaystyle n=k+1}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{k+1}={\frac {d}{dx}}(x^{k}\cdot x)=x^{k}\cdot {\frac {d}{dx}}x+x\cdot {\frac {d}{dx}}x^{k}=x^{k}+x\cdot kx^{k-1}=x^{k}+kx^{k}=(k+1)x^{k}=(k+1)x^{(k+1)-1}}$$

Prueba porteorema del binomio(número natural)

Sea , donde . ${\displaystyle y=x^{n}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

Entonces, $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)^{n}-x^{n}}{h}}\\[4pt]&=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\left[x^{n}+{\binom {n}{1}}x^{n-1}h+{\binom {n}{2}}x^{n-2}h^{2}+\dots +{\binom {n}{n}}h^{n}-x^{n}\right]\\[4pt]&=\lim _{h\to 0}\left[{\binom {n}{1}}x^{n-1}+{\binom {n}{2}}x^{n-2}h+\dots +{\binom {n}{n}}h^{n-1}\right]\\[4pt]&=nx^{n-1}\end{aligned}}}$$

Como n es igual a 1 y el resto de los términos contienen h, que es 0, el resto de los términos se cancelan. Esta prueba solo funciona para números naturales, ya que el teorema del binomio solo funciona para números naturales.

Generalización a exponentes enteros negativos

Para un entero negativo n , sea m un entero positivo. Utilizando la regla recíproca , En conclusión, para cualquier entero , ${\displaystyle n=-m}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{n}={\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{x^{m}}}\right)={\frac {-{\frac {d}{dx}}x^{m}}{(x^{m})^{2}}}=-{\frac {mx^{m-1}}{x^{2m}}}=-mx^{-m-1}=nx^{n-1}.}$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}.}$

Generalización a exponentes racionales

Al demostrar que la regla de potencia se cumple para exponentes enteros, la regla puede extenderse a exponentes racionales.

Prueba porregla de la cadena

Esta prueba se compone de dos pasos que implican el uso de la regla de la cadena para la diferenciación.

1. Sea , donde . Entonces . Por la regla de la cadena , . Resolviendo para , Por lo tanto, la regla de la potencia se aplica para exponentes racionales de la forma , donde es un número natural distinto de cero. Esto se puede generalizar a exponentes racionales de la forma aplicando la regla de la potencia para exponentes enteros usando la regla de la cadena, como se muestra en el siguiente paso. ${\displaystyle y=x^{r}=x^{\frac {1}{n}}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{+}}$ ${\displaystyle y^{n}=x}$ ${\displaystyle ny^{n-1}\cdot {\frac {dy}{dx}}=1}$ ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$ $${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{ny^{n-1}}}={\frac {1}{n\left(x^{\frac {1}{n}}\right)^{n-1}}}={\frac {1}{nx^{1-{\frac {1}{n}}}}}={\frac {1}{n}}x^{{\frac {1}{n}}-1}=rx^{r-1}}$$ ${\displaystyle 1/n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p/q}$
2. Sea , donde , de modo que . Por la regla de la cadena , ${\displaystyle y=x^{r}=x^{p/q}}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {Z} ,q\in \mathbb {N} ^{+},}$ ${\displaystyle r\in \mathbb {Q} }$ $${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}\left(x^{\frac {1}{q}}\right)^{p}=p\left(x^{\frac {1}{q}}\right)^{p-1}\cdot {\frac {1}{q}}x^{{\frac {1}{q}}-1}={\frac {p}{q}}x^{p/q-1}=rx^{r-1}}$$

De los resultados anteriores, podemos concluir que cuando es un número racional , ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{r}=rx^{r-1}.}$

Prueba pordiferenciación implícita

Una generalización más directa de la regla de potencia a exponentes racionales hace uso de la diferenciación implícita.

Sea , donde para que . ${\displaystyle y=x^{r}=x^{p/q}}$ ${\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle r\in \mathbb {Q} }$

Entonces, diferenciando ambos lados de la ecuación con respecto a , resolviendo para , ya que , aplicando las leyes de los exponentes, Por lo tanto, dejando , podemos concluir que cuando es un número racional. $${\displaystyle y^{q}=x^{p}}$$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle qy^{q-1}\cdot {\frac {dy}{dx}}=px^{p-1}}$$ ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$ $${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {px^{p-1}}{qy^{q-1}}}.}$$ ${\displaystyle y=x^{p/q}}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{p/q}={\frac {px^{p-1}}{qx^{p-p/q}}}.}$$ $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{p/q}={\frac {p}{q}}x^{p-1}x^{-p+p/q}={\frac {p}{q}}x^{p/q-1}.}$$ ${\displaystyle r={\frac {p}{q}}}$ ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{r}=rx^{r-1}}$ ${\displaystyle r}$

Historia

La regla de potencia para integrales fue demostrada por primera vez en forma geométrica por el matemático italiano Bonaventura Cavalieri a principios del siglo XVII para todos los valores enteros positivos de , y durante mediados del siglo XVII para todas las potencias racionales por los matemáticos Pierre de Fermat , Evangelista Torricelli , Gilles de Roberval , John Wallis y Blaise Pascal , cada uno trabajando de forma independiente. En ese momento, eran tratados sobre la determinación del área entre el gráfico de una función de potencia racional y el eje horizontal. Sin embargo, en retrospectiva, se considera el primer teorema general de cálculo en ser descubierto. ^[4] La regla de potencia para la diferenciación fue derivada por Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz , cada uno de forma independiente, para funciones de potencia racional a mediados del siglo XVII, quienes luego la usaron para derivar la regla de potencia para integrales como la operación inversa. Esto refleja la forma convencional en que se presentan los teoremas relacionados en los libros de texto de cálculo básico modernos, donde las reglas de diferenciación generalmente preceden a las reglas de integración. ^[5] ${\displaystyle {\displaystyle n}}$

Aunque ambos afirmaron que sus reglas, demostradas sólo para cantidades racionales, funcionaban para todas las potencias reales, ninguno buscó una prueba de ello, ya que en ese momento las aplicaciones de la teoría no se relacionaban con funciones de potencia tan exóticas y las cuestiones de convergencia de series infinitas todavía eran ambiguas.

El caso único de fue resuelto por el jesuita y matemático flamenco Grégoire de Saint-Vincent y su alumno Alphonse Antonio de Sarasa a mediados del siglo XVII, quienes demostraron que la integral definida asociada, ${\displaystyle r=-1}$

${\displaystyle \int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt}$

La integral definida, que representa el área entre la hipérbola rectangular y el eje x, era una función logarítmica, cuya base se descubrió con el tiempo como el número trascendental e . La notación moderna para el valor de esta integral definida es , el logaritmo natural. ${\displaystyle xy=1}$ ${\displaystyle \ln(x)}$

Generalizaciones

Funciones de potencia complejas

Si consideramos funciones de la forma donde es cualquier número complejo y es un número complejo en un plano complejo de rendija que excluye el punto de ramificación de 0 y cualquier corte de rama conectado a él, y utilizamos la definición multivaluada convencional , entonces es sencillo demostrar que, en cada rama del logaritmo complejo, el mismo argumento utilizado anteriormente produce un resultado similar: . ^[6] ${\displaystyle f(z)=z^{c}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z^{c}:=\exp(c\ln z)}$ ${\displaystyle f'(z)={\frac {c}{z}}\exp(c\ln z)}$

Además, si es un entero positivo, entonces no hay necesidad de un corte de rama: se puede definir , o definir potencias complejas integrales positivas a través de la multiplicación compleja, y demostrar que para todo , a partir de la definición de la derivada y el teorema binomial. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle f'(z)=cz^{c-1}}$ ${\displaystyle z}$

Sin embargo, debido a la naturaleza multivaluada de las funciones de potencia complejas para exponentes no enteros, se debe tener cuidado al especificar la rama del logaritmo complejo que se está utilizando. Además, sin importar qué rama se utilice, si no es un entero positivo, entonces la función no es diferenciable en 0. ${\displaystyle c}$

Véase también

• Reglas de diferenciación
• Regla general de Leibniz
• Funciones inversas y diferenciación
• Linealidad de la diferenciación
• Regla del producto
• Regla del cociente
• Tabla de derivadas
• Identidades del cálculo vectorial

Referencias

Notas

1. Si es un número racional cuya representación en términos más bajos tiene un denominador impar, entonces el dominio de se entiende que es . En caso contrario, el dominio es . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (0,\infty )}$

Citas

1. Landau, Edmund (1951). Cálculo diferencial e integral . Nueva York: Chelsea Publishing Company. pág. 45. ISBN 978-0821828304.
2. Spivak, Michael (1994). Cálculo (3.ª ed.). Texas: Publish or Perish, Inc., págs. 336-342. ISBN 0-914098-89-6.
3. Maor, Eli (1994). e: La historia de un número . Nueva Jersey: Princeton University Press. p. 156. ISBN. 0-691-05854-7.
4. Boyer, Carl (1959). Historia del cálculo y su desarrollo conceptual. Nueva York: Dover. p. 127. ISBN 0-486-60509-4.
5. Boyer, Carl (1959). Historia del cálculo y su desarrollo conceptual. Nueva York: Dover. pp. 191, 205. ISBN. 0-486-60509-4.
6. Freitag, Eberhard; Busam, Rolf (2009). Análisis complejo (2 ed.). Heidelberg: Springer-Verlag. pag. 46.ISBN​ 978-3-540-93982-5.

Lectura adicional

• Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; y Edwards, Bruce H. (2003). Cálculo de una sola variable: funciones trascendentales tempranas (3.ª edición). Houghton Mifflin Company. ISBN 0-618-22307-X .