ecuación de laplace

Ecuación diferencial parcial de segundo orden

En matemáticas y física , la ecuación de Laplace es una ecuación diferencial parcial de segundo orden que lleva el nombre de Pierre-Simon Laplace , quien estudió por primera vez sus propiedades. Esto a menudo se escribe como

$${\displaystyle \nabla ^{2}\!f=0}$$

$${\displaystyle \Delta f=0,}$$

operador de Laplace^{[nota 1]}de divergenciade gradiente ${\displaystyle \Delta =\nabla \cdot \nabla =\nabla ^{2}}$ ${\displaystyle \nabla \cdot }$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle f(x,y,z)}$

Si el lado derecho se especifica como una función dada, tenemos ${\displaystyle h(x,y,z)}$

$${\displaystyle \Delta f=h.}$$

Esto se llama ecuación de Poisson , una generalización de la ecuación de Laplace. La ecuación de Laplace y la ecuación de Poisson son los ejemplos más simples de ecuaciones diferenciales parciales elípticas . La ecuación de Laplace es también un caso especial de la ecuación de Helmholtz .

La teoría general de las soluciones de la ecuación de Laplace se conoce como teoría del potencial . Las soluciones dos veces continuamente diferenciables de la ecuación de Laplace son las funciones armónicas , ^[1] que son importantes en múltiples ramas de la física, en particular la electrostática, la gravitación y la dinámica de fluidos . En el estudio de la conducción de calor , la ecuación de Laplace es la ecuación del calor en estado estacionario . ^[2] En general, la ecuación de Laplace describe situaciones de equilibrio, o aquellas que no dependen explícitamente del tiempo.

Formas en diferentes sistemas de coordenadas.

En coordenadas rectangulares , ^[3]

$${\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}=0.}$$

En coordenadas cilíndricas , ^[3]

$${\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \phi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}=0.}$$

En coordenadas esféricas , usando la convención, ^[3] ${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$

$${\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}=0.}$$

De manera más general, en coordenadas curvilíneas arbitrarias (ξ ⁱ ) ,

$${\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {\partial }{\partial \xi ^{j}}}\left({\frac {\partial f}{\partial \xi ^{k}}}g^{kj}\right)+{\frac {\partial f}{\partial \xi ^{j}}}g^{jm}\Gamma _{mn}^{n}=0,}$$

$${\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{i}}}\!\left({\sqrt {|g|}}g^{ij}{\frac {\partial f}{\partial \xi ^{j}}}\right)=0,\qquad (g=\det\{g_{ij}\})}$$

g _ijtensor métricoΓsímbolos de Christoffel

Condiciones de borde

Ecuación de Laplace en un anillo (radio interior r = 2 y radio exterior R = 4 ) con condiciones de contorno de Dirichlet u ( r =2) = 0 y u ( R =4) = 4 sin(5 θ )

El problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace consiste en encontrar una solución φ en algún dominio D tal que φ en la frontera de D sea igual a alguna función dada. Dado que el operador de Laplace aparece en la ecuación del calor , una interpretación física de este problema es la siguiente: fijar la temperatura en el límite del dominio de acuerdo con la especificación dada de la condición de contorno. Permita que el calor fluya hasta que se alcance un estado estacionario en el que la temperatura en cada punto del dominio ya no cambie. La distribución de la temperatura en el interior vendrá dada entonces por la solución al correspondiente problema de Dirichlet.

Las condiciones de frontera de Neumann para la ecuación de Laplace no especifican la función φ en sí en la frontera de D sino su derivada normal . Físicamente, esto corresponde a la construcción de un potencial para un campo vectorial cuyo efecto se conoce sólo en la frontera de D. En el ejemplo de la ecuación del calor, equivale a prescribir el flujo de calor a través de la frontera. En particular, en una frontera adiabática, la derivada normal de φ es cero.

Las soluciones de la ecuación de Laplace se llaman funciones armónicas ; todos son analíticos dentro del dominio donde se satisface la ecuación. Si dos funciones cualesquiera son soluciones de la ecuación de Laplace (o cualquier ecuación diferencial lineal homogénea), su suma (o cualquier combinación lineal) también es una solución. Esta propiedad, llamada principio de superposición , es muy útil. Por ejemplo, las soluciones a problemas complejos se pueden construir sumando soluciones simples.

En dos dimensiones

La ecuación de Laplace en dos variables independientes en coordenadas rectangulares tiene la forma

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}\equiv \psi _{xx}+\psi _{yy}=0.}$$

Funciones analíticas

Las partes real e imaginaria de una función analítica compleja satisfacen la ecuación de Laplace. Es decir, si z = x + iy , y si

$${\displaystyle f(z)=u(x,y)+iv(x,y),}$$

f ( z )uvecuaciones de Cauchy-Riemann :

$${\displaystyle u_{x}=v_{y},\quad v_{x}=-u_{y}.}$$

u _xux

$${\displaystyle u_{yy}=(-v_{x})_{y}=-(v_{y})_{x}=-(u_{x})_{x}.}$$

uvf ( z )

$${\displaystyle f(z)=\varphi (x,y)+i\psi (x,y),}$$

$${\displaystyle \psi _{x}=-\varphi _{y},\quad \psi _{y}=\varphi _{x}.}$$

ψ

$${\displaystyle d\psi =-\varphi _{y}\,dx+\varphi _{x}\,dy.}$$

φψ :

$${\displaystyle \psi _{xy}=\psi _{yx},}$$

ψel teorema de Stokesfunciones armónicas conjugadasrθ

$${\displaystyle \varphi =\log r,}$$

$${\displaystyle f(z)=\log z=\log r+i\theta .}$$

Sin embargo, el ángulo θ tiene un solo valor solo en una región que no encierra el origen.

La estrecha conexión entre la ecuación de Laplace y las funciones analíticas implica que cualquier solución de la ecuación de Laplace tiene derivadas de todos los órdenes y puede expandirse en una serie de potencias , al menos dentro de un círculo que no encierre una singularidad. Esto contrasta marcadamente con las soluciones de la ecuación de onda , que generalmente tienen menos regularidad ^{[ cita requerida ]} .

Existe una conexión íntima entre las series de potencias y las series de Fourier . Si desarrollamos una función f en una serie de potencias dentro de un círculo de radio R , esto significa que

$${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n},}$$

$${\displaystyle c_{n}=a_{n}+ib_{n}.}$$

$${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }\left[a_{n}r^{n}\cos n\theta -b_{n}r^{n}\sin n\theta \right]+i\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}r^{n}\sin n\theta +b_{n}r^{n}\cos n\theta \right],}$$

ffórmulas de ángulos múltiples

flujo de fluido

Sean las cantidades u y v las componentes horizontal y vertical del campo de velocidades de un flujo irrotacional, estable e incompresible en dos dimensiones. La condición de continuidad para un flujo incompresible es que

$${\displaystyle u_{x}+v_{y}=0,}$$

$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {V} =v_{x}-u_{y}=0.}$$

ψ

$${\displaystyle d\psi =v\,dx-u\,dy,}$$

función de corrientelas líneas de flujoψ

$${\displaystyle \psi _{x}=v,\quad \psi _{y}=-u,}$$

ψφψpotencial de velocidad

$${\displaystyle \varphi _{x}=-u,\quad \varphi _{y}=-v.}$$

Electrostática

Según las ecuaciones de Maxwell , un campo eléctrico ( u , v ) en dos dimensiones espaciales que es independiente del tiempo satisface

$${\displaystyle \nabla \times (u,v,0)=(v_{x}-u_{y}){\hat {\mathbf {k} }}=\mathbf {0} ,}$$

$${\displaystyle \nabla \cdot (u,v)=\rho ,}$$

ρ

$${\displaystyle d\varphi =-u\,dx-v\,dy,}$$

φ

$${\displaystyle \varphi _{x}=-u,\quad \varphi _{y}=-v.}$$

$${\displaystyle \varphi _{xx}+\varphi _{yy}=-\rho ,}$$

ecuación de Poisson

En tres dimensiones

Solución fundamental

Una solución fundamental de la ecuación de Laplace satisface

$${\displaystyle \Delta u=u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}=-\delta (x-x',y-y',z-z'),}$$

función delta de Dirac δ( x ′, y ′, z ′)distribuciónsolución débiloperador positivou

$${\displaystyle \iiint _{V}\nabla \cdot \nabla u\,dV=-1.}$$

La ecuación de Laplace no cambia bajo una rotación de coordenadas y, por tanto, podemos esperar que se pueda obtener una solución fundamental entre soluciones que sólo dependen de la distancia r desde el punto fuente. Si elegimos que el volumen sea una bola de radio a alrededor del punto fuente, entonces el teorema de divergencia de Gauss implica que

$${\displaystyle -1=\iiint _{V}\nabla \cdot \nabla u\,dV=\iint _{S}{\frac {du}{dr}}\,dS=\left.4\pi a^{2}{\frac {du}{dr}}\right|_{r=a}.}$$

Resulta que

$${\displaystyle {\frac {du}{dr}}=-{\frac {1}{4\pi r^{2}}},}$$

r

$${\displaystyle u={\frac {1}{4\pi r}}.}$$

Tenga en cuenta que, con la convención de signos opuesta (utilizada en física ), este es el potencial generado por una partícula puntual , para una fuerza de la ley del cuadrado inverso , que surge en la solución de la ecuación de Poisson . Un argumento similar muestra que en dos dimensiones

$${\displaystyle u=-{\frac {\log(r)}{2\pi }}.}$$

log( r )logaritmo naturalpotencial generado por un sumideropartícula puntualecuaciones de Euler en un flujo incompresible

La función del verde.

Una función de Green es una solución fundamental que también satisface una condición adecuada en la frontera S de un volumen V. Por ejemplo,

$${\displaystyle G(x,y,z;x',y',z')}$$

$${\displaystyle \nabla \cdot \nabla G=-\delta (x-x',y-y',z-z')\qquad {\text{in }}V,}$$

$${\displaystyle G=0\quad {\text{if}}\quad (x,y,z)\qquad {\text{on }}S.}$$

Ahora bien, si u es cualquier solución de la ecuación de Poisson en V :

$${\displaystyle \nabla \cdot \nabla u=-f,}$$

y u asume los valores límite g en S , entonces podemos aplicar la identidad de Green (una consecuencia del teorema de la divergencia) que establece que

$${\displaystyle \iiint _{V}\left[G\,\nabla \cdot \nabla u-u\,\nabla \cdot \nabla G\right]\,dV=\iiint _{V}\nabla \cdot \left[G\nabla u-u\nabla G\right]\,dV=\iint _{S}\left[Gu_{n}-uG_{n}\right]\,dS.\,}$$

Las notaciones u _n y G _n denotan derivadas normales en S . En vista de las condiciones satisfechas por u y G , este resultado se simplifica a

$${\displaystyle u(x',y',z')=\iiint _{V}Gf\,dV+\iint _{S}G_{n}g\,dS.\,}$$

Así, la función de Green describe la influencia en ( x ′, y ′, z ′) de los datos f y g . Para el caso del interior de una esfera de radio a , la función de Green se puede obtener mediante una reflexión (Sommerfeld 1949): el punto fuente P a una distancia ρ del centro de la esfera se refleja a lo largo de su línea radial hasta una punto P' que está a una distancia

$${\displaystyle \rho '={\frac {a^{2}}{\rho }}.\,}$$

Tenga en cuenta que si P está dentro de la esfera, entonces P′ estará fuera de la esfera. La función de Green viene dada entonces por

$${\displaystyle {\frac {1}{4\pi R}}-{\frac {a}{4\pi \rho R'}},\,}$$

RPR ′Pfórmula integral de PoissonρθφesféricasP. θg

$${\displaystyle u(P)={\frac {1}{4\pi }}a^{3}\left(1-{\frac {\rho ^{2}}{a^{2}}}\right)\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }{\frac {g(\theta ',\varphi ')\sin \theta '}{(a^{2}+\rho ^{2}-2a\rho \cos \Theta )^{\frac {3}{2}}}}d\theta '\,d\varphi '}$$

$${\displaystyle \cos \Theta =\cos \theta \cos \theta '+\sin \theta \sin \theta '\cos(\varphi -\varphi ')}$$

( θ , φ )( θ ′, φ ′ )uu

Armónicos esféricos de Laplace

Armónicos esféricos reales (Laplace) Y _ℓ ^m para ℓ = 0, ..., 4 (de arriba a abajo) y m = 0, ..., ℓ (de izquierda a derecha). Los armónicos zonales, sectoriales y teselares se representan a lo largo de la columna de la izquierda, la diagonal principal y en otros lugares, respectivamente. (Los armónicos de orden negativo se mostrarían girados alrededor del eje z con respecto a los de orden positivo). ${\displaystyle Y_{\ell }^{-m}}$ ${\displaystyle 90^{\circ }/m}$

La ecuación de Laplace en coordenadas esféricas es: ^[4]

$${\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}=0.}$$

Considere el problema de encontrar soluciones de la forma f ( r , θ , φ ) = R ( r ) Y ( θ , φ ) . Por separación de variables , resultan dos ecuaciones diferenciales al imponer la ecuación de Laplace:

$${\displaystyle {\frac {1}{R}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {dR}{dr}}\right)=\lambda ,\qquad {\frac {1}{Y}}{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial Y}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{Y}}{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial \varphi ^{2}}}=-\lambda .}$$

La segunda ecuación se puede simplificar suponiendo que Y tiene la forma Y ( θ , φ ) = Θ( θ ) Φ( φ ) . Aplicar nuevamente la separación de variables a la segunda ecuación da paso al par de ecuaciones diferenciales

$${\displaystyle {\frac {1}{\Phi }}{\frac {d^{2}\Phi }{d\varphi ^{2}}}=-m^{2}}$$

$${\displaystyle \lambda \sin ^{2}\theta +{\frac {\sin \theta }{\Theta }}{\frac {d}{d\theta }}\left(\sin \theta {\frac {d\Theta }{d\theta }}\right)=m^{2}}$$

para algún número m . A priori, m es una constante compleja, pero debido a que Φ debe ser una función periódica cuyo período divide uniformemente a 2 π , m es necesariamente un número entero y Φ es una combinación lineal de las exponenciales complejas e ^{± imφ} . La función solución Y ( θ , φ ) es regular en los polos de la esfera, donde θ = 0, π . Imponer esta regularidad en la solución Θ de la segunda ecuación en los puntos límite del dominio es un problema de Sturm-Liouville que obliga al parámetro λ a tener la forma λ = ℓ ( ℓ + 1) para algún entero no negativo con ℓ ≥ | metro | ; esto también se explica a continuación en términos del momento angular orbital . Además, un cambio de variables t = cos θ transforma esta ecuación en la ecuación de Legendre , cuya solución es un múltiplo del polinomio de Legendre asociado P _ℓ ^m (cos θ ) . Finalmente, la ecuación de R tiene soluciones de la forma R ( r ) = A r ^ℓ + B r ^{− ℓ − 1} ; requerir que la solución sea regular en todo R ³ fuerza a B = 0 . ^{[nota 2]}

Aquí se supuso que la solución tenía la forma especial Y ( θ , φ ) = Θ( θ ) Φ( φ ) . Para un valor dado de ℓ , hay 2 ℓ + 1 soluciones independientes de esta forma, una para cada entero m con − ℓ ≤ m ≤ ℓ . Estas soluciones angulares son producto de funciones trigonométricas , aquí representadas como una exponencial compleja , y polinomios de Legendre asociados:

$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=Ne^{im\varphi }P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })}$$

$${\displaystyle r^{2}\nabla ^{2}Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=-\ell (\ell +1)Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ).}$$

Aquí Y _ℓ ^m se llama función armónica esférica de grado ℓ y orden m , P _ℓ ^m es un polinomio de Legendre asociado , N es una constante de normalización y θ y φ representan colatitud y longitud, respectivamente. En particular, la colatitud θ , o ángulo polar, varía desde 0 en el Polo Norte, hasta π /2 en el Ecuador, y π en el Polo Sur, y la longitud φ , o azimut , puede asumir todos los valores con 0 ≤ φ. < 2π . Para un entero fijo ℓ , cada solución Y ( θ , φ ) del problema de valores propios

$${\displaystyle r^{2}\nabla ^{2}Y=-\ell (\ell +1)Y}$$

combinación linealY _ℓ ^mr ^ℓ Y ( θ , φ )polinomio homogéneomás abajo2 ℓ + 1

La solución general a la ecuación de Laplace en una bola centrada en el origen es una combinación lineal de las funciones armónicas esféricas multiplicadas por el factor de escala apropiado r ^ℓ ,

$${\displaystyle f(r,\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell }^{m}r^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ),}$$

f _ℓ ^mr ^ℓ Y _ℓ ^marmónicos sólidospelota.

$${\displaystyle r<R={\frac {1}{\limsup _{\ell \to \infty }|f_{\ell }^{m}|^{{1}/{\ell }}}}.}$$

Para , en su lugar se eligen los armónicos sólidos con potencias negativas de . En ese caso, es necesario expandir la solución de regiones conocidas en la serie de Laurent (aproximadamente ), en lugar de la serie de Taylor (aproximadamente ), para hacer coincidir los términos y encontrar . ${\displaystyle r>R}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r=\infty }$ ${\displaystyle r=0}$ ${\displaystyle f_{\ell }^{m}}$

Electrostática

Sea el campo eléctrico, la densidad de carga eléctrica y la permitividad del espacio libre. Entonces la ley de Gauss para la electricidad (primera ecuación de Maxwell) en forma diferencial establece ^[5] ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}.}$$

Ahora, el campo eléctrico se puede expresar como el gradiente negativo del potencial eléctrico , ${\displaystyle V}$

$${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla V,}$$

^[5] ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =\mathbf {0} }$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =\nabla \cdot (-\nabla V)=-\nabla ^{2}V}$$

$${\displaystyle \nabla ^{2}V=-\nabla \cdot \mathbf {E} }$$

Al conectar esta relación a la ley de Gauss, obtenemos la ecuación de Poisson para la electricidad, ^[5]

$${\displaystyle \nabla ^{2}V=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}.}$$

En el caso particular de una región sin fuente, la ecuación de Poisson se reduce a la ecuación de Laplace para el potencial eléctrico. ^[5] ${\displaystyle \rho =0}$

Si el potencial electrostático se especifica en el límite de una región , entonces se determina de forma única. Si está rodeado por un material conductor con una densidad de carga específica y si se conoce la carga total, entonces también es única. ^[6] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle V}$

Un potencial que no satisface la ecuación de Laplace junto con la condición de contorno es un potencial electrostático no válido.

Gravitación

Sean el campo gravitacional, la densidad de masa y la constante gravitacional. Entonces la ley de Gauss para la gravitación en forma diferencial es ^[7] ${\displaystyle \mathbf {g} }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G}$

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho .}$$

El campo gravitacional es conservativo y, por tanto, puede expresarse como el gradiente negativo del potencial gravitacional:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {g} &=-\nabla V,\\\nabla \cdot \mathbf {g} &=\nabla \cdot (-\nabla V)=-\nabla ^{2}V,\\\implies \nabla ^{2}V&=-\nabla \cdot \mathbf {g} .\end{aligned}}}$$

Usando la forma diferencial de la ley de gravitación de Gauss, tenemos

$${\displaystyle \nabla ^{2}V=4\pi G\rho ,}$$

^[7]

En el espacio vacío, y tenemos ${\displaystyle \rho =0}$

$${\displaystyle \nabla ^{2}V=0,}$$

En la métrica de Schwarzschild

S. Persides ^[8] resolvió la ecuación de Laplace en el espaciotiempo de Schwarzschild en hipersuperficies de t constante . Usando las variables canónicas r , θ , φ la solución es

$${\displaystyle \Psi (r,\theta ,\varphi )=R(r)Y_{l}(\theta ,\varphi ),}$$

Y _l ( θ , φ )función armónica esférica

$${\displaystyle R(r)=(-1)^{l}{\frac {(l!)^{2}r_{s}^{l}}{(2l)!}}P_{l}\left(1-{\frac {2r}{r_{s}}}\right)+(-1)^{l+1}{\frac {2(2l+1)!}{(l)!^{2}r_{s}^{l+1}}}Q_{l}\left(1-{\frac {2r}{r_{s}}}\right).}$$

Aquí P _l y Q _l son funciones de Legendre de primer y segundo tipo, respectivamente, mientras que r _s es el radio de Schwarzschild . El parámetro l es un número entero arbitrario no negativo.

Ver también

• Coordenadas de 6 esferas , un sistema de coordenadas bajo el cual la ecuación de Laplace se vuelve R -separable
• Ecuación de Helmholtz , un caso general de la ecuación de Laplace.
• Armónico esférico
• Dominios de cuadratura
• Teoría potencial
• Flujo potencial
• transformación de bateman
• El teorema de Earnshaw utiliza la ecuación de Laplace para demostrar que la suspensión ferromagnética estática estable es imposible
• Vector laplaciano
• Solución fundamental

Notas

1. El símbolo delta, Δ, también se usa comúnmente para representar un cambio finito en alguna cantidad, por ejemplo . Su uso para representar al laplaciano no debe confundirse con este uso. ${\displaystyle \Delta x=x_{1}-x_{2}}$
2. Las aplicaciones físicas suelen tomar la solución que desaparece en el infinito, haciendo A = 0 . Esto no afecta la porción angular de los armónicos esféricos.

Referencias

1. Stewart, James. Cálculo: trascendentales tempranos . 7ª ed., Brooks/Cole, Cengage Learning, 2012. Capítulo 14: Derivadas parciales. pag. 908. ISBN  978-0-538-49790-9 .
2. Zill, Dennis G y Michael R Cullen. Ecuaciones diferenciales con problemas de valores en la frontera . 8.ª edición / ed., Brooks/Cole, Cengage Learning, 2013. Capítulo 12: Problemas de valores en la frontera en coordenadas rectangulares. pag. 462. ISBN 978-1-111-82706-9 . 
3. Griffiths, David J. Introducción a la electrodinámica . 4ª ed., Pearson, 2013. Portada interior. ISBN 978-1-108-42041-9 . 
4. El enfoque de los armónicos esféricos adoptado aquí se encuentra en (Courant & Hilbert 1962, §V.8, §VII.5).
5. Griffiths, David J. Introducción a la electrodinámica . 4ª ed., Pearson, 2013. Capítulo 2: Electrostática. pag. 83-4. ISBN 978-1-108-42041-9 . 
6. Griffiths, David J. Introducción a la electrodinámica . 4ª ed., Pearson, 2013. Capítulo 3: Potenciales. pag. 119-121. ISBN 978-1-108-42041-9 . 
7. Chicone, C.; Mashhoon, B. (20 de noviembre de 2011). "Gravedad no local: ecuación de Poisson modificada". Revista de Física Matemática . 53 (4): 042501. arXiv : 1111.4702 . doi : 10.1063/1.3702449. S2CID  118707082.
8. Perside, S. (1973). "Las ecuaciones de Laplace y Poisson en el espacio-tiempo de Schwarzschild". Revista de Análisis y Aplicaciones Matemáticas . 43 (3): 571–578. Código bibliográfico : 1973JMAA...43..571P. doi : 10.1016/0022-247X(73)90277-1 .

Fuentes

• Courant, Ricardo ; Hilbert, David (1962), Métodos de física matemática, volumen I , Wiley-Interscience.
• Sommerfeld, A. (1949). Ecuaciones diferenciales parciales en Física . Nueva York: Academic Press.
• Zachmanoglou, CE; Thoe, Dale W. (1986). Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales con aplicaciones . Nueva York: Dover. ISBN 9780486652511.

Otras lecturas

• Evans, LC (1998). Ecuaciones diferenciales parciales . Providencia: Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0-8218-0772-9.
• Petrovsky, IG (1967). Ecuaciones diferenciales parciales . Filadelfia: WB Saunders.
• Polianina, AD (2002). Manual de ecuaciones diferenciales parciales lineales para ingenieros y científicos . Boca Ratón: Chapman & Hall/CRC Press. ISBN 978-1-58488-299-2.

enlaces externos

• "Ecuación de Laplace", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Ecuación de Laplace (soluciones particulares y problemas de valores en la frontera) en EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas.
• Ejemplos de problemas de valores de frontera inicial utilizando la ecuación de Laplace de exampleproblems.com.
• Weisstein, Eric W. "Ecuación de Laplace". MundoMatemático .
• Descubra cómo los problemas de valores en la frontera regidos por la ecuación de Laplace se pueden resolver numéricamente mediante el método del elemento en la frontera