Función analítica

Tipo de función en matemáticas

En matemáticas , una función analítica es una función dada localmente por una serie de potencias convergentes . Existen tanto funciones analíticas reales como funciones analíticas complejas . Las funciones de cada tipo son infinitamente diferenciables , pero las funciones analíticas complejas exhiben propiedades que generalmente no se cumplen para las funciones analíticas reales.

Una función es analítica si y sólo si su serie de Taylor converge aproximadamente a la función en alguna vecindad para cada uno de sus dominios . Es importante tener en cuenta que es una vecindad y no solo en algún punto , ya que toda función diferenciable tiene al menos una recta tangente en cada punto, que es su serie de Taylor de orden 1. Entonces, tener una expansión polinómica en puntos singulares es no es suficiente, y la serie de Taylor también debe converger a la función en puntos adyacentes para ser considerada una función analítica. Como contraejemplo véase la función de Weierstrass o la función de Fabius . ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}}$

Definiciones

Formalmente, una función es analítica real en un conjunto abierto en la línea real si cualquiera puede escribir ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x_{0}\in D}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})^{2}+\cdots }$

en el que los coeficientes son números reales y la serie es convergente a for en una vecindad de . ${\displaystyle a_{0},a_{1},\dots }$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{0}}$

Alternativamente, una función analítica real es una función infinitamente diferenciable tal que la serie de Taylor en cualquier punto de su dominio ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle T(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}}$

converge a for en una vecindad de puntual . ^[a] El conjunto de todas las funciones analíticas reales en un conjunto dado a menudo se denota por . ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\,\omega }(D)}$

Una función definida en algún subconjunto de la recta real se dice que es analítica real en un punto si hay una vecindad de la cual es analítica real. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$

La definición de función analítica compleja se obtiene reemplazando, en las definiciones anteriores, "real" por "complejo" y "línea real" por "plano complejo". Una función es analítica compleja si y sólo si es holomorfa , es decir, es diferenciable compleja. Por esta razón, los términos "holomórfico" y "analítico" se utilizan a menudo indistintamente para dichas funciones. ^[1]

Ejemplos

Ejemplos típicos de funciones analíticas son

• Las siguientes funciones elementales :
  • Todos los polinomios : si un polinomio tiene grado n , cualquier término de grado mayor que n en su expansión en serie de Taylor debe desaparecer inmediatamente a 0, por lo que esta serie será trivialmente convergente. Además, cada polinomio es su propia serie de Maclaurin .
  • La función exponencial es analítica. Cualquier serie de Taylor para esta función converge no sólo para x lo suficientemente cerca de x ₀ (como en la definición) sino para todos los valores de x (reales o complejos).
  • Las funciones trigonométricas , el logaritmo y las funciones potencia son analíticas en cualquier conjunto abierto de su dominio.
• Funciones más especiales (al menos en algún rango del plano complejo):
  • funciones hipergeométricas
  • Funciones de Bessel
  • funciones gamma

Ejemplos típicos de funciones que no son analíticas son

• La función de valor absoluto, cuando se define en el conjunto de números reales o números complejos, no es analítica en todas partes porque no es diferenciable en 0.
• Las funciones definidas por partes (funciones dadas por diferentes fórmulas en diferentes regiones) normalmente no son analíticas donde se unen las piezas.
• La función conjugada compleja z  → z * no es analítica compleja, aunque su restricción a la recta real es la función identidad y por tanto analítica real, y es analítica real como función de a . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$
• Otras funciones fluidas no analíticas y, en particular, cualquier función fluida con soporte compacto, es decir , no pueden ser analíticas . ^[2] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Caracterizaciones alternativas

Las siguientes condiciones son equivalentes:

1. ${\displaystyle f}$es realmente analítico en un conjunto abierto . ${\displaystyle D}$
2. Existe una extensión analítica compleja de un conjunto abierto que contiene . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$ ${\displaystyle D}$
3. ${\displaystyle f}$es suave y para cada conjunto compacto existe una constante tal que para todos y cada uno de los enteros no negativos se cumple el siguiente límite ^[3] ${\displaystyle K\subset D}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle x\in K}$ ${\displaystyle k}$
   $${\displaystyle \left|{\frac {d^{k}f}{dx^{k}}}(x)\right|\leq C^{k+1}k!}$$

Las funciones analíticas complejas son exactamente equivalentes a las funciones holomorfas y, por tanto, se caracterizan mucho más fácilmente.

Para el caso de una función analítica con varias variables (ver más abajo), la analiticidad real se puede caracterizar utilizando la transformada de Fourier-Bros-Iagolnitzer .

En el caso multivariable, las funciones analíticas reales satisfacen una generalización directa de la tercera caracterización. ^[4] Sea un conjunto abierto y sea . ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$

Entonces es una analítica real si y solo si y para cada compacto existe una constante tal que para cada índice múltiple se cumple el siguiente límite ^[5] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f\in C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle K\subseteq U}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {Z} _{\geq 0}^{n}}$

${\displaystyle \sup _{x\in K}\left|{\frac {\partial ^{\alpha }f}{\partial x^{\alpha }}}(x)\right|\leq C^{|\alpha |+1}\alpha !}$

Propiedades de las funciones analíticas.

• Las sumas, productos y composiciones de funciones analíticas son analíticas.
• El recíproco de una función analítica que no es cero en ninguna parte es analítico, al igual que el inverso de una función analítica invertible cuya derivada no es cero en ninguna parte. (Véase también el teorema de inversión de Lagrange ).
• Cualquier función analítica es suave , es decir, infinitamente diferenciable. Lo contrario no es cierto para las funciones reales; de hecho, en cierto sentido, las funciones analíticas reales son escasas en comparación con todas las funciones reales infinitamente diferenciables. Para los números complejos, lo contrario se cumple y, de hecho, cualquier función diferenciable una vez en un conjunto abierto es analítica en ese conjunto (ver "analiticidad y diferenciabilidad" más adelante).
• Para cualquier conjunto abierto , el conjunto A (Ω) de todas las funciones analíticas es un espacio de Fréchet con respecto a la convergencia uniforme en conjuntos compactos. El hecho de que los límites uniformes de conjuntos compactos de funciones analíticas sean analíticos es una consecuencia fácil del teorema de Morera . El conjunto de todas las funciones analíticas acotadas con la norma suprema es un espacio de Banach . ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {C} }$ ${\displaystyle u\ :\ \Omega \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \scriptstyle A_{\infty }(\Omega )}$

Un polinomio no puede ser cero en demasiados puntos a menos que sea el polinomio cero (más precisamente, el número de ceros es como máximo el grado del polinomio). Una afirmación similar, aunque más débil, se aplica a las funciones analíticas. Si el conjunto de ceros de una función analítica ƒ tiene un punto de acumulación dentro de su dominio , entonces ƒ es cero en todas partes del componente conectado que contiene el punto de acumulación. En otras palabras, si ( r _n ) es una secuencia de números distintos tal que ƒ( r _n ) = 0 para todo n y esta secuencia converge a un punto r en el dominio de D , entonces ƒ es idénticamente cero en el componente conectado de D que contiene r . Esto se conoce como teorema de identidad .

Además, si todas las derivadas de una función analítica en un punto son cero, la función es constante en el componente conectado correspondiente.

Estas afirmaciones implican que, si bien las funciones analíticas tienen más grados de libertad que los polinomios, siguen siendo bastante rígidas.

Analiticidad y diferenciabilidad.

Como se señaló anteriormente, cualquier función analítica (real o compleja) es infinitamente diferenciable (también conocida como suave o ). (Tenga en cuenta que esta diferenciabilidad es en el sentido de variables reales; compare las derivadas complejas a continuación). Existen funciones reales suaves que no son analíticas: consulte función suave no analítica . De hecho, existen muchas funciones de este tipo. ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}$

La situación es bastante diferente cuando se consideran funciones analíticas complejas y derivadas complejas. Se puede demostrar que cualquier función compleja diferenciable (en sentido complejo) en un conjunto abierto es analítica . En consecuencia, en el análisis complejo , el término función analítica es sinónimo de función holomorfa .

Funciones analíticas reales versus complejas

Las funciones analíticas reales y complejas tienen diferencias importantes (se podría notar esto incluso por su diferente relación con la diferenciabilidad). La analiticidad de funciones complejas es una propiedad más restrictiva, ya que tiene condiciones necesarias más restrictivas y las funciones analíticas complejas tienen más estructura que sus contrapartes de línea real. ^[6]

Según el teorema de Liouville , cualquier función analítica compleja acotada definida en todo el plano complejo es constante. La afirmación correspondiente para funciones analíticas reales, con el plano complejo reemplazado por la línea real, es claramente falsa; esto está ilustrado por

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}+1}}.}$

Además, si una función analítica compleja se define en una bola abierta alrededor de un punto x ₀ , su expansión en serie de potencias en x ₀ es convergente en toda la bola abierta ( las funciones holomorfas son analíticas ). Esta afirmación para funciones analíticas reales (donde bola abierta significa un intervalo abierto de la línea real en lugar de un disco abierto del plano complejo) no es cierta en general; la función del ejemplo anterior da un ejemplo para x ₀  = 0 y una bola de radio superior a 1, ya que la serie de potencias 1 − x ² + x ⁴ − x ⁶ ... diverge para | x | ≥ 1.

Cualquier función analítica real en algún conjunto abierto sobre la recta real puede extenderse a una función analítica compleja en algún conjunto abierto del plano complejo. Sin embargo, no toda función analítica real definida en toda la recta real puede extenderse a una función compleja definida en todo el plano complejo. La función ƒ( x ) definida en el párrafo anterior es un contraejemplo, ya que no está definida para x  = ± i . Esto explica por qué la serie de Taylor de ƒ( x ) diverge para | x | > 1, es decir, el radio de convergencia es 1 porque la función complejada tiene un polo a la distancia 1 del punto de evaluación 0 y no hay más polos dentro del disco abierto de radio 1 alrededor del punto de evaluación.

Funciones analíticas de varias variables.

Se pueden definir funciones analíticas en varias variables mediante series de potencias en esas variables (ver series de potencias ). Las funciones analíticas de varias variables tienen algunas de las mismas propiedades que las funciones analíticas de una variable. Sin embargo, especialmente para funciones analíticas complejas, aparecen fenómenos nuevos e interesantes en 2 o más dimensiones complejas:

• Los conjuntos cero de funciones analíticas complejas en más de una variable nunca son discretos . Esto puede demostrarse mediante el teorema de extensión de Hartogs .
• Los dominios de holomorfia para funciones de un solo valor consisten en conjuntos abiertos arbitrarios (conectados). Sin embargo, en varias variables complejas, sólo algunos conjuntos abiertos conectados son dominios de holomorfia. La caracterización de dominios de holomorfia conduce a la noción de pseudoconvexidad .

Ver también

• Ecuaciones de Cauchy-Riemann
• función holomorfa
• Teorema de Paley-Wiener
• Función cuasi analítica
• Composiciones infinitas de funciones analíticas.
• Función suave no analítica

Notas

1. Esto implica convergencia uniforme también en una vecindad (posiblemente más pequeña) de . ${\displaystyle x_{0}}$

1. Iglesia; Marrón; Verhey (1948). Variables complejas y aplicaciones . McGraw-Hill. pag. 46.ISBN​ 0-07-010855-2. Una función f de la variable compleja z es analítica en el punto z ₀ si su derivada existe no sólo en z sino en cada punto z en alguna vecindad de z ₀ . Es analítico en una región R si es analítico en cada punto de R . El término holomórfico también se utiliza en la literatura y denota analiticidad.
2. Strichartz, Robert S. (1994). Una guía para la teoría de la distribución y las transformadas de Fourier. Boca Ratón: CRC Press. ISBN 0-8493-8273-4. OCLC  28890674.
3. Krantz y parques 2002, pag. 15.
4. Komatsu, Hikosaburo (1960). "Una caracterización de funciones analíticas reales". Actas de la Academia de Japón . 36 (3): 90–93. doi : 10.3792/pja/1195524081 . ISSN  0021-4280.
5. "Clase Gevrey - Enciclopedia de Matemáticas". encyclopediaofmath.org . Consultado el 30 de agosto de 2020 .
6. Krantz y parques 2002.

Referencias

• Conway, John B. (1978). Funciones de una variable compleja I. Textos de Posgrado en Matemáticas 11 (2ª ed.). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90328-6.
• Krantz, Steven ; Parques, Harold R. (2002). Introducción a las funciones analíticas reales (2ª ed.). Birkhäuser. ISBN 0-8176-4264-1.

enlaces externos

• "Función analítica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Función analítica". MundoMatemático .
• Solucionador de todos los ceros de una función analítica compleja que se encuentran dentro de una región rectangular por Ivan B. Ivanov