Este es un resumen de las reglas de diferenciación , es decir, reglas para calcular la derivada de una función en cálculo .
Reglas elementales de diferenciación.
A menos que se indique lo contrario, todas las funciones son funciones de números reales ( R ) que devuelven valores reales; aunque de manera más general, las fórmulas siguientes se aplican siempre que estén bien definidas [1] [2] , incluido el caso de números complejos ( C ) . [3]
Regla del término constante
Para cualquier valor de , donde , if es la función constante dada por , entonces . [4]
Prueba
Deja y . Por la definición de derivada,
Esto muestra que la derivada de cualquier función constante es 0.
Explicación intuitiva (geométrica)
La derivada de la función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto. La pendiente de la función constante es cero, porque la recta tangente a la función constante es horizontal y su ángulo es cero.
En otras palabras, el valor de la función constante, y, no cambiará a medida que el valor de x aumente o disminuya.
La diferenciación es lineal.
Para cualquier función y y cualquier número real y , la derivada de la función con respecto a es:
Para las funciones y , la derivada de la función con respecto a es
La regla de la cadena
La derivada de la función es
En la notación de Leibniz, esto se escribe como:
Centrándonos en la noción de mapas, y siendo el diferencial un mapa , esto se escribe de una manera más concisa como:
La regla de la función inversa
Si la función f tiene una función inversa g , es decir que y entonces
En notación de Leibniz, esto se escribe como
Leyes de potencia, polinomios, cocientes y recíprocos
La regla del polinomio o potencia elemental.
Si , para cualquier número real entonces
Cuando este se convierte en el caso especial de que si entonces
La combinación de la regla de la potencia con la suma y las reglas múltiples constantes permite calcular la derivada de cualquier polinomio.
La regla recíproca
La derivada de para cualquier función f (que no desaparece) es:
donde f es distinto de cero.
En la notación de Leibniz, esto se escribe
La regla recíproca puede derivarse de la regla del cociente o de la combinación de la regla de la potencia y la regla de la cadena.
La regla del cociente
Si f y g son funciones, entonces:
donde g es distinto de cero.
Esto se puede derivar de la regla del producto y de la regla recíproca.
Regla de poder generalizada
La regla del poder elemental se generaliza considerablemente. La regla de potencia más general es la regla de potencia funcional : para cualquier función f y g ,
donde ambos lados estén bien definidos.
Casos especiales
Si , entonces cuando a es cualquier número real distinto de cero y x es positivo.
La regla recíproca puede derivarse como el caso especial en el que .
Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas
La ecuación anterior es cierta para todo c , pero la derivada de produce un número complejo.
la ecuación anterior también es cierta para todo c , pero produce un número complejo si .
La derivada logarítmica es otra forma de enunciar la regla para derivar el logaritmo de una función (usando la regla de la cadena):
donde f es positiva.
La diferenciación logarítmica es una técnica que utiliza logaritmos y sus reglas de diferenciación para simplificar ciertas expresiones antes de aplicar la derivada. [ cita necesaria ]
Los logaritmos se pueden usar para eliminar exponentes, convertir productos en sumas y convertir divisiones en restas, cada una de las cuales puede conducir a una expresión simplificada para tomar derivadas.
Derivadas de funciones trigonométricas
Las derivadas en la tabla anterior son para cuando el rango de la secante inversa es y cuando el rango de la cosecante inversa es
Es común definir adicionalmente una función tangente inversa con dos argumentos . Su valor se encuentra en el rango y refleja el cuadrante del punto. Para el primer y cuarto cuadrante (es decir ), se tienen sus derivadas parciales son
Supongamos que se requiere derivar con respecto a x la función
donde las funciones y son continuas en ambos y en alguna región del plano, incluyendo , y las funciones y son continuas y ambas tienen derivadas continuas para . Entonces para :
^ Cálculo (quinta edición) , F. Ayres, E. Mendelson, Schaum's Outline Series, 2009, ISBN 978-0-07-150861-2 .
^ Cálculo avanzado (tercera edición) , R. Wrede, MR Spiegel, Schaum's Outline Series, 2010, ISBN 978-0-07-162366-7 .
^ Variables complejas , MR Spiegel, S. Lipschutz, JJ Schiller, D. Spellman, Schaum's Outlines Series, McGraw Hill (EE. UU.), 2009, ISBN 978-0-07-161569-3
^ "Reglas de diferenciación". Universidad de Waterloo - Curso abierto CEMC . Consultado el 3 de mayo de 2022 .
Fuentes y lecturas adicionales
Estas reglas se dan en muchos libros, tanto de cálculo elemental como avanzado, de matemática pura y aplicada. Los de este artículo (además de las referencias anteriores) se pueden encontrar en:
Manual matemático de fórmulas y tablas (tercera edición) , S. Lipschutz, MR Spiegel, J. Liu, Schaum's Outline Series, 2009, ISBN 978-0-07-154855-7 .
Manual de fórmulas físicas de Cambridge , G. Woan, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2 .
Métodos matemáticos para física e ingeniería , KF Riley, MP Hobson, SJ Bence, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3
Manual de funciones matemáticas del NIST , FWJ Olver, DW Lozier, RF Boisvert, CW Clark, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-19225-5 .