Máximo y mínimo

Valor máximo y mínimo que toma una función en un punto dado

Máximos y mínimos locales y globales para cos(3π x )/ x , 0,1≤ x ≤1,1

En análisis matemático , el máximo y el mínimo ^[a] de una función son, respectivamente, el valor más grande y más pequeño que toma la función. Conocidos genéricamente como extremos , ^[b] pueden definirse ya sea dentro de un rango dado (los extremos locales o relativos ) o en todo el dominio (los extremos globales o absolutos ) de una función. ^{[1] [2] [3]} Pierre de Fermat fue uno de los primeros matemáticos en proponer una técnica general, la adecuación , para encontrar los máximos y mínimos de funciones.

Según la teoría de conjuntos , el máximo y el mínimo de un conjunto son los elementos mayor y menor del conjunto, respectivamente. Los conjuntos infinitos no acotados , como el conjunto de números reales , no tienen mínimo ni máximo.

En estadística , el concepto correspondiente es el de máximo y mínimo muestral .

Definición

Una función de valor real f definida en un dominio X tiene un punto máximo global (o absoluto )en x ^∗ , si f ( x ^∗ ) ≥ f ( x ) para todo x en X . De manera similar, la función tiene un punto mínimo global (o absoluto )en x ^∗ , si f ( x ^∗ ) ≤ f ( x ) para todo x en X . El valor de la función en un punto máximo se denominavalor máximo de la función, denotado, y el valor de la función en un punto mínimo se llama ${\displaystyle \max(f(x))}$valor mínimo de la función (indicadopara mayor claridad). Simbólicamente, esto se puede escribir de la siguiente manera: ${\displaystyle \min(f(x))}$

${\displaystyle x_{0}\in X}$es un punto máximo global de función si ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle (\forall x\in X)\,f(x_{0})\geq f(x).}$

La definición del punto mínimo global también procede de manera similar.

Si el dominio X es un espacio métrico , entonces se dice que f tiene un punto máximo local (o relativo )en el punto x ^∗ , si existe algún ε > 0 tal que f ( x ^∗ ) ≥ f ( x ) para todo x en X dentro de la distancia ε de x ^∗ . De manera similar, la función tiene un punto mínimo localen x ^∗ , si f ( x ^∗ ) ≤ f ( x ) para todo x en X dentro de la distancia ε de x ^∗ . Se puede utilizar una definición similar cuando X es un espacio topológico , ya que la definición que se acaba de dar se puede reformular en términos de vecindades. Matemáticamente, la definición dada se escribe de la siguiente manera:

Sea un espacio métrico y función . Entonces es un punto máximo local de la función si tal que ${\displaystyle (X,d_{X})}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}\in X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (\exists \varepsilon >0)}$ ${\displaystyle (\forall x\in X)\,d_{X}(x,x_{0})<\varepsilon \implies f(x_{0})\geq f(x).}$

La definición del punto mínimo local también puede proceder de manera similar.

Tanto en el caso global como en el local, el concepto deSe puede definir un extremo estricto . Por ejemplo, x^∗es unpunto máximo global estricto si para todoxenXcon x ≠ x ^∗ , tenemos f ( x ^∗ ) > f ( x ), yx^∗es unpunto máximo local estricto si existe algún ε > 0tal que, para todoxenXdentro de la distanciaεdex^∗con x ≠ x ^∗ , tenemos f ( x ^∗ ) > f ( x ). Nótese que un punto es un punto máximo global estricto si y solo si es el único punto máximo global, y de manera similar para los puntos mínimos.

Una función continua de valores reales con un dominio compacto siempre tiene un punto máximo y un punto mínimo. Un ejemplo importante es una función cuyo dominio es un intervalo cerrado y acotado de números reales (véase el gráfico anterior).

Buscar

Encontrar máximos y mínimos globales es el objetivo de la optimización matemática . Si una función es continua en un intervalo cerrado, entonces, por el teorema de los valores extremos , existen máximos y mínimos globales. Además, un máximo (o mínimo) global debe ser un máximo (o mínimo) local en el interior del dominio, o debe estar en el límite del dominio. Por lo tanto, un método para encontrar un máximo (o mínimo) global es observar todos los máximos (o mínimos) locales en el interior, y también observar los máximos (o mínimos) de los puntos en el límite, y tomar el más grande (o más pequeño).

Para funciones diferenciables , el teorema de Fermat establece que los extremos locales en el interior de un dominio deben ocurrir en puntos críticos (o puntos donde la derivada es igual a cero). ^[4] Sin embargo, no todos los puntos críticos son extremos. A menudo se puede distinguir si un punto crítico es un máximo local, un mínimo local o ninguno de los dos utilizando la prueba de la primera derivada , la prueba de la segunda derivada o la prueba de la derivada de orden superior , dada la suficiente diferenciabilidad. ^[5]

Para cualquier función que se define por partes , se encuentra un máximo (o mínimo) hallando el máximo (o mínimo) de cada parte por separado y luego viendo cuál es el más grande (o el más pequeño).

Ejemplos

El máximo global de ^x √ x ocurre en x = e .

Para un ejemplo práctico, ^[6] supongamos una situación en la que alguien tiene pies de cerca y está tratando de maximizar los metros cuadrados de un recinto rectangular, donde es la longitud, es el ancho y es el área: ${\displaystyle 200}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle xy}$

${\displaystyle 2x+2y=200}$

${\displaystyle 2y=200-2x}$

${\displaystyle {\frac {2y}{2}}={\frac {200-2x}{2}}}$

${\displaystyle y=100-x}$

${\displaystyle xy=x(100-x)}$

La derivada con respecto a es: ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}xy&={\frac {d}{dx}}x(100-x)\\&={\frac {d}{dx}}\left(100x-x^{2}\right)\\&=100-2x\end{aligned}}}$

Estableciendo esto igual a ${\displaystyle 0}$

${\displaystyle 0=100-2x}$

${\displaystyle 2x=100}$

${\displaystyle x=50}$

revela que es nuestro único punto crítico . Ahora recupera los puntos finales determinando el intervalo al que está restringido. Como el ancho es positivo, entonces , y como , eso implica que . Sustituye el punto crítico , así como los puntos finales y , en , y los resultados son y respectivamente. ${\displaystyle x=50}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x>0}$ ${\displaystyle x=100-y}$ ${\displaystyle x<100}$ ${\displaystyle 50}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 100}$ ${\displaystyle xy=x(100-x)}$ ${\displaystyle 2500,0,}$ ${\displaystyle 0}$

Por lo tanto, el área máxima alcanzable con un rectángulo de pies de cerca es . ^[6] ${\displaystyle 200}$ ${\displaystyle 50\times 50=2500}$

Funciones de más de una variable

Superficie de Peano , un contraejemplo de algunos criterios de máximos locales del siglo XIX

El máximo global es el punto en la parte superior

Contraejemplo: El punto rojo muestra un mínimo local que no es un mínimo global

Para funciones de más de una variable, se aplican condiciones similares. Por ejemplo, en la figura (ampliable) de la derecha, las condiciones necesarias para un máximo local son similares a las de una función con una sola variable. Las primeras derivadas parciales en cuanto a z (la variable que se maximizará) son cero en el máximo (el punto brillante en la parte superior de la figura). Las segundas derivadas parciales son negativas. Estas son solo condiciones necesarias, no suficientes, para un máximo local, debido a la posibilidad de un punto de silla . Para el uso de estas condiciones para resolver un máximo, la función z también debe ser diferenciable en todas sus partes. La prueba de la segunda derivada parcial puede ayudar a clasificar el punto como un máximo relativo o un mínimo relativo. En contraste, existen diferencias sustanciales entre funciones de una variable y funciones de más de una variable en la identificación de extremos globales. Por ejemplo, si una función diferenciable acotada f definida en un intervalo cerrado en la línea real tiene un solo punto crítico, que es un mínimo local, entonces también es un mínimo global (use el teorema del valor intermedio y el teorema de Rolle para demostrar esto por contradicción ). En dos o más dimensiones, este argumento falla. Esto se ilustra con la función

${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}(1-x)^{3},\qquad x,y\in \mathbb {R} ,}$

cuyo único punto crítico está en (0,0), que es un mínimo local con f (0,0) = 0. Sin embargo, no puede ser global, porque f (2,3) = −5.

Máximos o mínimos de un funcional

Si el dominio de una función para el cual se debe encontrar un extremo consiste a su vez de funciones (es decir, si se debe encontrar un extremo de un funcional ), entonces el extremo se encuentra utilizando el cálculo de variaciones .

En relación a los conjuntos

Los máximos y mínimos también pueden definirse para conjuntos. En general, si un conjunto ordenado S tiene un elemento mayor m , entonces m es un elemento maximalista del conjunto, también denotado como . Además, si S es un subconjunto de un conjunto ordenado T y m es el elemento mayor de S con (con respecto al orden inducido por T ), entonces m es un límite superior mínimo de S en T . Se obtienen resultados similares para el elemento menor , el elemento mínimo y el límite inferior máximo . Las funciones de máximo y mínimo para conjuntos se utilizan en bases de datos , y pueden calcularse rápidamente, ya que el máximo (o mínimo) de un conjunto puede calcularse a partir de los máximos de una partición; formalmente, son funciones de agregación autodescomponibles . ${\displaystyle \max(S)}$

En el caso de un orden parcial general , el elemento menor (es decir, uno que es más pequeño que todos los demás) no debe confundirse con un elemento mínimo (nada es más pequeño). Del mismo modo, un elemento mayor de un conjunto parcialmente ordenado (conjunto parcial) es un límite superior del conjunto que está contenido dentro del conjunto, mientras que un elemento máximo m de un conjunto parcial A es un elemento de A tal que si m ≤ b (para cualquier b en A ), entonces m = b . Cualquier elemento menor o elemento mayor de un conjunto parcial es único, pero un conjunto parcial puede tener varios elementos mínimos o máximos. Si un conjunto parcial tiene más de un elemento máximo, entonces estos elementos no serán comparables entre sí.

En un conjunto totalmente ordenado , o cadena , todos los elementos son comparables entre sí, por lo que dicho conjunto puede tener como máximo un elemento mínimo y como máximo un elemento máximo. Entonces, debido a la comparabilidad mutua, el elemento mínimo también será el elemento menor, y el elemento máximo también será el elemento mayor. Por lo tanto, en un conjunto totalmente ordenado, podemos simplemente usar los términos mínimo y máximo .

Si una cadena es finita, entonces siempre tendrá un máximo y un mínimo. Si una cadena es infinita, entonces no necesita tener un máximo o un mínimo. Por ejemplo, el conjunto de los números naturales no tiene un máximo, aunque sí un mínimo. Si una cadena infinita S está acotada, entonces la clausura Cl ( S ) del conjunto tiene ocasionalmente un mínimo y un máximo, en cuyo caso se denominan el límite inferior máximo y el límite superior mínimo del conjunto S , respectivamente.

Argumento del máximo

Como ejemplo, tanto la función sinc normalizada como la no normalizada tienen un valor de {0} porque ambas alcanzan su valor máximo global de 1 en x  = 0. La función sinc no normalizada (roja) tiene un valor mínimo de arg de {−4,49, 4,49}, aproximadamente, porque tiene 2 valores mínimos globales de aproximadamente −0,217 en x  = ±4,49. Sin embargo, la función sinc normalizada (azul) tiene un valor mínimo de arg de {−1,43, 1,43}, aproximadamente, porque sus mínimos globales ocurren en x  = ±1,43, aunque el valor mínimo es el mismo. ^[7] ${\displaystyle \operatorname {argmax} }$

En matemáticas , los argumentos de los máximos (abreviados arg max o argmax) y los argumentos de los mínimos (abreviados arg min o argmin) son los puntos de entrada en los que se maximiza y minimiza el valor de salida de una función , respectivamente. ^[8] Si bien los argumentos se definen sobre el dominio de una función , la salida es parte de su codominio .

Véase también

• Prueba derivada
• Ínfimo y supremo
• Límite superior y límite inferior
• Identidad de máximos y mínimos
• Equilibrio mecánico
• Mex (matemáticas)
• Muestra máxima y mínima
• Punto de silla de montar

Notas

1. PL : máximos y mínimos (o máximos y mínimos ).
2. PL : extrema .

Referencias

1. Stewart, James (2008). Cálculo: trascendentales tempranos (6.ª ed.). Brooks/Cole . ISBN 978-0-495-01166-8.
2. Larson, Ron ; Edwards, Bruce H. (2009). Cálculo (novena edición). Brooks/Cole . ISBN 978-0-547-16702-2.
3. Thomas, George B .; Weir, Maurice D.; Hass, Joel (2010). Cálculo de Thomas: trascendentales tempranos (12.ª ed.). Addison-Wesley . ISBN 978-0-321-58876-0.
4. Weisstein, Eric W. "Mínimo". mathworld.wolfram.com . Consultado el 30 de agosto de 2020 .
5. Weisstein, Eric W. "Máximo". mathworld.wolfram.com . Consultado el 30 de agosto de 2020 .
6. Garrett, Paul. "Repaso de minimización y maximización".
7. "La función Sinc no normalizada Archivado el 15 de febrero de 2017 en Wayback Machine ", Universidad de Sydney
8. Para mayor claridad, nos referimos a la entrada ( x ) como puntos y a la salida ( y ) como valores; compare punto crítico y valor crítico .

Enlaces externos

• El trabajo de Thomas Simpson sobre máximos y mínimos en Convergencia
• Aplicación de Máximos y Mínimos con subpáginas de problemas resueltos
• Jolliffe, Arthur Ernest (1911). "Máximos y mínimos"  . Encyclopædia Britannica . Vol. 17 (11.ª ed.). Págs. 918–920.