ecuación de calor

Ecuación diferencial parcial que describe la evolución de la temperatura en una región.

Gráfico animado de la evolución de la temperatura en una placa metálica cuadrada según lo predicho por la ecuación del calor. La altura y el enrojecimiento indican la temperatura en cada punto. El estado inicial tiene una región uniformemente caliente en forma de pezuña (roja) rodeada por una región uniformemente fría (amarilla). A medida que pasa el tiempo, el calor se difunde hacia la región fría.

En matemáticas y física , la ecuación del calor es una determinada ecuación diferencial parcial . Las soluciones de la ecuación del calor a veces se conocen como funciones calóricas . La teoría de la ecuación del calor fue desarrollada por primera vez por Joseph Fourier en 1822 con el propósito de modelar cómo una cantidad como el calor se difunde a través de una región determinada.

Como ecuación diferencial parcial parabólica prototípica , la ecuación del calor se encuentra entre los temas más estudiados en matemáticas puras , y su análisis se considera fundamental para el campo más amplio de las ecuaciones diferenciales parciales . La ecuación del calor también se puede considerar en variedades de Riemann , lo que lleva a muchas aplicaciones geométricas. Según el trabajo de Subbaramiah Minakshisundaram y Åke Pleijel , la ecuación del calor está estrechamente relacionada con la geometría espectral . James Eells y Joseph Sampson introdujeron una variante no lineal fundamental de la ecuación del calor en la geometría diferencial en 1964, inspirando la introducción del flujo de Ricci por Richard Hamilton en 1982 y culminando con la prueba de la conjetura de Poincaré por Grigori Perelman en 2003. Las soluciones de la ecuación de calor conocidas como núcleos de calor proporcionan información sutil sobre la región en la que se definen, como se ejemplifica mediante su aplicación al teorema del índice de Atiyah-Singer . ^[1]

La ecuación del calor, junto con sus variantes, también es importante en muchos campos de la ciencia y las matemáticas aplicadas . En teoría de la probabilidad , la ecuación del calor está relacionada con el estudio de los paseos aleatorios y el movimiento browniano a través de la ecuación de Fokker-Planck . La ecuación de Black-Scholes de matemáticas financieras es una pequeña variante de la ecuación de calor, y la ecuación de Schrödinger de mecánica cuántica puede considerarse como una ecuación de calor en tiempo imaginario . En el análisis de imágenes , la ecuación del calor se utiliza a veces para resolver la pixelación e identificar bordes . Tras la introducción de los métodos de "viscosidad artificial" por parte de Robert Richtmyer y John von Neumann , las soluciones de ecuaciones de calor han sido útiles en la formulación matemática de choques hidrodinámicos . Las soluciones de la ecuación del calor también han recibido mucha atención en la literatura sobre análisis numérico , comenzando en la década de 1950 con el trabajo de Jim Douglas, DW Peaceman y Henry Rachford Jr.

Declaración de la ecuación

En matemáticas, si se da un subconjunto abierto U de R ⁿ y un subintervalo I de R , se dice que una función u  : U × I → R es una solución de la ecuación del calor si

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{1}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{n}^{2}}},}$

donde ( x ₁ ,…, x _n , t ) denota un punto general del dominio. Es típico referirse a t como "tiempo" y a x ₁ ,..., x _n como "variables espaciales", incluso en contextos abstractos donde estas frases no logran tener su significado intuitivo. La colección de variables espaciales a menudo se denomina simplemente x . Para cualquier valor dado de t , el lado derecho de la ecuación es el laplaciano de la función u (⋅, t ) : U → R. Como tal, la ecuación del calor a menudo se escribe de manera más compacta como

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\Delta u}$

En contextos de física e ingeniería, especialmente en el contexto de difusión a través de un medio, es más común fijar un sistema de coordenadas cartesiano y luego considerar el caso específico de una función u ( x , y , z , t ) de tres variables espaciales. ( x , y , z ) y variable de tiempo t . Entonces se dice que u es una solución de la ecuación del calor si

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)}$

en el que α es un coeficiente positivo llamado difusividad térmica del medio. Además de otros fenómenos físicos, esta ecuación describe el flujo de calor en un medio homogéneo e isotrópico, siendo u ( x , y , z , t ) la temperatura en el punto ( x , y , z ) y el tiempo t . Si el medio no es homogéneo e isotrópico, entonces α no sería un coeficiente fijo, sino que dependería de ( x , y , z ) ; la ecuación también tendría una forma ligeramente diferente. En la literatura de física e ingeniería, es común usar ∇ ² para denotar el laplaciano, en lugar de ∆ .

Tanto en matemáticas como en física e ingeniería, es común utilizar la notación de Newton para las derivadas del tiempo, por lo que se utiliza para denotar ${\displaystyle {\dot {u}}}$∂u/∂t, por lo que la ecuación se puede escribir

${\displaystyle {\dot {u}}=\Delta u}$

Tenga en cuenta también que la capacidad de utilizar ∆ o ∇ ² para denotar el laplaciano, sin una referencia explícita a las variables espaciales, es un reflejo del hecho de que el laplaciano es independiente de la elección del sistema de coordenadas. En términos matemáticos, se diría que el laplaciano es "invariante traslacional y rotacionalmente". De hecho, es (en términos generales) el operador diferencial más simple el que tiene estas simetrías. Esto puede tomarse como una justificación significativa (y puramente matemática) del uso de la ecuación laplaciana y del calor para modelar cualquier fenómeno físico que sea homogéneo e isotrópico, del cual la difusión de calor es un ejemplo principal.

La "constante de difusividad" α a menudo no está presente en los estudios matemáticos de la ecuación del calor, mientras que su valor puede ser muy importante en ingeniería. Esta no es una diferencia importante, por la siguiente razón. Sea u una función con

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha \Delta u.}$

Definir una nueva función . Entonces, según la regla de la cadena , se tiene ${\displaystyle v(t,x)=u(t/\alpha ,x)}$

Por lo tanto, existe una forma sencilla de traducir entre soluciones de la ecuación del calor con un valor general de α y soluciones de la ecuación del calor con α = 1 . Como tal, por el bien del análisis matemático, a menudo es suficiente considerar sólo el caso α = 1 .

Dado que hay otra opción para definir un satisfactorio como en ( ⁎ ) arriba configurando . Tenga en cuenta que los dos medios posibles para definir la nueva función discutida aquí equivalen, en términos físicos, a cambiar la unidad de medida de tiempo o la unidad de medida de longitud. ${\displaystyle \alpha >0}$ ${\displaystyle v}$ ${\textstyle {\frac {\partial }{\partial t}}v=\Delta v}$ ${\displaystyle v(t,x)=u(t,\alpha ^{1/2}x)}$ ${\displaystyle v}$

Interpretación

Interpretación física de la ecuación.

De manera informal, el operador laplaciano ∆ da la diferencia entre el valor promedio de una función en las proximidades de un punto y su valor en ese punto. Por lo tanto, si u es la temperatura, ∆ indica si (y en qué medida) el material que rodea cada punto es más caliente o más frío, en promedio, que el material en ese punto.

Según la segunda ley de la termodinámica , el calor fluirá desde los cuerpos más calientes hacia los cuerpos adyacentes más fríos, en proporción a la diferencia de temperatura y de conductividad térmica del material entre ellos. Cuando el calor fluye hacia (respectivamente, desde) un material, su temperatura aumenta (respectivamente, disminuye), en proporción a la cantidad de calor dividida por la cantidad ( masa ) de material, con un factor de proporcionalidad llamado capacidad calorífica específica del material. material.

Mediante la combinación de estas observaciones, la ecuación del calor dice que la velocidad a la que el material en un punto se calentará (o enfriará) es proporcional a cuánto más caliente (o más frío) está el material circundante. El coeficiente α en la ecuación tiene en cuenta la conductividad térmica, el calor específico y la densidad del material. ${\displaystyle {\dot {u}}}$

Interpretación matemática de la ecuación.

La primera mitad del pensamiento físico anterior se puede expresar en forma matemática. La clave es que, para cualquier x fija , se tiene

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{(x)}(0)&=u(x)\\u_{(x)}'(0)&=0\\u_{(x)}''(0)&={\frac {1}{n}}\Delta u(x)\end{aligned}}}$

donde u _{( x )} ( r ) es la función de una sola variable que denota el valor promedio de u sobre la superficie de la esfera de radio r centrada en x ; se puede definir por

${\displaystyle u_{(x)}(r)={\frac {1}{\omega _{n-1}r^{n-1}}}\int _{\{y:|x-y|=r\}}u\,d{\mathcal {H}}^{n-1},}$

en el que ω _{n − 1} denota el área de la superficie de la bola unitaria en el espacio euclidiano de n dimensiones. Esto formaliza la afirmación anterior de que el valor de ∆ u en un punto x mide la diferencia entre el valor de u ( x ) y el valor de u en puntos cercanos a x , en el sentido de que este último está codificado por los valores de u _{( x )} ( r ) para valores positivos pequeños de r .

Siguiendo esta observación, se puede interpretar que la ecuación del calor impone un promedio infinitesimal de una función. Dada una solución de la ecuación del calor, el valor de u ( x , t + τ) para un pequeño valor positivo de τ puede aproximarse como1/2 norteveces el valor promedio de la función u (⋅, t ) sobre una esfera de radio muy pequeño centrada en x .

Carácter de las soluciones.

Solución de una ecuación diferencial parcial de calor 1D. La temperatura ( ) se distribuye inicialmente en un intervalo unidimensional de una unidad de longitud ( x  = [0,1]) con puntos finales aislados. La distribución se acerca al equilibrio con el tiempo. ${\displaystyle u}$

El comportamiento de la temperatura cuando los lados de una varilla 1D están a temperaturas fijas (en este caso, 0,8 y 0 con distribución gaussiana inicial). La temperatura se aproxima a una función lineal porque esa es la solución estable de la ecuación: siempre que la temperatura tiene una segunda derivada espacial distinta de cero, la derivada del tiempo también es distinta de cero.

La ecuación del calor implica que los picos ( máximos locales ) de se erosionarán gradualmente, mientras que las depresiones ( mínimos locales ) se completarán. El valor en algún punto permanecerá estable sólo mientras sea igual al valor promedio en su nivel inmediato. alrededores. En particular, si los valores en una vecindad están muy cerca de una función lineal , entonces el valor en el centro de esa vecindad no cambiará en ese momento (es decir, la derivada será cero). ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle Ax+By+Cz+D}$ ${\displaystyle {\dot {u}}}$

Una consecuencia más sutil es el principio de máximo , que dice que el valor máximo de en cualquier región del medio no excederá el valor máximo que ocurrió previamente en , a menos que esté en el límite de . Es decir, la temperatura máxima en una región puede aumentar sólo si llega calor del exterior . Esta es una propiedad de las ecuaciones diferenciales parciales parabólicas y no es difícil de demostrar matemáticamente (ver más abajo). ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

Otra propiedad interesante es que incluso si inicialmente tiene un salto brusco (discontinuidad) de valor a través de alguna superficie dentro del medio, el salto se suaviza inmediatamente mediante un flujo de calor momentáneo, infinitamente corto pero infinitamente grande a través de esa superficie. Por ejemplo, si dos cuerpos aislados, inicialmente a temperaturas uniformes pero diferentes , se tocan entre sí, la temperatura en el punto de contacto asumirá inmediatamente algún valor intermedio y se desarrollará una zona alrededor de ese punto donde variará gradualmente entre y . ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u_{0}}$ ${\displaystyle u_{1}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u_{0}}$ ${\displaystyle u_{1}}$

Si de repente se aplica una cierta cantidad de calor a un punto del medio, se propagará en todas direcciones en forma de onda de difusión. A diferencia de las ondas elásticas y electromagnéticas , la velocidad de una onda de difusión disminuye con el tiempo: a medida que se propaga sobre una región más grande, el gradiente de temperatura disminuye y, por lo tanto, el flujo de calor también disminuye.

Ejemplos específicos

Flujo de calor en una varilla uniforme.

Para el flujo de calor, la ecuación del calor se deriva de las leyes físicas de conducción del calor y conservación de la energía (Cannon 1984).

Según la ley de Fourier para un medio isotrópico, la tasa de flujo de energía térmica por unidad de área a través de una superficie es proporcional al gradiente de temperatura negativo a través de ella:

${\displaystyle \mathbf {q} =-k\,\nabla u}$

donde es la conductividad térmica del material, es la temperatura y es un campo vectorial que representa la magnitud y dirección del flujo de calor en un punto del espacio y del tiempo . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle u=u(\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {q} =\mathbf {q} (\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle t}$

Si el medio es una varilla delgada de sección y material uniforme, la posición es una coordenada única , el flujo de calor hacia el aumento es un campo escalar y el gradiente es una derivada ordinaria con respecto al . La ecuación se convierte ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle q=q(t,x)}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle q=-k\,{\frac {\partial u}{\partial x}}}$

Sea la energía térmica interna por unidad de volumen de la barra en cada punto y tiempo. En ausencia de generación de energía térmica, de fuentes externas o internas, la tasa de cambio en la energía térmica interna por unidad de volumen en el material, es proporcional a la tasa de cambio de su temperatura . Eso es, ${\displaystyle Q=Q(x,t)}$ ${\displaystyle \partial Q/\partial t}$ ${\displaystyle \partial u/\partial t}$

${\displaystyle {\frac {\partial Q}{\partial t}}=c\,\rho \,{\frac {\partial u}{\partial t}}}$

donde es la capacidad calorífica específica (a presión constante, en el caso de un gas) y es la densidad (masa por unidad de volumen) del material. Esta derivación supone que el material tiene una densidad de masa y una capacidad calorífica constantes en el espacio y en el tiempo. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \rho }$

Aplicando la ley de conservación de la energía a un pequeño elemento del medio centrado en , se concluye que la velocidad a la que se acumula calor en un punto dado es igual a la derivada del flujo de calor en ese punto, negado. Eso es, ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\frac {\partial Q}{\partial t}}=-{\frac {\partial q}{\partial x}}}$

De las ecuaciones anteriores se deduce que

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}\;=\;-{\frac {1}{c\rho }}{\frac {\partial q}{\partial x}}\;=\;-{\frac {1}{c\rho }}{\frac {\partial }{\partial x}}\left(-k\,{\frac {\partial u}{\partial x}}\right)\;=\;{\frac {k}{c\rho }}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$

que es la ecuación del calor en una dimensión, con coeficiente de difusividad

${\displaystyle \alpha ={\frac {k}{c\rho }}}$

Esta cantidad se llama difusividad térmica del medio.

Contabilización de la pérdida radiativa.

Se puede introducir un término adicional en la ecuación para tener en cuenta la pérdida de calor por radiación. Según la ley de Stefan-Boltzmann , este término es , donde es la temperatura del entorno, y es un coeficiente que depende de la constante de Stefan-Boltzmann y de la emisividad del material. La tasa de cambio en la energía interna se vuelve ${\displaystyle \mu \left(u^{4}-v^{4}\right)}$ ${\displaystyle v=v(x,t)}$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\frac {\partial Q}{\partial t}}=-{\frac {\partial q}{\partial x}}-\mu \left(u^{4}-v^{4}\right)}$

y la ecuación para la evolución de se convierte en ${\displaystyle u}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {k}{c\rho }}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-{\frac {\mu }{c\rho }}\left(u^{4}-v^{4}\right).}$

Medio isotrópico no uniforme

Tenga en cuenta que la ecuación de estado, dada por la primera ley de la termodinámica (es decir, conservación de la energía), se escribe de la siguiente forma (suponiendo que no haya transferencia de masa ni radiación). Esta forma es más general y particularmente útil para reconocer qué propiedad (por ejemplo, c _p o ) influye en qué término. ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \rho c_{p}{\frac {\partial T}{\partial t}}-\nabla \cdot \left(k\nabla T\right)={\dot {q}}_{V}}$

¿Dónde está la fuente de calor volumétrica? ${\displaystyle {\dot {q}}_{V}}$

problema tridimensional

En los casos especiales de propagación de calor en un medio isotrópico y homogéneo en un espacio tridimensional , esta ecuación es

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha \nabla ^{2}u=\alpha \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)}$   ${\displaystyle =\alpha \left(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}\right)}$

dónde:

• ${\displaystyle u=u(x,y,z,t)}$es la temperatura en función del espacio y el tiempo;
• ${\displaystyle {\tfrac {\partial u}{\partial t}}}$es la tasa de cambio de temperatura en un momento determinado a lo largo del tiempo;
• ${\displaystyle u_{xx}}$, , y son las segundas derivadas espaciales ( conducciones térmicas ) de la temperatura en las direcciones , , y , respectivamente; ${\displaystyle u_{yy}}$ ${\displaystyle u_{zz}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$
• ${\displaystyle \alpha \equiv {\tfrac {k}{c_{p}\rho }}}$es la difusividad térmica , una cantidad específica del material que depende de la conductividad térmica , la capacidad calorífica específica y la densidad de masa . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle c_{p}}$ ${\displaystyle \rho }$

La ecuación del calor es una consecuencia de la ley de conducción de Fourier (ver conducción del calor ).

Si el medio no es todo el espacio, para resolver la ecuación del calor de forma única también necesitamos especificar condiciones de contorno para u . Para determinar la unicidad de las soluciones en todo el espacio es necesario asumir condiciones adicionales, por ejemplo un límite exponencial en el crecimiento de las soluciones ^[2] o una condición de signo (las soluciones no negativas son únicas según un resultado de David Widder ). ^[3]

Las soluciones de la ecuación del calor se caracterizan por un suavizamiento gradual de la distribución de temperatura inicial mediante el flujo de calor desde las áreas más cálidas a las más frías de un objeto. Generalmente, muchos estados y condiciones iniciales diferentes tenderán hacia el mismo equilibrio estable . Como consecuencia, invertir la solución y concluir algo sobre tiempos anteriores o condiciones iniciales a partir de la distribución actual del calor es muy inexacto excepto en los períodos de tiempo más cortos.

La ecuación del calor es el ejemplo prototípico de una ecuación diferencial parcial parabólica .

Usando el operador de Laplace , la ecuación del calor se puede simplificar y generalizar a ecuaciones similares en espacios de un número arbitrario de dimensiones, como

${\displaystyle u_{t}=\alpha \nabla ^{2}u=\alpha \Delta u,}$

donde se toma el operador de Laplace, Δ o ∇ ² , la divergencia del gradiente, en las variables espaciales.

La ecuación del calor gobierna la difusión del calor, así como otros procesos de difusión, como la difusión de partículas o la propagación del potencial de acción en las células nerviosas. Aunque no son de naturaleza difusiva, algunos problemas de la mecánica cuántica también se rigen por una analogía matemática de la ecuación del calor (ver más abajo). También se puede utilizar para modelar algunos fenómenos que surgen en las finanzas , como los procesos de Black-Scholes o Ornstein-Uhlenbeck . La ecuación y varios análogos no lineales también se han utilizado en el análisis de imágenes.

La ecuación del calor, técnicamente, viola la relatividad especial , porque sus soluciones implican la propagación instantánea de una perturbación. La parte de la perturbación fuera del cono de luz delantero generalmente puede despreciarse con seguridad, pero si es necesario desarrollar una velocidad razonable para la transmisión de calor, se debe considerar en su lugar un problema hiperbólico , como una ecuación diferencial parcial que involucra una ecuación de segundo orden. derivada del tiempo. Algunos modelos de conducción de calor no lineal (que también son ecuaciones parabólicas) tienen soluciones con una velocidad de transmisión de calor finita. ^{[4] [5]}

Generación de calor interna

La función u anterior representa la temperatura de un cuerpo. Alternativamente, a veces es conveniente cambiar las unidades y representar u como la densidad de calor de un medio. Dado que la densidad de calor es proporcional a la temperatura en un medio homogéneo, la ecuación del calor todavía se obedece en las nuevas unidades.

Supongamos que un cuerpo obedece a la ecuación del calor y, además, genera su propio calor por unidad de volumen (por ejemplo, en vatios/litro - W/L) a una velocidad dada por una función conocida q que varía en el espacio y el tiempo. ^[6] Entonces el calor por unidad de volumen u satisface una ecuación

${\displaystyle {\frac {1}{\alpha }}{\frac {\partial u}{\partial t}}=\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)+{\frac {1}{k}}q.}$

Por ejemplo, el filamento de una bombilla de tungsteno genera calor, por lo que tendría un valor positivo distinto de cero para q cuando se enciende. Mientras la luz está apagada, el valor de q para el filamento de tungsteno sería cero.

Resolver la ecuación del calor usando series de Fourier.

Entorno físico idealizado para la conducción de calor en una varilla con condiciones de contorno homogéneas.

Joseph Fourier propuso la siguiente técnica de solución de la ecuación del calor en su tratado Théorie analytique de la chaleur , publicado en 1822. Considere la ecuación del calor para una variable espacial. Esto podría usarse para modelar la conducción de calor en una varilla. La ecuación es

donde u = u ( x , t ) es una función de dos variables x y t . Aquí

• x es la variable espacial, entonces x ∈ [0, L ], donde L es la longitud de la varilla.
• t es la variable tiempo, entonces t ≥ 0.

Suponemos la condición inicial

donde se da la función f y las condiciones de contorno

Intentemos encontrar una solución de ( 1 ) que no sea idénticamente cero satisfaciendo las condiciones de contorno ( 3 ) pero con la siguiente propiedad: u es un producto en el que la dependencia de u de x , t está separada, es decir:

Esta técnica de solución se llama separación de variables . Sustituyendo u nuevamente en la ecuación ( 1 ),

${\displaystyle {\frac {T'(t)}{\alpha T(t)}}={\frac {X''(x)}{X(x)}}.}$

Dado que el lado derecho depende sólo de x y el lado izquierdo sólo de t , ambos lados son iguales a algún valor constante −λ. De este modo:

y

Ahora mostraremos que no pueden ocurrir soluciones no triviales para ( 6 ) para valores de λ ≤ 0:

1. Supongamos que λ < 0. Entonces existen números reales B , C tales que
   $${\displaystyle X(x)=Be^{{\sqrt {-\lambda }}\,x}+Ce^{-{\sqrt {-\lambda }}\,x}.}$$
   De ( 3 ) obtenemos X (0) = 0 = X ( L ) y por lo tanto B = 0 = C , lo que implica que u es idénticamente 0.
2. Supongamos que λ = 0. Entonces existen números reales B , C tales que X ( x ) = Bx + C . De la ecuación ( 3 ) concluimos de la misma manera que en 1 que u es idénticamente 0.
3. Por lo tanto, debe darse el caso de que λ > 0. Entonces existen números reales A , B , C tales que
   $${\displaystyle T(t)=Ae^{-\lambda \alpha t}}$$
   y
   $${\displaystyle X(x)=B\sin \left({\sqrt {\lambda }}\,x\right)+C\cos \left({\sqrt {\lambda }}\,x\right).}$$
   De ( 3 ) obtenemos C = 0 y eso para algún entero positivo n ,
   $${\displaystyle {\sqrt {\lambda }}=n{\frac {\pi }{L}}.}$$

Esto resuelve la ecuación del calor en el caso especial de que la dependencia de u tenga la forma especial ( 4 ).

En general, la suma de soluciones de ( 1 ) que satisfacen las condiciones de contorno ( 3 ) también satisface ( 1 ) y ( 3 ). Podemos demostrar que la solución de ( 1 ), ( 2 ) y ( 3 ) viene dada por

${\displaystyle u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }D_{n}\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)e^{-{\frac {n^{2}\pi ^{2}\alpha t}{L^{2}}}}}$

dónde

${\displaystyle D_{n}={\frac {2}{L}}\int _{0}^{L}f(x)\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)\,dx.}$

Generalizando la técnica de solución.

La técnica de solución utilizada anteriormente se puede extender en gran medida a muchos otros tipos de ecuaciones. La idea es que el operador u _xx con condiciones de frontera cero se pueda representar en términos de sus funciones propias . Esto conduce naturalmente a una de las ideas básicas de la teoría espectral de los operadores lineales autoadjuntos .

Considere el operador lineal Δ u = u _xx . La secuencia infinita de funciones.

${\displaystyle e_{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)}$

para n ≥ 1 son funciones propias de Δ. En efecto,

${\displaystyle \Delta e_{n}=-{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}e_{n}.}$

Además, cualquier función propia f de Δ con las condiciones de contorno f (0) = f ( L ) = 0 es de la forma e _n para algún n ≥ 1. Las funciones e _n para n ≥ 1 forman una secuencia ortonormal con respecto a cierto producto interno en el espacio de funciones con valores reales en [0, L ]. Esto significa

${\displaystyle \langle e_{n},e_{m}\rangle =\int _{0}^{L}e_{n}(x)e_{m}^{*}(x)dx=\delta _{mn}}$

Finalmente, la secuencia { e _n } _{n ∈ N} abarca un subespacio lineal denso de L ² ((0, L )). Esto muestra que, en efecto, hemos diagonalizado el operador Δ.

Conducción de calor en medios anisotrópicos no homogéneos.

En general, el estudio de la conducción del calor se basa en varios principios. El flujo de calor es una forma de flujo de energía y, como tal, tiene sentido hablar de la tasa temporal de flujo de calor hacia una región del espacio.

• La tasa temporal de flujo de calor hacia una región V está dada por una cantidad q _t ( V ) dependiente del tiempo . Suponemos que q tiene una densidad Q , de modo que
  $${\displaystyle q_{t}(V)=\int _{V}Q(x,t)\,dx\quad }$$
• El flujo de calor es una función vectorial H ( x ) dependiente del tiempo que se caracteriza de la siguiente manera: la velocidad temporal del calor que fluye a través de un elemento de superficie infinitesimal con área dS y con vector normal unitario n es
  $${\displaystyle \mathbf {H} (x)\cdot \mathbf {n} (x)\,dS.}$$
  Por tanto, la tasa de flujo de calor hacia V también está dada por la integral de superficie
  $${\displaystyle q_{t}(V)=-\int _{\partial V}\mathbf {H} (x)\cdot \mathbf {n} (x)\,dS}$$
  donde n ( x ) es el vector normal que apunta hacia afuera en x .
• La ley de Fourier establece que el flujo de energía térmica tiene la siguiente dependencia lineal del gradiente de temperatura
  $${\displaystyle \mathbf {H} (x)=-\mathbf {A} (x)\cdot \nabla u(x)}$$
  donde A ( x ) es una matriz real de 3 × 3 que es simétrica y definida positiva .
• Según el teorema de la divergencia , la integral de superficie anterior para el flujo de calor hacia V se puede transformar en la integral de volumen.
  $${\displaystyle {\begin{aligned}q_{t}(V)&=-\int _{\partial V}\mathbf {H} (x)\cdot \mathbf {n} (x)\,dS\\&=\int _{\partial V}\mathbf {A} (x)\cdot \nabla u(x)\cdot \mathbf {n} (x)\,dS\\&=\int _{V}\sum _{i,j}\partial _{x_{i}}{\bigl (}a_{ij}(x)\partial _{x_{j}}u(x,t){\bigr )}\,dx\end{aligned}}}$$
• La tasa de cambio de temperatura en el tiempo en x es proporcional al calor que fluye hacia un elemento de volumen infinitesimal, donde la constante de proporcionalidad depende de una constante κ
  $${\displaystyle \partial _{t}u(x,t)=\kappa (x)Q(x,t)}$$

Al juntar estas ecuaciones se obtiene la ecuación general del flujo de calor:

${\displaystyle \partial _{t}u(x,t)=\kappa (x)\sum _{i,j}\partial _{x_{i}}{\bigl (}a_{ij}(x)\partial _{x_{j}}u(x,t){\bigr )}}$

Observaciones .

• El coeficiente κ ( x ) es la inversa del calor específico de la sustancia en x × densidad de la sustancia en x :. ${\displaystyle \kappa =1/(\rho c_{p})}$
• En el caso de un medio isotrópico, la matriz A es una matriz escalar igual a la conductividad térmica k .
• En el caso anisotrópico donde la matriz de coeficientes A no es escalar y/o si depende de x , entonces rara vez se puede escribir una fórmula explícita para la solución de la ecuación de calor, aunque generalmente es posible considerar el problema abstracto de Cauchy asociado. y mostrar que es un problema bien planteado y/o mostrar algunas propiedades cualitativas (como preservación de datos iniciales positivos, velocidad de propagación infinita, convergencia hacia un equilibrio, propiedades de suavizado). Esto generalmente se hace mediante la teoría de semigrupos de un parámetro : por ejemplo, si A es una matriz simétrica, entonces el operador elíptico definido por
  $${\displaystyle Au(x):=\sum _{i,j}\partial _{x_{i}}a_{ij}(x)\partial _{x_{j}}u(x)}$$
  es autoadjunto y disipativo, por lo que según el teorema espectral genera un semigrupo de un parámetro .

Soluciones fundamentales

Una solución fundamental , también llamada núcleo de calor , es una solución de la ecuación de calor correspondiente a la condición inicial de una fuente puntual inicial de calor en una posición conocida. Estos pueden usarse para encontrar una solución general de la ecuación del calor en ciertos dominios; ver, por ejemplo, (Evans 2010) para un tratamiento introductorio.

En una variable, la función de Green es una solución del problema del valor inicial (según el principio de Duhamel , equivalente a la definición de la función de Green como una con una función delta como solución a la primera ecuación)

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}(x,t)-ku_{xx}(x,t)=0&(x,t)\in \mathbb {R} \times (0,\infty )\\u(x,0)=\delta (x)&\end{cases}}}$

¿Dónde está la función delta de Dirac ? La solución a este problema es la solución fundamental ( kernel de calor ). ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle \Phi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4kt}}\right).}$

Se puede obtener la solución general de la ecuación de calor de una variable con condición inicial u ( x , 0) = g ( x ) para −∞ < x < ∞ y 0 < t < ∞ aplicando una convolución :

${\displaystyle u(x,t)=\int \Phi (x-y,t)g(y)dy.}$

En varias variables espaciales, la solución fundamental resuelve el problema análogo.

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}(\mathbf {x} ,t)-k\sum _{i=1}^{n}u_{x_{i}x_{i}}(\mathbf {x} ,t)=0&(\mathbf {x} ,t)\in \mathbb {R} ^{n}\times (0,\infty )\\u(\mathbf {x} ,0)=\delta (\mathbf {x} )\end{cases}}}$

La solución fundamental de n variables es el producto de las soluciones fundamentales en cada variable; es decir,

${\displaystyle \Phi (\mathbf {x} ,t)=\Phi (x_{1},t)\Phi (x_{2},t)\cdots \Phi (x_{n},t)={\frac {1}{\sqrt {(4\pi kt)^{n}}}}\exp \left(-{\frac {\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} }{4kt}}\right).}$

La solución general de la ecuación del calor en R ⁿ se obtiene entonces mediante una convolución, de modo que para resolver el problema del valor inicial con u ( x , 0) = g ( x ), se tiene

${\displaystyle u(\mathbf {x} ,t)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\Phi (\mathbf {x} -\mathbf {y} ,t)g(\mathbf {y} )d\mathbf {y} .}$

El problema general en un dominio Ω en R ⁿ es

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}(\mathbf {x} ,t)-k\sum _{i=1}^{n}u_{x_{i}x_{i}}(\mathbf {x} ,t)=0&(\mathbf {x} ,t)\in \Omega \times (0,\infty )\\u(\mathbf {x} ,0)=g(\mathbf {x} )&\mathbf {x} \in \Omega \end{cases}}}$

con datos de límites de Dirichlet o Neumann . La función de Green siempre existe, pero a menos que el dominio Ω pueda descomponerse fácilmente en problemas de una variable (ver más abajo), puede que no sea posible escribirla explícitamente. Otros métodos para obtener las funciones de Green incluyen el método de imágenes , separación de variables y transformadas de Laplace (Cole, 2011).

Algunas soluciones de funciones de Green en 1D

Aquí se registran una variedad de soluciones elementales de funciones de Green en una dimensión; muchos otros están disponibles en otros lugares. ^[7] En algunos de ellos, el dominio espacial es (−∞,∞). En otros, es el intervalo semiinfinito (0,∞) con condiciones de contorno de Neumann o Dirichlet . Una variación adicional es que algunos de estos resuelven la ecuación no homogénea

${\displaystyle u_{t}=ku_{xx}+f.}$

donde f es alguna función dada de x y t .

Ecuación de calor homogéneo

Problema de valor inicial en (−∞,∞)

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}&(x,t)\in \mathbb {R} \times (0,\infty )\\u(x,0)=g(x)&{\text{Initial condition}}\end{cases}}}$

${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4kt}}\right)g(y)\,dy}$

Solución fundamental de la ecuación del calor unidimensional. Rojo: evolución del tiempo . Azul: cursos de tiempo para dos puntos seleccionados x ₀ = 0,2 y x ₀ = 1. Tenga en cuenta los diferentes tiempos de subida/retrasos y amplitudes. Versión interactiva. ${\displaystyle \Phi (x,t)}$ ${\displaystyle \Phi (x_{0},t)}$

Comentario . Esta solución es la convolución con respecto a la variable x de la solución fundamental.

${\displaystyle \Phi (x,t):={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4kt}}\right),}$

y la función g ( x ). (El número de función de Green de la solución fundamental es X00.)

Por tanto, según las propiedades generales de la convolución con respecto a la diferenciación, u = g ∗ Φ es una solución de la misma ecuación de calor, por

${\displaystyle \left(\partial _{t}-k\partial _{x}^{2}\right)(\Phi *g)=\left[\left(\partial _{t}-k\partial _{x}^{2}\right)\Phi \right]*g=0.}$

Además,

${\displaystyle \Phi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {t}}}\,\Phi \left({\frac {x}{\sqrt {t}}},1\right)}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\Phi (x,t)\,dx=1,}$

de modo que, por hechos generales sobre la aproximación a la identidad , Φ(⋅, t ) ∗ g → g como t → 0 en varios sentidos, según el g específico . Por ejemplo, si se supone que g es acotado y continuo en R entonces Φ(⋅, t ) ∗ g converge uniformemente a g cuando t → 0, lo que significa que u ( x , t ) es continua en R × [0, ∞) con u ( x , 0) = g ( x ).

Problema de valor inicial en (0,∞) con condiciones de contorno de Dirichlet homogéneas

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}&(x,t)\in [0,\infty )\times (0,\infty )\\u(x,0)=g(x)&{\text{IC}}\\u(0,t)=0&{\text{BC}}\end{cases}}}$

${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\int _{0}^{\infty }\left[\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4kt}}\right)-\exp \left(-{\frac {(x+y)^{2}}{4kt}}\right)\right]g(y)\,dy}$

Comentario. Esta solución se obtiene a partir de la fórmula anterior aplicada a los datos g ( x ) adecuadamente extendidos a R , para que sea una función impar , es decir, dejando g (− x ): = − g ( x ) para todo x . En consecuencia, la solución del problema de valores iniciales en (−∞,∞) es una función impar con respecto a la variable x para todos los valores de t , y en particular satisface las condiciones de contorno homogéneas de Dirichlet u (0, t ) = 0 El número de función de Green de esta solución es X10.

Problema de valor inicial en (0,∞) con condiciones de frontera homogéneas de Neumann

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}&(x,t)\in [0,\infty )\times (0,\infty )\\u(x,0)=g(x)&{\text{IC}}\\u_{x}(0,t)=0&{\text{BC}}\end{cases}}}$

${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\int _{0}^{\infty }\left[\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4kt}}\right)+\exp \left(-{\frac {(x+y)^{2}}{4kt}}\right)\right]g(y)\,dy}$

Comentario. Esta solución se obtiene a partir de la primera fórmula de solución aplicada a los datos g ( x ) adecuadamente extendidos a R para que sea una función par , es decir, dejando g (− x ): = g ( x ) para todo x . En consecuencia, la solución del problema de valores iniciales en R es una función par con respecto a la variable x para todos los valores de t > 0 y, en particular, al ser suave, satisface las condiciones de contorno homogéneas de Neumann u _x (0, t ) = 0. El número de función de Green de esta solución es X20.

Problema en (0,∞) con condiciones iniciales homogéneas y condiciones de frontera de Dirichlet no homogéneas

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}&(x,t)\in [0,\infty )\times (0,\infty )\\u(x,0)=0&{\text{IC}}\\u(0,t)=h(t)&{\text{BC}}\end{cases}}}$

${\displaystyle u(x,t)=\int _{0}^{t}{\frac {x}{\sqrt {4\pi k(t-s)^{3}}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4k(t-s)}}\right)h(s)\,ds,\qquad \forall x>0}$

Comentario . Esta solución es la convolución con respecto a la variable t de

${\displaystyle \psi (x,t):=-2k\partial _{x}\Phi (x,t)={\frac {x}{\sqrt {4\pi kt^{3}}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4kt}}\right)}$

y la función h ( t ). Dado que Φ( x , t ) es la solución fundamental de

${\displaystyle \partial _{t}-k\partial _{x}^{2},}$

la función ψ ( x, t ) también es una solución de la misma ecuación de calor, al igual que u  := ψ ∗ h , gracias a las propiedades generales de la convolución con respecto a la diferenciación. Además,

${\displaystyle \psi (x,t)={\frac {1}{x^{2}}}\,\psi \left(1,{\frac {t}{x^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\psi (x,t)\,dt=1,}$

de modo que, por hechos generales sobre la aproximación a la identidad , ψ ( x , ⋅) ∗ h → h como x → 0 en varios sentidos, según el h específico . Por ejemplo, si se supone que h es continua en R con soporte en [0, ∞), entonces ψ ( x , ⋅) ∗ h converge uniformemente en compacta a h cuando x → 0, lo que significa que u ( x, t ) es continua en [ 0, ∞) × [0, ∞) con u (0, t ) = h ( t ).

Se muestra una solución numérica de la ecuación del calor no homogénea. La ecuación se resolvió con 0 condiciones iniciales y de contorno y un término fuente que representa un quemador de estufa.

Ecuación de calor no homogénea

Problema en (-∞,∞) condiciones iniciales homogéneas

Comentario . Esta solución es la convolución en R ² , es decir con respecto a las variables x y t , de la solución fundamental

${\displaystyle \Phi (x,t):={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4kt}}\right)}$

y la función f ( x, t ), ambas entendidas como definidas en todo R ² e idénticamente 0 para todo t → 0. Se verifica que

${\displaystyle \left(\partial _{t}-k\partial _{x}^{2}\right)(\Phi *f)=f,}$

que expresado en el lenguaje de las distribuciones se convierte en

${\displaystyle \left(\partial _{t}-k\partial _{x}^{2}\right)\Phi =\delta ,}$

donde la distribución δ es la función delta de Dirac , es decir, la evaluación en 0.

Problema en (0,∞) con condiciones de contorno de Dirichlet homogéneas y condiciones iniciales

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}+f(x,t)&(x,t)\in [0,\infty )\times (0,\infty )\\u(x,0)=0&{\text{IC}}\\u(0,t)=0&{\text{BC}}\end{cases}}}$

${\displaystyle u(x,t)=\int _{0}^{t}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {4\pi k(t-s)}}}\left(\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4k(t-s)}}\right)-\exp \left(-{\frac {(x+y)^{2}}{4k(t-s)}}\right)\right)f(y,s)\,dy\,ds}$

Comentario . Esta solución se obtiene de la fórmula anterior aplicada a los datos f ( x , t ) adecuadamente extendidos a R × [0,∞), de modo que sea una función impar de la variable x , es decir, dejando que f (− x , t ) := − f ( x , t ) para todos x y t . En consecuencia, la solución del problema no homogéneo en (−∞,∞) es una función impar con respecto a la variable x para todos los valores de t , y en particular satisface las condiciones de frontera homogéneas de Dirichlet u (0, t ) = 0.

Problema en (0,∞) con condiciones de contorno y condiciones iniciales homogéneas de Neumann

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}+f(x,t)&(x,t)\in [0,\infty )\times (0,\infty )\\u(x,0)=0&{\text{IC}}\\u_{x}(0,t)=0&{\text{BC}}\end{cases}}}$

${\displaystyle u(x,t)=\int _{0}^{t}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {4\pi k(t-s)}}}\left(\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4k(t-s)}}\right)+\exp \left(-{\frac {(x+y)^{2}}{4k(t-s)}}\right)\right)f(y,s)\,dy\,ds}$

Comentario . Esta solución se obtiene a partir de la primera fórmula aplicada a los datos f ( x , t ) adecuadamente extendidos a R × [0,∞), de modo que sea una función par de la variable x , es decir, dejando que f (− x , t ) := f ( x , t ) para todos x y t . En consecuencia, la solución del problema no homogéneo en (−∞,∞) es una función par con respecto a la variable x para todos los valores de t y, en particular, al ser una función suave, satisface las condiciones de contorno homogéneas de Neumann u _x ( 0, t ) = 0.

Ejemplos

Dado que la ecuación del calor es lineal, se pueden encontrar soluciones de otras combinaciones de condiciones de contorno, términos no homogéneos y condiciones iniciales tomando una combinación lineal apropiada de las soluciones de las funciones de Green anteriores.

Por ejemplo, para resolver

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}+f&(x,t)\in \mathbb {R} \times (0,\infty )\\u(x,0)=g(x)&{\text{IC}}\end{cases}}}$

sea ​​u = w + v donde w y v resuelven los problemas

${\displaystyle {\begin{cases}v_{t}=kv_{xx}+f,\,w_{t}=kw_{xx}\,&(x,t)\in \mathbb {R} \times (0,\infty )\\v(x,0)=0,\,w(x,0)=g(x)\,&{\text{IC}}\end{cases}}}$

De manera similar, para resolver

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}+f&(x,t)\in [0,\infty )\times (0,\infty )\\u(x,0)=g(x)&{\text{IC}}\\u(0,t)=h(t)&{\text{BC}}\end{cases}}}$

sea ​​u = w + v + r donde w , v y r resuelven los problemas

${\displaystyle {\begin{cases}v_{t}=kv_{xx}+f,\,w_{t}=kw_{xx},\,r_{t}=kr_{xx}&(x,t)\in [0,\infty )\times (0,\infty )\\v(x,0)=0,\;w(x,0)=g(x),\;r(x,0)=0&{\text{IC}}\\v(0,t)=0,\;w(0,t)=0,\;r(0,t)=h(t)&{\text{BC}}\end{cases}}}$

Propiedad del valor medio de la ecuación del calor.

Soluciones de las ecuaciones de calor.

${\displaystyle (\partial _{t}-\Delta )u=0}$

satisfacer una propiedad de valor medio análoga a las propiedades de valor medio de funciones armónicas , soluciones de

${\displaystyle \Delta u=0,}$

aunque un poco más complicado. Precisamente, si resuelves

${\displaystyle (\partial _{t}-\Delta )u=0}$

y

${\displaystyle (x,t)+E_{\lambda }\subset \mathrm {dom} (u)}$

entonces

${\displaystyle u(x,t)={\frac {\lambda }{4}}\int _{E_{\lambda }}u(x-y,t-s){\frac {|y|^{2}}{s^{2}}}ds\,dy,}$

donde E _λ es una "bola de calor", es decir, un conjunto de supernivel de la solución fundamental de la ecuación del calor:

${\displaystyle E_{\lambda }:=\{(y,s):\Phi (y,s)>\lambda \},}$

${\displaystyle \Phi (x,t):=(4t\pi )^{-{\frac {n}{2}}}\exp \left(-{\frac {|x|^{2}}{4t}}\right).}$

Darse cuenta de

${\displaystyle \mathrm {diam} (E_{\lambda })=o(1)}$

como λ → ∞, la fórmula anterior es válida para cualquier ( x, t ) en el conjunto (abierto) dom( u ) para λ lo suficientemente grande. ^[8] Esto se puede demostrar mediante un argumento similar al análogo para las funciones armónicas .

Ecuación de calor en estado estacionario

La ecuación del calor en estado estacionario, por definición, no depende del tiempo. En otras palabras, se supone que existen condiciones tales que:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=0}$

Esta condición depende de la constante de tiempo y del tiempo transcurrido desde que se impusieron las condiciones de contorno. Por lo tanto, la condición se cumple en situaciones en las que la constante de equilibrio de tiempo es lo suficientemente rápida como para que la ecuación de calor más compleja dependiente del tiempo pueda aproximarse en el caso de estado estacionario. De manera equivalente, la condición de estado estacionario existe para todos los casos en los que ha transcurrido suficiente tiempo como para que el campo térmico u ya no evolucione en el tiempo.

En el caso del estado estacionario, puede existir (o no) un gradiente térmico espacial, pero si existe, no cambia con el tiempo. Por lo tanto, esta ecuación describe el resultado final en todos los problemas térmicos en los que se enciende una fuente (por ejemplo, el motor de un automóvil arranca) y ha pasado suficiente tiempo para que todos los gradientes de temperatura permanentes se establezcan en el espacio, después de lo cual estos gradientes espaciales las pendientes ya no cambian con el tiempo (como ocurre también con un automóvil cuyo motor ha estado en marcha durante suficiente tiempo). La otra solución (trivial) es que todos los gradientes de temperatura espaciales desaparezcan también, en cuyo caso la temperatura también se vuelve uniforme en el espacio.

La ecuación es mucho más sencilla y puede ayudar a comprender mejor la física de los materiales sin centrarse en la dinámica del proceso de transporte de calor. Se utiliza ampliamente para problemas de ingeniería simples suponiendo que existe un equilibrio de los campos de temperatura y el transporte de calor con el tiempo.

Condición de estado estacionario:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=0}$

La ecuación de calor en estado estacionario para un volumen que contiene una fuente de calor (el caso no homogéneo), es la ecuación de Poisson :

${\displaystyle -k\nabla ^{2}u=q}$

donde u es la temperatura , k es la conductividad térmica y q es la tasa de generación de calor por unidad de volumen.

En electrostática , esto equivale al caso en el que el espacio considerado contiene una carga eléctrica.

La ecuación del calor en estado estacionario sin una fuente de calor dentro del volumen (el caso homogéneo) es la ecuación en electrostática para un volumen de espacio libre que no contiene carga. Se describe mediante la ecuación de Laplace :

${\displaystyle \nabla ^{2}u=0}$

Aplicaciones

Difusión de partículas

Se puede modelar la difusión de partículas mediante una ecuación que incluya:

• la concentración volumétrica de partículas, denotada c , en el caso de difusión colectiva de un gran número de partículas, o
• la función de densidad de probabilidad asociada con la posición de una sola partícula, denotada por P.

En cualquier caso, se utiliza la ecuación del calor.

${\displaystyle c_{t}=D\Delta c,}$

o

${\displaystyle P_{t}=D\Delta P.}$

Tanto cy P son funciones de posición y tiempo. D es el coeficiente de difusión que controla la velocidad del proceso de difusión y normalmente se expresa en metros cuadrados sobre segundos. Si el coeficiente de difusión D no es constante, sino que depende de la concentración c (o P en el segundo caso), entonces se obtiene la ecuación de difusión no lineal .

movimiento browniano

Sea el proceso estocástico la solución de la ecuación diferencial estocástica ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\begin{cases}\mathrm {d} X_{t}={\sqrt {2k}}\;\mathrm {d} B_{t}\\X_{0}=0\end{cases}}}$

¿ Dónde está el proceso de Wiener (movimiento browniano estándar)? La función de densidad de probabilidad de está dada en cualquier momento por ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4kt}}\right)}$

cual es la solución al problema de valor inicial

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}(x,t)-ku_{xx}(x,t)=0,&(x,t)\in \mathbb {R} \times (0,+\infty )\\u(x,0)=\delta (x)\end{cases}}}$

¿Dónde está la función delta de Dirac ? ${\displaystyle \delta }$

Ecuación de Schrödinger para una partícula libre

Con una división simple, la ecuación de Schrödinger para una sola partícula de masa m en ausencia de cualquier campo de fuerza aplicado se puede reescribir de la siguiente manera:

${\displaystyle \psi _{t}={\frac {i\hbar }{2m}}\Delta \psi }$,

donde i es la unidad imaginaria , ħ es la constante de Planck reducida y ψ es la función de onda de la partícula.

Esta ecuación es formalmente similar a la ecuación de difusión de partículas, que se obtiene mediante la siguiente transformación:

${\displaystyle {\begin{aligned}c(\mathbf {R} ,t)&\to \psi (\mathbf {R} ,t)\\D&\to {\frac {i\hbar }{2m}}\end{aligned}}}$

Aplicando esta transformación a las expresiones de las funciones de Green determinadas en el caso de la difusión de partículas se obtienen las funciones de Green de la ecuación de Schrödinger , que a su vez pueden usarse para obtener la función de onda en cualquier momento mediante una integral de la función de onda en t = 0:

${\displaystyle \psi (\mathbf {R} ,t)=\int \psi \left(\mathbf {R} ^{0},t=0\right)G\left(\mathbf {R} -\mathbf {R} ^{0},t\right)dR_{x}^{0}\,dR_{y}^{0}\,dR_{z}^{0},}$

con

${\displaystyle G(\mathbf {R} ,t)=\left({\frac {m}{2\pi i\hbar t}}\right)^{3/2}e^{-{\frac {\mathbf {R} ^{2}m}{2i\hbar t}}}.}$

Observación: esta analogía entre la mecánica cuántica y la difusión es puramente formal. Físicamente, la evolución de la función de onda que satisface la ecuación de Schrödinger podría tener un origen distinto a la difusión ^{[ cita requerida ]} .

Difusividad térmica en polímeros.

Una aplicación práctica directa de la ecuación del calor, en conjunto con la teoría de Fourier , en coordenadas esféricas, es la predicción de perfiles de transferencia térmica y la medición de la difusividad térmica en polímeros (Unsworth y Duarte ). Este método dual teórico-experimental es aplicable al caucho, otros materiales poliméricos de interés práctico y microfluidos. Estos autores derivaron una expresión para la temperatura en el centro de una esfera T _C

${\displaystyle {\frac {T_{C}-T_{S}}{T_{0}-T_{S}}}=2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\exp \left({-{\frac {n^{2}\pi ^{2}\alpha t}{L^{2}}}}\right)}$

donde T ₀ es la temperatura inicial de la esfera y T _S la temperatura en la superficie de la esfera, de radio L . Esta ecuación también ha encontrado aplicaciones en la transferencia de energía de proteínas y el modelado térmico en biofísica.

Otras aplicaciones

La ecuación de calor surge en el modelado de una serie de fenómenos y se utiliza a menudo en matemáticas financieras en el modelado de opciones . La ecuación diferencial del modelo de fijación de precios de opciones de Black-Scholes se puede transformar en la ecuación de calor, lo que permite soluciones relativamente fáciles a partir de un cuerpo matemático familiar. Muchas de las extensiones de los modelos de opciones simples no tienen soluciones de forma cerrada y, por lo tanto, deben resolverse numéricamente para obtener un precio de opción modelado. La ecuación que describe la difusión de presión en un medio poroso es idéntica en forma a la ecuación del calor. Los problemas de difusión que tratan con las condiciones de frontera de Dirichlet , Neumann y Robin tienen soluciones analíticas de forma cerrada (Thambynayagam 2011). La ecuación de calor también se usa ampliamente en el análisis de imágenes (Perona y Malik 1990) y en el aprendizaje automático como teoría impulsora detrás de los métodos laplacianos de escala-espacio o gráficos . La ecuación del calor se puede resolver numéricamente de manera eficiente utilizando el método implícito de Crank-Nicolson (Crank & Nicolson 1947). Este método se puede extender a muchos de los modelos sin solución de forma cerrada, ver por ejemplo (Wilmott, Howison & Dewynne 1995).

Una forma abstracta de ecuación de calor en variedades proporciona un enfoque importante al teorema del índice de Atiyah-Singer y ha llevado a muchos trabajos adicionales sobre ecuaciones de calor en la geometría de Riemann .

Ver también

• polinomio calórico
• Flujo de acortamiento de curvas
• Ecuación de difusión
• Conducción de calor relativista
• ecuación de Schrödinger
• Transformación de Weierstrass

Notas

1. Berlín, Nicole; Getzler, Ezra; Vergne, Michele. Calentar granos y operadores Dirac. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 298. Springer-Verlag, Berlín, 1992. viii+369 págs. ISBN  3-540-53340-0
2. Stojanovic, Srdjan (2003), "3.3.1.3 Unicidad de la PDE térmica con crecimiento exponencial en el infinito", Matemáticas financieras computacionales utilizando MATHEMATICA®: negociación óptima de acciones y opciones, Springer, págs. 112-114, ISBN 9780817641979
3. John, Fritz (20 de noviembre de 1991). Ecuaciones diferenciales parciales. Medios de ciencia y negocios de Springer. pag. 222.ISBN​ 978-0-387-90609-6.
4. Mathworld: Ecuación del medio poroso y los otros modelos relacionados tienen soluciones con velocidad de propagación de onda finita.
5. Juan Luis Vázquez (28 de diciembre de 2006), La ecuación del medio poroso: teoría matemática , Oxford University Press, EE. UU., ISBN 978-0-19-856903-9
6. Tenga en cuenta que las unidades de u deben seleccionarse de manera compatible con las de q . Por lo tanto, en lugar de ser para temperatura termodinámica ( Kelvin - K), las unidades de u deberían ser J/L.
7. La biblioteca de funciones de Green contiene una variedad de soluciones fundamentales a la ecuación del calor.
8. Por el contrario, cualquier función u que satisfaga la propiedad del valor medio anterior en un dominio abierto de R ⁿ × R es una solución de la ecuación de calor

Referencias

• Cannon, John Rozier (1984), La ecuación de calor unidimensional , Enciclopedia de Matemáticas y sus Aplicaciones, vol. 23, Reading, MA: Addison-Wesley Publishing Company, Programa de libros avanzados, ISBN 0-201-13522-1, SEÑOR  0747979, Zbl  0567.35001
• Manivela, J.; Nicolson, P. (1947), "Un método práctico para la evaluación numérica de soluciones de ecuaciones diferenciales parciales del tipo de conducción de calor", Actas de la Sociedad Filosófica de Cambridge , 43 (1): 50–67, Bibcode :1947PCPS.. .43...50C, doi :10.1017/S0305004100023197, S2CID  16676040
• Evans, Lawrence C. (2010), Ecuaciones diferenciales parciales, Estudios de Posgrado en Matemáticas, vol. 19 (2ª ed.), Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense, ISBN 978-0-8218-4974-3
• Perona, P; Malik, J. (1990), "Detección de bordes y espacio de escala mediante difusión anisotrópica" (PDF) , IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence , 12 (7): 629–639, doi :10.1109/34.56205, S2CID  14502908
• Thambynayagam, RKM (2011), El manual de difusión: soluciones aplicadas para ingenieros , McGraw-Hill Professional, ISBN 978-0-07-175184-1
• Wilmott, Pablo; Howison, Sam; Dewynne, Jeff (1995), Las matemáticas de los derivados financieros. Una introducción al estudiante , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-49699-3

Otras lecturas

• Carslaw, HS ; Jaeger, JC (1988), Conducción de calor en sólidos , Oxford Science Publications (2ª ed.), Nueva York: The Clarendon Press, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853368-9
• Cole, Kevin D.; Beck, James V.; Haji-Sheikh, A.; Litkouhi, Bahan (2011), Conducción de calor utilizando funciones de Green , Serie de procesos físicos y computacionales en mecánica y ciencias térmicas (2ª ed.), Boca Raton, FL: CRC Press, ISBN 978-1-43-981354-6
• Einstein, Albert (1905), "Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen" (PDF) , Annalen der Physik , 322 (8): 549–560, Bibcode :1905AnP...322. .549E, doi : 10.1002/andp.19053220806
• Friedman, Avner (1964), Ecuaciones diferenciales parciales de tipo parabólico , Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice-Hall
• Unsworth, J.; Duarte, FJ (1979), "Difusión de calor en una esfera sólida y teoría de Fourier", Am. J. Física. , 47 (11): 891–893, Bibcode :1979AmJPh..47..981U, doi :10.1119/1.11601
• Widder, DV (1975), La ecuación del calor , Matemática pura y aplicada, vol. 67, Nueva York-Londres: Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich, Editores]

enlaces externos

• Derivación de la ecuación del calor.
• Ecuaciones de calor lineales: soluciones particulares y problemas de valores en la frontera - de EqWorld
• "La ecuación del calor". Serie Infinita de PBS . 17 de noviembre de 2017. Archivado desde el original el 11 de diciembre de 2021, a través de YouTube .