Funciones hiperbólicas inversas

Funciones matemáticas

Gráficas de las funciones hiperbólicas inversas.

Las funciones hiperbólicas sinh , cosh y tanh con respecto a una hipérbola unitaria son análogas a las funciones circulares sin , cos , tanh con respecto a un círculo unitario. El argumento de las funciones hiperbólicas es una medida de ángulo hiperbólico.

En matemáticas , las funciones hiperbólicas inversas son inversas de las funciones hiperbólicas , análogas a las funciones circulares inversas . Hay seis de uso común: seno hiperbólico inverso, coseno hiperbólico inverso, tangente hiperbólica inversa, cosecante hiperbólica inversa, secante hiperbólica inversa y cotangente hiperbólica inversa. Comúnmente se denotan con los símbolos de las funciones hiperbólicas, con el prefijo arc- o ar- .

Para un valor dado de una función hiperbólica, la función hiperbólica inversa proporciona la medida del ángulo hiperbólico correspondiente , por ejemplo, y la medida del ángulo hiperbólico es la longitud de un arco de una hipérbola unitaria medida en el plano de Lorentz ( no la longitud de un arco hiperbólico). en el plano euclidiano ), y el doble del área del sector hiperbólico correspondiente . Esto es análogo a la forma en que la medida del ángulo circular es la longitud de arco de un arco del círculo unitario en el plano euclidiano o el doble del área del sector circular correspondiente . Alternativamente el ángulo hiperbólico es el área de un sector de la hipérbola. Algunos autores llaman a las funciones hiperbólicas inversas funciones de área hiperbólica . ^[1] ${\displaystyle \operatorname {arsinh} (\sinh a)=a}$ ${\displaystyle \sinh(\operatorname {arsinh} x)=x.}$ ${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$ ${\displaystyle xy=1.}$

Las funciones hiperbólicas ocurren en los cálculos de ángulos y distancias en geometría hiperbólica . También ocurre en las soluciones de muchas ecuaciones diferenciales lineales (como la ecuación que define una catenaria ), ecuaciones cúbicas y la ecuación de Laplace en coordenadas cartesianas . Las ecuaciones de Laplace son importantes en muchas áreas de la física , incluida la teoría electromagnética , la transferencia de calor , la dinámica de fluidos y la relatividad especial .

Notación

Un rayo que pasa por la hipérbola unitaria en el punto , donde es el doble del área entre el rayo, la hipérbola y el eje - ${\displaystyle x^{2}\ -\ y^{2}\ =\ 1}$ ${\displaystyle (\cosh \,a,\,\sinh \,a)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$

Los símbolos más antiguos y más ampliamente adoptados utilizan el prefijo arc- (es decir: arcsinh , arccosh , arctanh , arcsech , arccsch , arccoth ), por analogía con las funciones circulares inversas ( arcsin , etc.). Para una hipérbola unitaria ("círculo de Lorentz") en el plano de Lorentz ( plano pseudoeuclidiano de firma (1, 1) ) ^[2] o en el plano numérico hiperbólico , ^[3] la medida del ángulo hiperbólico (argumento de las funciones hiperbólicas ) es de hecho la longitud de arco de un arco hiperbólico.

También es común la notación etc., ^{[4] [5]} aunque se debe tener cuidado para evitar interpretaciones erróneas del superíndice −1 como exponente. La convención estándar es que o significa la función inversa, mientras que or significa el recíproco. Especialmente inconsistente es el uso convencional de superíndices enteros positivos para indicar un exponente en lugar de una composición de función, por ejemplo, convencionalmente significa y no. ${\displaystyle \sinh ^{-1},}$ ${\displaystyle \cosh ^{-1},}$ ${\displaystyle \sinh ^{-1}x}$ ${\displaystyle \sinh ^{-1}(x)}$ ${\displaystyle (\sinh x)^{-1}}$ ${\displaystyle \sinh(x)^{-1}}$ ${\displaystyle 1/\sinh x.}$ ${\displaystyle \sinh ^{2}x}$ ${\displaystyle (\sinh x)^{2}}$ ${\displaystyle \sinh(\sinh x).}$

Debido a que el argumento de las funciones hiperbólicas no es la longitud de arco de un arco hiperbólico en el plano euclidiano , algunos autores han condenado el prefijo arco- , argumentando que debería preferirse el prefijo ar- (para área ) o arg- (para argumento ). ^[6] Siguiendo esta recomendación, las abreviaturas de la norma ISO 80000-2 utilizan el prefijo ar- (es decir: arsinh , arcosh , artanh , arsech , arcsch , arcoth ).

En los lenguajes de programación de computadoras, las funciones circulares inversas e hiperbólicas a menudo se denominan con el prefijo más corto a- ( asinh , etc.).

Este artículo adoptará sistemáticamente el prefijo ar- por conveniencia.

Definiciones en términos de logaritmos

Dado que las funciones hiperbólicas son funciones racionales cuadráticas de la función exponencial, pueden resolverse usando la fórmula cuadrática y luego escribirse en términos del logaritmo natural . ${\displaystyle \exp x,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} x&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)&-\infty &<x<\infty ,\\[10mu]\operatorname {arcosh} x&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)&1&\leq x<\infty ,\\[10mu]\operatorname {artanh} x&={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}}&-1&<x<1,\\[10mu]\operatorname {arcsch} x&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+1}}\right)&-\infty &<x<\infty ,\ x\neq 0,\\[10mu]\operatorname {arsech} x&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}-1}}\right)&0&<x\leq 1,\\[10mu]\operatorname {arcoth} x&={\frac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}}&-\infty &<x<-1\ \ {\text{or}}\ \ 1<x<\infty .\end{aligned}}}$

Para argumentos complejos , las funciones circulares e hiperbólicas inversas, la raíz cuadrada y el logaritmo natural son funciones multivaluadas .

Fórmulas de suma

${\displaystyle \operatorname {arsinh} u\pm \operatorname {arsinh} v=\operatorname {arsinh} \left(u{\sqrt {1+v^{2}}}\pm v{\sqrt {1+u^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {arcosh} u\pm \operatorname {arcosh} v=\operatorname {arcosh} \left(uv\pm {\sqrt {(u^{2}-1)(v^{2}-1)}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {artanh} u\pm \operatorname {artanh} v=\operatorname {artanh} \left({\frac {u\pm v}{1\pm uv}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {arcoth} u\pm \operatorname {arcoth} v=\operatorname {arcoth} \left({\frac {1\pm uv}{u\pm v}}\right)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} u+\operatorname {arcosh} v&=\operatorname {arsinh} \left(uv+{\sqrt {(1+u^{2})(v^{2}-1)}}\right)\\&=\operatorname {arcosh} \left(v{\sqrt {1+u^{2}}}+u{\sqrt {v^{2}-1}}\right)\end{aligned}}}$

Otras identidades

${\displaystyle {\begin{aligned}2\operatorname {arcosh} x&=\operatorname {arcosh} (2x^{2}-1)&\quad {\hbox{ for }}x\geq 1\\4\operatorname {arcosh} x&=\operatorname {arcosh} (8x^{4}-8x^{2}+1)&\quad {\hbox{ for }}x\geq 1\\2\operatorname {arsinh} x&=\operatorname {arcosh} (2x^{2}+1)&\quad {\hbox{ for }}x\geq 0\\4\operatorname {arsinh} x&=\operatorname {arcosh} (8x^{4}+8x^{2}+1)&\quad {\hbox{ for }}x\geq 0\end{aligned}}}$

${\displaystyle \ln(x)=\operatorname {arcosh} \left({\frac {x^{2}+1}{2x}}\right)=\operatorname {arsinh} \left({\frac {x^{2}-1}{2x}}\right)=\operatorname {artanh} \left({\frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}}\right)}$

Composición de funciones hiperbólicas e inversas.

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sinh(\operatorname {arcosh} x)={\sqrt {x^{2}-1}}\quad {\text{for}}\quad |x|>1\\&\sinh(\operatorname {artanh} x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\quad {\text{for}}\quad -1<x<1\\&\cosh(\operatorname {arsinh} x)={\sqrt {1+x^{2}}}\\&\cosh(\operatorname {artanh} x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\quad {\text{for}}\quad -1<x<1\\&\tanh(\operatorname {arsinh} x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\\&\tanh(\operatorname {arcosh} x)={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}\quad {\text{for}}\quad |x|>1\end{aligned}}}$

Composición de funciones hiperbólicas y circulares inversas.

${\displaystyle \operatorname {arsinh} \left(\tan \alpha \right)=\operatorname {artanh} \left(\sin \alpha \right)=\ln \left({\frac {1+\sin \alpha }{\cos \alpha }}\right)=\pm \operatorname {arcosh} \left({\frac {1}{\cos \alpha }}\right)}$

${\displaystyle \ln \left(\left|\tan \alpha \right|\right)=-\operatorname {artanh} \left(\cos 2\alpha \right)}$^[7]

Conversiones

${\displaystyle \ln x=\operatorname {artanh} \left({\frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}}\right)=\operatorname {arsinh} \left({\frac {x^{2}-1}{2x}}\right)=\pm \operatorname {arcosh} \left({\frac {x^{2}+1}{2x}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {artanh} x=\operatorname {arsinh} \left({\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)=\pm \operatorname {arcosh} \left({\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {arsinh} x=\operatorname {artanh} \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)=\pm \operatorname {arcosh} \left({\sqrt {1+x^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {arcosh} x=\left|\operatorname {arsinh} \left({\sqrt {x^{2}-1}}\right)\right|=\left|\operatorname {artanh} \left({\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}\right)\right|}$

Derivados

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} x&{}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}},{\text{ for all real }}x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcosh} x&{}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}},{\text{ for all real }}x>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {artanh} x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}},{\text{ for all real }}|x|<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcoth} x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}},{\text{ for all real }}|x|>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} x&{}={\frac {-1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}},{\text{ for all real }}x\in (0,1)\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} x&{}={\frac {-1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}},{\text{ for all real }}x{\text{, except }}0\\\end{aligned}}}$

Estas fórmulas se pueden derivar en términos de derivadas de funciones hiperbólicas. Por ejemplo, si , entonces entonces ${\displaystyle x=\sinh \theta }$ ${\textstyle dx/d\theta =\cosh \theta ={\sqrt {1+x^{2}}},}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} (x)={\frac {d\theta }{dx}}={\frac {1}{dx/d\theta }}={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}.}$

Expansiones de serie

Se pueden obtener series de expansión para las funciones anteriores:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} x&=x-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}\pm \cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n+1}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|<1\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcosh} x&=\ln(2x)-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln(2x)-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-2n}}{2n}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {artanh} x&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|<1\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsch} x=\operatorname {arsinh} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-7}}{7}}\pm \cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-(2n+1)}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsech} x=\operatorname {arcosh} {\frac {1}{x}}&=\ln {\frac {2}{x}}-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln {\frac {2}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n}}{2n}},\qquad 0<x\leq 1\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcoth} x=\operatorname {artanh} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}+{\frac {x^{-3}}{3}}+{\frac {x^{-5}}{5}}+{\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{-(2n+1)}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}}$

Una expansión asintótica para arsinh viene dada por

${\displaystyle \operatorname {arsinh} x=\ln(2x)+\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\left({-1}\right)^{n-1}{\frac {\left({2n-1}\right)!!}{2n\left({2n}\right)!!}}}{\frac {1}{x^{2n}}}}$

Valores principales en el plano complejo.

Como funciones de una variable compleja , las funciones hiperbólicas inversas son funciones multivaluadas que son analíticas , excepto en un número finito de puntos. Para tal función, es común definir un valor principal , que es una función analítica de valor único que coincide con una rama específica de la función multivalor, sobre un dominio que consiste en el plano complejo en el que un número finito de arcos (generalmente la mitad líneas o segmentos de línea ) han sido eliminados. Estos arcos se denominan cortes de ramas . Para especificar la rama, es decir, definir qué valor de la función multivalor se considera en cada punto, generalmente se define en un punto particular y se deduce el valor en todas partes del dominio de definición del valor principal mediante continuación analítica . Cuando sea posible, es mejor definir el valor principal directamente, sin hacer referencia a la continuación analítica.

Por ejemplo, para la raíz cuadrada, el valor principal se define como la raíz cuadrada que tiene parte real positiva . Esto define una función analítica de valor único, que se define en todas partes, excepto en los valores reales no positivos de las variables (donde las dos raíces cuadradas tienen una parte real cero). Este valor principal de la función de raíz cuadrada se denota a continuación. De manera similar, el valor principal del logaritmo, que se denota a continuación, se define como el valor para el cual la parte imaginaria tiene el valor absoluto más pequeño. Se define en todas partes excepto en los valores reales no positivos de la variable, para los cuales dos valores diferentes del logaritmo alcanzan el mínimo. ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Log} }$

Para todas las funciones hiperbólicas inversas, el valor principal se puede definir en términos de los valores principales de la raíz cuadrada y la función logaritmo. Sin embargo, en algunos casos, las fórmulas de § Definiciones en términos de logaritmos no dan un valor principal correcto, ya que dan un dominio de definición que es demasiado pequeño y, en un caso, no conexo .

Valor principal del seno hiperbólico inverso

El valor principal del seno hiperbólico inverso está dado por

${\displaystyle \operatorname {arsinh} z=\operatorname {Log} (z+{\sqrt {z^{2}+1}}\,)\,.}$

El argumento de la raíz cuadrada es un número real no positivo, si y sólo si z pertenece a uno de los intervalos [ i , + i ∞) y (− i ∞, − i ] del eje imaginario. Si el argumento de el logaritmo es real, entonces es positivo. Por lo tanto, esta fórmula define un valor principal para arsinh, con cortes de ramas [ i , + i ∞) y (− i ∞, − i ] . Esto es óptimo, ya que los cortes de ramas deben conectarse. los puntos singulares i y − i al infinito.

Valor principal del coseno hiperbólico inverso

La fórmula para el coseno hiperbólico inverso dada en § Coseno hiperbólico inverso no es conveniente, ya que al igual que los valores principales del logaritmo y la raíz cuadrada, el valor principal de arcosh no estaría definido para z imaginario . Por lo tanto, es necesario factorizar la raíz cuadrada, lo que lleva a

${\displaystyle \operatorname {arcosh} z=\operatorname {Log} (z+{\sqrt {z+1}}{\sqrt {z-1}}\,)\,.}$

Los valores principales de las raíces cuadradas están definidos, excepto si z pertenece al intervalo real (−∞, 1] . Si el argumento del logaritmo es real, entonces z es real y tiene el mismo signo. Por lo tanto, la fórmula anterior define un valor principal de arcosh fuera del intervalo real (−∞, 1] , que es, por tanto, el único corte de rama.

Valores principales de la tangente y cotangente hiperbólica inversa

Las fórmulas dadas en § Definiciones en términos de logaritmos sugieren

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {artanh} z&={\frac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({\frac {1+z}{1-z}}\right)\\\operatorname {arcoth} z&={\frac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({\frac {z+1}{z-1}}\right)\end{aligned}}}$

para la definición de los valores principales de la tangente y cotangente hiperbólica inversa. En estas fórmulas, el argumento del logaritmo es real si y sólo si z es real. Para artanh, este argumento está en el intervalo real (−∞, 0] , si z pertenece a (−∞, −1] o a [1, ∞) . Para arcoth, el argumento del logaritmo está en (−∞ , 0] , si y sólo si z pertenece al intervalo real [−1, 1] .

Por lo tanto, estas fórmulas definen valores principales convenientes, para los cuales los cortes de rama son (−∞, −1] y [1, ∞) para la tangente hiperbólica inversa y [−1, 1] para la cotangente hiperbólica inversa.

En vista de una mejor evaluación numérica cerca de los cortes de rama, algunos autores ^{[ cita necesaria ]} utilizan las siguientes definiciones de los valores principales, aunque la segunda introduce una singularidad removible en z = 0 . Las dos definiciones de difieren para los valores reales de con . Los de difieren para valores reales de con . ${\displaystyle \operatorname {artanh} }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z>1}$ ${\displaystyle \operatorname {arcoth} }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z\in [0,1)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {artanh} z&={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({1+z}\right)-{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({1-z}\right)\\\operatorname {arcoth} z&={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({1+{\frac {1}{z}}}\right)-{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({1-{\frac {1}{z}}}\right)\end{aligned}}}$

Valor principal de la cosecante hiperbólica inversa

Para la cosecante hiperbólica inversa, el valor principal se define como

${\displaystyle \operatorname {arcsch} z=\operatorname {Log} \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z^{2}}}+1}}\,\right)}$.

Se define excepto cuando los argumentos del logaritmo y la raíz cuadrada son números reales no positivos. El valor principal de la raíz cuadrada queda así definido fuera del intervalo [− i , i ] de la recta imaginaria. Si el argumento del logaritmo es real, entonces z es un número real distinto de cero, y esto implica que el argumento del logaritmo es positivo.

Por lo tanto, el valor principal está definido por la fórmula anterior fuera del corte de rama , que consiste en el intervalo [− i , i ] de la línea imaginaria.

(En z = 0 , hay un punto singular que se incluye en el corte de la rama).

Valor principal de la secante hiperbólica inversa

Aquí, como en el caso del coseno hiperbólico inverso, tenemos que factorizar la raíz cuadrada. Esto da el valor principal.

${\displaystyle \operatorname {arsech} z=\operatorname {Log} \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z}}+1}}\,{\sqrt {{\frac {1}{z}}-1}}\right).}$

Si el argumento de una raíz cuadrada es real, entonces z es real, y se deduce que ambos valores principales de raíces cuadradas están definidos, excepto si z es real y pertenece a uno de los intervalos (−∞, 0] y [1, +∞) . Si el argumento del logaritmo es real y negativo, entonces z también es real y negativo. De ello se deduce que el valor principal de arsech está bien definido, mediante la fórmula anterior, fuera de dos cortes de rama , los intervalos reales (−∞, 0] y [1, +∞) .

Para z = 0 , hay un punto singular que se incluye en uno de los cortes de rama.

Representación grafica

En la siguiente representación gráfica de los valores principales de las funciones hiperbólicas inversas, los cortes de ramas aparecen como discontinuidades del color. El hecho de que todos los cortes de ramas aparezcan como discontinuidades muestra que estos valores principales no pueden extenderse a funciones analíticas definidas en dominios más grandes. En otras palabras, los cortes de ramas definidos anteriormente son mínimos.

Funciones hiperbólicas inversas en el plano z complejo: el color en cada punto del plano representa el valor complejo de la función respectiva en ese punto

Ver también

• logaritmo complejo
• Distribución secante hiperbólica
• ISO 80000-2
• Lista de integrales de funciones hiperbólicas inversas

Referencias

1. Por ejemplo:
   Weltner, Klaus; et al. (2014) [2009]. Matemáticas para físicos e ingenieros (2ª ed.). Saltador. ISBN 978-364254124-7.
   Durán, Mario (2012). Métodos matemáticos para la propagación de ondas en ciencia e ingeniería . vol. 1. Ediciones UC. pag. 89.ISBN​ 9789561413146.
2. Birmano, Graciela S.; Nomizu, Katsumi (1984). "Trigonometría en geometría lorentziana". Mensual Matemático Estadounidense . 91 (9): 543–549. JSTOR  2323737.
3. Sobczyk, Garret (1995). "El plano numérico hiperbólico". Revista universitaria de matemáticas . 26 (4): 268–280.
4. Weisstein, Eric W. "Funciones hiperbólicas inversas". Wolfram MathWorld . Consultado el 30 de agosto de 2020 .
   "Funciones hiperbólicas inversas". Enciclopedia de Matemáticas . Consultado el 30 de agosto de 2020 .
5. Prensa, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (1992). "§ 5.6. Ecuaciones cuadráticas y cúbicas". Recetas numéricas en FORTRAN (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-43064-X.
   Woodhouse, Nueva Jersey (2003). Relatividad especial . Saltador. pag. 71.ISBN​ 1-85233-426-6.
6. Gullberg, enero (1997). Matemáticas: desde el nacimiento de los números . WW Norton. pag. 539.ISBN​ 039304002X. Otra forma de notación, arcsinh x , arccosh x , etc., es una práctica condenable ya que estas funciones no tienen nada que ver con arc , sino con area , como lo demuestran sus nombres completos en latín, ¶ arsinh   area sinus hyperbolicus ¶ área de arcosh   coseno hiperbólico, etc.
   Zeidler, Eberhard ; Hackbusch, Wolfgang ; Schwarz, Hans Rudolf (2004). "§ 0.2.13 Las funciones hiperbólicas inversas". Guía de matemáticas para usuarios de Oxford . Traducido por Hunt, Bruce. Prensa de la Universidad de Oxford. pag. 68.ISBN​ 0198507631. Los nombres latinos para las funciones hiperbólicas inversas son área sinus hyperbolicus , área cosinus hyperbolicus , área tangens hyperbolicus y área cotangens hyperbolicus (de x ).....
   Zeidler y otros. utilizar las notaciones arsinh , etc.; tenga en cuenta que los nombres latinos citados son formaciones posteriores , inventadas mucho después de que el neolatino dejara de ser de uso común en la literatura matemática.
   Bronshtein, Ilja N .; Semendyaev, Konstantin A .; Musiol, Gerhard; Heiner, Mühlig (2007). "§ 2.10: Funciones del Área". Manual de Matemáticas (5ª ed.). Saltador. pag. 91.doi :10.1007/978-3-540-72122-2 . ISBN 3540721215. Las funciones de área son las funciones inversas de las funciones hiperbólicas, es decir, las funciones hiperbólicas inversas . Las funciones sinh x , tanh x y coth x son estrictamente monótonas, por lo que tienen inversas únicas sin ninguna restricción; la función cosh x tiene dos intervalos monótonos por lo que podemos considerar dos funciones inversas. El nombre área hace referencia a que la definición geométrica de las funciones es el área de ciertos sectores hiperbólicos...
   Tocino, Harold Maile (1942). Cálculo Diferencial e Integral. McGraw-Hill. pag. 203.
7. "Identidades con funciones hiperbólicas y trigonométricas inversas". intercambio de pila matemática . intercambio de pila . Consultado el 3 de noviembre de 2016 .

Bibliografía

• Herbert Busemann y Paul J. Kelly (1953) Geometría proyectiva y métrica proyectiva , página 207, Academic Press .

enlaces externos

• "Funciones hiperbólicas inversas", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]